文档文本内容
1
第05 讲一元二次方程的定义和解
课程标准
学习目标
判别一元二次方程
1. 一元二次方程的定义；
2. 一元二次方程的一般形式；
3. 一元二次方程的解；
知识点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
2
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5 个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高
次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形
式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任
意实数，二次项系数a 是不等于0 的实数，这是因为当a＝0 时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
题型01
一元二次方程的定义
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（
）
A．
2
2
1
0
x
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．
2
2
2
0
x
xy
y
D．
1
2
1
x
x
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选
项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A．
2
2
1
0
x
x
，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
3
B．
2
0
ax
bx
c
，当
0
a
时不是一元二次方程，不符合题意；
C．
2
2
2
0
x
xy
y
，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D．
1
2
1
x
x
，整理可得
2
3
0
x
x
，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）．
A．
2
0
ax
bx
c
B．
2
8
7
x
x
C．
2
3
1
2
0
x
x
D．
2
4
4
0
x
x
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、
2
0
ax
bx
c
，当
0
a
时是一元二次方程，故A 不正确；
B、
2
8
7
x
x
是分式方程，不是一元二次方程，故B 不正确；
C、
2
3
1
2
0
x
x
是一元三次方程，故C 不正确；
D、
2
4
4
0
x
x
是一元二次方程，故D 正确；
故选：D．
3．若关于x 的方程
2 2
(
2)
4
3
0
k
k
x
x
是一元二次方程，则k
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2 的整式方程，叫做一元二次方程）
即可得．
【详解】解：∵关于x 的方程
2 2
(
2)
4
3
0
k
k
x
x
是一元二次方程，
∴
2
2
2
2
0
k
k
，
解得
2
k ，
故答案为：2
．
4．已知关于x 的方程
2 2
(
2)
3
1
0
m
m
x
x
为一元二次方程，则m 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于m 的一元二次方程和一元
一次不等式，解之即可．
4
【详解】解：根据题意得：
2
2
2
m
，
解得：
1
2
m
，
2
2
m ，
2
0
m
，
解得：
2
m ，
即
2
m
，
故答案为：2 ．
题型02 一元二次方程的一般形式
5．方程
2
2
6
15
0
x
x
的一次项系数和常数项分别是（
）
A．2，15
B．6
，15
C．6，15
D．6
，15
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即
2
0(
0)
ax
bx
c
a
．其中a 是二次项系数，b 是一次项
系数，c 是常数项．
【详解】解：方程
2
2
6
15
0
x
x
的一次项系数和常数项分别是6
，15
．
故选D．
6．若一元二次方程
2
x
a
b
（a
b
，为常数），化成一般形式为
2
8
5
0
x
x
，则a
b
，的值分别是（
）
A．411
，
B．4 21
，
C．4 21
，
D．8 69
，
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一
元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解
方程得到答案．
【详解】解：
2
x
a
b
，
则
2
2
2
b
ax
x
a
，
∴
2
2
0
2
x
ax
a
b
，
由题意得：2
8
a ，
2
5
a
b
，
解得：
4
a ，
21
b
，
故选：B．
7．若将关于x 的一元二次方程
2
3
2
2
x
x
ax x
化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为2
，则
5
该方程中的一次项系数为（
）
A．5
B．3
C．5
D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为
2
0
0
ax
bx
c
a
，把原方
程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a 的值，即可求出答案．
【详解】解：
2
3
2
2
x
x
ax x
，
2
2
3
2
2
x
x
ax
ax
+
-
=
-
，
(
)
(
)
2
3
1 2
2
0
a x
a x
-
+
+
-
=
，
将关于x 的一元二次方程
2
3
2
2
x
x
ax x
化成一般形式后，其二次项系数为1，
3
1
a
，
解得：
2
a
，
1 2
1 2 2
5
a
\
+
= + ´
=
，
则该方程中的一次项系数为5，
故选A．
8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
3
1
2
x
x
；
(2)
2
2
4
3
x x
x
x
；
(3)关于x 的方程
2
2
0
mx
nx
mx
nx
q
p m
n
．
【答案】(1)
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
，二次项系数为3，一次项系数为2
，常数项为1
(2)
2
3
0
x
x
，二次项系数为3，一次项系数为1
，常数项为0
(3)
2
0
m
n x
m
n x
p
q
，二次项系数为(
)
m
n
+
，一次项系数为
m
n
，常数项为
p
q
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
2
3
1
2
x
x
6
移项，得
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
．
二次项系数为3，一次项系数为2
，常数项为1
．
（2）
2
2
4
3
x x
x
x
，
去括号，得
2
2
2
4
3
x
x
x
x
；
移项、合并同类项，得
2
3
0
x
x
，
整理，得
2
3
0
x
x
．
二次项系数为3，一次项系数为1
，常数项为0．
（3）
2
2
0
mx
nx
mx
nx
q
p m
n
移项、合并同类项，得
2
0
m
n x
m
n x
p
q
．
二次项系数为
m
n
，一次项系数为
m
n
，常数项为
p
q
．
题型03 一元二次方程的解
9．若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
有一个根是3 ，则b 的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，把
3
x
代入一元一次方程得9
3
3
0
b
，然后解一次方程即可．解
题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解
一元一次方程．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
有一个根是3 ，
∴9
3
3
0
b
，
解得：
4
b
．
故选：D．
10．若a，b，c 满足
0
4
2
0
a
b
c
a
b
c
，则关于x 的方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两个根的平方和是（
）
A．2
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为
1
x 和
2
x ，进而求出两个根的
平方和即可．
7
【详解】解：∵a，b，c 满足
0
4
2
0
a
b
c
a
b
c
，
∴关于x 的方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两个根分别为
1
x 和
2
x ，
∴
2
21
2
5
；
故选C．
11．若关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
ax
bx
a
有一根为
2024
x
，则一元二次方程
2
1
1
2
0
a x
b x
必有一根为（
）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方
程根的定义，可得一元二次方程
2
1
1
2
0
a x
b x
中，
1
2024
x
满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设
1
u
x
，则一元二次方程
2
1
1
2
0
a x
b x
可化为，
2
2
0
u
u
a
b
，
关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
ax
bx
a
有一根为
2024
x
，
一元二次方程
2
2
0
u
u
a
b
有一个根为
2024
u
，
则
1
2024
u
x
，即
2025
x
，
一元二次方程
2
1
1
2
0
a x
b x
必有一根为2025．
故选：B．
12．已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
a
的一个根是3，则
a
．
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的解，把
3
x
代入方程，解关于a 的方程即可．
【详解】解：把3 代入方程
2
2
0
x
x
a
得：9
6
0
a
，
解得：
3
a ，
故答案为：3 ．
13．已知m 是方程
2
3
2024
x
x
n
（n 为常数）的一个根，代数式
2
2
6
2024
m
m
的值是
．
【答案】6072
2n
【分析】本题考查了代数式求值，根据m 是方程
2
3
2024
x
x
n
（n 为常数）的一个根，得
2
3
2024
m
m
n
，
8
可得
2
3
2024
m
m
n
，即可得
2
2
2
6
2024
2(
3 )
2024
m
m
m
m
，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出
2
2
2
6
2024
2(
3 )
2024
m
m
m
m
是解题的关键．
【详解】解：∵m 是方程
2
3
2024
x
x
n
（n 为常数）的一个根，
∴
2
3
2024
m
m
n
，
∴
2
3
2024
m
m
n
，
∴
2
2
6
2024
m
m
2
=2(
3 )
2024
m
m
2(2024
)+2024
n
=6072+2n，
故答案为：6072+2n ．
14．若一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的一个根为m ，则代数式
3
2
1
1
m
m
的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义；根据方程的解代入方程满足等式关系，再整体代入计算求值
即可；
【详解】解：∵一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的一个根为m ，
∴
2
2
1
0
m
m
，即
2
2
1
m
m
∴
2
2
3
2
1
1
6
3
1
3 2
1
3 1
2
m
m
m
m
m
m
故答案为：2 ．
15．已知实数a 是关于x 的一元二次方程
2
2024
1
0
x
x
的一个解，则
3
2
2
2024
2024
1
a
a
a
的值
是
．
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．先把x
a
代入方程得到
2
2024
1
0
a
a
，变形可得
2
2024
1
a
a
，
2
1
2024
a
a
，然后把它们整
体代入
3
2
2
2024
2024
1
a
a
a
中，通分、化简、约分即可．
【详解】实数a 是关于x 的一元二次方程
2
2024
1
0
x
x
的一个解，
2
2024
1
0
a
a
，
2
1
2024
a
a
，
2
2024
1
a
a
，
9
3
2
2
2024
2024
1
a
a
a
2
2024
2024
2024
a a
a
a
1
1
a
a
1
a
a
2
1
a
a
2024a
a
2024
故答案为：2024
16．已知m 为方程
2
3
2024
0
x
x
的根，那么
3
2
2
2027
2024
m
m
m
的值为
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得
2
3
2024
m
m
，将代数式变
形，整体代入求值即可．
【详解】∵m 为方程
2
3
2024
0
x
x
的根，
∴
2
3
2024
0
m
m
，
∴
2
3
2024
m
m
，
∴原式
3
2
2
3
3
2024
2024
m
m
m
m
m
2
2
3
3
2024
2024
(
)
(
)
m m
m
m
m
m
2024
2024
2024
2024
m
m
0
．
故答案为：0 ．
题型04 一元二次方程的解的估算
17．根据下列表格的对应值，估计方程
2
4
3
0
x
x
的一个解的范围是（
）
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2
4
3
x
x
1.24
0.75
0.24
0.29
0.84
A．0.4
0.5
x
B．0.5
0.6
x
C．0.6
0.7
x
D．0 .7
0 .8
x
【答案】C
10
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．
2
0
ax
bx
c
应该在
2
0
ax
bx
c
与
2
0
ax
bx
c
之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当
0.6
x
时，
2
4
3
0.24
x
x
，
当
0.7
x
时，
2
4
3
0.29
x
x
，
使方程
2
4
3
0
x
x
成立的一个解应该在0.6 与0.7 之间，
0.6
0.7
x
．
故选C
18．根据下列表格的对应值：判断方程
2
1
0
x
x
一个解的取值范围是（
）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
2
1
x
x
0.061
0.04
0.018
0.0044
0.027
A．0.59
0.60
x
B．0.60
0.61
x
C．0.61
0.62
x
D．0.62
0.63
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键．
由图象可知，0.018
0
0.0044
，则方程
2
1
0
x
x
一个解的取值范围为0.61
0.62
x
，然后判断作答即
可．
【详解】解：∵0.018
0
0.0044
，
∴方程
2
1
0
x
x
一个解的取值范围为0.61
0.62
x
，
故选：C．
19．根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
2
ax
bx
c
3.59
2.16
0.71
0.76
判断关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的一个解x 的范围是（
）
A．1.1
1.2
x
B．1.2
1.3
x
C．1.3
1.4
x
D．无法判定
【答案】C
【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化．
【详解】解：当
1.3
x
时，
2
0.71
ax
bx
c
，
当
1.4
x
时，
2
0.76
ax
bx
c
，
11
所以方程
2
0
ax
bx
c
的解的范围为1.3
1.4
x
，
故选C．
20．根据下表：
x
3
2
1
…
4
5
6
2
5
x
bx
13
5
1
…
1
5
13
确定方程
2
5
0
x
bx
的解的取值范围是
．
【答案】2< < 1
x
或4
5
x
【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．
【详解】解：由表格得：
2
x 时，
2
5
5
x
bx
，= 1
x 时，
2
5
1
x
bx
；
4
x
时，
2
5
1
x
bx
，
5
x
时，
2
5
5
x
bx
，
可得方程
2
5
0
x
bx
的解取值范围是2< < 1
x
或4
5
x
．
故答案为：2< < 1
x
或4
5
x
．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键．
21．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
2
1
x
xy
B．2
1
2
x
x
C．
2
2
3
4
x
x
D．
2
1
3
x
x
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次
数是2 的整式方程”进行判断即可求解．
【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；
D、不是整式方程，故不符合题意；
故选：C．
22．关于x 的方程
2 2
2
5
6
0
a
a
x
x
是一元二次方程，则a 的值是（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
【答案】A
12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出
答案．
【详解】解：根据题意可得出
2
2
2
a
且
2
0
a
解得：
2
a ，
故选：A．
23．已知关于x 的方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
（,a b为常数，且
0
ab
），下列①～④选项中，哪两个一
定不是方程的实数解（
）
①
2
x ；②= 1
x ；③
1
x ；④
2
x
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，将各选项的x 的值代入方程，可得到关于a 、b 的二元二次方程．若
此二元二次方程有解，则x 的值为方程的解，反之，则x 的值一定不是方程的解．
【详解】①把
2
x 代入方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
，得
2
2
2
4
2
3
1
0
b
ab
a
b
，即
2
1
0
a
b
，
方程
2
2
2
4
2
3
1
0
b
ab
a
b
无解，
∴
2
x 不是方程的解．
①符合题意．
②把= 1
x 代入方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
，得
2
2
2
3
1
0
b
ab
a
b
即
2
2
2
1
0
a
ab
b
方程有解，
所以，= 1
x 可能是方程的解．
②不符合题意．
③把
1
x 代入方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
，得
2
2
2
3
1
0
b
ab
a
b
即
2
2
2
1
0
a
ab
b
方程有解，
所以，
1
x 可能是方程的解．
③不符合题意．
④把
2
x
代入方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
，得
2
2
2
4
2
3
1
0
b
ab
a
b
即
2
1
0
a
b
13
此方程无解．
所以，
2
x
一定不是方程的解．
④符合题意．
故①④一定不是方程的实数解，
故选：A．
24．若m 是关于x 的方程
2
2024
1
0
x
x
的根，则
2
2
2024
4
2024
4
m
m
m
m
的值为（
）
A．15
B．15
C．16
D．16
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出
2
2024
1
0
m
m
，从而得到
2
2024
1
m
m
，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵m 是关于x 的方程
2
2024
1
0
x
x
的根，
∴
2
2024
1
0
m
m
，
∴
2
2024
1
m
m
，
∴
2
2
2024
4
2024
1
1
4
15
4
4
m
m
m
m
，
故选：A．
25．若方程
2
x
是关于x 的一元二次方程，则“□”可以是（
）
A．2x
B．
2
2
C．
2
2x
D．
2
2y
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这
四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
【详解】A、2
2
x
x
，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、
2
2
2
x
，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、
2
2
2
x
x
，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、
2
2
2
y
x
，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
26．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
4
0
k
x
x
k
的常数项为0，则k 的值为(
)
14
A．2
B．2
C．2 或2
D．4 或2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，根据题意，得到
2
4
0
k
且
2
0
k
，
求解即可．
【详解】解：由题意，得：
2
4
0
k
且
2
0
k
，
解得：
2
k ；
故选A．
27．下表是某同学求代数式
2
3
x
x
的值的情况，根据表格可知方程
2
3
0
x
x
的根是（
）
x
…
2
1
0
1
2
3
…
2
3
x
x
…
10
4
0
2
2
0
…
A．
3
x
B．
0
x
C．
0
x
或
3
x
D．
1
x 或
2
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一
元二次方程的根．能使
2
3
0
x
x
成立的x 的值即为所求．
【详解】解：由表格知，当
0
x
或
3
x
时，
2
3
0
x
x
成立，即该方程
2
3
0
x
x
的根是
0
x
或
3
x
．
故选：C．
28．在欧几里得的《几何原本》中，形如
2
2
x
ax
b
的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如
图，先画Rt
ACB
△
，使
90
ACB
，
2
a
BC
，AC
b
，再在斜边AB 上截取
2
a
BD
，连接CD ，图中哪
条线段的长是一元二次方程
2
2
x
ax
b
的一个正根（
）
A．AD
B．AC
C．CD
D．AB
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键．
设AD
x
，则
2
a
AB
AD
BD
x
，在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
a
a
b
x
，整理得：
15
2
2
x
ax
b
，即可得到结论．
【详解】解：线段AD 的长是一元二次方程
2
2
x
ax
b
的一个正根，理由如下：
设AD
x
，则
2
a
AB
AD
BD
x
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
a
a
b
x
，
整理得：
2
2
x
ax
b
，
线段AD 的长是一元二次方程
2
2
x
ax
b
的一个正根．
故选：A．
29．将一元二次方程
2
2
3
x
x
化成一般形式是
．
【答案】
2
2
3
0
x
x
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，
2
0
0
ax
bx
c
a
，根据题意移项，即可．
【详解】解：将一元二次方程
2
2
3
x
x
化成一般形式是
2
2
3
0
x
x
，
故答案为：
2
2
3
0
x
x
．
30．若m 是方程
2
4
2
7
0
x
x
的一个根，则代数式
2
2
3
m
m
的值是
．
【答案】
1
2
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
先根据一元二次方程解的定义得到
2
4
2
7
0
m
m
，则
2
7
2
2
m
m
，再把
2
2
3
m
m
变形为
2
(2
)
3
m
m
，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
m
是方程
2
4
2
7
0
x
x
的一个根，
2
4
2
7
0
m
m
，
2
7
2
2
m
m
，
2
2
7
1
2
3
(2
)
3
3
2
2
m
m
m
m
．
故答案为：
1
2
．
31．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ，
．
【答案】
3
0
x x
(答案不唯一)
【分析】本题考查了一元二次方程的解；有一个根是3 的一元二次方程有无数个，只要含有因式
3
x 的一元
16
二次方程肯定有一个根是3 ．
【详解】解：形如
3
0
0
x
ax
b
a
的一元二次方程都有一个根是3，
当
1
a ，
0
b
时，可以写出一个一元二次方程：
3
0
x x
．
故答案可以是：
3
0
x x
(答案不唯一)．
32．若关于x 的方程
2
2
0
x
x
m
的一个根是
3
x
，则m 的值为
．
【答案】15
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，
据此把
3
x
代入原方程求出m 的值即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
2
0
x
x
m
的一个根是
3
x
，
∴
23
2
3
0
m
，
∴
15
m
，
故答案为：15 ．
33．若关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
（
0
a
）的解是= 1
x ，则2024
a
b
的值是
．
【答案】2025
【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到
1
a
b
，再把2024
a
b
变形
为
2024
a
b
，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次
方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
（
0
a
）的解是= 1
x ，
∴
2
1
1
1
0
a
b
，即
1
a
b
，
∴
2024
2024
2024
1
2025
a
b
a
b
，
∴2024
a
b
的值是2025 ．
故答案为：2025 ．
34．若一元二次方程
2
3
1
0
x
x
的两根也是方程
4
2
0
x
ax
bx
c
的根，则
2
a
b
c
的值为
．
【答案】13
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设m 是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根．根据方程解的意义知，m
既满足方程
2
3
1
0
x
x
，也满足方程
4
2
0
x
ax
bx
c
，将m 代入这两个方程，并整理，得
2
(9
)
(6
)
1
0
a m
b m
c
．从而可知：方程
2
3
1
0
x
x
的两根也是方程
2
(9
)
(6
)
1
0
a x
b x
c
的根，这
两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的
17
关系即可．
【详解】解：设m 是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，则
2
3
1
0
m
m
，所以
2
3
1
m
m
．
由题意，m 也是方程
4
2
0
x
ax
bx
c
的根，所以
4
2
0
m
am
bm
c
，
把
2
3
1
m
m
代入此式，得
2
2
(3
1)
0
m
am
bm
c
，整理得
2
(9
)
(6
)
1
0
a m
b m
c
．
从而可知：方程
2
3
1
0
x
x
的两根也是方程
2
(9
)
(6
)
1
0
a x
b x
c
的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有
2
2
(9
)
(6
)
1
(
3
1)
a x
b x
c
k x
x
（其中k 为常数），
所以
3
33
b
a
，
10
c
a
．
因此，
2
( 3
33)
2(
10)
13
a
b
c
a
a
a
，
故答案为：13
．
35．如果
2
x
是一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的一个解，则2a
b
的值是
．
【答案】
1
2
/ 0.5
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将
2
x
代入
2
1
0
ax
bx
，即可求解．
【详解】解：∵
2
x
是一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的一个解，
∴4
2
1
0
a
b
∴
1
2
2
a
b
故答案为：
1
2
．
36．一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，且, ,
a b c 满足
2
2
3
b
a
a
，则
a
，
b
，c
．
【答案】
2
3
1
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到
2
a
，则可计算出
3
b ，再根
据一元二次方程解的定义得到
0
a
b
c
，然后把a 和b 的值代入即可求出c 的值．
【详解】解：∵a、b 满足
2
2
3
b
a
a
，
∴
2
0
a
，
2
0
a
，
∴
2
a
，
∴
3
b ，
∵一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，
∴
0
a
b
c
，
18
∴2
3
0
c
，
∴
1
c ．
故答案为：2 ；3
；1
37．先化简，再求值：
2
2
2
4
1
2
4
4
2
2
a
a
a
a
a
a
，其中a 是方程
2
3
10
0
x
x
的根．
【答案】
2
3
2
a
a ，5
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据
一元二次方程的解的定义，可得
2
3
10
a
a
，然后代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
2
2
2
4
1
2
4
4
2
2
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
1
2
2
2
a
a
a a
a
a
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
a
a
a a
a a
a
a
2
2
2
a a
a
2
3
2
a
a
，
∵a 是方程
2
3
10
0
x
x
的根，
∴
2
3
10
0
a
a
，
∴
2
3
10
a
a
，
∴原式
10
5
2
．
38．已知a 是关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
-
-
=
的一个根，求代数式
2
2
1
3
a
a
a
的值．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式
2
2
2
1
a
a
，
利用一元二次方程根的定义得到
2
4
a
a
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
2
2
1
3
a
a
a
2
2
4
4
3
3
a
a
a
a
a
2
2
2
1
a
a
，
∵a 是关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
-
-
=
的一个根，
19
∴
2
4
0
a
a
，
∴
2
4
a
a
，
∴原式
2
2
1
a
a
2
4
1
9
39．已知关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
．
(1)若a
c
b
，求证：
1
x 必是该方程的一个根；
(2)当, ,
a b c 之间的关系是___________时，方程必有一个根是= 1
x ？
【答案】(1)见解析
(2) 1
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键；
（1）由a
c
b
，可得
0
a
b
c
，从而可得答案；
（2）由= 1
x 时，可得
0
a
b
c
，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵a
c
b
，
∴
0
a
b
c
，
∴当
1
x 时，
2
0
ax
bx
c
a
b
c
，
∴当
1
x 时，方程
2
0
0
ax
bx
c
a
成立，
∴
1
x 是方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个解，
（2）∵= 1
x 时，有
2
2
( 1)
1
0
ax
bx
c
a
b
c
a
b
c
，
∴当
0
a
b
c
时，方程
2
0
0
ax
bx
c
a
必有一个根是= 1
x ．
40．已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，如果a，b，c 满足3
2
0
a
b
c
，我们就称这个一元二次
方程为波浪方程．
(1)判断方程
2
2
4
0
x
x
是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x 的波浪方程
2
2
0
ax
x
c
的一个根是1
，求这个波浪方程．
【答案】(1)该方程是波浪方程
(2)
2
3
2
5
0
x
x
20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义
是解题的关键．
（1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为1
，得到关于a，c 的方程组即可解决问题．
【详解】（1）解：
2
a
，
1
b = - ，
4
c ，
3
2
3 2
2
1
4
0
a
b
c
，
故该方程是波浪方程；
（2）解：由已知得：
3
4
0
2
0
a
c
a
c
解得
3
5
a
c
，
这个波浪方程为
2
3
2
5
0
x
x
．
