FY25暑假初二B05二次三项式的因式分解及应用教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

05B 二次三项式的因式分解及应用 考情链接 1. 本次任务由5个部分构成 （1）二次三项式因式分解 （2）数字问题 （3）握手问题 （4）增长率问题 （5）面积问题 2. 考情分析 （1）二次三项式及一元二次方程的应用是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块， 占中考分值约10%。 （2）二次三项式的因式分解，以填空题、解答题为主，一元二次方程的应用考察解答题。 （3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第三节。 （4）二次三项式的因式分解，要借助一元二次方程的知识进行解答。其次，运用方程思想 解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：二次三项式因式分解 15分钟 切片2：数字问题 15分钟 切片3：握手问题 20分钟 切片4：增长率问题 20分钟 切片5：面积问题 20分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——二次三项式因式分解【建议时长：15 分钟】 考点一：二次三项式因式分解 知识笔记1 二次三项式因式分解 （1）形如_________________________的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a0)的两个根是x 和x ,那么二次三项式的分解公 1 2 式为：_________________________． 【填空答案】 1. ax2 +bx+c(a，b，c都不为零) 2. ax2 +bx+c =a(x−x )(x−x ) 1 2 例题1: （1）（★★☆☆☆）一元二次方程2x2 + px+q =0的两根为-1 和 2，那么二次三项式 2x2 + px+q可分解为( ) A ．(x+1)(x−2) B ．(2x+1)(x−2) C ．2(x−1)(x+2) D ．2(x+1)(x−2) （2）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： ①x2 −x−1=____________； ②2x2 +3xy− y2 =_____________； ③4x2 +2x−3 =____________； ④−6x2 −2x+1=____________； ⑤ ( x2 −3 )( x2 +2 ) =____________. 【常规讲解】 （1）解： 一元二次方程2x2 + px+q =0的两根为-1和 2 ， 2(x+1)(x−2)=0， 2x2 + px+q可分解为2(x+1)(x−2)， 故选：D． 21+ 5 1− 5 （2）①解：x2 −x−1=(x− )(x− )． 2 2 1+ 5 1− 5 故答案为：(x− )(x− )． 2 2 ②解：令2x2 +3xy− y2 =0，则 −3− 17 −3+ 17 x = y，x = y， 1 4 2 4 −3− 17 −3+ 17 则2x2 +3xy−y2 =2(x− y)(x− y)． 4 4 −3− 17 −3+ 17 故答案为：2(x− y)(x− y)． 4 4 1− 13 1+ 13 ③原式=4（x+ ）（x+ ） 4 4 1+ 7 1− 7 ④原式=-6（x+ ）（x+ ） 6 6 ⑤原式=(x- 3)(x+ 3)(x2 +2) 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）如果一元二次方程2x2 +bx+c=0的两根为 2、−1，那么二次三项式 2x2 +bx+c在实数范围内可以分解为( ) A．(2x−2)(2x+2) B．(2x−2)(2x−1) C．2(x−2)(x−1) D．2(x−2)(x+1) （2）（★★★☆☆）在实数范围内分解因式： ①3x2 −4x−5 =____________； ②3a2 −5ab−b2 =____________； ③−x2 −4x+3 =____________； ④ p2 −1−2p =____________； ⑤2x2 −2 2x−1=____________. 【常规讲解】 （1）解： 2x2 +bx+c=0的两根为2、−1， 38+2b+c=0  ，解方程组得：b=−2，c=−4， 2−b+c=0 2x2 +bx+c=2x2 −2x−4=2(x−2)(x+1)． 故选：D． （2）①解：令3x2 −4x−5=0，则 2− 19 2+ 19 x = ，x = ， 1 3 2 3 2 19 2 19 则3x2 −4x−5 =3(x− − )(x− + )． 3 3 3 3 ②解：令3a2 −5ab−b2 =0， 5 25+12 5 37 解得：a= b= b， 6 6 5− 37 5+ 37 3a2 −5ab−b2 =3(a− b)(a− b) 6 6 ③−x2 −4x+3= −(x+2− 7)(x+2+ 7) ④ p2 −1−2p= (p+1+ 2)(p−1− 2) 2+2 2−2 ⑤令2x2 −2 2x−1=0，解得：x = ，x = ， 1 2 2 2  2−2 2+2 即该式可分解为a(x−x )(x−x )=2x− x−  1 2  2  2     考点二：二次三项式因式分解的条件 知识笔记2 二次三项式ax2 +bx+c可以因式分解的条件： （1）_____________________； （2）_____________________. 【填空答案】 （1）△=b2 −4ac 0 （2）a b c0 4例题2: （1）（★★★☆☆）若二次三项式ax2 +3x+4在实数范围内可以因式分解，那么a的取值范围 是__________． （2）（★★★☆☆）若二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，则a的取值范围是 __________． 【常规讲解】 （1）解：根据题意得，二次三项式在实数范围内能分解因式， 方程ax2 +3x+4=0有解， △=b2 −4ac=32 −4a4=9−16a 0，且a0， 9 解得a 且a0． 16 9 故答案为：a 且a0． 16 （2）解： 二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解， 关于x的一元二次方程x2 −3x+a=0有实数根，且a0，  =(−3)2 −41a 0 9   ，解得：a 且a0． a0 4 9 故答案为：a 且a0． 4 练习2: 【学习框10】 （1）（★★★☆☆）（2022秋•浦东新区期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因 式分解的是( ) A．x2 −4x+4 B．3x2 −5xy−2y2 C．y2 −2y+9 D．y2 − 2y−1 （2）（★★★☆☆）如果二次三项式 px2 +2x−1在实数范围内可以因式分解，求 p 的取值范 围． 【常规讲解】 （1）解：A．x2 −4x+4=(x−2)2，此选项不符合题意； B．3x2 −5xy−2y2 =(3x+ y)(x−2y)，此选项不符合题意； C ．设y2 −2y+9=0， 5△=4−36=−320， y2 −2y+9=0无实数根， y2 −2y+9不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意； 2+ 6 2− 6 D．y2 − 2y−1=(y+ )(y− )此选项不符合题意； 2 2 故选：C． （2）解： 二次三项式px2 +2x−1在实数范围内可以因式分解， px2 +2x−1=0有实数解， △=4+4p 0，且p0， 解得： p −1且p0． 知识加油站 2——数字问题【建议时长：15分钟】 考点三：解决一元二次方程的数字问题 知识笔记3 数字问题 对于数的应用题主要是要知道数的表示． 例如：一个三位数百位、十位、个位分别为 x、y、z，那么这个三位数则可以表示为 ___________________． 【填空答案】 100x+10y+z 例题3: （1）（★★★☆☆）有一个两位数等于它十位上与个位上数的积的3倍，已知十位上的数比个 位上的数小2．设个位数字为x，则可列方程为____________________（化为一般式）． （2）（★★★☆☆）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与 十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ___________． （3）（★★★★☆）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与 6个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数． 【常规讲解】 （1）解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字就应该是x−2， 依题意得10(x−2)+x=3x(x−2)，即3x2 −17x+20=0． 故答案为：3x2 −17x+20=0． （2）解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+4)， 依题意得：x2 +(x+4)2 −[10(x+4)+x]=−4， 整理得：2x2 −3x−20=0 5 解得：x =4，x =− ． 1 2 2 又 x为非负整数， x=4， 10(x+4)+x=10(4+4)+4=84． 故答案为：84． （3）设个位数字为x，则十位数字是8−x． 根据题意可得：  10(8−x)+x  10x+(8−x) =1855 ，整理得：9x2 −72x+135=0． 分解得： (9x−27)(x−5)=0， 解得：x =3，x =5． 1 2 答：原来的两位数是35或53． 练习3: 【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为x，则可列 方程为____________________． （2）（★★★☆☆）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这 个两位数． （3）（★★★★☆）一两位数，数字之和是9，如将个位数字，十位数字对调与原数相乘的结 果是1458，求原来的两位数． 7【常规讲解】 （1）解：设最小的数是x，则较大的数为(x+2)， 根据题意得：x2 +(x+2)2 =100， 故答案为：x2 +(x+2)2 =100． （2）设个位数字为x，则十位数字是x−3． 根据题意可得：10(x−3)+x=2x(x−3) ， 整理得：2x2 −17x+30=0， (2x−5)(x−6)=0， 5 解得：x =6，x = （不是整数，舍去）． 1 2 2 答：这个两位数为36． （3）解：设十位数字为x，那么个位数字为(9−x)， 对调前两位数是：10x+(9−x)，对调后两位数是10(9−x)+x， 所以[10x+(9−x)][10(9−x)+x]=1458． 整理得：x2 −9x+8=0． 分解得： (x−1)(x−8)=0， 解得：x =1，x =8． 1 2 答：原来的两位数是18或81． 8知识加油站 3——握手和贺卡问题【建议时长：20分钟】 考点四：解决一元二次方程的握手和贺卡问题 知识笔记4 握手问题 n人“握手”公式：_____________________. 贺卡问题 n人“送祝福”公式：_____________________. 【填空答案】 n(n−1) （有重复） 2 n(n−1)（无重复） 例题4: （1）（★★★☆☆）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程 为( ) 45 1 A．x(x−1)=45 B．x(x−1)= C． x(x−1)=45 D．x(x+1)=45 2 2 （2）（★★★☆☆）某区要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计 划安排28场比赛，则应邀参加比赛的球队支数是________． 【配题说明】握手问题 【常规讲解】 （1）解：设x人参加聚会， 1 依题意，得： x(x−1)=45． 2 故选：C． （2）解：设邀请x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛， 9x(x−1) 由题意得， =28， 2 解得：x=8或x=−7 故参加比赛的有8只队伍． 故答案为：8． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★★☆☆）在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次， 设参加这次同学聚会的有x人，可得方程( ) A．x(x−1)=190 B．x(x−1)=380 C．x(x−1)=95 D．(x−1)2 =380 （2）（★★★☆☆）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场 地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请的参赛队数是 ( ) A．8 B．7 C．6 D．5 【配题说明】握手问题 【常规讲解】 （1）解：设共有x人参加联欢会，可得方程：x(x−1)2=190， x(x−1)=380． 故选：B． （2）设比赛组织者应邀请x队参赛， x(x−1) 则由题意可列方程为： =28． 2 解得：x =8，x =−7（舍去）， 1 2 答：比赛组织者应邀请8队参赛． 故选：A． 例题5: （★★★★☆）（2022•闵行区梅陇中学期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干 支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分 成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据 规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比 10赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 【配题说明】握手问题难题应用 【常规讲解】 1 解：设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组有 x支队伍， 8 1 1 1 根据题意得：8  x( x−1)=48， 2 8 8 整理得：x2 −8x−768=0， 解得：x =32，x =−24（不符合题意，舍去）． 1 2 答：共有32支队伍参加比赛． 练习5: 【学习框16】 （★★★☆☆）在东方绿舟游玩时，新华中学的校女子篮球队的队员们拍照留念，每两位队员 合拍一张合影，这样一共拍了55张照片底片，新华中学的小女子篮球队共有多少名队员？ 如果每个队员都要得到自己的照片，每一张照片的冲印费是 0.80 元，那么一共要花多少元 去冲印这些照片？ 【配题说明】握手问题难题应用 【常规讲解】 解：设新华中学女子篮球队共有x名队员，根据题意得出： 1 x(x−1)=55， 2 解得：x =−10，x =11， 1 2 一共要花0.8552=88元， 答：新华中学女子篮球队共有11名队员，花88元去冲印这些照片； 例题6: （★★★☆☆）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同 学，列方程为（ ） 1 A． x(x−1)=380 B．x（x﹣1）=380 2 C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380 【配题说明】贺卡问题 【常规讲解】 11设全班有x名同学，由题意得： x（x-1）=380， 故选B． 练习6: 【学习框18】 （1）（★★★☆☆）九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班 共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（ ） A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870 x(x−1) C．2x（x+1）＝870 D． ＝870 2 （2）（★★★☆☆）．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这 个小组有x人．则（ ） 1 1 A． x(x−1)=56 B． x(x+1)=56 C．x(x−1)=56 D．x(x+1)=56 2 2 【配题说明】贺卡问题 【常规讲解】 （1）根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人， ∴全班共写：（x-1）x=870， 故选：A． （2）解：若设这小组共有x名学生， x(x−1)=56 ． 故选：C． 12知识加油站 4——增长率问题【建议时长：20分钟】 考点五：解决一元二次方程的增长率和降低率问题 知识笔记5 增长率问题 基本公式：_____________________， a表示增长前的数，x表示增长率，b 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、 b ．如果是降低率，则为______________. 【填空答案】 a(1+x)2 =b;a(1−x)2 =b． 例题7: （1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区白鹤中学期末）某商场七月份的销售额为 1000万元，八月 份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售 额达到 1352 万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为 x ，那么可列方程 _____________． （2）（★★★☆☆）某商场今年 8 月的营业额为 400 万元，9 月份营业额比 8 月份增加10%， 11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率． 【配题说明】增长率问题 【常规讲解】 （1）解：根据题意得1000(1−20%)(1+x)2 =1352． 故答案为：1000(1−20%)(1+x)2 =1352． （2）解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为 x， 依题意得：400(1+10%)(1+x)2 =633.6， 解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去）． 1 2 答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%． 13练习7: 【学习框20】 （★★★☆☆）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬 件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元． （1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； （2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 【配题说明】增长率问题 【常规讲解】 解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为 x， 依题意得：110(1+x)2 =185.9， 解得：x =0.3=30%，x =−2.3（不合题意，舍去）． 1 2 答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%． （2）110+110(1+30%)+185.9 =110+143+185.9 =438.9（万元）． 答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元 例题8: （★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价 的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是 x，由题意列出关于 x的方程：_________________________. 【配题说明】降低率问题 【常规讲解】 解：根据题意得875(1−x)2 =560． 故答案为：875(1−x)2 =560． 练习8: 【学习框22】 （1）（★★☆☆☆）（2023•崇明期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152 元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程_________________． （2）（★★☆☆☆）（2022•青浦期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以 上海某地一处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平 14均降价率为____________． 【配题说明】降低率问题 【常规讲解】 （1）解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，1152(1−x)2 =800， 故答案为：1152(1−x)2 =800． （2）解：设平均降价率为x， 600(1−x)2 =486 由题意可得， x =0.1 x =1.9 1 ， 2 （舍去）； 0.1100%=10%， 故答案为：10%． 15知识加油站 5——面积问题【建议时长：20分钟】 考点六：解决一元二次方程的面积问题 知识笔记6 几何面积问题 x 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 表示出来．例 如要求的某个长方形面积，就必须先把___________表示出来． 【填空答案】 长和宽 例题9: （★★★☆☆）（2022•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南 京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为 提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出， 在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长 方形的相邻两边长分别是多少米？ 【配题说明】围栏问题 【常规讲解】 解：设这个长方形的宽为 x米，则长为(50+1+1−2x)米， 根据题意得：x(50+1+1−2x)=320， 整理得：x2 −26x+160=0， 解得：x =10，x =16， 1 2 当x=10时，50+1+1−2x=50+1+1−210=3225，不符合题意，舍去； 当x=16时，50+1+1−2x=50+1+1−216=2025，符合题意． 这个长方形的宽为16米，长为20米． 16故答案为：20． 练习9: 【学习框24】 （★★☆☆☆）（2022•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个 长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于 墙的长方形的宽为 x米，则可列出方程为_______________________． 【配题说明】围栏问题 【常规讲解】 解： 竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为 x米， 垂直于墙的长方形的长为(33+2−2x)米， 依题意得：x(33+2−2x)=150． 故答案为：x(33+2−2x)=150． 例题10: （1）（★★★☆☆）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑 两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）．若草坪的面积是 1920平方米，求道路的宽度． （2）（★★★☆☆）如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建 两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同 的人行通道，求人行通道的宽度为多少米？ 17【配题说明】道路问题 【常规讲解】 （1）解：设道路的宽度为 x米，则余下的部分可合成长为(50−x)米，宽为(42−x)米的矩 形， 依题意得：(50−x)(42−x)=1920， 整理得：x2 −92x+180=0， 解得：x =2，x =90（不符合题意，舍去）． 1 2 答：道路的宽度为2米． （2）解：设人行通道的宽为 x 米，则两块草地可合成长为 (45−3x) 米，宽为 (36−2x) 米的 矩形，依题意得： (45−3x)(36−2x)=1080 ， 整理得：x2 −33x+90=0， 解得：x =3，x =30（不合题意，舍去）． 1 2 答：人行通道的宽为3米． 练习10: 【学习框26】 （★★★☆☆）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路， 余下部分作为耕地为551m2．则道路的宽为？ 【配题说明】道路问题 【常规讲解】 解：设修建的路宽应为 x 米， 根据等量关系列方程得：3020−(20x+30x−x2)=551， 整理可得：x2 −50x+49=0， 解得：x=1或x=49（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为1米． 18例题11: （★★★★☆）（2022•静安期中）在 ABC中，ACB=90，AC =16cm，BC =12cm，动点 M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/秒，点N的速度为3cm/秒， 点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，△MCN的面积为 36cm2？ 【配题说明】动点问题 【常规讲解】 解：设经过x秒钟后，△MCN的面积为36cm2， 1 由题意得， 3x(16−2x)=36， 2 ∴x2−8x+12=0， ∴x =2，x =6． 1 2 ∵3x12，即x4， ∴x=6舍去，即x=2． 答：经过2秒，△MCN的面积为36cm2． 练习11: 【学习框28】 （★★★★☆）（2023•上海专题练习）等腰Rt△ABC中，AB=BC =8cm，动点P从点A出 发，沿AB向点B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、 Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2． 【常规讲解】 19设AP=xcm，则BP=(8−x)cm，由题意可知△APR和 PBQ均为等腰直角三角形，PQCR 的面积等于16cm2， 依题意可得x(8−x)=16， 解得：x =x =4，即AP长为4cm． 1 2 故AP长为4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2． 全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）在实数范围内分解因式：−6x2 −2x+1 . （2）（★★☆☆☆）在实数范围内因式分解：−2a2b2 +ab+2． 【常规讲解】  1+ 7 1− 7 （1）−6x2 −2x+1=−6x+ x+     6 6    1 17 （2）解：令−2a2b2 +ab+2=0，则ab= ， 4 1+ 17 1− 17 所以−2a2b2 +ab+2=−2(ab− )(ab− )． 4 4 练习2: （★★★☆☆）三个连续奇数的平方和是251，求这三个数，若设最小的数为 x ，则可列方程 为____________________． 【常规讲解】 解：设三个连续奇数中间的一个数为 x ，则另外两个数为： (x+2) ， (x+4) ，依题意得 x2 +(x+2)2 +(x+4)2 =251， 故答案为x2 +(x+2)2 +(x+4)2 =251 练习3: （★★★☆☆）在一次同学聚会时，每个人都与别人握一次手，有人做了一次统计，共握了78 20次手，设共有 x人参加这次聚会，那么可列方程为______． 【常规讲解】 解：设这次聚会的同学共 x人，根据题意列方程为： x(x−1) =78． 2 x(x−1) 故答案为： =78． 2 练习4: （★★★☆☆）为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场 地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行， 另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%， 小路的宽应为多少米？ 【常规讲解】 解：设小路的宽为 x 米，则绿化区域可合成长为 (18−2x) 米，宽为 (10−x) 米的矩形， 依题意得： (18−2x)(10−x)=181080% ， 整理得：x2 −19x+18=0， 解得：x =1，x =18（不合题意，舍去）． 1 2 答：小路的宽为1米． 练习5: （★★★☆☆）如图， ABC中，C =90，AC =8cm，BC =4cm，一动点P从点C出发 沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着AC边以2cm/s的速度运动， P，Q两点同时出发，运动时间为ts． 1 (1)若△PCQ的面积是 ABC面积的 ，求t的值？ 4 (2)△PCQ的面积能否为 ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【常规讲解】 （1）解：由题意知AQ=2t，CP=t，CQ=8−2t， 211 1 ∴S = t(8−2t) ，S = 48=16， PCQ 2 △ABC 2 1 1 ∴ t(8−2t)=16 ， 2 4 整理得t2−4t+4=0，解得t =2， 1 答：当t =2s时△PCQ的面积为 ABC面积的 ； 4 （2）不能，理由如下： 1 当S = S 时， PCQ 2 ABC 1 1 t(8−2t)=16 ， 2 2 整理得t2−4t+8=0， ∵△=(−4)2−418=−160， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是 ABC面积的一半． 关卡二 练习6: （★★★★☆）一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出 4 同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是原来的 ，问第一次倒出酒精多少 9 升？ 【常规讲解】 解：设第一次倒出酒精 x升，根据题意得： 63−x 4 63−x− x= 63 63 9 整理得：x2 −126x+2205=0 解得：x=105（舍去）或x=21． 答：第一次倒出酒精21升． 练习7: （★★★★☆）世界上最长的跨海大桥−−杭州湾跨海大桥通车后，苏南A地到宁波港的路程 比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的 3时20 分缩短到2 时． 22（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程． （2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本 是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港 的运输费用是多少元？ （3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从 宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320 元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时， 每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？ 【常规讲解】 解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 x千米， x+120 x 由题意得 = ， 10 2 3 解得x=180． A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． （2）1.8180+282=380（元)， 该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． （3）设这批货物有 y车， 由题意得y[800−20(y−1)]+380y=8320， 整理得y2 −60y+416=0， 解得y =8，y =52（不合题意，舍去）， 1 2 这批货物有8车． 23