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专题 19.4 二次根式的除法
1. 掌握二次根式的除法运算，并能够熟练的进行运算。
教学目标 2. 掌握商的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。
3. 掌握二次根式的混合运算法则，并能够熟练的进行混合运算。
1. 重点
（1）二次根式的除法运算及其混合运算；
（2）商的算术平方根。
教学重难点 2. 难点
（1）结合二次根式的乘除法运算以及积与商的算术平方根的性质对二次根式进行计
算化简；
（2）对二次根式进行混合运算，注意结果化到最简；知识点01 二次根式的除法法则
1. 二次根式的除法法则：
√a
❑
b
两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数 相除 。即
拓展：
【即学即练1】
1．计算❑√8÷❑√2的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．❑√2
【答案】A
√8
【解答】解：原式=❑ =❑√4=2，
2
故选：A．
【即学即练2】
1 √b 1
2．计算： ❑√a3b÷❑ = a 2 ．
2 a 2
1
【答案】
a2
．
2
1 √b
【解答】解： ❑√a3b÷❑
2 a
1 ❑√ab
= a❑√ab÷
2 a
1 a
= a❑√ab⋅
2 ❑√ab
1
= a2 ，
2
1
故答案为：
a2
．
2
知识点02 商的算术平方根的性质
1. 商的算术平方根的性质：算术平方根的商 。即
商的算术平方根等于
2.
分母有理化：
分母有理化是指把分母中的根号化去。
3. 分母有理化因式：
两个含二次根式的代数式相乘时，若它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。
若分母只有单独的一项，则分母有理化因式为 本身 ；若分母是一个式子，则分母有理化因式与分母
组成 平方差公式 。
即 的分母有理化因式为
❑√a
； 的有理化因式为
❑√a∓❑√b
。
【即学即练1】
√ x+3 ❑√x+3
3．如果❑ = 有意义，那么x的取值范围是 x ＞ 1 ．
x−1 ❑√x−1
【答案】x＞1．
√ x+3 ❑√x+3
【解答】解：如果❑ = 有意义，
x−1 ❑√x−1
{x+3≥0
)
那么 ，
x−1＞0
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
【即学即练2】
4．❑√x+ y的一个有理化因式是（ ）
A．❑√x−y B．❑√x+❑√y C．❑√x−❑√y D．❑√x+ y
【答案】D
【解答】解：根据二次根式的有理化的目的就是去掉根号，
所以，❑√x+ y的一个有理化因式是❑√x+ y，
即❑√x+ y×❑√x+ y=x+y．
故选：D．
【即学即练3】
5．下列各式中，❑√a+❑√b的有理化因式是（ ）
A．❑√a+b B．❑√a−b C．❑√a+❑√b D．❑√a−❑√b
【答案】D
【解答】解：根据有理化因式可知：❑√a+❑√b的有理化因式是❑√a−❑√b，故选：D．
【即学即练4】
6．化简：
√ 7 √9 √ 9 y
（1）❑ （2）❑√2.5 （3）❑ （4）❑ ．
48 5 25x2
【答案】见试题解答内容
√ 7
【解答】解：（1）❑
48
√ 7×3
=❑
16×3×3
❑√21
= ；
12
（2）❑√2.5
√5
=❑
2
√5×2
=❑
2×2
❑√10
= ；
2
√9
（3）❑
5
√9×5
=❑
5×5
3❑√5
= ；
5
√ 9 y 3❑√y
（4）❑ = ．
25x2 5x
【即学即练5】
2
7．已知a=❑√5+❑√3，b = ，则a与b的关系是（ ）
❑√5−❑√3
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【答案】A
2 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
【解答】解：b= = =❑√5+❑√3，a=❑√5+❑√3，
❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
故选：A．
【即学即练6】5 √2 2
8．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ，❑ ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一
❑√3 3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
步化简： = = ❑√3
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ =
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2×(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
2
以 上 这 种 化 简 的 步 骤 叫 做 分 母 有 理 化 ． 还 可 以 用 以 下 方 法 化 简 ：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1)
= = = =❑√3−1
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
（1）请用不同的方法化简 ；
❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【答案】见试题解答内容
2 2(❑√5−❑√3)
【解答】解：（1）① = =❑√5−❑√3
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
2 5−3 (❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3)
② = = =❑√5−❑√3．
❑√5+❑√3 ❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2n+1−❑√2n−1
（2）原式=
2
❑√2n+1−1
= ．
2
知识点03 二次根式的乘除混合运算
1. 二次根式的混合运算步骤：
①将算式中的除法转化成乘法。
②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。
③化成最简二次根式。
【即学即练1】
9．计算：
√ 2 √5
（1）2❑√14×3❑√7 （2）❑1 ÷❑
3 6
❑√9 √54 √3 3 1 √b
（3） ÷❑ ×❑ （4）❑√ab3 ⋅(− ❑√a3b)÷( ❑ )．
❑√12 12 6 2 3 a【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2❑√14×3❑√7=6❑√72×2=42❑√2；
√ 2 √5 √5 √5 √5 6
（2）❑1 ÷❑ =❑ ÷❑ =❑ × =❑√2；
3 6 3 6 3 5
❑√9 √54 √3 √ 9 54 3 √ 1 ❑√3
（3） ÷❑ ×❑ =❑ ÷ × =❑ = ；
❑√12 12 6 12 12 6 12 6
3 1 √b 9 √ a 9
（4）❑√ab3 ⋅(− ❑√a3b)÷( ❑ )=− ❑ab3 ⋅a3b⋅ =− a2|b|❑√ab．
2 3 a 2 b 2
题型01 二次根式的除法运算
【典例1】计算：
−❑√45 y2 √ 2 3 √ 3 1 √a
（1） （y＞0）； （2）❑ ÷ ❑1 ； （3） a❑√ab2÷4a❑ （a＞0，b＞0）．
3❑√5 y 45 2 5 2 b
1 1
【答案】（1）−❑√y；（2） ；（3） b❑√b．
9 8
1 √45 y2
【解答】解：（1）原式=− ×❑
3 5 y
1
=− ×❑√9 y
3
=−❑√y；
2 √ 2 5
（2）原式＝1× ×❑ ×
3 45 8
2 √ 1
= ×❑
3 36
2 1
= ×
3 6
1
= ；
9
1 1 √ b
（3）原式= a× ×❑ab2 ⋅
2 4a a
1
= ❑√b3
8
1
= b❑√b．
8
【变式1】计算：❑√18 ❑√72 √b √ b
（1） （2） （3）❑ ÷❑ （4）❑√6a2÷❑√24a．
❑√2 ❑√6 5 20a2
【答案】见试题解答内容
❑√18
【解答】解：（1） =❑√9=3；
❑√2
❑√72 √72
（2） =❑ =❑√12=2❑√3；
❑√6 6
√b 20a2
（3）原式=❑ × =❑√4a2=2|a|；
5 b
√a ❑√a
（4）原式=❑ = ．
4 2
【变式2】计算：
❑√40 √ 1 √ 1
（1） ； （2）❑4 ÷❑2 ； （3）6❑√72÷（﹣3❑√6）；
❑√10 2 4
√x
（4）❑√27a4÷❑√3a2（a＞0）； （5）4❑√6x3÷2❑ （x＞0）．
3
【答案】见试题解答内容
❑√40
【解答】解：（1） =❑√4=2；
❑√10
√ 1 √ 1 √9 4
（2）❑4 ÷❑2 =❑ × =❑√2；
2 4 2 9
（3）6❑√72÷（﹣3❑√6）＝6÷（﹣3）❑√72÷6=−4❑√3；
（4）❑√27a4÷❑√3a2（a＞0）=❑√9a2=3a；
√x √ x
（5）4❑√6x3÷2❑ （x＞0）＝4÷2❑6x3÷ =2❑√18x2=6❑√2x．
3 3
题型02 求式子的有理化因式
【典例1】下列各数中，与2❑√3的乘积为有理数的是（ ）
A．❑√2 B．❑√6 C．❑√5 D．3❑√3
【答案】D
【解答】解：A、❑√2×2❑√3=2❑√6为无理数，故本选项不符合题意；
B．❑√6×2❑√3=6❑√2为无理数，故本选项不符合题意；
C． ❑√5×2❑√3=2❑√15为无理数，故本选项不符合题意；
D．3❑√3×2❑√3=18为有理数，故本选项符合题意．
故选：D．【变式1】二次根式❑√a+b的有理化因式是（ ）
A．❑√a+b B．❑√a+❑√b C．❑√a−b D．❑√a−❑√b
【答案】A
【解答】解：二次根式❑√a+b的有理化因式是❑√a+b，
故选：A．
【变式2】下列式子中，与2❑√3−❑√2互为有理化因式的是（ ）
A．2❑√3−❑√2 B．2❑√3+❑√2 C．❑√3+2❑√2 D．❑√3−2❑√2
【答案】B
【解答】解：∵（2❑√3−❑√2）（2❑√3+❑√2）
＝12﹣2
＝10，
∴与2❑√3−❑√2互为有理化因式的是：2❑√3+❑√2，
故选：B．
题型03 二次根式的化简
【典例1】化简：
√ 3 √16×25 √2x2 √ 4
（1）❑ ； （2）❑ ； （3）❑ （x＞0，y＞0）； （4）❑ ．
64 64 3 y 125
❑√3
【答案】（1） ；
8
5
（2） ；
2
x❑√6 y
（3） ；
3 y
2❑√5
（4） ．
25
√ 3 ❑√3
【解答】解：（1）❑ = ；
64 8
√16×25 4×5 5
（2）❑ = = ；
64 8 2
√2x2 x❑√6 y
（3）❑ （x＞0，y＞0）= ；
3 y 3 y
√ 4 ❑√4 2 2❑√5
（4）❑ = = = ．
125 ❑√125 5❑√5 25
1
【变式1】化简 （ ）
❑√2+❑√3A．❑√3−❑√2 B．❑√3 C．❑√2 D．❑√2−❑√3
【答案】A
【解答】解：由题意得，
1 ❑√3−❑√2
= =❑√3−❑√2，
❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
故选：A．
√ 1
【典例1】把a❑− 根号外面的因式移到根号内得（ ）
a
A．−❑√−a B．❑√−a C．−❑√a D．﹣1
【答案】A
√ 1
【解答】解：a❑−
a
√ 1
=−❑a2×(−
)
a
=−❑√−a．
故选：A．
√ 1
【变式1】把(1−x)❑ 根号外面的因式移到根号内得（ ）
x−1
A．❑√1−x B．❑√x−1 C．−❑√1−x D．−❑√x−1
【答案】D
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0，
√ 1
∴原式＝﹣（x﹣1）❑
x−1
√ 1
=−❑√(x−1) 2 ⋅❑
x−1
√ 1
=−❑(x−1) 2 ⋅ =−❑√x−1．
x−1
故选：D．
√ 1
【变式 2】把（a﹣b）❑− 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是
a−b
（ ）
A．❑√b−a B．❑√a−b C．−❑√b−a D．−❑√a−b
【答案】C
√ 1
【解答】解：（a﹣b）❑− 得a﹣b＜0，
a−b√ 1 √ (a−b) 2
（a﹣b）❑− =−❑− =−❑√b−a，
a−b a−b
故选：C．
题型04 判断二次根式的关系
【典例1】已知a=❑√3+❑√2，b=❑√3−❑√2，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【答案】B
【解答】解：∵a=❑√3+❑√2，b=❑√3−❑√2，
∴ab＝（❑√3+❑√2）（❑√3−❑√2）＝1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B．
1
【变式1】若a＝1+❑√2，b = ，则a与b的关系是（ ）
1−❑√2
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．互为负倒数
【答案】A
1 1+❑√2
【解答】解：b = = =−（1+❑√2），a＝1+❑√2，
1−❑√2 (1−❑√2)(1+❑√2)
∴a与b互为相反数．
故选：A．
3
【变式2】已知a=❑√7+2，b= ，则a与b的关系为（ ）
❑√7−2
A．ab＝1 B．ab＝﹣1 C．a＝b D．a＝﹣b
【答案】C
3 3(❑√7+2) 3(❑√7+2) 3(❑√7+2)
【解答】解：∵b= = = = =❑√7+2，a=❑√7+2，
❑√7−2 (❑√7−2)×(❑√7+2) 7−4 3
∴a＝b，
故选：C．
题型05 二次根式的乘除混合运算
【典例1】计算：
√ 2 √ 1 √ 2 1 √ 1 √ 2
（1）❑1 ÷❑2 ×❑1 ； （2）2❑√3×❑√12× ❑√3； （3）❑2 ÷(3❑√28)×(−5❑2 )．
3 3 5 4 2 7【答案】（1）1；
（2）3❑√3；
5
（3）− ❑√10．
21
√5 3 7
【解答】解：（1）原式=❑ × ×
3 7 5
＝1；
1
（2）原式＝2❑√3×2❑√3× ❑√3
4
＝3❑√3；
√5 √16
（3）原式=−❑ ÷6❑√7×5❑
2 7
5 √5 1 16
=− ❑ × ×
6 2 7 7
5 2
=− × ❑√10
6 7
5
=− ❑√10．
21
【变式1】计算：
√ 2 √ 1 √ 2 √a 2 √2
（1）❑√12÷❑√27×❑√18； （2）❑1 ÷❑2 ×❑1 ； （3）4❑√8a2÷2❑ ⋅(− ❑ )（a＞
3 3 5 2 3 a
0）．
【答案】（1）2❑√2；
（2）1；
16❑√2
（3）− ．
3
【解答】解：（1）❑√12÷❑√27×❑√18
=❑√12÷27×18
=❑√8
=2❑√2；
√ 2 √ 1 √ 2
（2）❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
√5 √7 √7
=❑ ÷❑ ×❑
3 3 5
√5 7 7
=❑ ÷ ×
3 3 5
=❑√1＝1；
√a 2 √2
（3）4❑√8a2÷2❑ ⋅(− ❑ )（a＞0）
2 3 a
2 √ a 2
=(−4÷2× )❑8a2÷ ⋅
3 2 a
4
=− ❑√32
3
4
=− ×4❑√2
3
16❑√2
=− ．
3
【变式2】计算：
4 1 2 3 √b
（1）− ❑√18÷(2❑√8× ❑√54)； （2） ❑√ab2×(− ❑√a3b)÷3❑ ；
3 3 b 2 a
n √ n 1 √ n3 √ n √3m2−3n2 3 √m+n √ a2
（3） ❑ ×(− ❑ )÷❑ ； （4）−3❑ ÷( ❑ )×❑ ．（a＞0）
m 2m3 m m3 2m3 2a2 2 a2 m−n
❑√6
【答案】（1）− ；
6
（2）a2❑√a；
n2❑√mn
（3）− ；
m4
（4）−❑√6a．
【解答】解：（1）原式＝﹣4❑√2÷8❑√3
❑√6
=− ；
6
3a❑√ab 3❑√ab
（2）原式＝2❑√a× ÷
2 a
a
＝3a2❑√b×
3❑√ab
＝a2❑√a；
n √ n n3 2m3
（3）原式=− ×❑ × ×
m2 2m3 m3 n
n n √ n
=− × ×❑
m2 m m
n2❑√mn
=− ；
m42 √3(m+n)(m−n) a2 a2
（4）原式＝﹣3× ×❑ × ×
3 2a2 m+n m−n
√3a2
＝﹣2×❑
2
❑√6a
＝﹣2×
2
=−❑√6a．
√1 √1
1．计算❑ ÷❑ 的结果为（ ）
2 8
❑√2
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．
2
【答案】B
√1 1 √1
【解答】解：原式=❑ ÷ =❑ ×8=❑√4=2．
2 8 2
故选：B．
2．下列各式从左到右的变形正确的有（ ）
√a ❑√a ❑√a √a
①❑√ab=❑√a⋅❑√b；②❑ = ；③❑√a⋅❑√b=❑√ab；④ =❑ ．
b ❑√b ❑√b b
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①❑√ab=❑√a⋅❑√b（a≥0，b≥0），原变形错误；
√a ❑√a
②❑ = （a≥0，b＞0），原变形错误；
b ❑√b
③❑√a⋅❑√b=❑√ab，变形正确；
❑√a √a
④ =❑ ，变形正确；
❑√b b
所以从左到右的变形正确的有2个，
故选：B．
√−12
3．下列与❑ 结果相同的是（ ）
−3
√12
A．❑ B．−❑√4
3❑√−12
C．❑√(−12)(−3) D．
❑√−3
【答案】A
√−12 √12
【解答】解：❑ =❑ =❑√4=2．
−3 3
故选：A．
1
4．计算：6❑√7× ❑√21÷2❑√3的结果是（ ）
3
A．﹣4 B．﹣2❑√3 C．40 D．7
【答案】D
1
【解答】解：6❑√7× ❑√21÷2❑√3
3
1 1 √ 1
＝6× × ❑7×21×
3 2 3
＝7．
故选：D．
√3−x ❑√3−x
5．等式❑ = 成立的条件是（ ）
1+x ❑√1+x
A．x≤3 且 x≠﹣1 B．x＞﹣1
C．﹣1＜x≤3 D．x≤3
【答案】C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0且1+x＞0，
解得：﹣1＜x≤3．
故选：C．
6．在下列各式中，是❑√2a+b的有理化因式的是（ ）
A．❑√2a+b B．❑√2a−b C．❑√2a+b D．❑√2a−b
【答案】A
【解答】解：根据有理化因式的概念逐项分析判断如下：
A．❑√2a+b⋅❑√2a+b=2a+b，结果不带根式，符合题意．
B．❑√2a+b⋅❑√2a−b=❑√4a2−b2，结果带根式，不符合题意．
C．❑√2a+b⋅(❑√2a+b)=❑√4a2+2ab+b❑√2a+b，结果带根式，不符合题意．
D．❑√2a+b⋅(❑√2a−b)=❑√4a2+2ab−b❑√2a+b，结果带根式，不符合题意．
故选：A．
7．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是❑√x−❑√y的有理化因式的是（ ）
1
A．❑√x+❑√y B．−❑√x−❑√y C．❑√x+ y D．
❑√x−❑√y【答案】C
【解答】解：A、(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=x−y，结果不含根式，不符合题意；
B、(❑√x−❑√y)(−❑√x−❑√y)=−(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)=−(x−y)=−x+ y，结果不含根式，不符合题
意；
C、(❑√x−❑√y)⋅❑√x+ y=❑√x(x+ y)−❑√y(x+ y)，结果仍含根式，符合题意；
1
D、(❑√x−❑√y)⋅ =1，结果不含根式，不符合题意．
❑√x−❑√y
故选：C．
1
8．已知a=❑√2−1，b = ，则a与b的关系（ ）
❑√2+1
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
【答案】A
1
【解答】解：∵b = =❑√2−1，∴a＝b．
❑√2+1
故选：A．
√ 1
9．将（2﹣x）❑ 根号外面的因式移到根式里面，正确的是（ ）
x−2
A．❑√2−x B．❑√x−2 C．−❑√2−x D．−❑√x−2
【答案】D
1
【解答】解：∵ ＞0，则x﹣2＞0，
x−2
√ 1 √ 1 √ 1
∴（2﹣x）❑ =−（x﹣2）❑ =−❑(x−2) 2× =−❑√x−2，
x−2 x−2 x−2
故选：D．
10．若a，b为正有理数，则有❑√a⋅❑√a=a，(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b，得到有理数结果，我们把❑√a
称为“❑√a的有理化因式”；❑√a+❑√b与❑√a−❑√b互称为“有理化因式”令F(x)=❑√x，利用有理化因式，
可以得到如下结论，其中正确的有（ ）
1 3+❑√5
① = ；
3−❑√5 4
b c
②若 − =4❑√3+4（其中b，c为有理数），则b＝3c；
F(4)−F(3) F(3)+F(4)
③若F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，则F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8；
1 1 1 1 9
④ + + +⋯+ = ．
2F(1)+F(2) 3F(2)+2F(3) 4F(3)+3F(4) 100F(99)+99F(100) 10
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D1
【解答】解：①
3−❑√5
3+❑√5
=
(3−❑√5)×(3+❑√5)
3+❑√5
=
9−5
3+❑√5
= ，故该结论正确，符合题意；
4
b c
② −
F(4)−F(3) F(3)+F(4)
b c
= −
❑√4−❑√3 ❑√3+❑√4
=(❑√4+❑√3)b−(❑√4−❑√3)c
=❑√3(b+c)+2(b−c)
=4❑√3+4，
{b+c=4)
∴ ，
b−c=2
{b=3)
解得 ，
c=1
∴可有b＝3c，故该结论正确，符合题意；
③∵F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，
∴[F（43﹣m）﹣F（11﹣m）][F（43﹣m）+F（11﹣m）]
＝（❑√43−m−❑√11−m）（❑√43−m+❑√11−m）
＝（43﹣m）﹣（11﹣m）
＝32，
∴F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8，故该结论正确，符合题意；
1 1 1 1
④∵ + + +⋯+
2F(1)+F(2) 3F(2)+2F(3) 4F(3)+3F(4) 100F(99)+99F(100)
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+
2❑√1+❑√2 3❑√2+2❑√3 4❑√3+3❑√4 100❑√99+99❑√100
2❑√1−❑√2 3❑√2−2❑√3 4❑√3−3❑√4 100❑√99−99❑√100
= + + +⋅⋅⋅+
(2❑√1+❑√2)(2❑√1−❑√2) (3❑√2+2❑√3)(3❑√2−2❑√3) (4❑√3+3❑√4)(4❑√3−3❑√4) (100❑√99+99❑√100)(100❑√99−99❑√100)
2−❑√2 3❑√2−2❑√3 4❑√3−3❑√4 100❑√99−99❑√100
= + + +⋅⋅⋅+
1×2 2×3 3×4 99×100
❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√3 ❑√4 ❑√99 ❑√100
=1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 99 100
❑√100
=1−
1001
=1−
10
9
= ，故该结论正确，符合题意．
10
综上所述，结论正确的有4个．
故选：D．
11．写出一个❑√2a+b的有理化因式 ❑√2a+b（答案不唯一） ．
【答案】❑√2a+b（答案不唯一）
【解答】解：∵❑√2a+b•❑√2a+b=2a+b，
∴❑√2a+b的有理化因式为❑√2a+b，
故答案为：❑√2a+b（答案不唯一）．
5 4
12．计算 − = 4−❑√7 ．
4−❑√11 ❑√11−❑√7
【答案】4−❑√7．
5 4
【解答】解： −
4−❑√11 ❑√11−❑√7
5×(4+❑√11) 4×(❑√11+❑√7)
= −
(4+❑√11)(4−❑√11) (❑√11−❑√7)(❑√11+❑√7)
5×(4+❑√11) 4×(❑√11+❑√7)
= −
16−11 11−7
＝4+❑√11−❑√11−❑√7
=4−❑√7．
故答案为：4−❑√7．
13．一个长方形的面积为12，其中一边长为2❑√3，则另一边长为 2❑√3 （结果化为最简二次根式）．
【答案】2❑√3．
【解答】解：设另一边长为a，由长方形面积公式得：
12 6 6×❑√3 6❑√3
a= = = = =2❑√3；
2❑√3 ❑√3 ❑√3×❑√3 3
故答案为：2❑√3．
√ n
14．若mn＞0，m+n＜0，则化简❑√mn÷❑ = ﹣ m ．
m
【答案】﹣m．
【解答】解：∵mn＞0，m+n＜0，
∴m＜0，n＜0，
√ n
∴❑√mn÷❑
m√ n
=❑mn÷
m
√ m
=❑mn⋅
n
=❑√m2
＝﹣m，
故答案为：﹣m．
1 1 1 1 1
15．化简： + + +⋯+ + = 9 ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【答案】9．
❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√100−❑√99
【解答】解：原式= + +⋯+
(1+❑√2)(❑√2−1) (❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2) (❑√99+❑√100)(❑√100−❑√99)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√99−❑√98+❑√100−❑√99
=−1+❑√100
＝﹣1+10
＝9．
故答案为：9．
16．（1）❑ √ 2 1 ÷3❑√28×5❑ √ 2 2 ； （2） 2 ❑√x y5 （− 3 ❑√x3y）÷（ 1 ❑ √ y ）．
4 7 y 2 3 x
√5 √16 √a2−b2 √ a 4 √a−b
（3）❑ ÷3❑√28×（﹣5❑ ）； （4）2❑ ⋅❑ ÷( ❑ )．
2 7 6a 3a+3b 5 b
【答案】见试题解答内容
√ 1 √ 2
【解答】解：（1）❑2 ÷3❑√28×5❑2
4 7
1 √9 1 16
= ×5❑ × ×
3 4 28 7
5
= ；
7
（2） 2 ❑√x y5 （− 3 ❑√x3y）÷（ 1 ❑ √ y ）
y 2 3 x
2 3 √ x
=− × ×3❑ x y5×x3y×
y 2 y
9
=− ❑√x5 y5
y
＝﹣9x2y❑√xy．√5 √16
（3）❑ ÷3❑√28×（﹣5❑ ）
2 7
√5 16
=(−1÷3×5)❑ ÷28×
2 7
5 √10
=− ❑
3 49
5 ❑√10
=− ×
3 7
5❑√10
=− ；
21
√a2−b2 √ a 4 √a−b
（4）2❑ ⋅❑ ÷( ❑ )
6a 3a+3b 5 b
4 √a2−b2 a a−b
=(2×1÷ )❑ ⋅ ÷
5 6a 3a+3b b
5 √(a+b)(a−b) a b
= ❑ ⋅ ⋅
2 6a 3(a+b) a−b
5 √ b
= ❑
2 18
5 ❑√2b
= ×
2 6
5❑√2b
= ．
12
√9−x ❑√9−x √x2−5x+4
17．已知❑ = ，且x为偶数，求❑√1+x⋅❑ 的值．
x−6 ❑√x−6 x2−1
【答案】2．
√9−x ❑√9−x
【解答】解：∵❑ = ，
x−6 ❑√x−6
{9−x≥0①)
∴ ，
x−6＞0②
由①得：x≤9，
由②得：x＞6，
∴不等式组的解集为：6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8，
∴x+1＞0，x﹣4＞0，
√x2−5x+4
∴❑√1+x⋅❑
x2−1√(x−4)(x−1)
=❑√1+x⋅❑
(x+1)(x−1)
√x−4
=❑√x+1⋅❑
x+1
❑√x−4
=❑√x+1⋅
❑√x+1
=❑√x−4
=❑√8−4
=❑√4
＝2．
√ 2 √8 √22×2 √2
18．先来看一个有趣的现象：❑2 =❑ =❑ =2❑ ，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟
3 3 3 3
“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：
√ 3 √3 √ 4 √ 4
❑3 =3❑ 、❑4 =4❑ 等等
8 8 15 15
（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
√ 5
【答案】（1）❑5 （答案不唯一），验证见解答过程；
24
√ n
（2）❑n+ （n为正整数，n≥2），证明见解答过程．
n2−1
√ 5
【解答】解：（1）❑5 ，
24
√ 5 √125 √52×5 √ 5
验证：❑5 =❑ =❑ =5❑ ；
24 24 24 24
√ n
（2）规律：❑n+ （n为正整数，n≥2），
n2−1
√ n √n(n2−1)+n √ n3 √ n
证明：❑n+ =❑ =❑ =n❑ ．
n2−1 n2−1 n2−1 n2−1
19．创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民
族之林．今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及 AI助手DeepSeek，其创始
人分别为王兴兴，梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小慧猜想出了一个新的问题：两个数比值的
算术平方根与这两个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？小慧用自己的方法进行了验证：因为
√4 2 ❑√4 2 √4 ❑√4
❑ = ，而 = ，所以❑ = ．
9 3 ❑√9 3 9 ❑√9
请你根据小慧的猜想，解答下列问题．√ 9 ❑√9
（1）比较大小：❑ ＝ （填“＞”“＝”或“＜”）．
16 ❑√16
√a ❑√a
（2）当a≥0，b＞0时，直接写出❑ 和 之间的关系．
b ❑√b
（3）运用（2）的结论，计算：
√121
①❑ ．
16
②已知一个长方形的面积为❑√75，长为❑√27，求这个长方形的宽．
√3 √ 1 √1 √ 1
（4）直接写出❑ ÷❑ ÷❑ ÷❑ 的值．
2 18 5 15
【答案】（1）＝；
√a ❑√a
（2）❑ = ；
b ❑√b
11 5
（3）① ；②这个长方形的宽为 ；
4 3
（4）45．
√ 9 ❑√9
【解答】解：（1）由材料知，❑ = ，
16 ❑√16
故答案为：＝；
√a ❑√a
（2）当a≥0，b＞0时，❑ = ；
b ❑√b
√121 ❑√121 11
（3）①❑ = = ；
16 ❑√16 4
❑√75 √75 √25 5
②由题意列式得： =❑ =❑ = ，
❑√27 27 9 3
5
则这个长方形的宽为 ；
3
√3 1 1 1 √3
（4）原式=❑ ÷ ÷ ÷ =❑ ×18×5×15=❑√2025=45．
2 18 5 15 2
1 1−❑√2
20．阅读下面问题： = =−1+❑√2，
1+❑√2 (1+❑√2)(1−❑√2)
1 ❑√2−❑√3
= =−❑√2+❑√3，
❑√2+❑√3 (❑√2+❑√3)(❑√2−❑√3)
1 ❑√3−❑√4
= =−❑√3+2，
❑√3+❑√4 (❑√3+❑√4)(❑√3−❑√4)
【问题探究】1
（1）根据以上信息，化简： = ❑√n+1−❑√n ．
❑√n+❑√n+1
【应用结论】
1 1 1 1
（2）利用以上规律，计算：( + + +⋯+ )(1+❑√2026)．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2025+❑√2026
【拓展应用】
（ 3 ） 如 果 有 理 数 a ， b 满 足 ab−2=❑√b−1+❑√1−b， 试 求 ：
1 1 1 1
+ + +⋯+
a❑√b+b❑√a (a+1)❑√b+1+(b+1)❑√a+1 (a+2)❑√b+2+(b+2)❑√a+2 (a+2024)❑√b+2024+(b+2024)❑√a+2024
的值．
❑√2026
【答案】（1）❑√n+1−❑√n；（2）2025；（3）1− ．
2026
❑√n+1−❑√n
【解答】解：（1）原式=
(❑√n+❑√n+1)(❑√n+1−❑√n)
❑√n+1−❑√n
=
n+1−n
=❑√n+1−❑√n．
故答案为：❑√n+1−❑√n；
（2）原式=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√2026−❑√2025)×(1+❑√2026)
=(❑√2026−1)×(1+❑√2026)
＝2026﹣1
＝2025；
（3）∵ab−2=❑√b−1+❑√1−b，
∴b﹣1≥0且b﹣1≤0，
解得b＝1，
故a﹣2＝0，
解得a＝2．
∴
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ = + + +⋯+
a❑√b+b❑√a (a+1)❑√b+1+(b+1)❑√a+1 (a+2)❑√b+2+(b+2)❑√a+2 (a+2024)❑√b+2024+(b+2024)❑√a+2024 2❑√1+❑√2 3❑√2+2❑√3 4❑√3+3❑√4 2026❑√2025+2025❑√2026
1 1
=
∵
n❑√n+1+(n+1)❑√n ❑√n(n+1)(❑√n+1+❑√n)
(❑√n+1−❑√n)
=
❑√n(n+1)(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
(❑√n+1−❑√n)
=
❑√n(n+1)1 1
= −
❑√n ❑√n+1
❑√n ❑√n+1
= −
n n+1
∴
1 1 1 1
+ + +⋯+
a❑√b+b❑√a (a+1)❑√b+1+(b+1)❑√a+1 (a+2)❑√b+2+(b+2)❑√a+2 (a+2024)❑√b+2024+(b+2024)❑√a+2024
❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√3 ❑√4 ❑√2025 ❑√2026
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2025 2026
❑√2026
=1− ．
2026
