文档内容
第 03 讲 二次根式的加减 （5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几
个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同
类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看
被开方数是否相同．
知识点2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外
的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
知识点4．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．
知识点5．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体
性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的
方法．
知识复习
一．同类二次根式（共6小题）1．（2023春•前郭县期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么
的值是
2．（2023春•乌鲁木齐期末）若 和最简二次根式 是同类二次根式，则 的值
为
A． B． C． D．
3．（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式 和 能合并，则 的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
4．（2023春•文登区期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为
．
5．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则
A． B．1 C．3 D．
6．（2023秋•绿园区期末）下列二次根式中，能与 合并的是
A． B． C． D．
二．二次根式的加减法（共19小题）
7．（2023春•岳池县校级期末）化简 的结果是 ．
8．（2023春•武胜县校级期末） ．
9．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号 表示一个实数 的整数部分，例如：
， ，按此规定 的值为 ．10．（2023春•吴忠校级期中）化简： ．
11．（2024•渝中区校级开学）计算题：
（1） ；
（2） ．
12．（2024•垫江县开学）（1）计算： ；
（2）化简： ．
13．（2023春•长顺县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
14．（2024•南岗区校级开学）计算 结果是 ．
15．（2023•吴桥县校级模拟）若 ，则 ．
16．（2023春•梁子湖区期中）计算 的结果是 ．
17．（2023春•灌云县期末）三角形三边长分别为 ，这个三角形的周长是
．
18．（2023春•雄县期末）已知“ “，则 的值为 ．
19．（2023春•辛集市期末）已知 ， 都是实数， 为整数，若 ，则称 与
是关于 的一组“平衡数”．
（1） 与 是关于1的“平衡数”；
（2） 与 是关于3的平衡数；
（3）若 ， ，判断 与 （是或否）为关于某数的一组“平衡数”．
20．（2023春•番禺区校级期中）计算：
（1） ；
（2） ．
21．（2023春•青秀区校级期中）计算： ．
22．（2023春•铜梁区校级期末）若 和 都是正整数且 ， 和 是可以合并的二
次根式，下列结论中正确的个数为
①只存在一组 和 使得 ；
②只存在两组 和 使得 ；
③不存在 和 使得 ；
④若只存在三组 和 使得 为定值），则 可以被49或64整除．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23 ． （ 2023 春 • 泸 县 校 级 期 中 ） 设
则与 最接近的整数是
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
24 ． （ 2023 春 • 涪 城 区 期 中 ） 已 知 实 数 、 、 满 足 等 式
，则 ．
25．（2023春•喀什地区期末）计算：（1） ；
（2） ．
三．二次根式的混合运算（共5小题）
26．（2023秋•丹江口市期末）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．5
27．（2024•垫江县开学）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022秋•鼓楼区期末）下列二次根式计算正确的是
A． B． C． D．
29．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子
有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根
式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题
例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而当 时，分母 有最小值2，所以 的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值和最小值．
30．（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．
例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：① ；② ．
（2）应用：化简 ．
（3）拓展： ．（用含 的式子
表示， 为正整数）
四．二次根式的化简求值（共5小题）
31．（2023春•西湖区期中）已知 ， ，求下列各式的值．
（1） 和 ；
（2） ．
32．（2022秋•运城期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明
是这样分析与解答的：． ， ，
， ．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值．
33．（2023秋•长沙期末）已知 ， ，求下列各式的值；
（1） ；
（2） ．
34．（2023•蚌山区模拟）如果 并且 表示当 时的值，即
， 表示当 时的值，即 ，那么
的值是
A． B． C． D．
35．（2023春•雄县期中）已知 ， ，求 的值．
嘉琪同学的解题步骤如下：
①②
③
④
其中，首先出错的步骤是
A．① B．② C．③ D．④
五．二次根式的应用（共8小题）
36．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则
图中阴影部分的面积为
A．2 B． C．4 D．6
37．（2023春•西岗区期末）电流通过导线时会产生热量，电流 （单位： 、导线电阻
（单位： 、通电时间 （单位： 与产生的热量 （单位： 满足 ．已知
导线的电阻为 ， 时间导线产生 的热量，电流 的值是
A．2 B．5 C．8 D．10
38．（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积的公式，称为海伦 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，
记 ，那么三角形的面积为 ．如果在 中， ，
， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为 ．
39．（2023春•遵义期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，
一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间 （单位： 和高度 （单位： 近似满足公式 （不考虑风速的影响，
．
（1）求从 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位： 物体质量（单位： 高度（单位： ，某质
量为 的玩具在高空被抛出后经过 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下
的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要 的动能）
40．（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示
“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空
抛物下落的时间 （单位： 和高度 （单位： 近似满足公式 （不考虑风速的
影响， ，
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为 ，假如从小明家坠落一个物品，求该物品
落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦
物体质量（千克） 高度（米 ，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒
落地就可能会伤害到楼下的行人？41．（2023春•陵城区期中）海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦
九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形
的 三 边 长 分 别 为 、 、 ， 记 ， 那 么 三 角 形 的 面 积 为 ：
，在 中， ， ， 所对的边分别是 、 、 ，若
、 、 ，则 的面积 为
A． B．30 C． D．45
42．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分
别为 ， ， ．记 ，那么三角形的面积为 ，俗称
海伦公式，若在 中， ， ， ，则用海伦公式求得 的面积
为 ．
43．（2023春•遵义期中）若实数 ， ， 满足
（1）求 ， ， ；
（2）若满足上式的 ， 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
强化训练
一、单选题
1．（2024·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）下列二次根式中，能与
合并的是（ ）A． B． C． D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）计算： （ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024下·八年级课时练习）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·内蒙古包头·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，某小区有块长为 ，宽为 的长方形空
地，现要在中间修建一个长为 ，宽为 的花坛，则图中空白部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024下·全国·八年级专题练习） 的结果应在（ ）
A． 和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
7．（2024·全国·八年级竞赛）在下列根式中，与 进行加法或减法运算不能合并为一项
的是（ ）．A． B． C． D．
8．（2024下·八年级课时练习）化简 得（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2024下·全国·八年级专题练习）若三个实数 ， ， 满足 ，且 ，
则有： ，则
的值（ ）
A． B． C．2023 D．
10．（2024·全国·八年级竞赛）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则
的值为（ ）
A．10 B．7 C．6 D．4
二、填空题
11．（2024下·八年级课时练习）若长方形的周长是 ，一边长是 ，
则它的面积是 ．
12．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期中）根据平方差公式： ，
由此得到 ，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式 第2式第3式 第4式 ．…
若 ，则 ．
13．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）若设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
15．（2023·四川成都·模拟预测）设 的整数部分 ，小数部分为 ，则 ，
．
16．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
．
17．（2024·全国·八年级竞赛）设 是 的小数部分， 为
的小数部分，则 的值为 ．
18．（2024·全国·八年级竞赛）已知 的小数部分为a．则
．
三、解答题
19．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式：
(1) ；(2) ；
20．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
(1)求x的值；
(2)求 与 的乘积．
21．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________ ，________ ；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能截出几块
这样的木条，并说明理由．
22．（2024下·全国·八年级专题练习）（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
23．（2024下·八年级课时练习）阅读下面的问题：= ；
= ；
= ；
…
(1)求 与 的值；
(2)计算 +……+ ．
24．（2024下·全国·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)25．（2024下·全国·八年级专题练习）计算
(1)
(2) ；
26．（2024下·全国·八年级专题练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；
求 与 的乘积．
