1
第02 讲矩形的性质与判定
课程标准
学习目标
①探索并证明矩形的性质定理；
②探索并证明矩形的判定定理；
③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
1. 矩形的定义；
2. 矩形的性质；
3. 矩形的判定；
4. 斜边的中线等于斜边的一半．
知识点一：矩形的定义
2
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点二：矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
结论：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部
分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点
（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面
看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分
且相等.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
题型01
用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形ABCD中，E 是AD 边上的一点，且BC
BE
，
40
ABE
，求
ECD
的度数．
【答案】
25
ECD
【分析】本题考查了矩形和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形和等腰三角形的性质即可得
出答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，
90
ABC
BCD
,
∴
90
40
50
EBC
ABC
ABE
,
∵BC
BE
，
3
∴
180
50
65
2
BCE
BEC
，
∴
90
65
25
ECD
BCD
BCE
，
2．如图，延长矩形ABCD的边BC 至点E ，使CE
BD
，连结AE ，若
60
ADB
，则
E
．
【答案】30/30 度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键
是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接AC ，根据
矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得AC
BD
，AF
DF
，AD
BE
∥
，根据“等边对等角”及
平行线的性质得
60
ACB
CAD
，已知CE
BD
，根据等量代换得AC
EC
，然后根据“等边对等角”，
即可得
E
CAE
，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得
2
ACB
E
CAE
E
，
求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点F ，
四边形ABCD是矩形，
AC
BD
，AF
DF
，AD
BE
∥
，
60
CAD
ADB
，则
60
ACB
CAD
，
CE
BD
，
AC
EC
，
E
CAE
，
2
60
ACB
E
CAE
E
，
30
E
，
故答案为：30．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC
BD
、
交于点O，点E 在线段BC 上，若BO
BE
，
128
AOD
，则
OEC
的度数为
．
4
【答案】103/103 度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，利用这三个性质是解题的关键；
由矩形的性质得
BOC
的度数，由等腰三角形的性质可求得
OBC
BOE
、
的度数，由三角形外角的性质
即可求得结果．
【详解】解：在矩形ABCD中，OB
OC
，
OBC
OCB
；
128
AOD
，
128
BOC
，
1 (180
)
26
2
OBC
BOC
；
BO
BE
，
1 (180
)
77
2
BOE
OBC
，
26
77
103
OEC
OBC
BOE
；
故答案为：103．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O，过点O作OE
BD
，交CD 于点E ，连接BE ．若
20
COE
，则
ABD
度．
【答案】35
【分析】此题考查了矩形的性质．利用矩形的性质可得：OD
OC
，AB
CD
∥
，再根据等边对等角即可求出
CDO
的度数，最后通过平行线的性质即可求出
ABD
的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB
CD
∥
，AC
BD
，
∴OA
OC
，OB
OD
，
∴
ABD
CDO
，
5
∵CE
BD
，
∴
90
DOE
，
∴
90
20
110
COD
DOE
COE
，
∴
1 180
110
35
2
CDO
OCD
，
∴
35
ABD
CDO
，
故答案为：35 ．
题型02
用矩形的性质求线段长
5．如图，矩形ABCD的对角线
,
AC BD 交于点O，若
60 ,
3
AOB
AB
，则AC 的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握性质推理证明是解题的关键．根据
矩形的性质推出OA
OB
，结合已知
60
AOB
，证明ABO
为等边三角形，得出
3
OA
AB
，根据
2
AC
OA
得出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC
BD
，OA
OC
，OB
OD
，
∴OA
OB
，
∵
60
AOB
∴ABO
是等边三角形，
∴
3
OA
AB
，
∴
2
6
AC
OA
，
故选：D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC ，BD交于点O，
8
AB
，
6
BC
，过点O 作OE
AC
，交AB 于点E，
过点E 作EF
BD
，垂足为点F，则OE
EF
的值为（
）
6
A．12
5
B．24
5
C．32
5
D．48
5
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键．
根据勾股定理求出
2
2
2
2
8
6
10
AC
AB
BC
，进而得到
1
5
2
AO
BO
AC
，
依据矩形的性质即可得到AOB
的面积为12，再根据
AOB
AOE
BOE
S
S
S
，即可得到EO
EF
的值．
【详解】解：∵
8
AB
，
6
BC
，
∴矩形ABCD的面积为
48
AB BC
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
AC
AB
BC
，
1
5
2
AO
BO
AC
，
∵对角线
,
AC BD 交于点O，
∴AOB
的面积为1
48
12
4
，
∵
,
EO
AO EF
DO
，
∴
AOB
AOE
BOE
S
S
S
，
即1
1
12
2
2
AO
EO
BO
EF
，
∴1
1
5
5
12
2
2
EO
EF
，
∴
24
5
EO
EF
．
故选：B．
7．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，M 为BC 中点，连接AM ，过D 作DE
AM
于E ，则DE 的
长度为
．
7
【答案】24
5
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．先根据矩形的性质得
6
90
AD
BC
B
，
，结合M 为BC 中点，所以
3
MB
，然后由勾股定理列
式
2
2
5
AM
BM
AB
，因为
1
12
2
ADM
ABCD
S
S
矩形
，再根据三角形的面积公式得出
24
5
DE
，即可作答．
【详解】解：连接MD ，如图所示：
∵在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，
∴
6
90
AD
BC
B
，
，
∵M 为BC 中点，
∴
1
6
3
2
MB
，
∴在Rt ABM
中，
2
2
5
AM
BM
AB
，
则
1
1
1
4
6
12
2
2
2
ADM
ABCD
S
S
AB
BC
矩形
，
∴1
1
12
5
12
2
2
AM
DE
DE
，
，
解得
24
5
DE
，
故答案为：24
5 ．
8．如图，矩形ABCD中，
6
AB
，
8
AD
，对角线AC 、BD 相交于点O，点P 是线段AD 上任意一点，且
PE
AC
于点E ，PF
BD
于点F ，则PE
PF
的值是
．
8
【答案】4.8
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接OP ，根
据矩形的性质，得AC
BD
，点O是对角线的中点，则OA
OD
，再根据
1
4
AOD
ABCD
S
S
，
AOD
APO
DPO
S
S
S
，
即可求出PE
PF
的值．
【详解】解：连接OP ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC
BD
，OA
OC
，OB
OD
，
90
ABC
BAC
，
6
AB
CD
，
8
AD
BC
，
∴OA
OD
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
，
∴
1
5
2
OA
OD
AC
，
∵
6 8
48
ABCD
S
AB
BC
矩形
，
1
4
AOD
ABCD
S
S
矩形
，
∴
1
12
4
AOD
ABCD
S
S
矩形
，
∵PE
AC
于点E ，PF
BD
于点F ，
∴
AOD
APO
DPO
S
S
S
，
∴
1
1
1
5
2
2
2
AOD
S
OA
PE
OD
PF
PE
PF
，
∴
1
5
12
2
PE
PF
，
9
∴
24
4.8
5
PE
PF
．
故答案为：4.8 ．
题型03
用矩形的性质求面积
9．已知矩形的一边是其对角线的一半，对角线长为6cm，则此矩形的面积为（
）
A．
2
18cm
B．
2
36cm
C．
2
18 3cm
D．
2
9 3cm
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；由勾股定理求得矩形另一边的长，由矩形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，在矩形ABCD中，
90
C
，
1
2
CD
BD
，且
6cm
BD
，
则
3cm
CD
，
由勾股定理得
2
2
3 3cm
BC
BD
CD
，
则矩形面积为：
2
3 3 3
9 3(cm )
；
故选：D．
10．如图，矩形ABCD和矩形BDEF ，点A 在EF 上，设矩形ABCD的面积为
1S ，矩形BDEF 的面积为
2S ，
则
1S 和
2S 的大小关系是（
）
A．
1
2
S
S
=
B．
1
2
S
S
C．
1
2
S
S
D．
1
2
3
2
S
S
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由
于矩形ABCD的面积等于2 个
ABD
△
的面积，而
ABD
△
的面积又等于矩形BDEF 的一半，所以可得两个矩
10
形的面积关系．
【详解】解：∵
1
1
2
2
ABD
S
AB
AD
BD
BF
∴
1
2
ABD
S
S
，
2
2
ABD
S
S
，
1
2
S
S
，
故选：A．
11．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻
边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原
了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（
）
①
ABC
ADC
S
S
△
△
；②
AEF
ANF
S
S
△
△
；③
NFGD
EFMB
S
S
矩形
矩形
；④
AEF
NFGD
S
S
矩形
A．②③④
B．①②④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据矩形的性质及材料，即可判断，
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理．
【详解】解：根据题意可知
NFGD
EFMB
S
S
矩形
矩形
，故③正确，
根据矩形的性质得
ABC
ADC
S
S
△
△
，
AEF
ANF
S
S
△
△
，故①，②正确，
1
2
AEF
S
AN NF
△
，
NFGD
ND NF
S
矩形
，
∵1
2 AN
ND
不一定成立，
∴
AEF
NFGD
S
S
△
矩形
不一定成立，故④错误，
综上所述，①②③一定成立，
故选：C．
12．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且BE
DF
，已知矩形ABCD
的面积是32，那么图中阴影部分的面积为
．
11
【答案】8
【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明
OBE
ODF
≌
△
△
是解题的关键．首
先根据矩形的性质可得OB
OD
，AB
CD
∥
，进而可得
OBE
ODF
，证明
OBE
ODF
≌
△
△
，由全等三角
形的性质可得
OBE
ODF
S
S
，然后结合矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB
OD
，AB
CD
∥
，
∴
OBE
ODF
，
在
OBE
△
和
ODF
△
中，
BOE
DOF
OB
OD
OBE
ODF
，
∴
ASA
OBE
ODF
≌
△
△
，
∴
OBE
ODF
S
S
，
∴
1
1
32
8
4
4
OBE
OCF
ODF
OCF
ODC
ABCD
S
S
S
S
S
S
S
阴影
矩形
．
故答案为：8．
题型04
用矩形的性质证明
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O，过点D 作
∥
DE
AC ，交BC 的延长线于点E．求
证：BD
DE
．
【答案】见解析
【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质，先根据矩形的性质得到AC
BD
，AD
CE
∥
，
12
根据平行四边形的判定与性质证明四边形ACED是平行四边形得到DE
AC
，进而可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC
BD
，AD
BC
∥
，即AD
CE
∥
，
∵DE
AC
∥
，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE
AC
，
∴BD
DE
．
14．如图，已知矩形ABCD，过点C 作CE
BD
∥
交AB 的延长线于点E ．求证：AC
EC
．
【答案】见解析
【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可．
主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等．
【详解】证明：四边形ABCD是矩形，
BD
AC
，CD
AB
∥
，
又∵CE
BD
∥
，
四边形DBEC 是平行四边形，
BD
EC
，
AC
CE
．
15．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE
AC
AE
BD
∥
，
∥
，EO与AB 交于点F．
(1)试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；
(2)求证：EO
DC
．
【答案】(1)矩形，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定；
13
（1）先证明四边形AEBO 为平行四边形，再由由菱形的性质可证明
90
BOA
，从而可证明四边形AEBO 是
矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO
BA
，然后依据菱形的性质可得到AB
CD
．
【详解】（1）解：四边形AEBO 是矩形，证明如下：
∵BE
AC
AE
BD
∥
，
∥
，
四边形AEBO 是平行四边形．
又菱形ABCD对角线交于点O
AC
BD
，即
90
AOB
．
四边形AEBO 是矩形．
（2）证明：四边形AEBO 是矩形
EO
AB
，
在菱形ABCD中，AB
DC
．
EO
DC
．
16．如图，在矩形ABCD中，
6cm
AB
，
8cm
BC
，E 、F 是对角线AC 上两个动点，分别从A、C 同时
出发相向而行，速度均为2cm / 秒，运动时间为t 秒，0
5
t
．
(1)若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，当0
2.5
t
时，求证：四边形EGFH 是平行四边形；
(2)若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，当t _________时；四边形EGFH 是矩形；
(3)若G 、H 分别是折线A
B
C
，C
D
A
上的动点，以与E 、F 相同的速度分别从A、C 和E 、F 同时
出发，当t _________时；四边形EGFH 是菱形；
【答案】(1)见解析；
(2)
1
2 或9
2 ；
(3) 31
8 ．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌
握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想．
（1）根据勾股定理求出AC ，证明
AFG
CEH
≌
△
△
，根据全等三角形的性质得到GF
HE
，利用内错角相
14
等得GF
HE
∥
，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）如图1，连接GH ，分
8
AC
AE
CF
、
8
AE
CF
AC
两种情况，列方程计算即可；
（3）连接AG 、CH ，判定四边形AGCH 是菱形，得到AG
CG
，根据勾股定理求出BG ，得到AB
BG
的
长，根据题意解答．
【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，
AB
CD
，AB
CD
，AD
BC
∥
，
90
B
Ð
=
°，
BAC
DCA
，
6cm
AB
，
8cm
BC
，
10cm
AC
，
G
、H 分别是AB 、DC 的中点，
1
2
AG
AB
，
1
2
CH
CD
，
AG
CH
，
E
、F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A、C 同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
AE
CF
∴
=
，
AF
CE
，
SAS
AGF
CHE
≌
，
GF
HE
，
AFG
CEH
，
GF
HE
∥
，
以E 、G 、F 、H 为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接GH ，由（1）可知四边形EGFH 是平行四边形，
G
、H 分别是AB 、DC 的中点，
8cm
GH
BC
，
当
8cm
EF
GH
时，四边形EGFH 是矩形，分两种情况：
①∵
2 cm
AE
CF
t
，则
10
4
8cm
EF
t
，
解得：
1
2
t
，
15
②
∵
2 cm
AE
CF
t
，则
2
2
10
8
EF
t
t
，
解得：
9
2
t
，
即当t 为
1
2 秒或9
2 秒时，四边形EGFH 是矩形；
（3）如图2，连接AG 、CH ，
四边形GEHF 是菱形，
GH
EF
，OG
OH
，OE
OF
，
AF
CE
OA
OC
，
四边形AGCH 是菱形，
AG
CG
，
设
cm
AG
CG
x
，则
8
cm
BG
x
，
由勾股定理得：
2
2
2
AB
BG
AG
，
即
2
2
2
6
(8
)x
x
，
解得：
25
4
x
，
25
7
8
4
4
BG
，
7
31
6
4
4
AB
BG
，
31
31
2
4
8
t
，
即t 为31
8 秒时，四边形EGFH 是菱形．
16
题型05
平面直角坐标系中的矩形
17．如图，四边形OABC 为矩形，点A，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC，点B 的坐标为(4,3) ，∠CAO 的平
分线与y 轴相交于点D，则点D 的坐标为（
）
A．
5
0, 2
B．(0,2)
C．
3
0, 2
D．
4
0, 3
【答案】D
【分析】根据题意可知AD 平分∠CAO，过D 点作DE⊥AC 于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等
面积法即可求出结果．
【详解】解：过D 点作DE⊥AC 于点E，如图所示，
∵AD 平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B 的坐标为(4,3) ，
∴OA=4，OC=3，
∴
2
2
2
2
4
3
5
AC
OA
OC
，
∴
1
1
1
2
2
2
AOC
AOD
ADC
S
S
S
OA OD
OC DE
OA OC
，
∴1
1
1
4
5
4 3
2
2
2
OD
OD
，
∴OD= 4
3 ，
17
∴D 点坐标为（0，4
3 ），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD的顶点( )
1,0
A
，
0,2
D
，
5,2
B
，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后
点C 的坐标为（
）
A．
4, 2
B．
4
2, 2
2
C．
4
2, 2
D．
2 6, 2 2
【答案】D
【分析】过点B 作BG⊥x 轴于G，过点C 作CH⊥y 轴于H，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出∠COE=45°，
OC=4
2 ，过点C 作CE⊥x 轴于E，过点C1作C1F⊥x 轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利
用勾股定理求出OF，即可得到答案．
【详解】解：过点B 作BG⊥x 轴于G，过点C 作CH⊥y 轴于H，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵( )
1,0
A
，
0,2
D
，
5,2
B
，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
18
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4 2 ，
如图，过点C 作CE⊥x 轴于E，过点C1作C1F⊥x 轴于F，
由旋转得∠COC1=75°，
∴∠C1OF=30°，
∴C1F=
1
2 OC1=
1
2 OC=2
2 ，
∴OF=
2
2
1
1
2 6
OC
C F
，
∴点C1的坐标为
2 6, 2 2
，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30 度角的性质，熟记各知识点并综
合应用是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点
2,1
A
，
2,4
C
，点B 在y 轴上，则点B 的坐标
为
．
【答案】
0,5
19
【分析】由两点距离公式可求AC 的长，由矩形的性质可求OB
AC
，即可求解．
【详解】解：连接AC ，
点
( 2,1)
A
，
(2,4)
C
，
2
2
( 2
2)
(1 4)
5
AC
，
四边形ABCO是矩形，
5
OB
AC
，
点B 的坐标为(0,5) ，
故答案为：(0,5) ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
20．如图，在矩形OACB 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点C 在第一象限，
8
OA ，
6
OB
．点F
在BC 上，连接AF ，把
ACF
△
沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C重合．
(1)请直接写出点C 的坐标．
(2)求线段CF 的长度．
【答案】(1)(8,6)
(2)3
【分析】（1）由矩形的性质可得
8
BC
OA
，
6
AC
OB
，AC
OB
∥
，BC
OA
∥
，即可求解；
（2）设把
ACF
△
沿着AF 折叠，设点C 刚好与线段AB 上一点C重合，由折叠的性质的可得
6
AC
AC
，
CF
C F
，
90
C
AC F
，由勾股定理可求CF 的长．
【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，
20
8
BC
OA
，
6
AC
OB
，AC
OB
∥
，BC
OA
∥
，
点C 的坐标(8,6)；
（2）
8
BC
，
6
AC
，
2
2
2
2
8
6
10
AB
BC
AC
，
把
ACF
△
沿着AF 折叠，设点C 刚好与线段AB 上一点C重合，
6
AC
AC
，CF
C F
，
90
C
AC F
，
4
BC
AB
AC
，
2
2
2
BF
C F
C B
，
2
2
(8
)
16
CF
CF
，
3
CF
．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
题型06
矩形的折叠
21．将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C 落在C点．已知
2
AB
，
30
DEC
，则折痕DE 的
长为（
）
A．2
B．2
3
C．4
D．1
【答案】C
【分析】本题考查了矩形与折叠以及含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据矩形的性质得出
90
C
，
2
CD
AB
，再根据折叠的性质得出
30
DEC
，然后根据含30 度角的
直角三角形的性质即可得出答案．
21
【详解】解：四边形ABCD为矩形，
2
AB
90
C
，
2
CD
AB
折叠，
30
DEC
30
DEC
DEC
2
4
DE
CD
故选C．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，E 是BC 上一点，沿DE 折叠，点C 恰好落在点O
处，则
DBC
的度数为（
）
A．15
B．22.5
C．30
D．45
【答案】C
【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出ODC
为等边三角形，进而得到
60
ODC
，即可得出结果．
【详解】解：∵矩形ABCD，
90 ,
BCD
OA
OC
OB
OD
，
∵沿DE 折叠，点C 恰好落在点O处，
∴CD
OD
，
∴CD
OD
OC
，
∴ODC
为等边三角形，
∴
60
ODC
，
∴
90
60
30
DBC
；
故选C．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x 轴，y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩
形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若
8
OA ，
4
CF
，则点E 的坐标是（
）
22
A．( 10,3)
B．( 9,3)
C．( 10,2.5)
D．( 9,2.5)
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到CE 、OF 的长度，根据点E
在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．
【详解】解：由题意，
8
BC
OA
，
设CE
a
，则
8
BE
a
，
由折叠可得，
8
EF
BE
a
，
∵
90
4
ECF
CF
，
，
∴
2
2
2
4
8
a
a
，
解得，
3
a ，
设AB
b
，
∴AF
OC
b
，
∴
4
OF
b
，
∵
90
AOF
，
2
2
2
4
8
b
b
，
解得
10
b
，
∴点E 的坐标为( 10,3)
，
故选：A．
24．如图，已知BD 是矩形ABCD的对角线，
6
AB
，
8
BC ，点E，F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．将
ABE
沿BE 翻折，将DCF
沿DF 翻折，若翻折后，点A，C 分别落在对角线BD上的点G，H 处，连接GF ．则
HG
．
23
【答案】2
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，根据矩形的性质以及勾股定理求解BD，根据折叠的性质
即可求得
,
HD BG ，进而可得答案．
【详解】解：BD 是矩形ABCD的对角线，
6
AB
，
8
BC ，
8,
6
BC
AD
AB
CD
2
2
10
BD
BC
CD
将ABE
沿BE 翻折，将DCF
沿DF 翻折，
6
BG
AB
，
6
DH
CD
4
DG
，
4
BH
BD
HD
10
10
4
4
2
HG
BH
DG
故答案为：2
题型07
直角三角形斜边上的中线
25．如图，在ABC
中，
90 ,
BAC
D
是边BC 的中点，若
6,
10
AC
BC
，则AD 的长是（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
90 ,
BAC
D
是边BC 的中点，
10
BC
，
∴
1
5
2
AD
BC
，
故选：B．
24
26．如图，一根长5 米的梯子AB 斜靠在与地面OC 垂直的墙上，点P 为AB 的中点，当梯子的一端A 沿墙面
AO 向下移动，另一端B 沿OC 向右移动时，OP 的长（
）
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．不变
D．先增大，后减小
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
1
2
OP
AB
，从而得出答案．
【详解】解：∵AO
BO
，点P 是AB 的中点，
∴
90
AOB
，OP 是斜边AB 的中线，
∴
1
1
5
5
2
2
2
OP
AB
米，
∴在滑动的过程中OP 的长度不变．
故选C ．
27．如图所示，DE 为ABC
的中位线，点F 在DE 上，且
90
AFB
，若
6
AB
，
8
BC ，则EF 的长为
．
【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF ，根据三角形中
位线定理求出DE ，计算即可．
25
【详解】解：在Rt AFB
中，D 为AB 的中点，
6
AB
，
1
3
2
DF
AB
\
=
=
，
DE
为ABC
的中位线，
8
BC ，
1
4
2
DE
BC
，
1
EF
DE
DF
，
故答案为：1．
28．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若
3
DE ，则BF
．
【答案】3
【分析】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的
关键．根据三角形中位线定理得到
1
3
2
DE
AC
=
=
，则
6
AC
，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半得到BF 的长．
【详解】解：∵D、E 分别为AB
BC
、
的中点，
∴
1
3
2
DE
AC
=
=
，
∴
6
AC
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，F 为AC 的中点，
∴
1
3
2
BF
AC
，
故答案为：3．
题型08 矩形的判定与证明
29．如图，在
ABCD
中，AC ，BD 是两条对角线，如果添如一个条件，可推出
ABCD
是矩形，那么这
个条件可以是（
）
26
A．AB
CD
B．AC
BD
C．AC
BD
D．AB
BD
【答案】B
【分析】此题考查矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形”解答即可．
【详解】解；四边形ABCD是平行四边形，
添加AC
BD
，
ABCD
是矩形，
故选：B．
30．在平行四边形ABCD中，添加下列条件，不能使四边形ABCD为矩形的是（
）
A．
90
A
B．AC
BD
C．
A
B
D．
A
C
【答案】D
【分析】本题考查的是矩形的判定，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩
形，根据以上两个矩形的判定方法可以判断选项A、B、C，D，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
【详解】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，
90
BAD
，
∴四边形ABCD是矩形，
故选项不符合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，AC
BD
，
∴四边形ABCD是矩形，
故选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
∥
，
∴
180
A
B
，
∵
A
B
，
∴
90
A
B
，
∴四边形ABCD是矩形，故选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
A
C
，
故选项不符合题意．
故选：D．
31．如图，已知
ABED
，延长AD 到C ，使得AD
DC
，若AB
BC
，连接BC 、CE ，BC 交DE 于点F ．
求证：四边形BECD 是矩形；
27
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行
推理是解此题的关键．
先求出四边形BECD 是平行四边形，根据等腰三角形性质求出
=90
BDC
，根据矩形的判定得出即可；
【详解】证明：四边形ABED 是平行四边形，
BE
AD
∥
，BE
AD
，
AD
DC
，
BE
DC
∥
，BE
DC
，
四边形BECD 是平行四边形，
在ABC
中，
AB
BC
，AD
DC
，
BD
AC
，
90
BDC
，
四边形BECD 是矩形；
32．如图，将
ABCD
的边DC 延长到点E ，使CE
DC
，连接AE ，交BC 于点F ，连接AC 、BE ．
(1)求证：四边形ABEC 是平行四边形；
(2)若AE
AD
，求证：四边形ABEC 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的
关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
28
（1）根据平行四边形的性质得出AB
CD
，AB
CD
，求出AB
CE
，AB
CE
，根据平行四边形的判定
得出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AD
BC
，求出AE
BC
，根据矩形的判定得出即可．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
AB
CD
，AB
CD
，
CE
CD
，
AB
CE
，AB
CE
，
四边形ABEC 是平行四边形；
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
AD
BC
，
AE
AD
，
AE
BC
，
由（1）知：四边形ABEC 是平行四边形，
四边形ABEC 是矩形．
题型09 矩形的性质与判定的综合应用
33．如图，D 是ABC
内部一点，AC
BD
，且
8
AC
，
6
BD
，依次取AB ，BC ，CD ，AD 的中点，
并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（
）
A．12
B．16
C．24
D．48
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得
1
,
3
2
MQ
BD MQ
BD
∥
，
1
,
3
2
PN
BD PN
BD
∥
，
1
,
4
2
MN
AC MN
AC
∥
，从而可得
,
MQ
PN MQ
PN
∥
，再根据平行四边形的判定可得四边形MNPQ是平行四边形，然后根据平行线的性质
可得MQ
MN
，根据矩形的判定可得平行四边形MNPQ是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解：点
,
M Q 分别是AB ，AD 的中点，且
6
BD
，
29
1
,
3
2
MQ
BD MQ
BD
∥
，
同理可得：
1
,
3
2
PN
BD PN
BD
∥
，
1
,
4
2
MN
AC MN
AC
∥
，
,
MQ
PN MQ
PN
∥
，
四边形MNPQ是平行四边形，
AC
BD
^
，
MQ
AC
，
又
MN
AC
∥
，
MQ
MN
，
平行四边形MNPQ是矩形，
∴四边形MNPQ的面积是
3 4
12
MQ MN
，
故选：A．
34．在ABC
中，
26
AB
AC
，
20
BC
，点D 在ABC
内，且BD
CD
，
=90
BDC
，E
F
G
H
、、、
分
别是AB
AC
BD
CD
、
、
、
的中点，则四边形EFHG 的面积为
．
【答案】70
【分析】连接AD 并延长交BC 于点P，得到AP 是线段BC 的垂直平分线，根据勾股定理得到EF 是ABC
的
中位线，四边形EFHG 为平行四边形，即可得到四边形EFHG 为矩形，即可得到结果．
【详解】解：连接AD 并延长交BC 于点P，
30
∵
26
AB
AC
，BD
CD
，
∴AP 是线段BC 的垂直平分线，
∴
1
10
2
BP
CP
BC
，
AP
BC，
在Rt BDC
中，
=90
BDC
，BP
CP
，
∴
1
10
2
DP
BC
，
在Rt APB
中，
2
2
24
AP
AB
BP
，
∴
24 10
14
AD
AP
DP
，
∵E、F 分别是AB 、AC 的中点，
∴EF 是ABC
的中位线，
∴
1
10
2
EF
BC
，EF
BC
∥
，
同理，
1
2
GH
BC
，GH
BC
∥
，
1
7
2
EG
AD
，EG
AD
∥
，
∴GH
EF
，GH
EF
，
∴四边形EFHG 为平行四边形，
∵
AP
BC ，
∴EG
GH
，
∴平行四边形EFHG 为矩形，
∴四边形EFHG 的面积
10 7
70
GH EG
，
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了四边形综合．掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、
等腰三角形的性质是解题的关键．
35．如图，在梯形ABCD中，
,
90
AB
DC
BCD
∥
，F 为DC 上一点，且FC
AB
，E 为AD 上一点，EC
31
交AF 于点G．
(1)求证：四边形ABCF 是矩形；
(2)若ED
EC
，求证：EA
EG
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据
,
AB
DC FC
AB
∥
，可得四边形ABCF 是平行四边形，再由
90
BCD
，即可求证；
（2）根据四边形ABCF 是矩形，
90
AFD
AFC
，从而得到
90
,
90
DAF
D
CGF
ECD
，
再由ED
EC
，可得
D
ECD
，从而得到
DAF
CGF
，进而得到
EAG
EGA
，即可求证．
【详解】（1）证明：∵
,
AB
DC FC
AB
∥
，
∴四边形ABCF 是平行四边形．
∵
90
BCD
，
∴四边形ABCF 是矩形．
（2）证明：∵四边形ABCF 是矩形，
∴
90
AFD
AFC
，
∴
90
,
90
DAF
D
CGF
ECD
．
∵ED
EC
，
∴
D
ECD
．
∴
DAF
CGF
．
∵
EGA
CGF
，
∴
EAG
EGA
．
∴EA
EG
．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等
腰三角形的判定和性质是解题的关键．
32
36．如图，在
ABCD
中，AE
BC
于点E，延长BC 至点F，使CF
BE
，连接DF ，AF 与DE 交于点O．
(1)求证：四边形AEFD 为矩形；
(2)若
3
AB ，
2
OE
，
5
BF ，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
12
5
DF
【分析】（1）先证四边形AEFD 为平行四边形，再证
90
AEF
，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得DF
AE
，
4
AF
DE
，再由勾股定理的逆定理得
BAF
△
为直角三角形，
90
BAF
，
然后由面积法求出AE 的长，即可得出答案．
【详解】（1）证明：
BE
CF
，
BE
CE
CF
CE
，即BC
EF
，
四边形ABCD是平行四边形，
AD
BC
∥
，AD
BC
，
AD
BC
EF
，
又
AD
EF
，
四边形AEFD 为平行四边形，
AE
BC
，
90
AEF
，
平行四边形AEFD 为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD 为矩形，
DF
AE
，
2
4
AF
DE
OE
，
3
AB
，
4
AF
，
5
BF ，
2
2
2
AB
AF
BF
，
BAF
为直角三角形，
90
BAF
，
1
1
2
2
ABF
S
AB
AF
BF
AE
△
，
33
AB
AF
BF
AE
，即3 4
5AE
，解得
12
5
AE
，
12
5
DF
AE
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等
知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
37．如图，矩形ABCD中，
6
AB
，
4
AD
，E 为CD 边的中点，F 为线段AE 上一点，若
CFE
DAE
，
则EF 的长为（
）
A．6
5
B．7
5
C．8
5
D．2
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，延长AE 交BC 的延长线于
点G，连接BF ．求出
1
1
3
2
2
CE
DE
CD
AB
,得到
2
2
2
2
4
3
5
AE
AD
DE
，证明
AAS
ADE
GCE
≌
，得到
4
BC
CG
FC
AD
，则
8
BG
BC
CG
，求出
2
2
2
2
6
8
10
AG
AB
BG
，证明
90
BFG
AFB
设AF
x
，由勾股定理解得
18
5
x
，即可得到
答案.
【详解】延长AE 交BC 的延长线于点G，连接BF ．
∵矩形ABCD中，AD
BC
∥
，
CFE
DAE
∴
CFE
DAE
G
，
90
ABC
D
34
FC
GC
∵E 为CD 边的中点，
∴
1
1
3
2
2
CE
DE
CD
AB
,
∴
2
2
2
2
4
3
5
AE
AD
DE
∵
AED
GEC
∴
AAS
ADE
GCE
≌
4
BC
CG
FC
AD
∴
8
BG
BC
CG
∴
2
2
2
2
6
8
10
AG
AB
BG
∴
,
G
CFG
B
BFC
，
∴
180
G
CFG
B
BFC
∴
90
CFG
BFC
90
BFG
AFB
设AF
x
，由
2
2
2
2
AB
AF
BG
FG
得方程
2
2
2
2
6
8
10
x
x
解得
18
5
x
即
7
5
EF
AE
AF
故选：B
38．在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD．①
存在无数个四边形EFGH 是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH 是矩形；③有且仅有一个四边形
EFGH 是菱形．结论中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．根
据直线EG 和HF 的位置关系和特殊四边形的判定即可．
【详解】解：连接AC ，BD交于O，如图，
35
过点O 直线EG 和HF ，分别交AB ，BC ，CD ，AD 于E，F，G，H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
,
,
OB
OD
OBF
ODH
BOF
DOH
,
∴BOF
DOH
≌
,
则OH
OF
，
同理可证OG
OE
，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵直线EG 和HF 存在无数条
∴存在无数个四边形EFGH 是平行四边形；故①正确；
当EG
HF
时，四边形EFGH 是矩形，故存在无数个四边形EFGH 是矩形；故②正确；
存在无数条直线EG 和HF ，使得EG
HF
，故存在无数个四边形EFGH 是菱形；故③错误；
则只有①和②正确，
故选：A．
39．如图，在矩形ABCD中，
3
AB ，
4
BC
，连接BD ，将ABE
沿BE 折叠，使点A 对应点G 落在BD上，
将CDF
沿DF 折叠，使C 对应点H 也落在BD上，连接EH ，FG ，则四边形EHFG 面积为（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等
知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形BEDF 是平行四边形，得出BF
DE
，
推出AE
CF
，由勾股定理求出
5
BD
，设CF
x
，则
4
BF
x
，再由折叠的性质得
3
AB
BG
，
36
3
DH
CD
，FH
CF
x
，
90
FHD
C
，AE
GE
，
90
EGB
A
，得出
2
BH
，
2
DG
，
GE
FH
，求出
1
HG ，然后由勾股定理求出
3
2
FH
GE
，最后由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
90
A
C
，
3
AB
CD
，AD
BC
，AB
CD
，AD
BC
∥
，
ABD
CDB
，
由折叠性质得：
1
2
EBD
ABD
，
1
2
FDB
CDB
，
EBD
FDB
，
BE
FD
，
又
DE
BF
，
四边形BEDF 是平行四边形，
BF
DE
，
AD
DE
BC
BF
，
即AE
CF
，
在Rt BCD
中，
2
2
2
2
3
4
5
BD
CD
BC
，
设CF
x
，则
4
BF
x
，
由折叠的性质得：
3
AB
BG
，
3
DH
CD
，FH
CF
x
，
90
FHD
C
，AE
GE
，
90
EGB
A
，
5
3
2
BH
BD
DH
，
5
3
2
DG
BD
BG
，GE
FH
，
5
2
2
1
HG
BD
BH
DG
，
在Rt
BHF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
BF
FH
BH
，
即
2
2
2
(4
)
2
x
x
，
解得：
3
2
x
，
即
3
2
FH
GE
，
1
1
1
3
1
3
1
1
1.5
2
2
2
2
2
2
EGH
FHG
EHFG
S
S
S
GE HG
FH HG
四边形
，
故选：B．
40．如图，矩形ABCD中，
3
AB ，
4
BC
，连接BD．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以BC 的长为
半径作弧，交BD于点E，连接CE 交AD 于点E；②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BD ，BC 于
点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 长为半径画弧交于点Q，作射线BQ 交CD 于点H，则线段CF
37
的长为（
）
A．10
B．11
C．2 3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；由勾股定理得
2
2
BD
AB
AD
5
，由等腰三角形的性质得
1
DE
BC
BE
，由勾股定理得
2
2
CF
DF
CD
，即可
求解；掌握性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
90
A
ADC
，
4
AD
BC
，
AD
BC
∥
，
2
2
BD
AB
AD
2
2
3
4
5
，
DFE
BCE
，
由①作法得：
4
BE
BC
，
BCE
BEC
，
DE
BD
BE
5
4
1
，
DFE
BEC
，
DEF
BEC
，
DEF
DFE
，
1
DF
DE
，
2
2
CF
DF
CD
38
2
2
1
3
10
；
故选：A．
41．在矩形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O，AE 平分
BAD
交BC 于点E ，
15
CAE
，连接OE ，
则下面的结论中正确的有（
）
①
DOC
△
是等边三角形；②
BOE
△
是等腰三角形；③
3
BC
AB
；④
135
AOE
；⑤
AOE
BOE
S
S
△
△
．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】判断出ABE
是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
30
ACB
，再判断出ABO
，
DOC
△
是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB
AB
，
再求出OB
BE
，可判断②，由直角三角形的性质可得BC
AB
，可判断③，由等腰三角形性质求出
75
BOE
，再根据
135
AOE
AOB
BOE
，可判断④；由面积公式可得可
AOE
COE
S
S
，但E 不一
定是BC 中点，则判断⑤；即可求解．
【详解】∵AE 平分
BAD
，
∴
45
BAE
DAE
，
∴
45
AEB
，
∴ABE
是等腰直角三角形，
∴AB
BE
，
∵
15
CAE
，
∴
45
15
30
ACE
AEB
CAE
，
∴
90
30
60
BAO
，
∵矩形ABCD中：OA
OB
OC
OD
，
∴ABO
是等边三角形，
COD
△
是等边三角形，故①正确；
∴OB
AB
，
39
又∵AB
BE
，
∴OB
BE
，
∴
BOE
△
是等腰三角形，故②正确；
在Rt
ABC
△
中，
∵
30
ACB
，
∴
2
AC
AB
，
∴
2
2
2
2
2
3
BC
AC
AB
AB
AB
AB
，故③正确；
∵
90
60
30
OBE
ABC
ABO
ACB
，
∴
1 180
30
75
2
BOE
，
∴
60
75
135
AOE
AOB
BOE
，故④正确；
∵AO
CO
，
∴
AOE
COE
S
S
，
∵E 不一定是BC 中点，
∴BE
CE
，
∴
BOE
COE
S
S
△
△
，即有
AOE
BOE
S
S
，故⑤错误；
综上可知：①②③④正确，共4 个，
故选：C ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
42．如图，在矩形ABCD中，
3
AB ，点E 在AD 上，
1
DE ．若EC 平分
BED
，则BC 的长为
．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质可得AD
BC
∥
，AD
BC
，由角平分线和平行
线的性质可证BE
BC
，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵EC 平分
BED
，
∴
BEC
CED
，
40
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
∥
，AD
BC
，
∴
DEC
BCE
，
∴
BEC
BCE
，
∴BE
BC
，
在Rt
BAE
△
中，
2
2
2
BE
AB
AE
，
∴
2
2
2
BC
AB
BC
DE
，
∴
2
2
9
1
BC
BC
，
解得
5
BC
，
故答案为：5．
43．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为
3, 1
，则对角线AC 的长为
．
【答案】10
【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质，由勾股定理求得
10
OB
，再根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：连接OB 、AC ，
∵点B 的坐标为
3, 1
，
∴
2
2
1
3
10
OB
，
∵四边形OABC 是矩形，
∴
10
AC
OB
，
故答案为：10 ．
41
44．如图，矩形ABCD中，
1
AB ，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点F，交BA 的延长线于
点E，若点F 是弧CE 的中点，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
2
1
/ 1
2
【分析】结合矩形的性质、圆的有关性质求出
ABF
△
是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出
2,
BE
BC
BF
再根据
ABF
FAE
BEF
S
S
S
阴影
扇形
，
ABF
FDC
ABCD
FBC
S
S
S
S
矩
阴影
扇形
形
，列式计算即可得
解，
本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接BF ，
在矩形ABCD中，
1,
AB
90 ,
ABC
BAD
,
AD
BC
∵点F 是弧CE 的中点，
45 ,
ABF
CBF
∴
ABF
△
是等腰直角三角形，
2
2,
BF
AB
2,
BE
BC
BF
42
∴
2
45
2
1
1
1
1 1
360
2
4
2
ABF
FAE
BEF
S
S
S
阴影
扇形
，
2
45
2
1
1
1
1
2
1 1
2
2
360
2
4
ABF
FDC
ABCD
FBC
S
S
S
S
阴影
矩形
扇形
，
则图中阴影部分的面积为
1
1
1
1
2
2
1
4
2
2
4
FAE
FDC
S
S
S
阴影
阴影
阴影
故答案为：
2
1
．
45．如图，在矩形ABCD中，E 为对角线AC 上与A
C
，
不重合的一个动点，过点E 作EF
AB
与点F，EG
BC
于点G，连接DE
FG
，
，若
3
4
AB
BC
，
，则FG 的最小值
．
【答案】12
5
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接BE ，过
点B 作BH
AC
，根据已知可证明四边形FBGE 为矩形，得到FG
BE
，当BE
AC
时最短，BE 最短，
此时FG
BE
最短，利用三角形等面积法求出BH 即可得出结果．
【详解】解：如图，连接BE ，过点B 作BH
AC
，
EF
AB
，EG
BC
，
90
EFB
EGB
°
\
=
=
，
ABCD
为矩形，
3
4
AB
BC
，
，
90
FBG
，
2
2
2
2
3
4
5
AC
AB
BC
，
43
四边形FBGE 为矩形，
FG
BE
，
当BE
AC
时最短，BE 最短，此时FG
BE
最短，
FG
BH
时最短，
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC BH
△
，
3 4
12
5
5
AB BC
BH
AC
，
故答案为：12
5 ．
46．如图，在矩形ABCD中，点E 在BC 边上，且AE
AD
，过点D 作DF
AE
于点F．
(1)求证：DF
DC
；
(2)若
6
BE
，
4
CE
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）证明ABE
DFA
≌
，得到DF
AB
，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，得到AF
BE
，利用勾股定理求出DF 的长即可．
【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴
90 ,
,
BAD
B
AD
BC AB
CD
，
∵DF
AE
，
∴
90
DFA
ABE
∠
∠
，
∴
90
AEB
DAF
BAE
，
又∵AE
AD
，
∴ABE
DFA
≌
，
∴AB
DF
，
∵AB
CD
，
44
∴CD
DF
；
（2）∵
6
BE
，
4
CE
，
∴
10
AD
BC
BE
CE
，
∵ABE
DFA
≌
，
∴
6
AF
BE
，
在Rt
AFD
△
中，
由勾股定理，得：
2
2
8
DF
AD
AF
．
47．如图，
ABCD
，AE 平分
BAC
交BC 于点E
(1)用无刻度的直尺作图：在AD 上找点F 使CF 平分
ACD
（保留作图痕迹，不写作法），并证明CF 平分
ACD
(2)在（1）的条件下，给ABC
添加一个条件，使四边形AECF 是矩形，你添加的条件是_____________
【答案】(1)见解析
(2) AB
AC
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，证明
AAS
OCE
OAF
≌
是解题的关键.
（1）连接BD交AC 于点O，连接EO并延长交AD 于点F，连接CF ，根据平行四边形的性质得到
,
OCE
OAF
OFA
OEC
，BAC
ACD
，再证明
AAS
OCE
OAF
≌
，则AF
CE
，又由AF
CE
∥
即可证明四边形AECF 是平行四边形，则AE CF
，得到
CAE
ACF
，则
2
BAC
EAC
，即可得到
2
2
EAC
ACF
ACD
，结论得证；
（2）添加AB
AC
，则ABC
是等腰三角形，根据AE 平分
BAC
交BC 于点E 得到AE
BC
，即可证明四
边形AECF 是矩形.
【详解】（1）解：如图所示，CF 即为所求，
45
证明：设AC 、BD相交于点O，
∵
ABCD
中，
,
,
AO
OC AD
BC AB
CD
∥
∥
，
∴
,
OCE
OAF
OFA
OEC
，
BAC
ACD
，
∴
AAS
OCE
OAF
≌
，
∴AF
CE
，
∵AF
CE
∥
，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AE CF
，
∴
CAE
ACF
，
∵AE 平分
BAC
交BC 于点E
∴
2
BAC
EAC
，
∵
BAC
ACD
，
∴
2
2
EAC
ACF
ACD
，
即CF 平分
ACD
（2）添加条件为AB
AC
，
∵AB
AC
，
∴ABC
是等腰三角形，
∵AE 平分
BAC
交BC 于点E
∴AE
BC
，
∴
90
AEC
，
∵四边形AECF 是平行四边形，
∴四边形AECF 是矩形.
48．如图，四边形ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O，AD
BC
∥
，
90
ABC
，有下列条件：
①AB
CD
∥
，②AD
BC
．
46
(1)请从以上①②中任选1 个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在（1）的条件下，若
3
AB ，
5
AC
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明ABCD是平行四边形，然后根据矩形的定义
得到结论即可；
（2）利用勾股定理得到BC 长，然后利用矩形的面积公式计算即可．
【详解】（1）选择①，
证明：∵AB
CD
∥
，AD
BC
∥
，
∴ABCD是平行四边形，
又∵
90
ABC
，
∴四边形ABCD是矩形；
选择②，
证明：∵AD
BC
，AD
BC
∥
，
∴ABCD是平行四边形，
又∵
90
ABC
，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵
90
ABC
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
BC
AC
AB
，
∴矩形ABCD的面积为3 4
12
．
49．在
ABCD
中，E ，F 为BC 上的两点，且BE
CF
，AF
DE
．
47
(1)求证：
ABF
DCE
≌
△
△
；
(2)求证：
ABCD
是矩形；
(3)连接AE ，若AF 是
BAD
的平分线，
2
BE
，
30
AF
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)15
2 15
．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定
和性质定理是解题的关键．
（1）首先根据平行四边形的性质得到AB
CD
，然后结合已知条件利用SSS 判定两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到
90
B
C
，从而判定矩形；
（3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
AB
CD
，
BE
CF
，
BF
CE
，
在
ABF
△
和
DCE
△
中，
AB
CD
AF
DE
BF
CE
，
(SSS)
ABF
DCE
△
≌△
；
（2）证明：
ABF
DCE
△
≌△
，
B
C
，
在平行四边形ABCD中，
∥
AB
CD ，
180
B
C
∴
，
48
90
B
C
，
四边形ABCD是矩形；
（3）解：四边形ABCD是矩形，
90
BAD
B
，
AF
是
EAD
的平分线，
1
45
2
BAF
BAD
，
AB
BF
，
30
AF
，
15
AB
BF
，
2
CF
BE
，
15
2
BC
，
四边形ABCD的面积
15
( 15
2)
15
2 15
AB BC
．
50．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如
果直角三角形两直角边为3 和4 时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在Rt ABC
中，如果
90
C
，
BC
a
，AC
b
，AB
c
，那么a，b，c 三者之间的数量关系是：_______________________；
利用此数量关系解决以下问题：
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，
去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上
端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳
49
索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC 的长为x 尺，根据题意，可列方程为_____________________；
（3）如图，把矩形ABCD折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果
4
8
AB
BC
，
，求BE 的长．
【答案】（1）
2
2
2
a
b
c ；（2）
2
2
2
3
8
x
x
；（3）3
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题：
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）设绳索AC 的长为x 尺，则AB 的长为
3
x
尺，根据勾股定理得
2
2
2
AB
BC
AC
，据此列出方程即
可；
（3）设BE
x
，则
8
EC
x
，由折叠的性质可知，
8
AE
EC
x
，结合勾股定理列出方程，解方程即
可．
【详解】解：（1）在Rt
ABC
△
中，
90
C
，BC
a
，AC
b
，AB
c
，
由勾股定理得，
2
2
2
a
b
c ，
故答案为：
2
2
2
a
b
c ；
（2）设绳索AC 的长为x 尺，则AB 的长为
3
x
尺，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
BC
AC
，
∴
2
2
2
3
8
x
x
，
故答案为：
2
2
2
3
8
x
x
；
（3）设BE
x
，则
8
EC
x
，
由折叠的性质可知，
8
AE
EC
x
，
由矩形的性质可得
90
B
Ð
=
°，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AE
AB
BE
，
∴
2
2
2
8
4
x
x
，
解得，
3
x
，
50
则BE 的长为3．
51．【定义新知】
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如
果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形ABCD中，
对角线AC 与BD 垂直且相等，点E，F，G，H 分别为边AB
BC
CD
DA
，
，
，
的中点，则四边形ABCD为“中
方四边形”．
【概念理解】
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是．
A．平行四边形；
B．矩形；
C．菱形；
D．正方形．
【问题解决】
（2）如图2，以锐角ABC
的两边AB
AC
，
为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接
BE
EG
GC
，
，
．求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；
【拓展应用】
（3）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N 分别是AB
CD
，
的中点．连接MN
BD
，
，试探索BD
与MN 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）D；（2）见解析；（3）
2
2
MN
BD
，理由见解析
【分析】（1）根据“中点四边形”的定义分别判断出各选项的“中点四边形”即可求解；（2）设四边形BCGE
的边BC
CG
GE
BE
、
、
、
的中点分别为M、N、R、L，连接MN
NR
RL
LM
、
、
、
，连接CE 交AB 于P，连接BG
交CE 于K，先证四边形MNRL是平行四边形，再证四边形MNRL 是菱形，最后证四边形MNRL是正方形即
可；（3）记AD
BC
、
的中点分别为E、F，连接EM
MF
FN
EN
、
、
、
，根据题意可得FM
FN
，
90
MFN
，
据此即可求解；
【详解】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形；
矩形的“中点四边形”为菱形；
菱形的“中点四边形”为矩形；
51
正方形的“中点四边形”为正方形；
故选：D．
（2）证明：如图，设四边形BCGE 的边BC
CG
GE
BE
、
、
、
的中点分别为M、N、R、L，连接MN
NR
RL
LM
、
、
、
，
连接CE 交AB 于P，连接BG 交CE 于K，
∵四边形BCGE 各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN
NR
RL
LM
、
，
，
分别是BCG
、CEG
、
BGE
△
、CEB
的中位线，
∴MN
BG
∥
，
1
2
MN
BG
，RL
BG
∥
，
1
,
2
RL
BG
，RN
CE
∥
，
1
2
RN
CE
，ML
CE
∥
，
1
2
ML
CE
，
∴MN
RL
∥
，MN
RL
，RN
ML
∥
，RN
ML
，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，
∴AE
AB
，AG
AC
，
90
EAB
GAC
，
∴
EAC
BAG
，
∴
EAC
BAG
≌
△
△
∴CE
BG
，
AEC
ABG
，
∴RL
RN
，
∴四边形MNRL是菱形，
∵
90
EAB
，
∴
90
AEP
APE
．
又∵
AEC
ABG
，
APE
BPK
，
∴
90
ABG
BPK
，
∴
90
BKP
，
又∵MN
BG
∥
，ML
EC
∥
，
∴
90
LMN
．
∴四边形MNRL是正方形，即原四边形BCGE 是“中方四边形”．
52
（3）解：
2
2
MN
BD
（其他形式正确均可）．理由如下：
如图，记AD
BC
、
的中点分别为E、F，连接EM
MF
FN
EN
、
、
、
，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N 分别是AB
CD
，
的中点，
∴四边形ENFM 是正方形，
∴FM
FN
，
90
MFN
，
∴
2
2
2
MN
FM
FN
FN
，
∵N，F 分别是DC
BC
，
的中点，
∴
1
2
FN
BD
，
∴
2
2
MN
BD
．
【点睛】本题考查了平行四边形及特殊的平行四边形的判定与性质、中位线定理等知识点，熟记相关判定
定理及性质定理的内容是解题关键．
52．在矩形ABCD中，
9
AB
，
12
BC
，E，F 是对角线AC 上的两个动点，点E，F 分别从点A，C 同时出
发，相向而行，速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为
0
15
t
t
秒，G，H 分别是AD ，BC的中点，连
接GE ，GF ，HE ，HF ．
(1)四边形EGFH 的形状一定是______（点E，F 相遇时除外）．
(2)当四边形EGFH 为矩形时，请求出t 的值．
(3)若点G 向点D 运动，点H 向点B 运动，且与点E，F 以相同的速度同时出发，当四边形EGFH 为菱形时，
请直接写出t 的值．
【答案】(1)平行四边形
(2)
3
t
或
12
t
53
(3) 27
8
【分析】（1）证明
GAE
HCF
≌
△
△
，可得GE
HF
，AEG
CFH
，可得
GEF
HFE
，证明GE
FH
∥
，
从而可得结论；
（2）连接GH ，证明四边形ABHG 是矩形，可得
9
GH
AB
，求解
2
2
9
12
15
AC
，①如图，当点E，
F 相遇前，②如图，当点E，F 相遇后，再进一步解答即可；
（3）如图，设M，N 分别为AD 和BC 的中点，连接AH ，CG ，GH ，令AC 与GH 相交于点O．证明四边
形AGCH 为菱形，可得AG
CG
，设AG
CG
x
，则
12
DG
x
，再利用勾股定理进一步求解即可．
【详解】（1）解：四边形EGFH 的形状一定是平行四边形；理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
，AD
BC
∥
，
∴
GAE
HCF
，
∵G，H 分别是AD ，BC 的中点，
∴AG
CH
DG
BH
，
由题意可得：AE
CF
，
∴
GAE
HCF
≌
△
△
，
∴GE
HF
，
AEG
CFH
，
∴
GEF
HFE
，
∴GE
FH
∥
，
∴四边形GEHF 是平行四边形；
（2）解：连接GH ，
∵AG
BH
，AG
BH
∥
，
90
B
Ð
=
°，
∴四边形ABHG 是矩形，
∴
9
GH
AB
，
∵
9
AB
，
12
BC
，
90
B
Ð
=
°，
∴
2
2
9
12
15
AC
，
①如图1，当点E，F 相遇前，
∵四边形EGFH 是矩形，
∴
9
EF
GH
．
54
∵
AE
CF
t ，
∴
15
2
9
EF
t
，
解得
3
t
；
②如图2，当点E，F 相遇后，
∵四边形EGFH 是矩形，
又∵
9
EF
GH
，
AE
CF
t ，
∴
15
2
15
9
EF
t
t
t
，
解得
12
t
．
综上所述，四边形EGFH 为矩形时，
3
t
或
12
t
．
（3）解：如图，设M，N 分别为AD 和BC 的中点，连接AH ，CG ，GH ，令AC 与GH 相交于点O．
∵四边形EGFH 为菱形，
∴GH
EF
，OG
OH
，OE
OF
，
∴OA
OC
，AG
AH
，
∴四边形AGCH 为菱形，
∴AG
CG
，
设AG
CG
x
，则
12
DG
x
55
由勾股定理，可得
2
2
2
CD
DG
CG
，
即
2
2
2
9
12
x
x
，
解得
75
8
x
．
∵MG
AG
AM
=
75
27
6
8
8
MG
，即
27
8
t
，
当四边形EGFH 为菱形时，t 的值为27
8 ．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应
用，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键．
