1
第15 讲相似三角形的应用举例
课程标准
学习目标
了解相似三角形的性质定理”：相似三角形
对应线段的比等于相似比;面积比等于相似
比的平方．
1、学会相似三角形性质；
2、体会灵活运用相似三角形性质解决实际问题．
知识点一：相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
知识点二：相似三角形的应用
2
(1)利用影长测量物体的高度
①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等
和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
②测量方法:在同-时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度；
(2)利用相似测量河的宽度(测量距离)
①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A 型或“x”型相似图，三点应在一条直线上，
必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形；
②测量方法:通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度；
(3)借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，
利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
题型01
灯光下的测量问题
1．如图，是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面
的直径为1.6m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（
）
A．
2
9.64 m
B．
2
2.56 m
C．
2
1.44 m
D．
2
5.76 m
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形判定和性质，证明OBC
OAD
∽
，得到BC
OC
AD
OD
，进一步求出AD ，根据
圆面积即可求出答案．
【详解】解：如图，设C，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，CB
AD
∥
，
∴OBC
OAD
∽
，
∴BC
OC
AD
OD
，
∵
3
1
OD
CD
，
，
3
∴
3 1
2
OC
OD
CD
，
1 1.6
0.8
2
BC
，
∴0.8
2
3
AD
，
∴
1.2
AD
，
∴
2
2
1.2
1.44
m
D
S
，
即地面上阴影部分的面积为
2
1.44 m
．
故选：C．
2．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮
影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C
处，屏幕在E 处，皮影人与屏幕相距1m ，射灯A 与皮影人相距2m ．若保持皮影人在C 处位置不变，要使
屏幕上的影子的像高DE 增大一倍至FE ，则射灯A 应向皮影人靠近至G 的距离AG 为（
）
A．3 m
2
B．5 m
4
C．1m
D．1 m
2
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到BC
DE
∥
，
2m
1m
AC
CE
，
，
2
EF
DE
，
证明
ABC
ADE
△
△
∽
得到
2
3
BC
DE
，则
1
3
BC
EF
，再证明
BCG
FEG
△
∽△
得到
1
3
CG
BC
GE
EF
，进而得到
1
1 m
2
2
CG
CE
，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，BC
DE
∥
，
2m
1m
AC
CE
，
，
2
EF
DE
∴
ABC
ADE
△
△
∽
，
∴
2
2
2
1
3
BC
AC
DE
AE
，
∴
1
3
BC
EF
，
∵BC
DE
∥
，
∴
BCG
FEG
△
∽△
，
∴
1
3
CG
BC
GE
EF
，
4
∴
1
1 m
2
2
CG
CE
，
∴
3 m
2
AG
AC
CG
，
故选：A．
3．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m 的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一
名身高1.6m 的女孩站在点P 处，
2m
OP
，则女孩的影子长为
cm ．
【答案】0.4 / 2
5
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质定理得到PB
PC
OB
OA
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，∵CP
AO
∥
，
BCP
BAO
∽
，
∴PB
PC
OB
OA
，即
1.6
2
9.6
PB
PB
+
，
解得：
2
5
PB
，
故答案为：0.4 ．
4．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知树高
2m
AB
，树影
3m
AC
，树AB 与路灯O 的
水平距离
4.5m
AP
，则路灯的高度PO长是
米．
5
【答案】5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知AB
PO
∥
，得出Rt
Rt
ABC
POC
∽
，根据PO
PC
AB
AC
求出PO 的值．
【详解】解：由题意知AB
PO
∥
，
∴
CAB
CPO
在Rt
ABC
△
和Rt POC
中
C
C
Rt
Rt
ABC
POC
∽
PO
PC
AB
AC
3
4.5
2
3
PO
解得
5
PO
故答案为：5．
题型02
灯光下的标杆测量
5．如图，身高为1．5 米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去当走到C 点时，
她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3 米，CA=1 米，则树的高度为（）
A．4．5 米
B．6 米
C．3 米
D．4 米
【答案】B
【详解】如图：
6
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
6．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框AB 在地面上的影长
3m
DE
，窗户下
檐到地面的距离
5m
4m
BC
EC
，
，那么窗户的高AB 为（
）m．
A．2.75
B．3.25
C．3.5
D．3.75
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A 字模型相似三角形是解题的关键．
根据题意可得：BE
AD
∥
，然后证明A 字模型相似
CBE
CAD
∽
△
△
，从而利用相似三角形的性质进行计算，
即可解答．
【详解】解：由题意得：BE
AD
∥
，
A
CBE
D
CEB
，
，
CBE
CAD
∽
△
△
，
∴CB
CE
CA
CD
，
7
∴
5
4
5
4
3
AB
，
解得：
3.75
AB
，
∴窗户的高AB 为3.75m ，
故选：D．
7．操场上有一根竖直的旗杆AB ，它的一部分影子（BC ）落在水平地面上，另一部分影子（CD ）落在对
面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m ，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影
长是
1.4m
ON
，请根据以上信息，则旗杆的高度是（
）
A．4.5m
B．4.7m
C．5.2m
D．5.7m
【答案】C
【分析】过点D 作DE
AB
于点E，根据题意，
,
BC
AB DC
BC
，得到矩形BCDE ,继而得到
,
,
90
BC
DE BE
DC
AED
，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可．
本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键．
【详解】过点D 作DE
AB
于点E，根据题意，得
,
BC
AB DC
BC
，
∴四边形BCDE 为矩形，
∴
,
,
90
BC
DE BE
DC
AED
，
∵
2.8m
BC
，
1.2m
DC
，
∴
2.8m,
1.2m,
90
DE
BE
AED
，
根据同一时刻，物高与影长成正比，
∴
2
1.4
AE
DE
即
2
2.8
1.4
AE
，
解得
4 m
AE
，
∴
5.2 m
AB
AE
BE
．
故选C．
8
8．如图，小明利用光沿直线传播的知识，在A 时测得某树的影长为3m，B 时又测得该树的影长为2m．若
两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（
）
A．2 3 m
B．
6 m
C．6m
D．5 m
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得：EDC
CDF
∽
，进而可得ED
DC
DC
FD
，即
2
DC
ED FD
，代入数
据可得答案．本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
【详解】解：根据题意，作EFC
，树高为CD ，且
90
ECF
，
2m
ED
，
3m
FD
；
90
E
F
，
90
E
ECD
，
ECD
F
，
∴EDC
CDF
∽
，
ED
DC
DC
FD
，即
2
2 3
6
DC
ED FD
，
解得
6m
CD
．
故选：B．
9．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的
影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，那么这棵树高约有多少
米？
9
【答案】这棵树高4.4m ．
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出
图中的BE ，BC 是BE 的影子，然后加上CD 就是树高．
【详解】过点C 作
/ /
CE
AD 交AB 于点E
则
2
CD
AE
m
，
~
BCE
B BA
:
:
A B
B B
BE BC
，即1.2: 2
: 4
BE
2.4
BE
2.4
2
4.4
AB
答：这棵树高4.4m ．
【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，
列出方程求解．
10．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1 为圭表示意图．某同
学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN 的影长MA在水平地
面上，将标杆AB（长度1 米）竖直放置在影长的最远端点A 处，此时标杆AB 的影长为AD ．经测量，
1.2
AD
米，
12.1
AM
米．
(1)根据以上信息，计算旗杆MN 的高度．（结果保留整数）
(2)若该同学在操作过程中，测量完AD 的长度后，准备测量AM 的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长
10
一点的卷尺，半小时后回来测量AM 的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【答案】(1)旗杆MN 的高度约为10 米
(2)不可以．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用：
（1）根据BD
AN
∥
证明
MNA
ABD
∽
△
△
，由相似三角形的性质可得MN
MA
AB
AD
，进行计算即可；
（2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度．
【详解】（1）解：由题意，可知BD
AN
∥
．
∴
NAM
D
．
又∵
90
NMA
BAD
，
∴
MNA
ABD
∽
△
△
．
∴MN
MA
AB
AD
，即
12.1
1
1.2
MN
．
∴
10
MN
（米）．
答：旗杆MN 的高度约为10 米．
（2）解：不可以．
理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗
杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可）
题型03
利用镜子进行测量
11．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A
出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知AB
BD
，CD
BD
，且测得
1.2m
AB
，
1.8m
BP
，
24m
PD
，那么该大厦的高度约为
m．
【答案】16
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出
方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11
因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边
成比例即可解答．
【详解】解：根据题意，
ABP
CDP
,
APB
CPD
,
ABP
CDP
∽
．
即AB
BP
CD
DP
故
24 1.2
16m
1.8
PD
CD
AB
BP
；
那么该古城墙的高度是16m ，
故答案为：16．
12．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C 处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，
然后向后退去，直至站在点D 处恰好看到建筑物AB 的顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设
小福的眼睛距地面1.65m ，BC ，CD 的长分别为8m ，2m ，则建筑物AB 的高度为
m ．
【答案】6.6
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证ABC
EDC
∽
，根据相似三角形的性质求出AB 的长即可．
【详解】解：由题意可知，
90
ABC
EDC
，
ACF
ECF
，
90
BCF
DCF
，
ACB
ECD
，
ABC
EDC
∽
，
AB
BC
ED
DC
，
1.65m
ED
，
8m
BC
，
2m
DC
，
8
1.65
2
AB
，
解得：
6.6
AB
，
答：建筑物AB 的高度为6.6m．
故答案为：6.6 ．
13．小强在地面E 处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25 米，CE＝2.5 米．已
知眼睛距离地面的高度DC＝1.6 米，请计算出教学楼AB 的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
12
【答案】教学楼AB 的高度为16 米
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性
质得
25
1.6
2.5
AB
，即可求出AB．
【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴Rt△AEB∽Rt△CED，
∴AB
AE
CD
CE
，即
25
1.6
2.5
AB
解得：AB＝16（米）．
答：教学楼AB 的高度为16 米．
【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键．
14．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你
选择一种方案求出旗杆的高度．
方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小
华的身高DE 为1.8米，他的影长EF 为0.9 米，
同时测得旗杆AB 的影长BC 为6米．
方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，
小丽在她的脚下C 点放了一面小镜子，然后向后退1.2米
到达点E ，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A ，此时旗杆
底端B 到点C 的距离BC 为9米，小丽的眼睛点D 到地面
的距离DE 为1.6米．
13
【答案】12m
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键．
方案一：根据题意可得
DEF
ABC
∽
△
△
，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
方案二：根据题意可得
DEC
ABC
△
∽△
，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】方案一：
解：由题意得，
90
DEF
ABC
，DF
AC
∥
．
DFE
ACB
．
DEF
ABC
∽
△
△
．
DE
EF
AB
BC
．
1.8
DE
，
0.9
EF
，
6
BC
，
1.8
0.9
6
AB
12
AB
．
答：旗杆高度为12m ．
方案二：
解：由题意得，
90
DEC
ABC
，
DCE
ACB
，
DEC
ABC
∽
．
DE
EC
AB
BC
．
1.6
DE
，
1.2
EC
，
9
BC
，
1.6
1.2
9
AB
．
12
AB
．
答：旗杆高度为12m ．
15．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测
量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C 处放置一平面镜，他从点C 沿BC 后
退，当退行0.9 米到E 处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A 的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离DE 为
1.2 米；然后，苏海沿BC 的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A 的仰角为45，此时，测得
2.1
EG
米，测倾器的高度
1.2
FG
米．已知点B、C、E、G 在同一水平直线上，且AB 、DE 、FG 均垂直
于BG ，求雕像的高度AB ．
14
【答案】16.8
【分析】根据已知条件推出
ABC
DEC
∽
△
△
，求得AB 与BC 的关系，再根据题意易得四边形HBED 、四边
形DEGF 、四边形HBGF 均为矩形，得到
4
1.2
3
AH
x
，根据
45
AFH
，得AH
HF
，构造一元一次
方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设BC
x
米，如图，
根据题意可得，
ACB
DCE
，
90
B
DEC
，
∴
ABC
DEC
∽
△
△
，
∴AB
BC
DE
CE
,
∴
4
3
AB
x
，
∵点B、C、E、G 在同一水平直线上，且AB 、DE 、FG 均垂直于BG ，
1.2m
DE
FG
，
∴四边形HBED 、四边形DEGF 、四边形HBGF 均为矩形，
∴
4
1.2
3
AH
x
，
∵
45
AFH
，
∴AH
HF
，
∴4
1.2
0.9
2.1
3 x
x
15
解得
12.6
x
∴
4 12.6
16.8 m
3
AB
答：雕像的高度为16.8 米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
题型04
利用视线进行测量
16．如图，在池塘外取一点C ，使它可以直接看到A ，B 两点，连接并延长AC ，BC ，在AC 的延长线上
取一点D ，在BC 的延长线上取一点E ，使
2
AC
BC
DC
EC
，且测量得DE 的长度为50 米，则A ，B 两点的
距离是（
）
A．110 米
B．100 米
C．50 米
D．25 米
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形相似的应用，根据相似形的判定定理判断出ABC
和DEC
相似，再根据三角
形相似的性质解答即可．
【详解】解：∵ABC
和DEC
中，
2
AC
BC
DC
EC
，且
ACB
DCE
，
∴
ABC
DEC
∽
△
△
，
∴
2
AB
AC
DE
DC
，
又∵
50
DE
米，
∴
100
AB
米．
故选：B．
17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边
50cm
DF
，
40cm
DE
，测得边DF 离地
面的高度
1.5m
AC
，
12m
CD
，求树高AB ．
16
【答案】
10.5m
AB
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．首先利用勾股定理计算出EF 长，再证明
DCB
DEF
△
∽△
，由
相似三角形的性质可得CB
DC
EF
DE
，求出BC 长，进而可得答案．
【详解】解：在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
DE
EF
DF
，即
2
2
2
40
50
EF
，
30
EF
，
由题意得：
90
BCD
DEF
，
CDB
EDF
，
DCB
DEF
∽
△
△
，
BC
DC
EF
DE
，
30cm
0.3m
EF
，
40cm
0.4m
DE
，
12m
CD
，
12
0.3
0.4
BC
，
解得
9m
BC
，
1.5m
AC
，
1.5
9
10.5 m
AB
AC
BC
18．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB
BC
，CD
BC
，
点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得
20
BE
m
，
10
EC
m
，
20
CD
m
，则河的宽度
AB 等于
．
17
【答案】40m
【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得．
【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
=
AB
BE
CD
CE
即
20
=
20
10
AB
cm
m
cm
=40
AB
m
故答案为：40m
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC ，站在距某建筑物约30 米的点N 处（即
30
EN
米），把手臂向前
伸直且让小棍BC 竖直，BC
DE
∥
，晓波看到点B 和建筑物顶端D 在一条直线上，点C 和底端E 在一条直
线上．已知晓波的臂长CM 约为60 厘米，小棍BC 的长为24 厘米，AN
EN
，CM
AN
，DE
EN
．求
这个建筑物的高度DE ．
【答案】这个建筑物的高度DE 为12 米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A 作AG
DE
，交BC 于点F，
垂足为G，根据BC
DE
∥
，得到
ABC
ADE
△
△
∽
，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．
【详解】如图，过点A 作AG
DE
，交BC 于点F，垂足为G，
由题意，得
60
AF
CN
厘米
0.6
米，
30
AG
EN
米，
24
BC
厘米
0.24
米，
18
∥
BC
DE ，
ABC
ADE
△
∽△
，
BC
AF
DE
AG
，
0.24
0.6
30
DE
，
12
DE
米．
答：这个建筑物的高度DE 为12 米．
20．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A 和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小
组成员不得通过涉水的方式测量树A 与树B 之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B 所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下BC 的距离为2a ；
②在树B 所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D 观测树A，且A，D 以及C 三点共线，然后从点E 观测
树B 与树A，并使E，B，A 三点共线；
③调整D，E 的位置，使DE
BC
∥
，记录下DE 的距离为5a ；
④测量出BE 之间的距离大约为27m ．
数学兴趣小组的方案能否得出树A 与树B 之间的距离？请通过分析与计算说明．
【答案】能测出树A 与树B 之间的距离为18 米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明
ACB
ADE
△
∽△
，即可得
AB
BC
AB
BE
DE
，代入
计算即可作答．
【详解】能测出树A 与树B 之间的距离，如下：
∵DE
BC
∥
，
∴
ACB
ADE
，
ABC
AED
，
∴
ACB
ADE
△
∽△
，
19
∴AB
BC
AE
DE
，即
AB
BC
AB
BE
DE
，
∵DE 的距离为5a ，BC 的距离为2a ，BE 之间的距离大约为27m ，
∴
2
27
5
AB
a
AB
a
，
解得：
18
AB
，
经检验，
18
AB
是原方程的解，
答：能测出树A 与树B 之间的距离为18 米．
21．2023 年11 月23 日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了
我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，
点A 为左眼，点B 为右眼，点O 为右千大指，点C 为敌人的位置，点D 为敌人正左侧方的某一个参照物
（CD
AB
∥
，目测CD 的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C 处敌人距离我方的大致距离．已知
大多数人的眼距AB 长约为6.4 厘米左右，手臂长OB 约为64 厘米左右，若CD 的估测长度为40 米，那么CO
的大致距离为多少米．
【答案】400m
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明ABO
DCO
∽
得到OB
CO
AB
CD
，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：
CD
AB
∥
，
∴
,
B
C
A
D
，
ABO
DCO
∽
△
△
，
OB
CO
AB
CD
，
根据题意得，
64cm
OB
，
6.4cm
AB
，
40m
CD
，
400m
OB CD
CD
AB
，
答：CO 的大致距离为400m ．
题型05
古典文化中的测量问题
20
22．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉
港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为AB ，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高
度记为EF ，小明的眼睛P 点与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（
）
A．EF
PF
AB
BF
B．EF
PF
AB
BP
C．PE
PF
AP
BF
D．PE
PF
AE
BP
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A 字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：
AB
BP EF
BP
,
，从而可得
90
ABP
EFP
，然后证明A 字模型相似
EFP
ABP
△
∽△
，从而利用相
似三角形的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：AB
BP EF
BP
,
，
∴
90
ABP
EFP
，
∵
P
P
，
∴
EFP
ABP
△
∽△
，
∴EF
PF
PE
AB
PB
PA
，
∴A，C，D 不正确，B 正确，
故选：B．
23．《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五
寸．问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再有一根标
杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为（
）
A．5尺
B．15 尺
C．30 尺
D．45 尺
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一
时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x 尺，
21
∴
1.5
15
0.5
x
，
解得
45
x
，
故选：D．
24．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不
同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令BG
x
（单位：m ），EG
y
（单
位：m ），若
20
40
1.65m
a
cm
b
cm
AB
，
，
，则y 关于x 的函数解析式为（
）
A．
0.5
1.65
y
x
B．
2
1.65
y
x
C．
800
165
y
x
D．
0.5
y
x
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意，四边形ABGF 是矩形，可得
1.65m
165
AB
GF
cm
，
m
100
AF
BG
x
xcm
，
100
165
EF
EG
GF
y
，再根据ACD
AEF
∽
，可得AD
AF
CD
EF
，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，ACD
AEF
∽
，
∴AD
AF
CD
EF
，
∵四边形ABGF 是矩形，
∴
100
165
EF
EG
FG
y
，
100
AF
BG
x
，
40
AD
b
，
20
CD
a
，
∴40
100
20
100
165
x
y
，
∴
0.5
1.65
y
x
，
故选：A ．
25．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界
上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所
标注的尺寸，30cm 长的箭头AB 在暗盒中所成像CD的长为
cm．
22
【答案】40
3 /
1
13 3
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角
形的对应边成比例解答．
【详解】解：过点O作OM
AB
于点
,
M 延长MO 交CD于点N ，
∴
90 ,
OMA
由题意得AB
CD
,
∴
90 ,
,
AMO
CNO
OAB
OCD
OBA
ODC
，
∴ON
CD
，OAB
OCD
∽
，
∴CD
ON
AB
OM
即
20
30
45
CD
，
∴
40 cm
3
CD
，
故答案为：40
3 ．
26．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从
木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得
1.8
AB
米，
1
BD 米，
0.5
BE =
米，那么AC 为
米．
23
【答案】2.6
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：CA
AB
，DB
AB
，从而可得
90
CAB
DBA
，
然后证明
AEC
DEB
△
∽△
，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：CA
AB
，DB
AB
，
90
CAB
DBA
，
AEC
DEB
，
AEC
DEB
∽
，
AE
AC
BE
BD
，
1.8
0.5
0.5
1
AC
，
解得：
2.6
AC
，
AC
为2.6 米，
故答案为：2.6．
27．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量
员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F 、窥衡杆与四分仪
的一边BC 交于点H ．图2 中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG ．若测量员从四分仪中读得AB 为
1，BH 为0.5，实地测得BE 为2 ．则井深BG 为
．
【答案】3
24
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出ABH
FEH
∽
，代入数据即可求解．
【详解】解：依题意，AB
EF
∥
，
∴ABH
FEH
∽
，
∴AB
BH
EF
EH
，
∵测量员从四分仪中读得AB 为1，BH 为0.5，实地测得BE 为2 ．
∴1
0.5
2
0.5
EF
解得：
3
EF ，
∴
3
BG
故答案为：3 ．
28．如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著
作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，
如图②所示，从“矩” AFE 的一端A 望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得
1.5m
AB
，
6.2m
BD
，若“矩”的边
30cm
EF
a
，边
60cm
AF
b
，则树高CD 为
m．
【答案】4.6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知证明AFE
AHC
∽
，得到EF
AF
CH
AH
，代入已知数据即可
求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，EF
CH
∥
，
1.5m
HD
AB
，
6.2m
AH
BD
，
∵EF
CH
∥
，
∴AFE
AHC
∽
，
∴EF
AF
CH
AH
，
即0.3
0.6
6.2
CH
，
∴
3.1m
CH
，
∴
3.1 1.5
4.6(m)
CD
CH
HD
，
25
故答案为：4.6 ．
题型06
光学成像中的测量问题
29．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm 处，遮光板在刻度尺70cm 处，
光屏在刻度尺80cm 处，量得像高3cm ，则蜡烛的长为（
）
A．5cm
B．6cm
C．4cm
D．4.5cm
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意AOB
COD
∽
，运用相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵AB
CD
∥
∴AOB
COD
∽
，
∴CD
OC
AB
OA
70
50
20cm,
80
70
10cm,
3cm
OA
OC
CD
，
∴3
10
20
AB
，
∴
6cm
AB
故选：B．
30．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm ，他准备了一支长为20cm 的蜡烛，想
要得到高度为4cm 的像，蜡烛与纸筒的距离为（
）
26
A．65cm
B．70cm
C．75cm
D．80cm
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，得到相似比，即可．
【详解】∵AB
CD
，EF
AB
，
∴EF
CD
，
∴OAB
ODC
∽
，
∴CD
OF
AB
OE
，
∵
20cm
AB
，
15cm
OF
，
4cm
CD
，
∴4
15
20
OE
，
∴
75cm
OE
．
故选：C．
31．如图，点光源O 射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB 投影到与胶片平行的屏幕上，形成
影像CD ．已知
0.3(dm)
AB
，点光源到胶片的距离OE 长为6(dm) ，CD 长为4.3(dm) ，则胶片与屏幕的距
离EF 为（
）dm
27
A．86
B．84
C．80
D．78
【答案】C
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质
解决问题．证明
OAB
OCD
∽
△
△
，推出AB
OE
CD
OF
，构建方程求出EF 即可．
【详解】解：
AB
CD
∥
，
OAB
OCD
∽
△
△
，
OF
CD
，
OF
AB
，
AB
OE
CD
OF
，
0.3
6
4.3
6
EF
，
80 dm
EF
，
故选：C．
32．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD
l
BC
∥∥
，光屏上显示的缩小的实像高8cm ．若物体AH
到焦点
1F 的距离与焦点
1F 到凸透镜中心线DB 的距离
1
OF 之比为5:4，则物体的高为（
）
A．10cm
B．8cm
C．12cm
D．9cm
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得
1
1
:
5: 4
HF
OF
，再证明
1
1
AHF
BOF
∽
，则利
用相似三角形的性质得到
1
1
5
4
HF
AH
BO
OF
，然后利用
8cm
CG
OB
得到物体的高．
【详解】解：如图所示，由题意得
1
1
:
5: 4
HF
OF
，
∵AH
BO
∥
，
∴
1
1
1
1
AHF
BOF
HAF
OBF
，∠
∠
，
28
∴
1
1
AHF
BOF
∽
，
∴
1
1
5
4
HF
AH
BO
OF
，
∵光屏上显示的缩小的实像高8cm ．
由题意可得，
8cm
CG
OB
，
∴
5
10cm
4
AH
OB
．
即物体的高为10cm，
故选：A．
33．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB 的高为15cm ，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE 为32cm ，
蜡烛的像CD 与凸透镜的距离DE 为8cm ，则像CD 的高为
cm ．
【答案】15
4
【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题
是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为
数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：
AB
BD
CD
BD
，
，
AB
CD
∥
，
,
ABE
CDE
BAE
CDE
＝
，
＝
ABE
CDE
△
∽△
，
AB
BE
CD
DE
,
AB
的高为15cm , BE 为32cm , DE 为8cm ,
15
32
8
CD
，
15 cm
4
CD
，
29
故答案为：15.
4
34．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播
原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD （点A、B 的
对应点分别是C、D）．若物体AB 的高为36cm，实像CD 的高度为12cm，则小孔O 的高度OE 为
cm ．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可得，OE
AB
DC
∥
∥
，证得COE
CAB
∽
，BOE
BDC
∽
，
可得CE
OE
CB
AB
①，BE
OE
CB
CD
②，进而可得
1
OE
OE
AB
CD
，即可求解．
【详解】解：由题意得，OE
AB
DC
∥
∥
，
COE
CAB
∽
，BOE
BDC
∽
，
CE
OE
CB
AB
①，BE
OE
CB
CD
②，
①+②得，CE
BE
OE
OE
BC
BC
AB
CD
，
∴
1
OE
OE
AB
CD
，
∴
1
36
12
OE
OE
，
解得：
9
OE
cm
．
故答案为：9．
35．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A 点为光源，与胶片BC 的距离
为0.1米，胶片的高BC 为0.038米，若需要投影后的图像DE 高2.28 米，则投影机光源A 到屏幕DE 的距离
为
米．
【答案】6
30
【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的
图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答．
【详解】解：如图所示，过A 作AG
DE
于G，交BC 与F，
因为BC
DE
∥
，
所以
ABC
ADE
∽
△
△
，AG
BC
，
0.1
AF
米，
设AG
h
，
则AF
BC
AG
DE
，即0.1
0.038
2.28
h
，
解得：
6
h
，
6
AG
米，
故答案为：6．
36．如图，是凸透镜成像示意图，CD 是蜡烛AB 通过凸透镜MN 所成的虚像．已知蜡烛AB 高4.5cm，蜡烛
AB 离凸透镜MN 的水平距离OA为5cm ，该凸透镜的焦距OF 为8cm ，BE
OF
∥
，则像CD 高
cm．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：AB
CD
∥
，
5cm
BE
AO
，先证明A 字模型相似
DBE
DOF
∽
，从而利用相似三角形的性质可得
5
8
BE
DB
OF
DO
，进而可得
3
8
OB
DO
，然后再证明A 字模型
OAB
OCD
∽
△
△
，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB
CD
∥
，
5cm
BE
AO
，
∵BE
OF
∥
，
DBE
DOF
，
DEB
DFO
，
DBE
DOF
∽
△
△
，
31
5
8
BE
DB
OF
DO
，
3
8
OB
DO
，
∵AB
CD
∥
，
OBA
ODC
，
OAB
OCD
，
OAB
OCD
∽
△
△
，
AB
ON
CD
OD
，
4.5
3
8
CD
，
解得：
12
CD
，
像CD 高为12cm，
故答案为：12．
题型07
其它实际测量问题
37．如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA ，OB 表示铁夹的剖面的两条边，点C 是转动轴的位置，CD
OA
，
垂足为D ，
15mm
DA
，
24mm
DO
，
10mm
DC
，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A ，B 两点间的距
离为（
）
A．30mm
B．32.5mm
C．60mm
D．65mm
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接AB ，延长OC 交AB 于H ，
由勾股定理得出
26mm
OC
，根据轴对称的性质得出CH
AB
，AH
BH
，证明OCD
OAH
∽
，由相似
三角形的性质计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AB ，延长OC 交AB 于H ，
32
，
在Rt
OCD
△
中，
2
2
26mm
OC
CD
OD
，
∵铁夹的剖面图是轴对称图形，
∴CH
AB
，AH
BH
，
∴
90
AHC
CDO
∵
DOC
HOA
，
∴OCD
OAH
∽
，
∴CD
OC
AH
OA
，即10
26
15
24
AH
，
解得：
15mm
AH
，
∴
2
30mm
AB
AH
，
故选：A．
38．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB 垂直放置，其中AB 与“0”刻度线
重合，O点落在“3”刻度线上，CD 与“5”刻度线重合，若测得
50cm
AB
，则CD 的长是（
）
A．30cm
B．100 cm
3
C．20cm
D．25 cm
4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明COD
BOA
∽
，根据相似三角形的性质“相似三角形对
应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得CD
AB
∥
，
33
∴COD
BOA
∽
，
∴
2
3
CD
AB
，
∵
50cm
AB
，
∴
2
100
50
cm
3
3
CD
，
故选：B．
39．如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高
1.2m
AB
．当
2.5m
BC
时，点B 到地面的距离
1.5m
BE
，
则点A 到地面的距离AD 为（
）
A．2.6m
B．2.5m
C．2.46m
D．2.22m
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出DF
AF
、
的长即可得
出的长．
【详解】解：由题意可得：AD
EB
∥
，则
CFD
AFB
CBE
，
∴CDF
CEB
∽
，
∵
90
ABF
CEB
AFB
CBE
，
，
∴CBE
AFB
∽
，
∴BE
BC
EC
FB
AF
AB
，
∵
2.5m
BC
，
1.5m
BE
，
∴
2
2
2.5
1.5
2m
EC
，
即
2
1.5
2.5
2
1.
FB
AF
，解得：
0.9
1.5
FB
AF
，
，
∵CDF
CEB
∽
，
∴DF
CF
BE
CB
，即
5
2.5
0
1.5
2.
.9
DF
，解得：
0.96
DF
，
∴
1.5
0.96
2.46m
AD
AF
DF
．
故选C．
34
40．如图，用一个卡尺（AD
BC
，
2
7
CO
DD
BC
AD
）测量气缸的内孔直径AB ，量得CD 的长为8cm ，则
内孔直径AB 的长为（
）
A．16 cm
7
B．16 cm
5
C．28cm
D．20cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明
2
5
OC
OD
OB
OA
，再证明COD
BOA
∽
，利用相似三角
形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵
2
7
CO
DD
BC
AD
，AD
BC
，
∴OC
OD
，
∴OA
OB
且
2
5
OC
OD
OB
OA
，
又∵
COD
BOA
，
∴COD
BOA
∽
，
∴
2
5
CD
OD
AB
OA
，
∴
5
20cm
2
AB
CD
，
故选：D．
41．图1 是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2 所示，此时液体
AB
．
【答案】4cm
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
35
【详解】解：如图：
CD
AB
∥
，
ABO
CDO
∽
，即相似比为
5
1
10
2
OA
OC
,
1
2
AB
OA
CD
OC
8cm
CD
，
4cm
AB
,
故答案为：4cm ．
42．图1 是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2 所示，则水面宽度AB （
）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设水面宽度
cm
AB
x
，得出
CAB
CDE
△
∽△
，由三角形相似
的性质可得
12
3
8
12
x
，即可求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：设水面宽度
cm
AB
x
，
如图，
36
，
由题意得：AB
DE
∥
，
CAB
CDE
∽
，
12
3
8
12
x
，
解得：
6
x
，
水面宽度
6cm
AB
，
故选：C．
43．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，
因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆
1
0.4
3
EF
BC
AE
BE
EF
，
，
∥
米，则两梯
杆跨度B、C 之间距离为
米．
【答案】1.6
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
证明AEF
ABC
∽
，则EF
AE
BC
AB
=
，即0.4
3
AE
BC
AE
AE
，计算求解即可．
【详解】解：∵EF
BC
∥
，
∴AEF
ABC
∽
，
∴EF
AE
BC
AB
=
，即0.4
3
AE
BC
AE
AE
，
解得，
1.6
BC
，
故答案为：1.6．
44．【项目式学习】制作“ E ”形视力表，
37
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“ E ”的高度b 与它到眼睛的水平距离l 之比（即b
l ）来刻画视力．
（2）大小不同的“ E ”，只要它们这一比值（即b
l ）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2 所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“ E ”字，将②号“ E ”沿水平桌面
向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A ，C ，O在同一直线上为止，其中AB 是①号“ E ”字的高度，
CD 是②号“ E ”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“ E ”与②号“ E ”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3 米的“ E ”形视力表．以图2 所示，①号“ E ”是标准对数视力表中视力
为4.2 的“ E ”字，其高度AB 为45mm ，求小明在制作视力为4.2 的②号“ E ”字时，②号“ E ”的高度CD应为多
少mm ?（A 、C 、O在一条直线上，B 、D 、O在一条直线上）
【答案】问题1：证明见解析；问题2：27mm
【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明ABO
CDO
∽
，根据相似三角形的性质可得
CD
AB
b
OD
OB
l
；
问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解．
【详解】问题1：由题可得AB
CD
∥
∴
ABO
CDO
BAO
DCO
，
∴ABO
CDO
∽
∴CD
OD
AB
OB
∴CD
AB
b
OD
OB
l
∴①号“ E ”字与②号“ E 字”测试的视力相同
问题2：由（1）可得
CD
AB
OD
OB
38
∵
45
5
3
AB
OB
OD
，
，
∴3
CD
45
5
∴
27
CD
答：②号“ E ”的高度CD应为27mm
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一
百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N 分别是正方形ABCD
的边AD ，AB 的中点，ME
AD
，NF
AB
，EF 过点A，且
100
ME
步，
225
NF
步，那么该正方形
城邑边长AD 约为（
）步．
A．300
B．250
C．225
D．150
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的
关键．由题意可知
AME
FNA
∽
，根据相似三角形性质得到FN
AM
AN
EM
，设
2
AD
a
，由M
N
、
分别是正
方形ABCD的边AD
AB
、
的中点可知AM
AN
a
，则225
100
a
a
，解得
150
a
，从而得到正方形城邑边长
2
300
AD
a
步．
【详解】解：ME
AD
，NF
AB
，
90
FNA
AME
，
正方形ABCD中，
90
MAN
，EF 过点A ，
FN
AM
∥
，则
F
EAM
，
AME
FNA
∽
，
FN
AM
AN
EM
，
M
N
、
分别是正方形ABCD的边AD
AB
、
的中点，设
2
AD
a
，
AM
AN
a
，
100
ME
步，
225
NF
步，
39
225
100
a
a
，即
2
100
225
a
，解得
150
a
负舍去值，
正方形城邑边长
2
300
AD
a
步，
故选：A．
2．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度，.古代的人们发现，夏至时日影最
短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个
时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角
BAC
和第二时刻光线与地面的夹角
ADB
相等，测得第一
时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为
尺
【答案】24
【分析】本题考查相似三角形的应用，由
ABC
DBA
BAC
ADB
，
，得ABC
DBA
∽
，知AB
BC
BD
AB
，
故
2
6
24
1.5
BD
（尺），即第二时刻的影长为24 尺．
【详解】解：∵
ABC
DBA
BAC
ADB
，
，
∴ABC
DBA
∽
，
∴AB
BC
BD
AB
，
∴
2
AB
BD
BC
，
根据题意得：
6
AB
尺，
1.5
BC
尺，
∴
2
6
24
1.5
BD
（尺）；
∴第二时刻的影长为24 尺；
故答案为：24 ．
3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m 米，长
为2m 米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB 的中点E 处的球，球沿EF 射向边AD ，然后反弹到C 点
的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v 米/秒，则球从出发到入袋的时间等于
（用
40
含m 和v，的式子表示）
【答案】5
2
m
v
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解
1
2
AE
BE
m
，
2
AD
BC
m
，AB
CD
m
，
90
A
D
，再证明AEF
DCF
∽
，再利用相似三角形的性质与勾股
定理可得答案．
【详解】解：∵一张宽为m 米，长为2m 米的矩形台球桌ABCD，AB 的中点为E，
∴
1
2
AE
BE
m
，
2
AD
BC
m
，AB
CD
m
，
90
A
D
，
由反弹规律满足光的反射定律．
∴
AFE
DFC
，
∴AEF
DCF
∽
，
∴
1
1
2
2
m
AF
AE
DF
DC
m
，
∴
2
3
AF
m
，
4
3
DF
m
，
∴
2
2
1
2
5
2
3
6
EF
m
m
m
，
2
2
4
5
3
3
CF
m
m
m
，
∴
5
5
5
6
3
2
EF
CF
m
m
m
，
∴
5
5
2
2
m
m
t
v
v
，
故答案为：5
2
m
v
4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏
完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某
次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计
41
时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
．
【答案】3cm /3 厘米
【分析】本题考查了相似三角形的应用．由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD
DE
，根据
圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度
AD
x
cm，则
6
DE
CD
x
cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E，过点E 作DE
AC
于点D，则
6
AB
cm，
6
AC
cm，
∴ABC
为等腰直角三角形，
∵DE
AB
∥
，
∴
CDE
CAB
∽△
△
，
∴CDE
为等腰直角三角形，
∴CD
DE
，
圆柱体内液体的体积为：
2
3
3
7
63
cm
圆锥的体积为
2
3
1
6
6
72
cm
3
，
设此时“沙漏”中液体的高度AD
x
cm，则
6
DE
CD
x
cm，
∴
2
1
(6
)
(6
)
72
63
3
x
x
，
∴
3
(6
)
27
x
，
解得：
3
x
，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
42
故答案为：3cm．
5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD ．他们的身高分别是1.6m ，1.8m（
1.6m
EB
，
1.8m
FC
），小明在距离树0.3m 的B 处（
0.3m
AB
），看树的顶端D 的视线为ED ，原地再看爸爸的头部，
视线为EF ，爸爸经过移动调整位置，当EF
ED
时爸爸停止移动，这时测得
6.1m
AC
．已知点A，B，C
在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD ．
【答案】树的高度AD 为10.3 米．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点E 作EG
CF
于点G ，延长GE 交AD 于点H ，则
GH
AD
，证明
EFG
DEH
∽
△
△
，可得FG
EG
EH
DH
，求得DH ，进而可求得AD ．
【详解】解：如图，过点E 作EG
CF
于点G ，延长GE 交AD 于点H ，则GH
AD
，
CF
AC
，AD
AC
，BE
AC
，
四边形CBEG ，四边形AHEB 是矩形．
1.6m
AH
BE
CG
，
)
6.1
0 3
m
(
.
5.8
EG
BC
，
0.3m
HE
AB
，
90
FGE
EHD
FED
，
90
EFG
FEG
FEG
DEH
，
GFE
DEH
，
EFG
DEH
∽
△
△
，
FG
EG
EH
DH
，即1.8 1.6
5.8
0.3
DH
，
43
解之，得
8.7
DH
．
8.7
1 6
10 3(m)
AD
DH
AH
.
.
，
答∶树的高度AD 为10.3 米．
6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所
学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽
在汉武大帝雕像影子的末端C 点处竖立一根2.4 米的标杆CD ，此时，小哲测标杆CD 的影长
3.2
CE
米；
然后，小泽从C 点沿BC 方向走了9.6 米（
9.6
CG
米），到达点G ，在G 处树立一根2.4 米的标杆FG ，接
着沿BG 方向走到点M 处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端A 与点F 在一条直线上（即A ，F ，H 在一条直
线上），此时，小哲测得
1.6
GM
米，小泽的眼睛到地面距离
1.6
HM
米．请你根据题中提供的相关信息，
求出汉武大帝雕像AB 的高．
【答案】21.6 米
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明
DCE
ABC
，则
2.4
3
3.2
4
AB
DC
BC
CE
，设
3
BA
x
，则
4
BC
x
，过点H 作HN
AB
，交GF 于点P ，交AB 于点N ，证明四边形BMHN 为矩形，得
到
1.6m
PH
GM
，
0.8m
FP
，再证明ANH
FPH
，则
0.8
1
1.6
2
AN
FP
NH
PH
，得到
3
1.6
1
4
9.6 1.6
2
x
x
，
解得：
7.2
x
，即可得到答案．
【详解】解：
90
ABC
DCE
光线
∥
DE
AC
DEC
ACB
DCE
ABC
2.4
3
3.2
4
AB
DC
BC
CE
设
3
BA
x
，则
4
BC
x
过点H 作HN
AB
，交GF 于点P ，交AB 于点N
44
FE
AE
，AB
AE
，FG
AB
90
ABC
BMH
BNH
四边形BMHN 为矩形
1.6m
PH
GM
，
2.4 1.6
0.8m
FP
FG
PG
90
ANH
FPH
AHN
FHP
ANH
FPH
0.8
1
1.6
2
AN
FP
NH
PH
3
1.6
1
4
9.6
1.6
2
x
x
解得：
7.2
x
3
21.6m
AB
x
答：汉武大帝雕像AE 的高为21.6 米.
7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP 的长，在离河岸D 点3.2 米远的B 点，立一根长为1.6 米的标
杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5 米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N，即PM
PN
，
两岸均高出水平面0.75 米，即
0.75
DE
FP
米，经测量此时A、D、N 三点在同一直线上，并且点M、F、
P、N 共线，点B、D、F 共线，若AB
DE
MF
、
、
均垂直于河面EP ，求河宽EP 是多少米？
【答案】河宽EP 是12 米．
【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长AB 交EP 的反向延长线于点H，由
ABD
AHO
△
∽△
求得OH ，再由
AHO
NPO
△
∽△
求得OP ，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似．
【解答】延长AB 交EP 的反向延长线于点H，
45
则四边形BDEH 是矩形，
∴
0.75
BH
DE
BD
EH
，
，
∴
1.6
0.75
2.35
AH
AB
BH
AB
DE
，
∵BD
OH
，
∴
ABD
AHO
△
∽△
，
BD
AB
HO
AH
，
3.2
1.6
2.35
HO
，
∴
4.7
HO
，
∵
4.5
PM
PN
MF
，
米，
0.75
FP
米，
∴
5.25
PN
MF
FP
米，
∵AH
EP
PN
EP
，
，
∴AH
PN
，
∴
AHO
NPO
△
∽△
，
AH
HO
NP
PO
，
2.35
4.7
5.25
PO
，
∴
10.5
PO
，
∴
10.5
4.7
3.2
12
PE
PO
OE
，
答：河宽EP 是12 米．
8．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD 和BC 的交点
为M．
46
(1)若
15m
AB
，
10m
CD
，求点M 离地面的高度MH ；
(2)若AB
a
=
，CD
b
，MH
l
，请判断a，b，l 三者之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
6 m
MH
(2) 1
1
1
a
b
l
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．
（1）根据题意得到MH
AB
∥
，MH
CD
∥
，证明
DMH
DAB
∽
△
△
，BMH
BCD
∽
，分别得到15
MH
DH
BD
=
①，10
MH
BH
BD
②，两式相加，即可得出结果；
（2）同理（1）解答即可．
【详解】（1）解：∵MH
AB
∥
，
DMH
DAB
\
∽
，
MH
DH
AB
BD
\
=
∴15
MH
DH
BD
=
①
∵MH
CD
∥
，
BMH
BCD
\
∽
，
∴MH
BH
CD
BD
∴10
MH
BH
BD
②
∴①②得，
1
15
10
MH
MH
DH
BH
BD
BD
BD
BD
，
∴解得
6 m
MH
；
（2）解：∵MH
AB
∥
，
DMH
DAB
\
∽
，
MH
DH
AB
BD
\
=
∴l
DH
a
BD
①
∵MH
CD
∥
，
BMH
BCD
\
∽
，
47
∴MH
BH
CD
BD
∴l
BH
b
BD
②，
∴①②得
1
l
l
DH
BH
BD
a
b
BD
BD
BD
，
∴1
1
1
a
b
l
．
9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三
角形纸板的斜边长为0.5 米，较短的直角边长为0.3 米．
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB 平
行于地面MN（点M、P、E、N 在一直线上），且点D 在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB
距离地面的高度EF 为1.5 米，小丽与古树的距离AF 为16 米，求古树的高度DE ；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为
A
B
C
、、
（如图②），使直角边B C
（较短直角边）平行于地面MN （点M、Q、E、N 在一直线上），点D
在斜边B A
的延长线上，且测得此时边B C
距离地面的高度依然是1.5 米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】(1)古树的高度DE 为13.5 米
(2)小丽向前移动了7 米
【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用：
（1）先在Rt
ABC
△
中，由勾股定理求得AC ，再利用Rt
ABC
△
和Rt ADF
相似求得DF 的长，加上EF ，
即可求得树高DE ；
（2）利用Rt A B C
和Rt D B F
相似求得B F
的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【详解】（1）解：∵
90
DFA
ACB
DAF
CAB
,
，
∴DFA
BCA
∽
，
∴DF
AF
BC
CA
，
在Rt
ABC
△
中，
48
∵
0.5m
0.3m
AB
BC
,
，
由勾股定理得
2
2
0.4 m
AC
AB
BC
，
∵
16m
AF
，
∴
16
0.3
0.4
DF
，
∴
12(m)
DF
，
∴
12 1.5
13.5(m)
DE
DF
EF
，
答：古树的高度DE 为13.5 米；
（2）解：∵
90 ,
D FB
A C B
D B F
A B C
，
∴D FB
A C B
∽
，
∴B F
D F
B C
A C
，
∴
12
0.3
0.4
B F
，
∴
9(m)
B F
，
∴16
9
7(m)
，
答：小丽向前移动了7 米．
10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2 是其
光路简图：O表示小孔，OE 的长为物距，OF 的长为像距，E ，O，F 三点在同一条直线上，物AB
EF
于
E ，像CD
EF
于F ．
(1)求证：AB
OE
CD
OF
；
(2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算
一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为d ，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为l ．如果要估测
太阳的直径，还需要测量______，用x 表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有d ，l ，x
的代数式表示）
【答案】(1)见解析
49
(2)树叶缝隙到光斑中心的距离，
d l
x
x
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知AB
CD
，证明ABO
CDO
∽
，AEO
CFO
∽
，则AB
AO
CD
CO
，AO
OE
CO
OF
，进而结论得证；
（2）由（1）中AO
OE
CO
OF
可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可
得太阳的直径可表示为
d l
x
x
．
【详解】（1）证明：∵AB
EF
于E ，CD
EF
于F ，
∴AB
CD
，
∴
A
C
，
又∵
AOB
COD
，
AOE
COF
，
∴ABO
CDO
∽
，AEO
CFO
∽
，
∴AB
AO
CD
CO
，AO
OE
CO
OF
，
∴AB
OE
CD
OF
．
（2）解：由（1）中AB
OE
CD
OF
可知，记光斑的直径为AB
d
，太阳的直径可表示为CD ，地球到太阳的距
离为EF
l
，
∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离OE
x
，
∴OF
l
x
，太阳的直径可表示为
d l
x
AB OF
CD
OE
x
，
故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离，
d l
x
x
．
11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和
光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l 垂直于凸透镜MN ，且经过凸透镜光心O，将长度为8 厘米
的发光物箭头AB 进行移动，使物距OC 为32 厘米，光线AO
BO
、
传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈
现一个清晰的像A B
，此时测得像距OD 为12.8厘米．
50
(1)求像A B
的长度．
(2)已知光线AP 平行于主光轴l，经过凸透镜MN 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF 的长．
【答案】(1)3.2厘米
(2) 64
7 厘米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，
（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明
OAB
OA B
△
△
∽
与△OAC
OA D
∽
解答即可；
（2）过点A作A E OD
交MN 于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）由题意得：AB
MN
A B
，
32cm,
12.8cm,
8cm
OC
OD
AB
，
∵AB
A B
∥
，
∴
OAB
OA B
△
△
∽
，
∴AB
OA
A B
OA
，
∵AB
A B
∥
，
∴OAC
OA D
∽
，
∴OA
OC
OA
OD
，
∴AB
OC
A B
OD
，
∴
8
32
12.8
A B
，
51
∴
3.2
A B
．
∴像A B
的长度3.2厘米．
（2）过点A作A E OD
交MN 于点E，如图，
∵A E
OD
MN
A B
，
，
∴四边形A EOD
为平行四边形，
∴
12.8cm,
A E
OD
OE
A D
．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
∴
32cm
AP
OC
，
∵AP
CD
A E
OD
，
，
∴AP
A E
，
∴APO
A EO
∽
，
∴
32
5
12.8
2
PO
AP
OE
A E
，
∴
5
2
PO
A D
．
∵MN
A B
，
∴POF
A DF
∽
，
∴
5
2
PO
OF
A D
DF
，
∴
5
64
7
7
OF
OD
（厘米）．
∴凸透镜焦距OF 的长为64
7 厘米．
12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB
CD
，
的照射下，地面上形成了他的两个影子
EH
EG
，
．已知光源B，D 的高均为10m ，小凯的身高EF 为1.5m ，两盏路灯相距40m ，A，C，E，G，H
在同一平面内．
52
(1)当影子EG 长为6m时，求此时小凯到路灯CD 的距离EC ；
(2)连接GH ，判断GH 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH 最长达到9m ，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
【答案】(1)34m
(2)GH
AC
∥
，见解析
(3) 90 m
49
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
（1）证明GFE
GDC
∽
，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）证明GHE
CEA
∽
，可得
ACE
HGE
，可得GH
AC
∥
；
（3）由GHE
CEA
∽
，求出GE ，再由GFE
GDC
∽
求出EF 即可
【详解】（1）解：∵
,
EF
CD
∥
∴GFE
GDC
∽
，
∴
,
GE
EF
GC
CD
∵
6m,
1.5m,
10m,
GE
EF
CD
∴
6
1.5
6
10
EC
，
解得，
34m
EC
，
答：此时小凯到路灯CD 的距离
34m
EC
；
（2）解：如图，
由（1）可得：
1.5
3
10
20
EH
GE
EF
HA
GC
CD
,
53
∴
,
HE
GE
AE
CE
又
,
GEH
CEA
∴GHE
CEA
∽
，
∴
ACE
HGE
∴GH
AC
∥
；
（3）解：如图，
同（2）可得GHE
CEA
∽
，
∴
,
GH
GE
AC
EC
∵
9m,
34m,
40m,
GH
CE
AC
∴9
40
34
GE
，
∴
153 m
20
GE
，
又GFE
GDC
∽
∴GE
FE
GC
CD
，
∴
153
20
153
10
34
20
EF
解得，
90 m
49
EF
，
所以，小凯头顶离地面的最大高度90 m
49
．
13．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得
海关大楼的高度，如图1 所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，
如图2 所示．
54
【问题提出】
问题一：现测量得到BC
a
，CE
b
，DE
c
．问：海关大楼高AB 高为多少？（用a ，b ，c 表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3 所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到
了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
似，将测量距离进行转化，如图4 所示．
问题二：小星测量得到
16.8m
EG
，
1.6m
DF
，
1.8m
GN
，
1.45m
DE
，请你求出海关大楼AB 的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？
【答案】问题一：
ac
AB
b
；问题二：
76.8
AB
；问题三：见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
问题一：根据反射特点可知
ACB
DCE
，即可证明
ABC
DEC
∽
△
△
，有AB
BC
DE
EC
，即可求得AB ．
问题二：由反射特点可知
AEB
FED
，
AGB
MGN
，证得AEB
FED
∽
，AGB
MGN
∽
，有
AB
EB
FD
ED
，AB
GB
MN
GN
，结合FD
MN
得到EB
GB
ED
GN
，求得EB ，可得AB ；
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【详解】解：问题一：由反射特点可知
ACB
DCE
，
55
又∵
90
ABC
DEC
，
∴
ABC
DEC
∽
△
△
，
∴AB
BC
DE
EC
∵BC
a
，CE
b
，DE
c
即：AB
a
c
b
，
∴
ac
AB
b
．
问题二：
由反射特点可知
AEB
FED
，
AGB
MGN
，
∵
90
ABC
FDE
MNG
∴AEB
FED
∽
，AGB
MGN
∽
，
∴AB
EB
FD
ED
，AB
GB
MN
GN
，
∵FD
MN
，
∴EB
GB
ED
GN
，
∵
16.8m
EG
，
1.6m
DF
，
1.8m
GN
，
1.45m
DE
，
∴
16.8
1.45
1.8
EB
EB
，解得
69.6
EB
，
∴
69.6
1.6
1.45
AB
，
解得
76.8
AB
；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到
AEB
FED
和
AGB
MGN
，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
14．综合与实践
视力表中蕴含的数学知识
56
素
材
1
用硬纸板复制视力表中所对应的“ E ”，并依次编号①，②，
放在水平桌面上．如图1 所示，将②号“ E ”沿水平桌面向
右移动，直至从观测点O看去，对应顶点
1P ，
2P ，O在一
条直线上为止．这时我们说，在
1
D 处用①号“ E ”测得的视
力与在
2
D 处用②号“ E ”测得的视力相同．
任
务
1
探究图中
1
1
b
l 与
2
2
b
l 之间的关系，请说明理由；
任
务
2
若
1
1.6cm
b
，
2
1cm
b
，①号“ E ”的测量距离1
40cm
l
，要使测得的视力相同，求②号“ E ”的测量距
离2l ．
素
材
2
为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离
为5m 的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好
方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图
2，在相距3m 的两面墙上分别悬挂视力表
AB 与平面镜
MN ，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人
的位置，使得视力表AB 的上、下边沿A
B
，发出的光线经
平面镜MN 的上下边沿反射后射入人眼C 处，通过测量视
力表的全长
AB 就可以计算出镜长MN ．
任
务
3
美美的方法中如果视力表的全长为0.8m ，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】任务1：
1
2
1
2
b
b
l
l
，理由见解析；任务2：②号“ E ”的测量距离2l 为25cm；任务3：镜长至少为0.32m
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形
57
结合的思想是解此题的关键．
任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答；
任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可；
任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可．
【详解】解：任务1：
1
2
1
2
b
b
l
l
，
理由如下：
1
1
2
2
PD
P D
∥
，
1
1
2
2
PD O
P D O
∽
，
1
1
1
2
2
2
PD
D O
P D
D O
，即
1
2
1
2
b
b
l
l
；
任务2：
1
2
1
2
b
b
l
l
，且
1
1.6cm
b
，
2
1cm
b
，1
40cm
l
，
2
1.6
1
40
l
，
2
25
l
，
②号“ E ”的测量距离2l 为25cm；
任务3：如图，延长CM 至A，使A M
AM
，延长CN 至B，使B N
BN
，连接A B
，作CF
A B
于F ，
交MN 于E ，
，
则
0.8m
A B
AB
，A B
MN
∥
，
CE
MN
，CMN
CA B
∽
，
CE
MN
F
A B
C
，
由题意得：
2m
CE
，
3m
EF
，
5m
CF
，
0
2
5
.8
MN
，
58
0.32m
MN
，
镜长至少为0.32m．
15．张师傅有一块如ABC
的锐角三角形木料，其中
120mm
BC
，高
80mm
AD
，张师傅想把它加工成矩形
零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，PQ与AD 交于点H．
(1)当点P 恰好为AB 中点时，PQ ______；
(2)当四边形PQMN 为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边
:
1: 2
PN PQ
．则这个零件的长、宽各是多少？
【答案】(1)60
(2)这个零件的边长为48mm ；
(3)矩形的长为480 mm
7
，宽为240 mm
7
．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据PQ
BC
∥
，得到APQ
ABC
∽
，利用相似三角形的性质可得到答案；
（2）设正方形的边长为mm
a
，根据PQ
BC
∥
，得到APQ
ABC
∽
，得到对应高之比等于相似比，PQ
AH
BC
AD
，
据此求解即可；
（3）设矩形的宽为x ，则长为2x ，然后根据相似三角形PQ
AH
BC
AD
，列出比例关系式求解．
【详解】（1）解：∵四边形PQMN 为矩形，
∴PQ
BC
∥
，
∴APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AP
BC
AB
，
∵P 为AB 中点，
∴
1
2
AP
AB
，
59
1
120
2
PQ
，
∴
60 mm
PQ
；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ
BC
∥
，PQ
PN
HD
，
设正方形的边长为mm
a
，则
mm
PQ
PN
HD
a
，
∵PQ
BC
∥
，
∴APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AH
BC
AD
，
∴
80
120
80
a
a
，
解得
48
a
，
答：这个零件的边长为48mm ；
（3）解：设矩形宽为mm
x
，则长为2 mm
x
，
同理APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AH
BC
AD
，
∴2
80
120
80
x
x
，
解得
240
7
x
，
480
2
7
x
，
故矩形的长为480 mm
7
，宽为240 mm
7
．
16．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其
中原理，如；物距u 、像距v 和焦距f 之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、
正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理．
(1)小明先取物距
1.5
u
f
，然后画出光路图（如图1），其中AB 为物体，O 为凸透镜MN 的光心，入射光线
60
AC∥光轴，折射光线CA经过焦点C，A B
为AB 所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当
1.5
u
f
时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）
的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当
1.5
u
f
时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距u 、像距v 和焦距f 之间在成实像时存在着关系：1
1
1
u
v
f
，请以物距
2
u
f
时为例，请仿照（1）②的方法，在图2 中画光路图证明这个关系式．
【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2 倍
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是：
（1）①根据图像直接回答；②根据图像得到AB
OC
A B
∥
∥
，AB
OC
，可得
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
，得到A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，等量代换可得1.5
OB
B C
f
f
，整理得：
3
OB
f
，继而
得到
2
A B
OB
AB
OB
，可得结果；
（2）由光路图得到AB
OC
，BO
u
，OB
v
，OC
f
，AB
OC
A B
∥
∥
，同（1）②可得A B
A B
AB
CO
，
则OB
B C
OB
OC
，代入数据得到v
v
f
u
f
，变形整理可得结果．
【详解】（1）解：①当
1.5
u
f
时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像；
②由图可知：AB
OC
A B
∥
∥
，AB
OC
，
∴
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
，
∴A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，
即
1.5
A B
OB
AB
f
，A B
B C
AB
f
，
∴1.5
OB
B C
f
f
，
61
∴
1.5
OB
B C
，即
1.5
OB
OB
f
，
∴
3
OB
f
，
∴
3
2
1.5
A B
OB
f
AB
OB
f
，
∴
2
A B
AB
，即物体成像时放大了2 倍；
（2）由光路图可得：AB
OC
，BO
u
，OB
v
，OC
f
，AB
OC
A B
∥
∥
，
∴
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
∴A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，
∵A B
A B
AB
CO
，
∴OB
B C
OB
OC
，即v
v
f
u
f
，
∴
1
v
v
v
v
u
f
f
v
，
∴v
v
v
u
v
f
，
∴1
1
1
u
v
f
．
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一
百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N 分别是正方形ABCD
的边AD ，AB 的中点，ME
AD
，NF
AB
，EF 过点A，且
100
ME
步，
225
NF
步，那么该正方形
城邑边长AD 约为（
）步．
62
A．300
B．250
C．225
D．150
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的
关键．由题意可知AME
FNA
∽
，根据相似三角形性质得到FN
AM
AN
EM
，设
2
AD
a
，由M
N
、
分别是正
方形ABCD的边AD
AB
、
的中点可知AM
AN
a
，则225
100
a
a
，解得
150
a
，从而得到正方形城邑边长
2
300
AD
a
步．
【详解】解：ME
AD
，NF
AB
，
90
FNA
AME
，
正方形ABCD中，
90
MAN
，EF 过点A ，
FN
AM
∥
，则
F
EAM
，
AME
FNA
∽
，
FN
AM
AN
EM
，
M
N
、
分别是正方形ABCD的边AD
AB
、
的中点，设
2
AD
a
，
AM
AN
a
，
100
ME
步，
225
NF
步，
225
100
a
a
，即
2
100
225
a
，解得
150
a
负舍去值，
正方形城邑边长
2
300
AD
a
步，
故选：A．
2．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度，.古代的人们发现，夏至时日影最
短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个
时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角
BAC
和第二时刻光线与地面的夹角
ADB
相等，测得第一
时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为
尺
63
【答案】24
【分析】本题考查相似三角形的应用，由
ABC
DBA
BAC
ADB
，
，得ABC
DBA
∽
，知AB
BC
BD
AB
，
故
2
6
24
1.5
BD
（尺），即第二时刻的影长为24 尺．
【详解】解：∵
ABC
DBA
BAC
ADB
，
，
∴ABC
DBA
∽
，
∴AB
BC
BD
AB
，
∴
2
AB
BD
BC
，
根据题意得：
6
AB
尺，
1.5
BC
尺，
∴
2
6
24
1.5
BD
（尺）；
∴第二时刻的影长为24 尺；
故答案为：24 ．
3．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m 米，长
为2m 米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB 的中点E 处的球，球沿EF 射向边AD ，然后反弹到C 点的
球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v 米/秒，则球从出发到入袋的时间等于
（用
含m 和v，的式子表示）
【答案】5
2
m
v
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解
1
2
AE
BE
m
，
64
2
AD
BC
m
，AB
CD
m
，
90
A
D
，再证明AEF
DCF
∽
，再利用相似三角形的性质与勾股
定理可得答案．
【详解】解：∵一张宽为m 米，长为2m 米的矩形台球桌ABCD，AB 的中点为E，
∴
1
2
AE
BE
m
，
2
AD
BC
m
，AB
CD
m
，
90
A
D
，
由反弹规律满足光的反射定律．
∴
AFE
DFC
，
∴AEF
DCF
∽
，
∴
1
1
2
2
m
AF
AE
DF
DC
m
，
∴
2
3
AF
m
，
4
3
DF
m
，
∴
2
2
1
2
5
2
3
6
EF
m
m
m
，
2
2
4
5
3
3
CF
m
m
m
，
∴
5
5
5
6
3
2
EF
CF
m
m
m
，
∴
5
5
2
2
m
m
t
v
v
，
故答案为：5
2
m
v
4．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏
完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某
次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计
时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
．
【答案】3cm/3 厘米
【分析】本题考查了相似三角形的应用．由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD
DE
，根据
圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度
65
AD
x
cm，则
6
DE
CD
x
cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E，过点E 作DE
AC
于点D，则
6
AB
cm，
6
AC
cm，
∴ABC
为等腰直角三角形，
∵DE
AB
∥
，
∴
CDE
CAB
∽△
△
，
∴CDE
为等腰直角三角形，
∴CD
DE
，
圆柱体内液体的体积为：
2
3
3
7
63
cm
圆锥的体积为
2
3
1
6
6
72
cm
3
，
设此时“沙漏”中液体的高度AD
x
cm，则
6
DE
CD
x
cm，
∴
2
1
(6
)
(6
)
72
63
3
x
x
，
∴
3
(6
)
27
x
，
解得：
3
x
，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故答案为：3cm．
5．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD ．他们的身高分别是1.6m ，1.8m（
1.6m
EB
，
1.8m
FC
），小明在距离树0.3m 的B 处（
0.3m
AB
），看树的顶端D 的视线为ED ，原地再看爸爸的头部，
视线为EF ，爸爸经过移动调整位置，当EF
ED
时爸爸停止移动，这时测得
6.1m
AC
．已知点A，B，C
在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD ．
66
【答案】树的高度AD 为10.3 米．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点E 作EG
CF
于点G ，延长GE 交AD 于点H ，则
GH
AD
，证明
EFG
DEH
∽
△
△
，可得FG
EG
EH
DH
，求得DH ，进而可求得AD ．
【详解】解：如图，过点E 作EG
CF
于点G ，延长GE 交AD 于点H ，则GH
AD
，
CF
AC
，AD
AC
，BE
AC
，
四边形CBEG ，四边形AHEB 是矩形．
1.6m
AH
BE
CG
，
)
6.1 0 3
m
(
.
5.8
EG
BC
，
0.3m
HE
AB
，
90
FGE
EHD
FED
，
90
EFG
FEG
FEG
DEH
，
GFE
DEH
，
EFG
DEH
∽
△
△
，
FG
EG
EH
DH
，即1.8 1.6
5.8
0.3
DH
，
解之，得
8.7
DH
．
8.7 1 6
10 3(m)
AD
DH
AH
.
.
，
答∶树的高度AD 为10.3 米．
6．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所
学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽
67
在汉武大帝雕像影子的末端C 点处竖立一根2.4 米的标杆CD ，此时，小哲测标杆CD 的影长
3.2
CE
米；然
后，小泽从C 点沿BC 方向走了9.6 米（
9.6
CG
米），到达点G ，在G 处树立一根2.4 米的标杆FG ，接着
沿BG 方向走到点M 处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端A 与点F 在一条直线上（即A ，F ，H 在一条直线
上），此时，小哲测得
1.6
GM
米，小泽的眼睛到地面距离
1.6
HM
米．请你根据题中提供的相关信息，求
出汉武大帝雕像AB 的高．
【答案】21.6 米
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明
DCE
ABC
，则
2.4
3
3.2
4
AB
DC
BC
CE
，设
3
BA
x
，则
4
BC
x
，过点H 作HN
AB
，交GF 于点P ，交AB 于点N ，证明四边形BMHN 为矩形，得
到
1.6m
PH
GM
，
0.8m
FP
，再证明ANH
FPH
，则
0.8
1
1.6
2
AN
FP
NH
PH
，得到
3
1.6
1
4
9.6
1.6
2
x
x
，
解得：
7.2
x
，即可得到答案．
【详解】解：
90
ABC
DCE
光线
∥
DE
AC
DEC
ACB
DCE
ABC
2.4
3
3.2
4
AB
DC
BC
CE
设
3
BA
x
，则
4
BC
x
过点H 作HN
AB
，交GF 于点P ，交AB 于点N
FE
AE
，AB
AE
，FG
AB
90
ABC
BMH
BNH
四边形BMHN 为矩形
1.6m
PH
GM
，
2.4 1.6
0.8m
FP
FG
PG
68
90
ANH
FPH
AHN
FHP
ANH
FPH
0.8
1
1.6
2
AN
FP
NH
PH
3
1.6
1
4
9.6
1.6
2
x
x
解得：
7.2
x
3
21.6m
AB
x
答：汉武大帝雕像AE 的高为21.6 米.
7．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP 的长，在离河岸D 点3.2 米远的B 点，立一根长为1.6 米的标
杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5 米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N，即PM
PN
，
两岸均高出水平面0.75 米，即
0.75
DE
FP
米，经测量此时A、D、N 三点在同一直线上，并且点M、F、
P、N 共线，点B、D、F 共线，若AB
DE
MF
、
、
均垂直于河面EP ，求河宽EP 是多少米？
【答案】河宽EP 是12 米．
【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长AB 交EP 的反向延长线于点H，由
ABD
AHO
△
∽△
求得OH ，再由
AHO
NPO
△
∽△
求得OP ，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似．
【解答】延长AB 交EP 的反向延长线于点H，
则四边形BDEH 是矩形，
∴
0.75
BH
DE
BD
EH
，
，
∴
1.6
0.75
2.35
AH
AB
BH
AB
DE
，
∵BD
OH
，
69
∴
ABD
AHO
△
∽△
，
BD
AB
HO
AH
，
3.2
1.6
2.35
HO
，
∴
4.7
HO
，
∵
4.5
PM
PN
MF
，
米，
0.75
FP
米，
∴
5.25
PN
MF
FP
米，
∵AH
EP
PN
EP
，
，
∴AH
PN
，
∴
AHO
NPO
△
∽△
，
AH
HO
NP
PO
，
2.35
4.7
5.25
PO
，
∴
10.5
PO
，
∴
10.5
4.7
3.2
12
PE
PO
OE
，
答：河宽EP 是12 米．
8．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD 和BC 的交点
为M．
(1)若
15m
AB
，
10m
CD
，求点M 离地面的高度MH ；
(2)若AB
a
=
，CD
b
，MH
l
，请判断a，b，l 三者之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
6 m
MH
(2) 1
1
1
a
b
l
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．
（1）根据题意得到MH
AB
∥
，MH
CD
∥
，证明
DMH
DAB
∽
△
△
，BMH
BCD
∽
，分别得到15
MH
DH
BD
=
70
①，10
MH
BH
BD
②，两式相加，即可得出结果；
（2）同理（1）解答即可．
【详解】（1）解：∵MH
AB
∥
，
DMH
DAB
\
∽
，
MH
DH
AB
BD
\
=
∴15
MH
DH
BD
=
①
∵MH
CD
∥
，
BMH
BCD
\
∽
，
∴MH
BH
CD
BD
∴10
MH
BH
BD
②
∴①②得，
1
15
10
MH
MH
DH
BH
BD
BD
BD
BD
，
∴解得
6 m
MH
；
（2）解：∵MH
AB
∥
，
DMH
DAB
\
∽
，
MH
DH
AB
BD
\
=
∴l
DH
a
BD
①
∵MH
CD
∥
，
BMH
BCD
\
∽
，
∴MH
BH
CD
BD
∴l
BH
b
BD
②，
∴①②得
1
l
l
DH
BH
BD
a
b
BD
BD
BD
，
∴1
1
1
a
b
l
．
9．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三
角形纸板的斜边长为0.5 米，较短的直角边长为0.3 米．
71
(1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB 平
行于地面MN（点M、P、E、N 在一直线上），且点D 在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB
距离地面的高度EF 为1.5 米，小丽与古树的距离AF 为16 米，求古树的高度DE ；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为
A
B
C
、、
（如图②），使直角边B C
（较短直角边）平行于地面MN （点M、Q、E、N 在一直线上），点D
在斜边B A
的延长线上，且测得此时边B C
距离地面的高度依然是1.5 米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】(1)古树的高度DE 为13.5 米
(2)小丽向前移动了7 米
【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用：
（1）先在Rt
ABC
△
中，由勾股定理求得AC ，再利用Rt
ABC
△
和Rt ADF
相似求得DF 的长，加上EF ，
即可求得树高DE ；
（2）利用Rt A B C
和Rt D B F
相似求得B F
的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【详解】（1）解：∵
90
DFA
ACB
DAF
CAB
,
，
∴DFA
BCA
∽
，
∴DF
AF
BC
CA
，
在Rt
ABC
△
中，
∵
0.5m
0.3m
AB
BC
,
，
由勾股定理得
2
2
0.4 m
AC
AB
BC
，
∵
16m
AF
，
∴
16
0.3
0.4
DF
，
∴
12(m)
DF
，
∴
12 1.5
13.5(m)
DE
DF
EF
，
答：古树的高度DE 为13.5 米；
72
（2）解：∵
90 ,
D FB
A C B
D B F
A B C
，
∴D FB
A C B
∽
，
∴B F
D F
B C
A C
，
∴
12
0.3
0.4
B F
，
∴
9(m)
B F
，
∴16
9
7(m)
，
答：小丽向前移动了7 米．
10．小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2 是其
光路简图：O表示小孔，OE 的长为物距，OF 的长为像距，E ，O，F 三点在同一条直线上，物AB
EF
于
E ，像CD
EF
于F ．
(1)求证：AB
OE
CD
OF
；
(2)某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算
一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为d ，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为l ．如果要估测
太阳的直径，还需要测量______，用x 表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有d ，l ，x
的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)树叶缝隙到光斑中心的距离，
d l
x
x
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知AB
CD
，证明ABO
CDO
∽
，AEO
CFO
∽
，则AB
AO
CD
CO
，AO
OE
CO
OF
，进而结论得证；
（2）由（1）中AO
OE
CO
OF
可知，如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离，进而可
得太阳的直径可表示为
d l
x
x
．
73
【详解】（1）证明：∵AB
EF
于E ，CD
EF
于F ，
∴AB
CD
，
∴
A
C
，
又∵
AOB
COD
，
AOE
COF
，
∴ABO
CDO
∽
，AEO
CFO
∽
，
∴AB
AO
CD
CO
，AO
OE
CO
OF
，
∴AB
OE
CD
OF
．
（2）解：由（1）中AB
OE
CD
OF
可知，记光斑的直径为AB
d
，太阳的直径可表示为CD ，地球到太阳的距
离为EF
l
，
∴如果要估测太阳的直径，还需要测量树叶缝隙到光斑中心的距离OE
x
，
∴OF
l
x
，太阳的直径可表示为
d l
x
AB OF
CD
OE
x
，
故答案为：树叶缝隙到光斑中心的距离，
d l
x
x
．
11．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和
光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l 垂直于凸透镜MN ，且经过凸透镜光心O，将长度为8 厘米
的发光物箭头AB 进行移动，使物距OC 为32 厘米，光线AO
BO
、
传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈
现一个清晰的像A B
，此时测得像距OD 为12.8厘米．
(1)求像A B
的长度．
(2)已知光线AP 平行于主光轴l，经过凸透镜MN 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF 的长．
【答案】(1)3.2厘米
(2) 64
7 厘米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，
74
（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明
OAB
OA B
△
△
∽
与△OAC
OA D
∽
解答即可；
（2）过点A作A E OD
交MN 于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）由题意得：AB
MN
A B
，
32cm,
12.8cm,
8cm
OC
OD
AB
，
∵AB
A B
∥
，
∴
OAB
OA B
△
△
∽
，
∴AB
OA
A B
OA
，
∵AB
A B
∥
，
∴OAC
OA D
∽
，
∴OA
OC
OA
OD
，
∴AB
OC
A B
OD
，
∴
8
32
12.8
A B
，
∴
3.2
A B
．
∴像A B
的长度3.2厘米．
（2）过点A作A E OD
交MN 于点E，如图，
∵A E
OD
MN
A B
，
，
∴四边形A EOD
为平行四边形，
∴
12.8cm,
A E
OD
OE
A D
．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
75
∴
32cm
AP
OC
，
∵AP
CD
A E
OD
，
，
∴AP
A E
，
∴APO
A EO
∽
，
∴
32
5
12.8
2
PO
AP
OE
A E
，
∴
5
2
PO
A D
．
∵MN
A B
，
∴POF
A DF
∽
，
∴
5
2
PO
OF
A D
DF
，
∴
5
64
7
7
OF
OD
（厘米）．
∴凸透镜焦距OF 的长为64
7 厘米．
12．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB
CD
，
的照射下，地面上形成了他的两个影子
EH
EG
，
．已知光源B，D 的高均为10m ，小凯的身高EF 为1.5m ，两盏路灯相距40m ，A，C，E，G，H
在同一平面内．
(1)当影子EG 长为6m时，求此时小凯到路灯CD 的距离EC ；
(2)连接GH ，判断GH 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH 最长达到9m ，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
【答案】(1)34m
(2)GH
AC
∥
，见解析
(3) 90 m
49
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
（1）证明GFE
GDC
∽
，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）证明GHE
CEA
∽
，可得
ACE
HGE
，可得GH
AC
∥
；
76
（3）由GHE
CEA
∽
，求出GE ，再由GFE
GDC
∽
求出EF 即可
【详解】（1）解：∵
,
EF
CD
∥
∴GFE
GDC
∽
，
∴
,
GE
EF
GC
CD
∵
6m,
1.5m,
10m,
GE
EF
CD
∴
6
1.5
6
10
EC
，
解得，
34m
EC
，
答：此时小凯到路灯CD 的距离
34m
EC
；
（2）解：如图，
由（1）可得：
1.5
3
10
20
EH
GE
EF
HA
GC
CD
,
∴
,
HE
GE
AE
CE
又
,
GEH
CEA
∴GHE
CEA
∽
，
∴
ACE
HGE
∴GH
AC
∥
；
（3）解：如图，
同（2）可得GHE
CEA
∽
，
∴
,
GH
GE
AC
EC
∵
9m,
34m,
40m,
GH
CE
AC
77
∴9
40
34
GE
，
∴
153 m
20
GE
，
又GFE
GDC
∽
∴GE
FE
GC
CD
，
∴
153
20
153
10
34
20
EF
解得，
90 m
49
EF
，
所以，小凯头顶离地面的最大高度90 m
49
．
13．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得
海关大楼的高度，如图1 所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，
如图2 所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC
a
，CE
b
，DE
c
．问：海关大楼高AB 高为多少？（用a ，b ，c 表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3 所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到
了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
似，将测量距离进行转化，如图4 所示．
78
问题二：小星测量得到
16.8m
EG
，
1.6m
DF
，
1.8m
GN
，
1.45m
DE
，请你求出海关大楼AB 的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？
【答案】问题一：
ac
AB
b
；问题二：
76.8
AB
；问题三：见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
问题一：根据反射特点可知
ACB
DCE
，即可证明
ABC
DEC
∽
△
△
，有AB
BC
DE
EC
，即可求得AB ．
问题二：由反射特点可知
AEB
FED
，
AGB
MGN
，证得AEB
FED
∽
，AGB
MGN
∽
，有
AB
EB
FD
ED
，AB
GB
MN
GN
，结合FD
MN
得到EB
GB
ED
GN
，求得EB ，可得AB ；
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【详解】解：问题一：由反射特点可知
ACB
DCE
，
又∵
90
ABC
DEC
，
∴
ABC
DEC
∽
△
△
，
∴AB
BC
DE
EC
∵BC
a
，CE
b
，DE
c
即：AB
a
c
b
，
∴
ac
AB
b
．
问题二：
由反射特点可知
AEB
FED
，
AGB
MGN
，
∵
90
ABC
FDE
MNG
∴AEB
FED
∽
，AGB
MGN
∽
，
∴AB
EB
FD
ED
，AB
GB
MN
GN
，
79
∵FD
MN
，
∴EB
GB
ED
GN
，
∵
16.8m
EG
，
1.6m
DF
，
1.8m
GN
，
1.45m
DE
，
∴
16.8
1.45
1.8
EB
EB
，解得
69.6
EB
，
∴
69.6
1.6
1.45
AB
，
解得
76.8
AB
；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到
AEB
FED
和
AGB
MGN
，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
14．张师傅有一块如ABC
的锐角三角形木料，其中
120mm
BC
，高
80mm
AD
，张师傅想把它加工成矩形
零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，PQ与AD 交于点H．
(1)当点P 恰好为AB 中点时，PQ ______；
(2)当四边形PQMN 为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)若这个零件的边
:
1: 2
PN PQ
．则这个零件的长、宽各是多少？
【答案】(1)60
(2)这个零件的边长为48mm ；
(3)矩形的长为480 mm
7
，宽为240 mm
7
．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据PQ
BC
∥
，得到APQ
ABC
∽
，利用相似三角形的性质可得到答案；
（2）设正方形的边长为mm
a
，根据PQ
BC
∥
，得到APQ
ABC
∽
，得到对应高之比等于相似比，PQ
AH
BC
AD
，
据此求解即可；
（3）设矩形的宽为x ，则长为2x ，然后根据相似三角形PQ
AH
BC
AD
，列出比例关系式求解．
80
【详解】（1）解：∵四边形PQMN 为矩形，
∴PQ
BC
∥
，
∴APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AP
BC
AB
，
∵P 为AB 中点，
∴
1
2
AP
AB
，
1
120
2
PQ
，
∴
60 mm
PQ
；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ
BC
∥
，PQ
PN
HD
，
设正方形的边长为mm
a
，则
mm
PQ
PN
HD
a
，
∵PQ
BC
∥
，
∴APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AH
BC
AD
，
∴
80
120
80
a
a
，
解得
48
a
，
答：这个零件的边长为48mm ；
（3）解：设矩形宽为mm
x
，则长为2 mm
x
，
同理APQ
ABC
∽
，
∴PQ
AH
BC
AD
，
∴2
80
120
80
x
x
，
解得
240
7
x
，
480
2
7
x
，
故矩形的长为480 mm
7
，宽为240 mm
7
．
15．爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其
中原理，如；物距u 、像距v 和焦距f 之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、
81
正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理．
(1)小明先取物距
1.5
u
f
，然后画出光路图（如图1），其中AB 为物体，O 为凸透镜MN 的光心，入射光线
AC∥光轴，折射光线CA经过焦点C，A B
为AB 所成的像．请根据光路图1，解答下列问题：
①当
1.5
u
f
时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）
的____________（填“实像”或“虚像”）．
②利用相似的知识，直接写出当
1.5
u
f
时物体成像时放大了__________倍；
(2)小明在研究的过程中发现了物距u 、像距v 和焦距f 之间在成实像时存在着关系：1
1
1
u
v
f
，请以物距
2
u
f
时为例，请仿照（1）②的方法，在图2 中画光路图证明这个关系式．
【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2 倍
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是：
（1）①根据图像直接回答；②根据图像得到AB
OC
A B
∥
∥
，AB
OC
，可得
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
，得到A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，等量代换可得1.5
OB
B C
f
f
，整理得：
3
OB
f
，继而
得到
2
A B
OB
AB
OB
，可得结果；
（2）由光路图得到AB
OC
，BO
u
，OB
v
，OC
f
，AB
OC
A B
∥
∥
，同（1）②可得A B
A B
AB
CO
，
则OB
B C
OB
OC
，代入数据得到v
v
f
u
f
，变形整理可得结果．
82
【详解】（1）解：①当
1.5
u
f
时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像；
②由图可知：AB
OC
A B
∥
∥
，AB
OC
，
∴
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
，
∴A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，
即
1.5
A B
OB
AB
f
，A B
B C
AB
f
，
∴1.5
OB
B C
f
f
，
∴
1.5
OB
B C
，即
1.5
OB
OB
f
，
∴
3
OB
f
，
∴
3
2
1.5
A B
OB
f
AB
OB
f
，
∴
2
A B
AB
，即物体成像时放大了2 倍；
（2）由光路图可得：AB
OC
，BO
u
，OB
v
，OC
f
，AB
OC
A B
∥
∥
，
∴
ABO
A B O
∽
△
△
，
COC
A B C
∽△
△
∴A B
OB
AB
OB
，A B
B C
CO
OC
，
∵A B
A B
AB
CO
，
∴OB
B C
OB
OC
，即v
v
f
u
f
，
∴
1
v
v
v
v
u
f
f
v
，
∴v
v
v
u
v
f
，
∴1
1
1
u
v
f
．
