文档内容
01A 相似形与比例线段
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）相似形
（2）比例线段
（3）黄金分割
2. 考情分析
（1）相似形与比例线段部分，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%
（2）主要考察比例线段的性质，以选择、填空题为主
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第一节：相似形；第二节：比例线
段
（4）本讲知识点属于相似三角形，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理
解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用
比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例
做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．
1知识加油站 1——相似形
考点一：相似图形的概念
知识笔记1
相似形的概念
我们把____________的两个图形称为相似的图形，简称相似形．
【思考1】什么样的图形通过名字就能确定他们是相似图形？
_________________________________________________________.
【思考2】对应角都相等的图形，他们一定相似吗？
_________________________________________________________.
例题1:
（1）“相似的图形”是
2
( )
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
（2）（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是( )
A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形
练习1:
（1）（2023•浦东新区一模）下列图形，一定相似的是 ( )
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
（2）（2020•松江区期中）下列图形中一定相似的是 ( )
A．两个等腰三角形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个正方形考点二：相似图形的性质
知识笔记2
相似多边形的性质
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角______，对应边的长度______．
当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为____________．
若已知四边形和ABCD和A’B’C’D’相似，则可以得到：
（1）__________________________________；
（2）__________________________________.
例题2:
（1）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是
3
( )
A ．各边的长度 B ．各内角的度数 C ．五边形的周长 D ．五边形的面积
（2）四边形 A B C D 和四边形 A B C D 是相似图形，点 A 、 B 、C、D分别与 A 、 B 、 C 、
D 对应，已知BC=3， C D = 2 .4 ， B C = 2 ，那么 C D 的长是___________．
练习2:
将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( )
A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数
A
B
C
D A '
B '
C '
D '例题3:
（2023•浦东新区校级期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个
三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角
线．在四边形ABCD中，对角线
4
B D 是它的相似对角线， A B C = 7 0 ， B D 平分 A B C ，那
么 A D C = _______度．
练习3*:
（2022•徐汇区期中）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该
梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那
么它的周长为________．知识加油站 2——比例线段
考点三：比例线段的概念
知识笔记3
比例线段
对于四条线段
5
a 、 b 、 c 、 d ，如果_____________（或____________），那么 a 、 b 、 c 、 d
叫做__________________，简称_______________.线段 a 、 d 是比例外项，线段 b 、 c 是比例
内项，线段 d 是 a 、b、 c 的_____________．
【区分】
（1）a、b、c、d成比例线段：____________；
（2）a、b、c、d可以构成比例线段：____________.
例题4:
（1）（2023•长宁区一模）已知线段 a 、 b 、c 、 d 是成比例线段，如果 a = 1 ， b = 2 ， c = 3 ，
那么 d 的值是 ( )
A．8 B．6 C．4 D．1
（2）已知线段3、4、6与x是成比例线段，则x =____________．
（3）（2020•普陀区月考）若 x + 1 ， x ，x+4的第四比例项是4，求 x ．练习4:
（1）（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是
6
( )
A． 1 c m ， 2 c m ， 3 c m ， 4 c m B． 2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 5 c m
C． 2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 6 c m D．3cm， 4 c m ， 6 c m ， 9 c m
（2）已知有三条线段的长分别为 3 c m ， 6 c m ， 9 c m 的线段，请再添一条线段，使这四条线
段成比例，求所添线段的长度．考点四：比例的性质
知识笔记4
1. 比例的性质
（1）基本性质： 如果
7
a
b
=
c
d
，那么 a d = b c ；
【延伸】① 反比性质：如果
a
b
=
c
d
，那么__________.
② 更比性质：如果
a
b
=
c
d
，那么____________________.
（2）合比性质：如果
a
b
=
c
d
，那么______________.
a c
【延伸】① 合比性质推导：如果 = ，那么______________.
b d
② 合分比性质：如果
a
b
=
c
d
，那么______________.
（3）等比性质：如果
a
b
=
c
d
，那么______________.
（4）比例尺 = ______________.
2. 比例中项
如果比例的两个_________（或_________）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如
a:b=b:c时， b 叫做a和c的比例中项，这时，___________；
例题5:
a 2 b−a
（1）（2022•浦东新区期中）已知 = ，那么 的值为
b 3 b
( )
A．
1
2
1
B． C．
3
3
2
1
D．−
2
x 4 x− y
（2）（2023•徐汇区一模）已知 = ，则 =________．
y 3 x+ y（3）（2021•嘉定区期末）下列四个选项中，不正确的是
8
( )
A．如果 a d = b c ，那么 a : b = c : d
B．如果 a : b = c : d ，那么 a d = b c
C．如果 a : b = m : n ， b : c = n : k ，那么a:b:c=m:n:k
D．如果b0，m0，那么
a
b
=
a
b
m
m
（4）（2022•宝山中考模拟）在比例尺为 1 : 5 0 的图纸上，长度为10cm的线段实际长为( )
A． 5 0 c m B． 5 0 0 c m C．
1
5 0
c m D．
5
1
0 0
c m
（5）（2020•浦东新区一模）若
a
2
=
b
3
=
c
4
，且2a+b+c=33，则a−b+c= ．
（6）（2022•黄浦区期中）已知 b 是 a 、 c 的比例中项，如果 a = 2 ，c=18，那么 b = _____．
练习5:
（1）（2023•崇明区一模）如果
x
2
=
y
3
( x 0 ) ，那么
x +
y
y
= ______．
（2）（2022•嘉定区期中）如果 m n = p q ，那么下列比例式正确的是( )
A．
m
n
=
p
q
B．
m
p
=
n
q
C．
n
q
=
p
m
p q
D． =
n m
（3）（2021•普陀区期末）在一幅地图上，如果用 9 厘米表示甲地到乙地 1080 米的实际距
离，那么这幅地图的比例尺是 ( )
A．1:120 B．1:1200 C．1:12000 D．1:120000
（4）（2023•虹口区一模）已知线段b是线段 a 和 c 的比例中项，a=2cm，c=8cm，则b=
______ c m ．例题6:
（1）（2022•宝山区奉贤实验月考）已知 a 、
9
b 、 c 是 A B C 的三边长，且
a
5
=
b
4
=
c
6
0 ，求：
①
2 a
3
+
c
b
的值．
② 若 A B C 的周长为90，求各边的长．
（2）（2022•嘉定区期中）已知线段 x ， y ．
x+3y 3 x
① 当 = 时，求 的值；
x− y 2 y
② 当
x
x
+
−
3 y
y
=
x
y
时，求
x
y
的值．
练习6:
（2022•闵行区文绮中学月考）已知 a + b + c 0 ，
a
2
=
b
3
=
c
4
2a−3b+4c
，求 的值．
a+b+c例题7:
3x+3y 3y+3z 3z+3x
若 = = =m，求
z x y
10
m 的值．
练习7*:
已知
b
a
+ c
=
a
b
+ c
=
a
c
+ b
= k ，则一次函数y=kx−3的图像一定经过第几象限？知识加油站 3——黄金分割
考点五：黄金分割的概念及性质
知识笔记
黄金分割
黄金分割：如果点
11
P 把线段 A B 分割成AP和 P B （ A P P B ）两段（如下图），其中 A P 是
AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的
_________________．其中，
A
A
P
B
= ______________，称为_________________，简称黄金数．
【口诀】
短
长
=
长
全
= ___________；
短
全
= ___________.
例题8:
（1）如图，点 B 在线段 A C 上，且
B
A
C
B
=
A
A
B
C
，设 A C = 2 ，则 A B 的长为（ )
A．
5
2
− 1
B．
5
2
+ 1
C． 5 − 1 D． 5+1
（2）点P把线段 A B 分割成AP和 P B 两段，如果 A P 是 P B 和 A B 的比例中项，那么下列式
子成立的是 ( )
A．
P
A
B
P
=
5
2
+ 1
B．
A
P
P
B
=
5
2
− 1
C．
P
A
B
B
=
5
2
− 1 AP 5−1
D． =
AB 2
（3）（2023•长宁区一模）已知 P 是线段 A B 的黄金分割点，且 A P B P
AP−BP
，那么 的值
BP
为 ( )
A．
3 −
2
5
B．
3 +
2
5
C．
5
2
− 1
D．
5
2
+ 1（4）已知点
12
P 是线段 A B 的黄金分割点，AB= 5+1，求AP的值．
练习8:
（1）（2023•徐汇区一模）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图， P 为线
段 A B 的黄金分割点 ( A P P B ) ；如果 A B 的长度为 8 c m ，那么叶片部分AP的长度是_______
c m ．
（2）（2020•嘉定区一模）已知点 P 是线段 A B 的一个黄金分割点，且 A P B P ，那么 A P : A B
的比值为 ．
（3）（2022•徐汇区期末）已知点 P 、点 Q 是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，那么
P Q 的长为 ( )
A． 5 ( 3 − 5 ) B． 1 0 ( 5 − 2 ) C． 5 ( 5 − 1 ) D．5( 5+1)例题9:
（1）两个底角为
13
7 2 ，顶角为 3 6 的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又
标准．如图，在 A B C 中， A = 3 6 ，AB= AC，BD， C E 为 A B C 的角平分线，则图中“黄
金三角形”的个数是 ( )
A．1 B．4 C．5 D．6
（2）顶角为 3 6 的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为
5
2
− 1
．如图，
若ABC，BDC，DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则 D E = ___________．
练习9*:
（1）顶角为 3 6 的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄
金比．如图，在 A B C 中，A=36，AB= AC，BD平分ABC交AC于点D，若CD=1，
则 A C 的长为__________．（2）如果一个等腰三角形的顶角为
14
3 6
5−1
，那么其底边与腰之比等于 ，我们把这样的等
2
腰三角形称为黄金三角形．如图，在 A B C 中， A B = A C = 1 ，A=36， A B C 看作第一个
黄金三角形；作 A B C 的平分线 B D ，交 A C 于点 D ， B C D 看作第二个黄金三角形；作
B C D 的平分线 C E ，交 B D 于点 E ， C D E 看作第三个黄金三角形； 以此类推，第2023
个黄金三角形的腰长是 ( )
5−1
A．( )2022 B．
2
(
5
2
− 1
) 2 0 2 1 C． (
3 +
2
5
) 2 0 2 0 D． (
3 +
2
5
) 2 0 1 9全真战场
关卡一
练习1:
下列说法正确的是
15
( )
A．菱形都相似
B．正六边形都相似
C．矩形都相似
D．一个内角为80的等腰三角形都相似
练习2:
利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到
8，那么放大后的那个三角形的周长为 ．
练习3:
有以下命题：
①如果线段d 是线段 a ，b， c 的第四比例项，则有
a
b
=
c
d
；
②如果点C是线段 A B 的中点，那么AC是 A B 、BC的比例中项；
③如果点 C 是线段 A B 的黄金分割点，且 A C B C ，那么 A C 是 A B 与BC的比例中项；
④如果点C是线段 A B 的黄金分割点，ACBC，且 A B = 2 ，则AC= 5−1．
其中正确的判断有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习4:
（2021•徐汇区南洋初级期中）下列各组的四条线段 a ， b ， c ， d 是成比例线段的是( )
A．a=4，b=6，c=5，d =10 B． a = 1 ，b=2，c=3，d =4
C． a = 2 ， b = 3 ，c=2， d = 3 D．a=2， b = 5 ，c=2 3，d = 15练习5:
在ABC中，点
16
D 、E分别在边 A B 、 A C 上，且
A
A
D
B
=
A
A
E
C
=
D
B
E
C
=
3
4
，则
A
E
E
C
= ，若
ADE的周长为 9 0 厘米，则ABC的周长为______厘米．
关卡二
练习6:
如图，已知在四边形ABCD中，点E、F 分别在AB、CD上，
A
A
B
E
=
D
D
C
F
．
求证：（1）
A
E
B
B
=
D
F
C
C
；
（2）
A
E
B
B
+
+
D
F
C
C
=
A
E
B
B
−
−
D
F
C
C
．
练习7:
（宝山区校级自主招生）已知，在ABC中，AC=BC=1， C = 3 6 ，求ABC 的面积 S ．
