FY25暑假初三A01相似形与比例线段教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_精进_教师版PDF

01A 相似形与比例线段 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）相似形 （2）比例线段 （3）黄金分割 2. 考情分析 （1）相似形与比例线段部分，属于图形与几何部分，占中考考分值约10% （2）主要考察比例线段的性质，以选择、填空题为主 （3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第一节：相似形；第二节：比例线 段 （4）本讲知识点属于相似三角形，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理 解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用 比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例 做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习． 首课介绍【建议时长：10分钟】 环节 需要时间 首课介绍 10分钟 切片1：相似形 20分钟 切片2：比例线段 50分钟 切片3：黄金分割 20分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——相似形【建议时长：20分钟】 考点一：相似图形的概念 知识笔记1 相似形的概念 我们把____________的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 【填空答案】：形状相同 【思考1】什么样的图形通过名字就能确定他们是相似图形？ _________________________________________________________. 【参考答案】圆、等边三角形、正方形、正n边形、等腰直角三角形等… 【思考2】对应角都相等的图形，他们一定相似吗？ _________________________________________________________. 【参考答案】三角形的是的，但是四边形及以上则不一定。反例：矩形和正方形 例题1: （1）（★★☆☆☆）“相似的图形”是 2 ( ) A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形 （2）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是 ( ) A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 【常规讲解】 （1）解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选： A ． （2）解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意； B 、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意； C 、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项符合题意； D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题 意．故选：C． 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）（2023•浦东新区一模）下列图形，一定相似的是 3 ( ) A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 （2）（★★☆☆☆）（2020•松江区期中）下列图形中一定相似的是( ) A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 【常规讲解】 （1）解： A ．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的 定义，故 A 选项不符合题意； B ．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故 B 选项不符合题意； C ．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故 C 选项符 合题意； D ．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故 D 选项不符合题 意； 故选： C ． （2）解： A 、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B 、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； C 、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； D 、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确． 故选：D．考点二：相似图形的性质 知识笔记2 相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角______，对应边的长度______． 当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为____________． 【填空答案】：相等，成比例，1 若已知四边形和ABCD和A’B’C’D’相似，则可以得到： （1）__________________________________； （2）__________________________________. 【填空答案】： （1） 4  A =  A '  B =  B '  C =  C ' D = D'； （2） A A ' B B ' = B B ' C C ' = C C ' D D ' = D D ' A A ' . 例题2: （1）（★★☆☆☆）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是 ( ) A ．各边的长度 B ．各内角的度数 C ．五边形的周长 D ．五边形的面积 （2）（★★☆☆☆）四边形 A B C D 和四边形 A B C D  是相似图形，点 A 、 B 、 C 、D分别与 A、B、 C  、D对应，已知 B C = 3 ， C D = 2 .4 ，BC=2，那么 C D  的长是___________． 【常规讲解】 （1）解： 用一个放大镜去观察一个五边形，  放大后的五边形与原五边形相似， 相似五边形的对应边成比例， A B C D A ' B ' C ' D '5  各边长都变大， 故 A 选项错误； 相似五边形的对应角相等，  对应角大小不变， 故选项 B 正确； 相似五边形的周长得比等于相似比，  C 选项错误 ． 相似五边形的面积比等于相似比的平方，  D 选项错误； 故选： B ． （2）解： 四边形 A B C D ∽ 四边形 A B C D  ，  C D : C D  = B C : B C  ， B C = 3 ， C D = 2 .4 ， B C  = 2 ，  C D  = 1 .6 ， 故答案为：1.6． 练习2: 【学习框10】 （★★☆☆☆）（2018•浦东新区校级月考）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图 形乙的对应量中，没有被放大的是( ) A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【常规讲解】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：D． 例题3: （★★★★☆）（2023•浦东新区校级期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边 形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形 的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线 B D 是它的相似对角线，  A B C = 7 0  ， B D 平分  A B C ，那么ADC=_______度． 【常规讲解】 解：如图所示， ABC=70，BD平分  A B C ， ABD=DBC， 又 对角线BD是它的相似对角线，6   A B D ∽  D B C ，   A =  B D C ，  A D B =  C ，   A +  C =  A D C ， 又 A+C+ADC=360−70=290，   A D C = 1 4 5  ， 故答案为：145． 练习3*: （★★★★☆）（2022•徐汇区期中）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那 么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底 等于4，那么它的周长为________． 【常规讲解】解：如图，过 D 作 D E ⊥ B C 于 E ， 梯形是直角梯形，   A =  A B C =  D E B = 9 0  ，  四边形 A B E D 是矩形，  B E = A D = 2 ， B C = 4 ， CE=BE=2，  B D = C D ， 梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，   A B D ∽  D B C ，  A B D D = A C B D ，  A A D B = B C D D = 1 ， AB=AD=2， BD=CD= 2AD=2 2， 它的周长为2+2+4+2 2=8+2 2， 故答案为：8+2 2．知识加油站 2——比例线段【建议时长：30分钟】 考点三：比例线段的概念 知识笔记3 比例线段 对于四条线段 7 a 、 b 、 c 、 d ，如果_____________（或____________），那么 a 、 b 、 c 、d 叫做__________________，简称_______________.线段 a 、 d 是比例外项，线段 b 、 c 是比例 内项，线段 d 是 a 、b、 c 的_____________． 【参考答案】 a : b = c : d a c ， = ，成比例线段，比例线段，第四比例项 b d 【区分】 （1）a、b、c、d成比例线段：____________； （2）a、b、c、d可以构成比例线段：____________. 【参考答案】（1）有顺序的；（2）没有固定顺序，需要分类讨论. 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2023•长宁区一模）已知线段 a 、b、 c 、d 是成比例线段，如果 a = 1 ， b=2， c = 3 ，那么 d 的值是 ( ) A．8 B．6 C．4 D．1 （2）（★★★☆☆）已知线段3、4、6与x是成比例线段，则x =____________． （3）（★★☆☆☆）（2020•普陀区月考）若 x + 1 ， x ， x + 4 的第四比例项是4，求 x ． 【常规讲解】 （1）解： 线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段，a=1，b=2，c=3， a:b=c:d ， 即1:2=3:d， 解得：d =6． 故选： B ． （2）解： 3，4，6， x 是成比例线段，①当3:4=6:x时， 8 x = 8 ． ②当 3 : 4 = x : 6 时， x = 9 2 ③当 3 : 6 = x : 4 时， x = 2 故答案为8或 9 2 或2. （3）依题意有 ( x + 1 ) : x = ( x + 4 ) : 4 ，根据比例的基本性质 x ( x + 4 ) = 4 ( x + 1 ) ，整理得 x 2 = 4 ， 解得x=2． 练习4: 【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是 ( ) A． 1 c m ， 2 c m ， 3 c m ， 4 c m B． 2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 5 c m C． 2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 6 c m D．3cm， 4 c m ， 6 c m ， 9 c m （2）（★★★☆☆）已知有三条线段的长分别为 3 c m ， 6 c m ， 9 c m 的线段，请再添一条线段， 使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【常规讲解】 （1）解： A 、 1  4  2  3 ，  四条线段不成比例，不符合题意； B 、 2  5  3  4 ，  四条线段不成比例，不符合题意； C 、 2  6 = 3  4 ，  四条线段成比例，符合题意； D 、 3946，四条线段成比例，不符合题意； 故选： C ． （2）设添加的线段长度为 acm ，将 a 当作一个比例外项，根据比例的基本性质有： ① 对应的外项是3cm时，a=693=18cm； ② 对应的外项是6cm时，a=396=4.5cm； ③ 对应的外项是9cm时，a=639=2cm 故答案为： 1 8 c m 或4.5cm或2cm．考点四：比例的性质 知识笔记4 1. 比例的性质 （1）基本性质： 如果 9 a b = c d ，那么 a d = b c ； 【延伸】① 反比性质：如果 a b = c d ，那么__________. ② 更比性质：如果 a b = c d ，那么____________________. （2）合比性质：如果 a b = c d ，那么______________. a c 【延伸】① 合比性质推导：如果 = ，那么______________. b d ② 合分比性质：如果 a b = c d ，那么______________. （3）等比性质：如果 a b = c d ，那么______________. （4）比例尺 = ______________. 【填空答案】 （1） a d = b c ；① b a = d c ；② d b = c a 、 a c = b d ； （2） a  b b = c  d d ；① b a  a = d c  c （ b  a  0 ；dc0）② a a + − b b = c c + − d d （ a  b  0 ； c  d  0 ）【合分比性质由取正号的合比性质除以取负号的合比性质】 （3） a b = c d = a b + + c d （ b + d  0 ） （4）图上距离：实际距离（注意单位要保持一致） 【教学建议】可以在课上带着学生简单进行公式的推导 2. 比例中项 如果比例的两个_________（或_________）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如 a:b=b:c时， b 叫做a和c的比例中项，这时，___________； 【填空答案】 内项，外项；b2 =ac例题5: （1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期中）已知 10 a b = 2 3 ，那么 b − b a 的值为 ( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 3 2 1 D．− 2 （2）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）已知 x y = 4 3 ，则 x x − + y y = ________． （3）（★★★☆☆）（2021•嘉定区期末）下列四个选项中，不正确的是 ( ) A．如果 a d = b c ，那么 a : b = c : d B．如果a:b=c:d ，那么ad =bc C．如果 a : b = m : n ， b : c = n : k ，那么a:b:c=m:n:k D．如果 b  0 ， m  0 ，那么 a b = a b m m （4）（★★★☆☆）（2022•宝山中考模拟）在比例尺为 1 : 5 0 的图纸上，长度为 1 0 c m 的线段实 际长为 ( ) A． 5 0 c m B． 5 0 0 c m C． 1 5 0 c m D． 5 1 0 0 c m （5）（★★★☆☆）（2020•浦东新区一模）若 a 2 = b 3 = c 4 ，且2a+b+c=33，则a−b+c= ． （6）（★★★☆☆）（2022•黄浦区期中）已知 b a c 是 、 的比例中项，如果 a = 2 ， c = 1 8 ，那 么 b = _____． 【配题说明】比例的基本性质（填空题为主） 【常规讲解】 a 2 （1）解： = ， b 3  b − b a a =1− b11 = 1 − 2 3 = 1 3 ， 故选： B ． （2）解： x y = 4 3 ，  x = 4 3 y ，  x x − + y y = 4 34 3 y y − + y y = 1 37 3 y y = 1 7 ． 故答案为： 1 7 ． （3）解： A 、如果 a d = b c  0 ，那么 a : b = c : d ，故本选项错误，符合题意； B 、如果 a : b = c : d ，那么 a d = b c ，故本选项正确，不符合题意； C 、如果 a : b = m : n ， b : c = n : k ，那么 a : b : c = m : n : k ，故本选项正确，不符合题意； D 、如果 b  0 ， m  0 ，那么 a b = a b m m ，故本选项正确，不符合题意； 故选： A ． （4）解：设长度为10cm的线段实际长为 x c m ，则： 1 0 x = 1 5 0 ， 解得， x = 5 0 0 ． 故选： B ． （5）解：设 a 2 = b 3 = c 4 = (  0 ) ，则 a = 2 ， b = 3 ， c = 4 ， 2a+b+c=33，  4 + 3 + 4 = 3 3 ，  = 3 ， a−b+c=2 −3 +4 =3 =33=9； 故答案为：9．（6）解： 线段 12 a = 2 ， c = 1 8 ，线段 b 是线段 a 和 c 的比例中项，  b 2 = a c = 2  1 8 = 3 6 ，  b 1 = 6 ， b 2 = − 6 ． 故答案为：±6． 练习5: 【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）如果 x 2 = y 3 ( x  0 ) ，那么 x + y y = ______． （2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）如果 m n = p q ，那么下列比例式正确的是 ( ) A． m n = p q B． m p = n q C． n q = p m p q D． = n m （3）（★★☆☆☆）（2021•普陀区期末）在一幅地图上，如果用 9 厘米表示甲地到乙地 1080 米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是 ( ) A． 1 : 1 2 0 B． 1 : 1 2 0 0 C． 1 : 1 2 0 0 0 D．1:120000 （4）（★★☆☆☆）（2023•虹口区一模）已知线段 b 是线段 a 和 c 的比例中项，a=2cm， c = 8 c m ， 则 b = ______ c m ． 【常规讲解】 （1）解： x 2 = y 3 ( x  0 ) ，  x y = 2 3 ，  x + y y x = +1 y 2 = +1 3 = 5 3 ， 故答案为： 5 3 ．m p （2）解：A、 = ， n q 13  m q = p n ，故不符合题意； m n B、 = ， p q  q m = p n ，故不符合题意； C 、 n q = p m ，  m n = p q ，故符合题意； D、 p n = q m ，  p m = q n ，故不符合题意， 故选：C． （3）解：1080米 = 1 0 8 0 0 0 厘米， 9 : 1 0 8 0 0 0 = 1 : 1 2 0 0 0 ． 故这幅地图的比例尺是1:12000． 故选： C ． （4）解： 线段 a = 2 c m ， c = 8 c m ，线段 b 是 a 、 c 的比例中项， b2 =ac=28=16，  b 1 = 4 ， b 2 = − 4 （舍去）． 故答案为：4． 例题6: （1）（★★★☆☆）（2022•宝山区奉贤实验月考）已知 a 、 b 、 c 是  A B C 的三边长，且 a b c = = 0，求： 5 4 6 2a+b ① 的值． 3c ② 若  A B C 的周长为90，求各边的长．（2）（★★★★☆）（2022•嘉定区期中）已知线段 14 x ， y ． ① 当 x x + − 3 y y = 3 2 x 时，求 的值； y x+3y x x ② 当 = 时，求 的值． x−y y y 【配题说明】比例的基本性质计算（解答题为主） 【常规讲解】 （1）解：① 设 a 5 = b 4 = c 6 = k ，则 a = 5 k ，b=4k， c = 6 k ， 所以 2 a 3 + c b = 1 0 k 1 + 8 k 4 k = 7 9 ； ② 5 k + 4 k + 6 k = 9 0 ，解得 k = 6 ， 所以 a = 3 0 ， b = 2 4 ， c = 3 6 ． （2）解：①由 x x + − 3 y y = 3 2 得：2(x+3y)=3(x−y)， 去括号得： 2 x + 6 y = 3 x − 3 y ， 移项、合并同类项得：9y=x，  x y = 9 ． ② 由 x x + − 3 y y = x y 得： x y + 3 y 2 = x 2 − x y ， 整理得： 3 y 2 + 2 x y − x 2 = 0 ． (3y−x)(y+x)=0．  3 y − x = 0 或 y + x = 0 ．  x y = 3 或 x y = − 1 （舍去）．  x y = 3 ． 练习6: 【学习框16】 （2022•闵行区文绮中学月考）（★★★☆☆）已知 a + b + c  0 a b c 2a−3b+4c ， = = ，求 的 2 3 4 a+b+c 值． 【常规讲解】解： 15 a + b + c  0 a b c ， = = ， 2 3 4 设 a = 2 x ， b = 3 x ， c = 4 x ，  原式 = 2  2 x 2 − x 3 +  3 3 x x + + 4 4 x  4 x = 4 x − 9 9 x x + 1 6 x = 1 1 9 ． 例题7: 3x+3y 3y+3z 3z+3x 若 = = =m，求 z x y m 的值． 【常规讲解】 （1） x + y + z  0 时，根据比例的等比性 m = 3 x + 3 y + 3 z y + + x 3 + z y + 3 z + 3 x = 6 ； （2） x + y + z = 0 时，可得 x + y = − z ，则 m = 3 ( x + z y ) = − 3 z z = − 3 ． 综上所述，m=6或 − 3 ． 练习7*: 已知 b a + c = a b + c = a c + b = k ，则一次函数y=kx−3的图像一定经过第几象限？ 【常规讲解】 （1） a + b + c  0 a+b+c 1 1 时，根据比例的等比性k = = ，此时一次函数y= x−3 经 2(a+b+c) 2 2 过一、三、四象限； （2） a + b + c = 0 时，可得 b + c = − a a ，则k = =−1，此时一次函数 −a y = − x − 3 经过二、三、 四象限； 综上所述，函数必经过三、四象限．知识加油站 3——黄金分割【建议时长：30分钟】 考点五：黄金分割的概念及性质 知识笔记 黄金分割 黄金分割：如果点 16 P 把线段 A B 分割成AP和 P B （ A P  P B ）两段（如下图），其中 A P 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的 _________________．其中， A A P B = ______________，称为_________________，简称黄金数． 【口诀】 短 长 = 长 全 = ___________； 短 全 = ___________. 【教学建议】可以在课上根据“ A P 是 A B 和 P B 的比例中项”的概念，带着学生推导出黄金 分割数 5 2 − 1 【填空答案】 黄金分割点， 5 2 − 1  0 .6 1 8 ；黄金分割数； 5 2 − 1 3− 5 ； 2 例题8: BC AB （1）（★★★☆☆）如图，点B在线段AC上，且 = ，设AC=2，则 AB AC A B 的长为（ ) 5−1 5+1 A． B． C． 5−1 D． 5+1 2 2 （2）（★★★☆☆）点 P 把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项， 那么下列式子成立的是( ) PB 5+1 AP 5−1 PB 5−1 AP 5−1 A． = B． = C． = D． = AP 2 PB 2 AB 2 AB 2（3）（★★★★☆）（2023•长宁区一模）已知 17 P 是线段 A B 的黄金分割点，且APBP，那么 A P B − P B P 的值为 ( ) A． 3 − 2 5 B． 3 + 2 5 C． 5 2 − 1 5+1 D． 2 （4）（★★★☆☆）已知点 P 是线段 A B 的黄金分割点， A B = 5 + 1 ，求AP的值． 【配题说明】黄金分割数的概念及应用 【常规讲解】 （1）解： B A C B = A A B C ， AB2 =2(2−AB)，  A B 2 + 2 A B − 4 = 0 ， 解得， A B 1 = 5 − 1 ， A B 2 = − 5 − 1 （舍去）， 故选： C ． （2）解： 点P把线段AB分割成AP和 P B 两段，AP是 P B 和AB的比例中项，  根据线段黄金分割的定义得： A A P B = 5 2 − 1 ． 故选： D ． （3）解： P 是线段 A B 的黄金分割点，且 A P  B P ，  B A P P = 5 2 − 1 ，  A B P P = 5 2 − 1 = 5 2 + 1 ， AP−BP AP  = −1 BP BP = 5 2 + 1 − 1 5+1−2 = 2 5−1 = ， 2 故选：C．5−1 3− 5 （4）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为 和 ， 2 2 5−1 3− 5 故AP= AB=2或AP= AB= 5−1． 2 2 练习8: 【学习框18】 （1）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如 图， 18 P 为线段 A B 的黄金分割点 ( A P  P B ) ；如果 A B 的长度为 8 c m ，那么叶片部分 A P 的长 度是_______cm． （2）（★★★☆☆）（2020•嘉定区一模）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且 A P  B P ， 那么 A P : A B 的比值为 ． （3）（★★★★☆）（2022•徐汇区期末）已知点 P 、点 Q 是线段 A B 的两个黄金分割点，且 A B = 1 0 ，那么 P Q 的长为 ( ) A． 5 ( 3 − 5 ) B． 1 0 ( 5 − 2 ) C． 5 ( 5 − 1 ) D．5( 5+1) 【配题说明】黄金分割数的概念及应用 【常规讲解】 5−1 （1）解：AP=8 =(4 5−4)(cm)． 2 故答案为： ( 4 5 − 4 ) ． （2）解： 点P是线段AB的黄金分割点，且APBP， 5−1 AD= AB， 2  A A P B = 5 2 − 1 ， 5−1 故答案为： ． 2（3）解：如图， 点P、 19 Q 是线段AB的黄金分割点，AB=10，  B P = A Q = 5 2 − 1 A B = 5 ( 5 − 1 ) ， PQ= AQ+BP−AB=10( 5−1)−10=10( 5−2)， 故选： B ． 例题9: （1）两个底角为 7 2  ，顶角为 3 6  的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又 标准．如图，在ABC中，A=36，AB= AC，BD，CE为ABC的角平分线，则图中“黄 金三角形”的个数是 ( ) A．1 B．4 C．5 D．6 （2）顶角为 3 6  5−1 的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为 ．如图， 2 若ABC，  B D C ，  D E C 都是黄金三角形，已知AB=4，则 D E = ___________． 【常规讲解】 （1）解： 在等腰  A B C 中，  A = 3 6  ， A B = A C ，   A B C =  A C B = (1 8 0  −  A )  2 = 7 2  ， B D ，CE分别是ABC的角平分线，  1 1 ABD=DBC= ABC=36，ACE=BCE= ACB=36， 2 2 BEC=BDC=180−36−72=72， A=EBO=DBC=DCO=36，ABC=ACB=BEC=BDC=72， EOB=DOC=180−72−36=72，20  B E = O B = O C = C D ， C E = B C = B D ，  图中“黄金三角形”有：  A B C ，BDC，BCE，  O B E ，OCD共5个． 故选： C ． （2）解：  A B C 是黄金三角形，  B A C B = 5 2 − 1 ， AB=4，  B C = 2 5 − 2 ， BDC是黄金三角形，  D B C C = 5 2 − 1 ， DC=6−2 5，  D E C 是黄金三角形， DE=DC=6−2 5， 故答案为： 6 − 2 5 ． 练习9*: （1）顶角为 3 6  的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄 金比．如图，在  A B C 中，  A = 3 6  ， A B = A C ，BD平分  A B C 交AC于点D，若 C D = 1 ， 则 A C 的长为__________．（2）如果一个等腰三角形的顶角为 21 3 6  5−1 ，那么其底边与腰之比等于 ，我们把这样的等 2 腰三角形称为黄金三角形．如图，在  A B C 中， A B = A C = 1 ，A=36，  A B C 看作第一个 黄金三角形；作  A B C 的平分线 B D ，交 A C 于点 D ，  B C D 看作第二个黄金三角形；作  B C D 的平分线 C E ，交 B D 于点 E ，  C D E 看作第三个黄金三角形；  以此类推，第2023 个黄金三角形的腰长是 ( ) 5−1 A．( )2022 B． 2 ( 5 2 − 1 ) 2 0 2 1 C． ( 3 + 2 5 ) 2 0 2 0 D． ( 3 + 2 5 ) 2 0 1 9 【常规讲解】 （1）解：  A = 3 6  ， A B = A C ，   A B C =  C = 1 8 0  − 2  A = 7 2  ， B D 平分  A B C ，   A B D =  D B C = 1 2  A B C = 3 6  ， A=ABD=36，  D A = D B ，  C D B 是  A B D 的一个外角，   C D B =  A +  A B D = 7 2  ，   C D B =  C = 7 2  ，  B D = B C ，  A D = B D = B C ， BDC是“黄金三角形”， CD 5−1  = ， BC 2 5+1 BC = ， 2  A D = B C = 5 2 + 1 ， 5+1 5+3 AC= AD+CD= +1= ， 2 25+3 故答案为： ． 2 （2）解： 22 A B = A C = 1 ，  A = 3 6  ，  A B C 是第一个黄金三角形，  底边与腰之比等于 5 2 − 1 ， BC 5−1 即 = ， AB 2  B C = 5 2 − 1 A B = 5 2 − 1 ， 同理：BCD是第二个黄金三角形，  C D E 是第三个黄金三角形， 5−1 5−1 则CD= BC =( )2， 2 2 即第一个黄金三角形的腰长为 1 = ( 5 2 − 1 ) 0 ， 第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为 ( 5 2 − 1 ) 1 ， 第三个黄金三角形的腰长为 ( 5 2 − 1 ) 2 ，  ，  第2021个黄金三角形的腰长是 ( 5 2 − 1 ) 2 0 2 3 − 1 ， 即 ( 5 2 − 1 ) 2 0 2 2 ， 故选： A ．全真战场 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）下列说法正确的是 23 ( ) A．菱形都相似 B．正六边形都相似 C．矩形都相似 D．一个内角为 8 0  的等腰三角形都相似 【常规讲解】解： A 、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所 以不一定都相似，故本选项错误； B 、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是 1 2 0  ，相等，所以都相似， 故本选项正确； C 、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误； D 、一个内角为 8 0  的等腰三角形可能是顶角 8 0  也可能是底角是 8 0  ，无法判断，此选项 错误； 故选： B ． 练习2: （★★☆☆☆）（2017•杨浦区校级月考）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边 长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为 ． 【常规讲解】解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8， 所以设放大完以后另两边分别为 y 和 z ，则 3 : 5 : 6 = x : y : 8 解得 x = 4 20 ，y= 3 20 所以周长为4+8+ = 3 5 6 3 故答案为： 5 6 3练习3: （★★☆☆☆）有以下命题： ①如果线段 24 d a 是线段 ， b ， c 的第四比例项，则有 a b = c d ； ②如果点 C 是线段 A B 的中点，那么 A C 是 A B 、 B C 的比例中项； ③如果点C是线段 A B 的黄金分割点，且ACBC，那么AC是 A B 与BC的比例中项； ④如果点 C 是线段 A B 的黄金分割点， A C  B C ，且 A B = 2 ，则 A C = 5 − 1 ． 其中正确的判断有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【常规讲解】解：①如果线段 d 是线段 a ， b ， c a c 的第四比例项，则有 = ；说法正确； b d ②如果点 C 是线段 A B 的中点， A A B C  A B C C ，故 A C 不是 A B 、BC的比例中项；说法错误； ③如果点 C 是线段 A B 的黄金分割点，且ACBC，那么 A C 是 A B 与 B C 的比例中项；说法 正确； ④如果点 C 是线段 A B 的黄金分割点， A C  B C ，且 A B = 2 ，则 A C = 5 − 1 ；说法正确； 综上可得：①③④正确，共3个． 故选： C ． 练习4: （2021•徐汇区南洋初级期中）下列各组的四条线段 a ， b ， c ， d 是成比例线段的是 ( ) A． a = 4 ， b = 6 ，c=5， d = 1 0 B．a=1，b=2， c = 3 ，d =4 C． a = 2 ， b = 3 ，c=2， d = 3 D．a=2， b = 5 ，c=2 3， d = 1 5 【常规讲解】解： A .4  1 0  6  5 ，故不符合题意， B.1423，故不符合题意， C . 2  3  2  3 ，故不符合题意， D .2  1 5 = 5  2 3 ，故符合题意， 故选：D．练习5: （★★☆☆☆）（2017•杨浦区校级月考）在ABC 中，点 25 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上，且 A A D B = A A E C = D B E C = 3 4 ，则 A E E C = ，若  A D E 的周长为 9 0 厘米，则  A B C 的周长为______ 厘米． 【常规讲解】（1）3；（2）120． AE 3 AC 4 （1）由 = ，可得 = ，即 AC 4 AE 3 A E A + E E C = 4 3 ， EC 1 AE 故 = ， =3； AE 3 EC （2）根据比例的等比性， A A D B = A A E C = D B E C = A A D B + + A A E C + + D B E C = 3 4 ， C 3 即 ADE = ， C 4 ABC 代入求得 C A B C = 1 2 0 c m ． 关卡二 练习6: （★★★★★）如图，已知在四边形 A B C D 中，点E、 F 分别在 A B 、 C D AB DC 上， = ． AE DF AB DC 求证：（1） = ； EB FC （2） A E B B + + D F C C = A E B B − − D F C C ． 【配题说明】比例线段在几何线段长度中的应用 【常规讲解】证明：（1） A A B E = D D C F ， AE+EB DF+FC  = ． AE DF（2）根据比例的合比性质， 26  E A B E = F D C F ，  A E E B = D F F C ． 根据比例的合比性质，  A E E + B E B = D F F + C F C ，即 A E B B = D F C C ． AB DC AB+DC AB−DC 根据比例的等比性质， = = = ． EB FC EB+FC EB−FC 练习7: （★★★★★）（宝山区校级自主招生）已知，在ABC中，AC=BC=1，C=36，求ABC 的面积 S ． 【常规讲解】解： 在ABC中，AC=BC=1，C=36，  A B : A C = 5 2 − 1 ，  A B = 5 2 − 1 ． 作等腰ABC底边上的高 C D ，则 A D = 1 2 A B = 5 4 − 1 ， 在ACD中，根据勾股定理得 C D = A C 2 − A D 2 = 1 0 + 4 2 5 ，  S  A B C = 1 2 A B C D = 1 2  5 2 − 1  1 0 + 4 2 5 = 1 0 − 8 2 5 ．