专题27.3难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点（教师版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 27.3 难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】.....................................................1 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】.................................................8 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】..........................................................................16 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】..............................................................................24 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】..............................................................................28 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】..........................................................................................38 【典型例题】 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023·河北·九年级专题练习）如图，在 中， ，点P从A出发，以 的速度向B运动，同时点Q从C出发，以 的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动 点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示： = ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间 【答案】 / 秒或4秒 【分析】（1）根据路程=速度 时间，即可表示出AQ的长度.（2）此题应分两种情况讨论．①当 时；②当 时．利用相似三角形的性质求解即 可． 【详解】解：（1）由题意可知： ， （2）连接PQ， ∵∠PAQ=∠BAC， ∴当 时， ，即 ，解得 当 时， ，即 ，解得t=4． ∴运动时间为 秒或4秒． 故答案为： ； 秒或4秒 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要 漏解． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，C 90，A30，BC 9，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单 AB A Q BC 位的速度按照从 运动，同时点 从 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ与ABC相似，则t的值为 ． 18 36 36 【答案】 或 或 5 7 5BB BPQ∽BAC △BPQ∽△BCA 【分析】根据题意可知 ，分 和 两种情形讨论即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，C 90，A30，BC 9， AB18 AC 9 3 ∴ ， ①当0t6时，BP ABAP183t，BQt， 若BPQ∽BAC ， BP BQ ∴  AB BC BP AB 则  2， BQ BC ∴183t 2t， 18 t  解得： ； 5 △BPQ∽△BCA 若 ， BP BQ BP BC 1 ∴  则   BC BA BQ BA 2 1 ∴ 183t  t ， 2 36 t 解得： 7 ②当6t9时，BP APAB3t18，BQt， 1 同理可得 或 3t18 t 3t182t 2 36 t 解得： （舍去）或 t 18 5 18 36 36 综上所述，t  或 t 或 t ， 5 7 5 18 36 36 故答案为： 或 或 ． 5 7 5 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 2．如图，在矩形 中， ， ，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 向点C移动， 同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿 向点B移动．若P、Q两点移动 （ ）后，与 相似，则 ． 【答案】 秒或 秒 【分析】分 与 两种情况进行讨论即可． 【详解】解：如答图1，当 时， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 秒； 如答图2，当 时， ， ， ，， ，即 ， 解得 秒， 综上所述， 为 秒与 秒时， 与 相似． 故答案为： 秒或 秒． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答 时要注意分类讨论． 3．（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在 中， ，动 点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以 每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ，连接PQ． (1)若△BPQ与 相似，求t的值； (2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值； (3)如图2，连接AQ、CP，若 ，求t的值． 【答案】(1)t的值为1或 (2) 是等腰三角形时t的值为： 或 或 (3) 【分析】（1）根据勾股定理可得 ，分两种情况：① ，② ，根据相似三角形的性质将 代入计算即可得； （2）分三种情况：①当 时，过P作 ，则 ， ，根据平行线分线段 成比例定理得到 ，进而即可求解；②当 时，列出式子即可求解；③当 时，过 Q作 于G，则 ，通过 ，得到比例式进而即可求解； （3）设AQ，CP交于点N，过P作 于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得 ， ，从而可得 ，再证出 ，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 由题意得： ， 分以下两种情况讨论： ①当 时， ， 即 ， 解得 ； ②当 时， ， 即 ， 解得 ， 综上，t的值为1或 ； （2）解：分三种情况： ①当 时，如图，过P作 ，则 ， ， ∵ ， ， ∴PH∥AC， PB BH 5t 42t ∴  ，即 = ， AB BC 10 8 2 t  解得： ； 3 ②当PBBQ时，即5t=84t， 8 解得：t  ； 9 BQPQ QG AB ③当 时，如图，过Q作 于G， 1 5 则BG PB t， ， 2 2 BQ=84t ∵QBG=ABC，BGQ=BCA=90， ∴BGQBCA， 5 t ∴ BG  BQ 即 2 = 84t ， BC BA 8 10 64 解得：t  ； 57 2 64 8 综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为： 或 或 ； 3 9 57（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作PM BC于点M， ∵PM BC，ACB=90， ∴PM∥AC， ∴△BPM △BAC， BP PM BM 5t PM BM ∴   ，即   ， BA AC BC 10 6 8 解得PM 3tcm，BM 4tcm， MC=BCBM=84tcm ∴ ， ∵QAC+NCA=90，PCM+NCA=90， ∴QAC=PCM ，  QAC=PCM  在△ACQ和△CMP中，ACQ=CMP=90， ∴ACQCMP， AC CQ 6 4t ∴  ，即 = ， CM MP 84t 3t 7 解得t  ， 8 7 经检验t  是该分式方程的解． 8 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等 腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在 中， ， ， ，动点D在 边上， 的垂直平分线交 边于点E．若 是直角三角形，则 的长为 ．【答案】 或 【分析】由勾股定理和垂直平分线的性质可知 ， ，若 是直角三角形，分 或 两种情况，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∵ 的垂直平分线交 边于点E， ∴ ， 设 ，则 若 是直角三角形， ①如图，当 时，可知 ，则： ， 即： ，可得： ， ∴ ， ①如图，当 时，可知 ，则： ， 即： ，可得： ， ∴ ， 故答案为： 或 ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理及垂直平分线的性质，将直角进行分类讨论，利用相似三 角形的性质列比例式是解决问题的关键． 【变式训练】 1．矩形 中， ， ，点 是边 上一个动点，延长 到点 ，使 ， 连接线段 ，点 是线段 上一点， ，连接线段 和线段 ，当 时，则 的 长为 ． 【答案】 或 【分析】过点 作 于点 ，根据题意证明 ， 根据相似三角形的性质 得出 ，设 ，则 ， ，进而求得 的值，勾股定理，即 可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ，则 ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， 综上所述， 的长为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判 定是解题的关键． 2．如图，在 中， ，点 是边 上一动点（不与 重合），点 是 上一 个动点，始终保持 ．则当 为直角三角形时， 的长为 ．【答案】4或 【分析】因为 为定角， 、 为动点，所以 为直角三角形有两种情况：①当 时， 为直角三角形，如图1，根据等腰三角形三线合一的性质求出 的长；②当 时， 为直角三角形，如图2，作辅助线，根据外角定理和 求出 的长． 【详解】解：分两种情况： ①当 时， 为直角三角形，如图1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当 时， 为直角三角形，如图2， 过 作 于 ，则 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述， 为4或 ， 故答案为：4或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的性质和判定、三角形的外角性质，明确等边对等角和等角 对等边，相似三角形常用的判定是：两角对应相等的两个三角形相似，在几何证明中常利用相似得比例式 求边的长度；同时又运用了外角定理求角相等；本题还运用了分类讨论的思想，尤其动点形成的三角形是 直角三角形或等腰三角形时，要根据具体问题分情况进行讨论． 3．如图，在 中， ， ，点E为 边上一点，动点D从点C出发沿线段 向终点A运动，作 ，与边 相交于点F．当点D与C点重合，且 时， 的长为 ，当 为等腰三角形且 时，求 的长 ． 【答案】 或 或3 【分析】利用勾股定理求出 ，证明 ，得到 ，继而求出 ；再分三种情形： ， ， 分别求解即可解决问题．【详解】解：如图，当点D与C点重合，且 时， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ，且 ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ，即 ，则 ， 解得： ； ∵ 为等腰三角形， ∴若 ，则 ， 又 ， ， ， ； 若 ，则 ． 又 ， ，， ； 若 ，则 ． 又 ， ， ． 综上所述，当 为等腰三角形时， 的长为 或 或3， 故答案为： ， 或 或3． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 4．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P 从点A出发，沿 的路线运动到点B停止，C是 的中点，沿直线PC截 ，若得到的三角形 与 相似，则点P的坐标是 ． 【答案】 或 或 ． 【分析】先求出点A和点B的坐标，根据勾股定理求出 的长，得到 ，然后分三种情况利用 相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：直线 ，当 时， ；当 时，则 ，解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵C是 的中点， ∴ ， 如图1， 点P在 上，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图2， 点P在 上，且 ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图3， 点P在 上，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述，点P的坐标是 或 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段 成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点P的不同 位置分类讨论，求出所有符合题意的答案． 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形 的边长为6，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，连接 ，过点 作 交 边于点 ，设 的长为 ，则线段 长度的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到 ，进而根据相似比得到 ，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案． 【详解】解：由题意作出图形，如图所示： 在正方形 中， ，边长为6，设 的长为 ，则 ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 在 时有最大值，最大值为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读 懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．【变式训练】 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角 中， ， ， ，点P是边 上 的动点，过点P作 交 于点H，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点C关于 的对称点 ， 与 交于点D，则 垂直平分 ， ，由勾股定 理可求得 ，根据三角形的面积可求得解得 ， ，过 点作 ，交 于点H，交 于点P，则 ， ，可知此时 有最小值，最小值为 ，再根 据相似三角形的判定，可证得 ，据此即可求解． 【详解】解：如图：作点C关于 的对称点 ， 与 交于点D， 则 垂直平分 ， ， 由勾股定理得： ， ， ， ， 解得 ， ， 过 点作 ，交 于点H，交 于点P，则 ， ， ， 此时， ， 有最小值，最小值为 ， ， ， 又 ， ， ， 得 ， 解得 ， 故 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似 三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ．点E是 上的动点， 点F是 的中点 相交于点G，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：分别以 所在直线建立直角坐标系，作 ,延长 交 于点P；先通过判定 、 得到 、 ；设 ,则 ，得到 ，即 ；说明点G在直线 上且 ， 的最小 值为点A到直线 的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别以 所在直线建立直角坐标系，作 ,延长 交 于 点P ∵四边形 为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ , ∴ 又∵ 分别是 和 对应边上的高∴ ∴ 设 ,则 ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ，即 ∴ ，即 Gx,y ∵ 1 ∴点G在直线y x上且0 x4 3 1 ∴ 的最小值为点A到直线y x的垂线段长度 AG 3 AG2 x02y42 ∴ 1 ∵y x 3 AG2 x02   1 x4   2  10 x2 8 x16 10 x 6  2  72 ∴ 3  9 3 9  5 5 6 72 6 10 x ∴当 5时，AG2有最小值 5 ，则AG的最小值为 5 ． 6 10 故答案为 ． 5 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形1 的判定与性质得到点G在直线y x上且0 x4成为解答本题的关键． 3 3．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直 角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应 点F在 的延长线上，则四边形 __________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点B到直线 的 距离为 ．①求 的长；②已知点D到 所在直线的距离为 ，若M、N分别是 、 边上的动点， 求 周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)① ；② 【分析】（1）由旋转性质得 ，再证明 ， 便可； （2）①过点C作 于点F，证明 得 ，设 ，在 中，则勾股定 理列出x的方程解答便可； ②延长 到F，使得 ，延长 到G，使得 ，连接 ，分别与 、 交于点M、 N，求出 便是 的最小周长． 【详解】（1）解：四边形 为“直等补”四边形， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为“直等补”四边形； （2）解：①过点C作 于点F，如图1，则 ， ∵四边形 是“直等补”四边形， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得， ，或 （舍）， ∴ ； ②如图2，延长 到F，使得 ，延长 到G，使得 ，连接 ，分别与 、 交于 点M、N，过G作 ，与 的延长线交于点H． 则 ， ， ，因为点D到 所在直线的距离为 ， 所以 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 的周长 的值最小， ∵四边形 是“直等补”四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ∴ ∴ 周长的最小值为 ． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的 性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在 证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置． 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023·河南焦作·统考二模）如图，在 中， ，点P为边 上 一动点，过点P作直线 ，交折线 于点Q．设 ，则y关于x的函数图象大致是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：当点Q在 时，当点Q在 时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 当点Q在 时， ∵直线 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ； 当点Q在 时，如图， ∵直线 ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ； 综上所述，y关于x的函数图象大致是： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，动 点P从点B出发，在线段 上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段 的长为y， 如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形 的面积是（ ） A．20 B．24 C．48 D．60 【答案】C 【分析】根据点P的移动规律，当 时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，可得该矩 形的面积． 【详解】解：根据题意得：当 时， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ，∴此时 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 所以矩形 的面积 ． 故选：C 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出 ． 2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形 中， ，动点 从 点出发沿 方 向在 和 上匀速移动，连接 交 或 的延长线于 ，记点 移动的距离为 ， 为 ，则 关于 的函数图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出 关于 的函数关系式即可得出答案． 【详解】解：①当点 与点 重合时， 在正方形 中， ， ∴ 与 或 的延长线没有交点，不符合题意； ②当点 在线段 之间（点 不与点 、点 重合）， ∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∵点 移动的距离为 ， 为 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ，它的图像是反比例函数图像的一部分； ②当点 在线段 之间（点 可与点 、点 重合），此时点 与点 重合， ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ，它的图像是一条线段； ∴动点 从 点出发沿 方向在 和 上匀速移动时所对应函数关系式为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一 次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点 的位置分情况讨论． 3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线 是线段 的中垂线， 与 相交于点C，D是位于直线 下方的 上的一动点（点D不与点C重合），连接 ，过点A作AE∥BD，过点B作BE⊥AE AB6 AD  x AE y 于点E，若 ，设 ， ，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据AE∥BD得BAE ABD，根据直线l是线段AB的中垂线可得DB ADx， 1 18 ACBC AB3，再证 ，然后根据相似三角形列比例式化简可得y ，再结合 确 2 AEBBCD x x3 定函数图像即可即可解答． 【详解】解：∵AE∥BD， ∴BAE ABD， ∵直线l是线段AB的中垂线， 1 ∴ ，ACBC AB3， ， DB ADx 2 DCB90 ∵BE⊥AE， ∴AEB90， ∴AEBDCB90， ∴AEBBCD AE AB y 6 18 ∴  ，即  ，可得y x3，即函数图像为B选项． BC BD 3 x x 故选B． 18 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得 得到 y x3是解答本题的关键． AEBBCD x 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】ABCD AB3,AD6 BC 例题：（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点E在边 上，连接 DE，过点A作AH DE，垂足为H，AH 交CD于F． (1)求证：△ CDE∽△ DAF； (2)当FC2时，求EC的长． (3)若直线AF 与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长． 【答案】(1)见解析 1 (2)2 12 (3) 5 【分析】（1）根据矩形的性质得到ADC BCD90，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到DCAB3，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由DEC AFD90EDC可得BEDDFG，用x的代数式表示ED、FG、EB，再运用相似 三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴ADC BCD90． 又∵AF DE， ∴DCEADF 90，EDC 90DFADAF， ∴△ CDE∽△ DAF； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DCAB3， ∵FC2， ∴DF DCFC 1， ∵△ CDE∽△ DAF， CE CD ∴  ， DF DACDDF 31 1 ∴CE   ； DA 6 2 （3）解：如图所示， ∵△ CDE∽△ DAF， CE CD ∴  ， DF DA CE 3 1 ∴   ， DF 6 2 设EC x，则DF 2x， ∵△DEB∽△GFD， DE GF ∴  ， BE DF DEDF 92x2 2x GF   ∴ BE 6x ， ∵△ADF∽△GCF， GF CF ∴  ， AF DF 32x 32x ∴GF   62(2x)2   9x2 ， 2x x 92x2 2x 32x   9x2 ∴ 6x x ， 6 x 解得 ， 5 12 ∴ DF 2x ． 5 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关 键． 【变式训练】 1．已知：在平行四边形 中，点M、N分别是边 一个动点，联结 .(1)如图1，如果 ，求证： ； (2)如图2，如果 ，试问 是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理 由 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由垂直的定义可得 ，根据四点共圆及平行线的性质可得， ，最后根据相似三角形的判定可得结论； （2）延长 到 ，则 ，根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴A，M，C，N四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：成立，理由如下： 延长 到 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴M，C，N，A四点共圆， ∴ ， ∴ ．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，圆内接四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关 键． 2．如图，正方形 中，点 关于直线的 对称点为 ， 为 边上一动点， 交 于 ， 交 于 . (1)当 为 中点时，求证 ； (2)若线段 满足 . ①求证： ； ②求 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质可得 , ，根据轴对称的性质可得 ，推得 ，根据相似三角形的判定与性质可求得 ，即可证明； （2）①根据题意可得 ，根据相似三角形的判定和性质可得 ，根据正方形的性质 可得 ， ，根据平行线的性质可得 ，根据对称的性质可得 ，根据等 边对等角可得 ，推得 ，根据全等三角形的判定和性质即可证明 ； ②设正方形的边长为 ，则 ，设 ， ，根据 列方程，求 解得出 ，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴ , ， ∵点 关于直线的 对称点为 ，∴ ， ∴ ， ∵ 为 中点， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：①证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵点 关于直线的 对称点为 ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ， ∴ ；②由①知： ， ∴ ； 设正方形的边长为 ，则 ，设 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （舍去）， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与 性质，一元二次方程的解法，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 3．如图，矩形 中， ， ，动点E在对角线 上．连接 ，作 交射线 于点F． (1)当 平分 时，求 的长； (2)当 为等腰三角形时， 的长． (3)在运动过程中， 与 的比值是否发生变化，如果改变，请说明理由；如果不改变，请直接写出它 的比值． 【答案】(1)(2) 或8 (3) 与 的比值不会变化， 【分析】（1）过点D作 于点G，根据勾股定理求出 ，再用等面积法求出 ，用根据勾股定理求出 ，根据角平分线的定义得出 ，则 ，最后根据 即可求解； （2）进行分类讨论①当点F在线段 上时， ，连接 交 于点H，推出 垂直平分 ， 根据勾股定理求出 ， ，最后根据 即可求解；②当点F 在线段 的延长线上时， ，延长 交 于点I，先证明 ，进而得出 ，则 ； （3）过点E作 于点M，作 于点N，通过证明 ，得出 ， 再证明 ，得出 ，则 ，即可解答． 【详解】（1）解：过点D作 于点G， ∵四边形 为矩形， ∴ ， 根据勾股定理可得： ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得： ， 根据勾股定理可得： ， ∵ ， 平分 ，∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ． （2）解：①当点F在线段 上时， 由图可知， ， ∴当 为等腰三角形时， ， 连接 交 于点H， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， ∴ 垂直平分 ， 由（1）可得： ， 根据勾股定理可得： ， ∴ ， ∴ ；②当点F在线段 的延长线上时， ∵ ， ∴当 为等腰三角形时， ， 延长 交 于点I， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上： 或8． （3）解：过点E作 于点M，作 于点N， ∵ ， ， ， ∴四边形 为矩形， ， ∴ ， ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，则 ， ∴ ， 综上： 与 的比值不会变化， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的 关键是熟练掌握相关性质，正确作出辅助线． 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 例题：（2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】 (1)如图1， 在 中， 分别为 上的点， 交 于点 ， 求证：． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知 为 的边 上的两点， 且满足 ， 一条平行于 的直线分 别交 和 于点 和 ， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点 是正方形 的边 上的一个动点， ， 延长 至点 ， 使 ， 连接 ， 求 的最小值． 【答案】(1)见解析； (2) ； (3) ． 【分析】（1）根据相似三角形的判定证明 ， ，得到 ， ， 整理可得 ，即 ； （2）如图，过点M作 交 于点P，交 于点Q，交 于点F，由（1）中结论可得， ，证明 ， ，根据相似三角形的性质可得 ， ，整理可得 ； （3）如图，延长 交 于点H，证明 ， ，根据相似三角形的性质和 可得 ，由此可得：点H为定点，点G在线段 上运动，当 时， 有最小值， 利用等积法求得 时 的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∴ ． （2）如图，过点M作 交 于点P，交 于点Q，交 于点F， ∵ ， 由（1）中结论可得， ， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． （3）如图，延长 交 于点H， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由此可得：点H为定点，点G在线段 上运动， 当 时， 有最小值， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值为 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题 的关键． 【变式训练】 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线 PA AB 的一个结论．如图1， 是 的角平分线，可以证明  PD △PAC PC BC 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，PB平分APC；【尝试应用】①若AB2，BC1，延长AB至D，使CDBC，若PD的长为定值，请求出这个值； ABm BC n (mn) PD PD 【拓展提高】②拓展：若 ， ， ，P点在l外运动时，使 为定值，直接写出 的 长为 ___________（用含m、n的式子表示）． mn 【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】② mn PA AB  【分析】（1）作 ，交 的延长线于E，可证得 ，因此 ，再证 ， CE∥AP DB APB∽CEB CE BC PC CE PA AB 从而得出  ； PC BC AP AB （2）延长 至T，使 ，连接 ，可证得 ，  2 ，进而证得 ，进而证 PC CT PC BT BT PD PC BC PT PA 得APB≌TPB，进一步得出结果； PC PQ AP BQ PD∥BQ AC PCD∽QCB （3）延长 至Q，使 ，连接 ，作 ，交 的延长线于D，由 得出 PD PC AP AB m  ，由 平分 得出   ，不妨设 ， ，则 BQ CQ PB APC PC BC n APma PC na PD na ，由 得出 ，进而得出  ． CQPQPC (mn)a PAB≌QPB BQ ABm m (mn)a 【详解】（1）证明：如图1， 作CE∥AP，交DB的延长线于E， APB∽CEB，EAPB， PA AB   ， CE BC ∵PB平分APC， APBCPB， CPBE， PCCE，PA AB   ； PC BC （2）解：如图2， 延长PC至T，使CT PC，连接BT ，DT ， PT 2PC， ∵ BC CD1， ∴四边形PBTD是平行四边形， BT PD， ∵PB平分APC， AP AB   2 ， ， PC BC APBBPC AP2PC， PT PA， ∵ PBPB， APB≌TPB(SAS)， BT  AB2， PD2； （3）如图3，PC PQ AP PD∥BQ 延长 至Q，使 ，作 ， PCD∽QCB， PD PC   ， BQ CQ ∵PB平分APC， AP AB m    ， PC BC n 不妨设APma，PC na， 由上知：PAB≌QPB， BQ ABm， PD na   ， m (mn)a mn PD ， mn mn 故答案为： ． mn 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知 识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 2．（2023·江苏苏州·校联考三模）在 中， ， ， 于点D，点E是直线 AC上一动点，连接DE，过点D作 ，交直线BC于点F． (1)[探究发现]：如图1，若 ，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由； (2)[数学思考]： ①如图2，若点E在线段AC上，求证： ； ②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若 ， ， ，求CE的长．（可结合题意，另行画图） 【答案】(1)DE＝DF，见解析 (2)①见解析；②成立，见解析 (3) 或 【分析】（1）根据 得出BC＝AC ，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝ 45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF ，得出∠CDE＝∠BDF ，再证△CDE≌△BDF （AAS），得出DE ＝DF即可； （2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出 ADE∽△CDF ， 利用相似三角形性质得出 ，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ，可证 △ ADC∽△CDB ，得出 ，根据 ， 得出 ； △ ②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证 ADE∽△CDF △ ， 得出 ，根据 ADC∽△CDB，得出 ， 根据 ，可证 即可； △ （3）根据 ADE∽△CDF，得出 ，可得 ，证出CF＝2AE ，根据DF＝ △ ，可得DE＝ ，连结EF，根据勾股定理EF＝ ，①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2 （CE－AC）＝2（CE－ ），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2， 列出方程CE2+ [ 2（CE－ ）] 2＝40 ， ②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（ +CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列 出方程CE2+ [ 2（ +CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（ － CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（ －CE）] 2＝40，解方程即可． 【详解】（1）结论为：DE＝DF证明：∵ ∴BC＝AC ， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD， ∵CD⊥AB，DE⊥DF ， ∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90° ∴∠CDE＝∠BDF ， 在 CDE和 BDF中， △ △ ， ∴CDE≌△BDF （AAS）， ∴DE＝DF， （2）①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90° ∴∠A＝∠BCD， ∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90° ∴∠ADE＝∠CDF， ∴ADE∽△CDF ， ∴ ， ∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ， ∴ ADC∽△CDB ， △ ∴ ， ∵ ， ∴ ； ②仍然成立， ∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF，∴∠ADE＝∠CDF， ∵∠A＝∠BCD ， ∴ADE∽△CDF ， ∴ ， ∵△ADC∽△CDB， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）由（2）得 ADE∽△CDF， △ ∴ ， ∴ ， ∴CF＝2AE ， ∵DF＝ ， ∴DE＝ ， 连结EF， ∵∠EDF＝90°， ∴EF＝ ， ①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－ ）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（CE－ ）] 2＝40 ， ∴CE＝ 或CE＝ （舍去），∴CE＝ ； ②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（ +CE）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（ +CE）] 2＝40 ， ∴CE＝ 或CE＝－ (舍去)， ∴CE＝ ； ③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（ －CE）， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+ [ 2（ －CE）] 2＝40， ∴CE＝ 或CE＝－ （均不满足题意）， 综上所述，CE＝ 或 ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理， 解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．