FY25暑假初三A08B05三角比的意义及特殊值教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

08A/05B 三角比的意义及特殊值 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）锐角三角比的意义 （2）锐角三角比的特殊值 2. 考情分析 （1）锐角的三角比的意义和特殊值，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%. （2）锐角的三角比的意义和特殊值以选择、填空题为主，也会在解答题中作为基础进行考 察. （3）对应教材：初三上册，第二十五章：锐角的三角比，第一节：锐角的三角比 （4）锐角的三角比的意义和特殊值是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比 的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的 概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形 和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：锐角三角比的意义 50分钟 切片2：特殊锐角三角比的值 35分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——锐角三角比的意义【建议时长：40分钟】 考点一：锐角三角比的定义 知识笔记1 1、正切 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． B c a A C b 2 ta n A = 锐 锐 角 角 A A 的 的 对 邻 边 边 = B A C C = a b ． 2、余切 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． c o t A = 锐 锐 角 角 A A 的 的 邻 对 边 边 = A B C C = b a ． 3、正弦 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． s in A = 锐 角 A 斜 的 边 对 边 = B A C B = a c ． 4、余弦 直角三角形中一个锐角的___________与___________的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． c o s A = 锐 角 A 斜 的 边 邻 边 = A A C B = b c ． 5、锐角的三角比 一个锐角的_______________________统称为这个锐角的三角比． 【填空答案】 1、对边，邻边 2、邻边，对边 3、对边，斜边4、邻边，斜边 5、正切、余切、正弦、余弦 例题1: （1）（★☆☆☆☆）如图，在RtABC中，ACB=90， 3  A 的对边是______，  A 的邻边是 ______，  B 的对边是______，  B 的邻边是______． （2）（★☆☆☆☆）如图，在 R t  M N P 中，MPN =90， P Q ⊥ M N ，垂足为点Q． ① 在RtMNP中，M 的对边是______，M 的邻边是______； ② 在RtMPQ中，M 的对边是______，  M 的邻边是______． ③ 在 R t  ____中，  N 的对边是MP；在 R t  ____中，  N 的邻边是NQ． MPQ的邻边是______，NPQ的对边是______． （3）（★☆☆☆☆）如图，在 R t  M N P C A B P M N Q 中，MPN =90，PQ⊥MN，垂足为点Q． ( ) NP ① sinM = = ． MP ( ) PQ MQ ② =______， =______．（用正弦或余弦表示） PN MP P M N Q 【常规讲解】（1）BC；AC；AC；BC．（2）① 4 P N ； M P ；PQ；MQ；② RtMNP； R t  P Q N ；③ P Q ； N Q ． （3）① PQ； M N ；② s in N 或 c o s N P Q ； c o s M 或 s in M P Q ． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ，若  A B C 的三边都缩小5倍，则 s in A 的 值 ( ) A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 （2）（★★☆☆☆）（2022•金山区张堰期末）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B C = 1 ， A B = 3 ， 下列各式中，正确的是 ( ) 1 A．sinA= B． 3 c o s A = 1 3 C． ta n A = 1 3 D． c o t A = 1 3 （3）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）在RtABC中，  C = 9 0  ，AB=5， A C = 4 ．下 列四个选项，正确的是 ( ) 3 A．tanB= B． 4 c o t B = 4 3 C． s in B = 4 5 D． c o s B = 4 5 （4）（★★☆☆☆）（2023•松江区一模）已知 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 2 ， B C = 3 ， 那么下列结论正确的是( ) 2 A．tanA= B． 3 c o t A = 2 3 C． s in A = 2 3 D． c o s A = 2 3 【常规讲解】 （1）解： C=90，  s in A =  A 的 斜 对 边 边 ，  A B C 的三边都缩小5倍， A的对边与斜边的比不变， sinA的值不变．故选：C． （2）解：  C = 9 0  ， B C = 1 ， A B = 3 ，  A C = A B 2 − B C 2 = 3 2 − 1 2 = 2 2 ， BC 1 AC 2 2 BC 1 2 AC sinA= = ，cosA= = ，tanA= = = ，cotA= =2 2． AB 3 AB 3 AC 2 2 4 BC故选：A． （3）解：如图，根据勾股定理得： 5 B C = A B 2 − A C 2 = 5 2 − 4 2 = 3 ， AC 4 tanB= = ， BC 3 c o t B = ta 1 n B = 3 4 ， s in B = A A C B = 4 5 ， c o s B = B A C B = 3 5 ， 故选： C ． （4）解：  C = 9 0  ， A C = 2 ，BC=3， AB= AC2 +BC2 = 22 +32 = 13 ，  ta n A = B A C C = 3 2 ， c o t A = A B C C = 2 3 ， s in A = B A C B = 3 1 3 = 1 3 3 1 3 AC 2 2 cosA= = = 13 AB 13 13 ， ， 故选： B ． 考点二：锐角三角比的简单计算 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）如果把RtABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角 A 的四个三角比的值 ( ) 1 A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 2 C．都没有变化 D．都不能确定（2）（★★☆☆☆）（2023•虹口区一模）如图，在RtABC中， 6  C = 9 0  ， A C = 1 ， B C = 2 ， 那么 c o s A 的值为 ( ) 1 A． B．2 C． 2 5 5 D． 2 5 5 （3）（★★☆☆☆）（2023•长宁区一模）在  A B C 中，  C = 9 0  ，已知 A C = 3 ，AB=5，那 么  A 的余弦值为 ( ) 3 A． B． 4 4 3 C． 3 5 D． 4 5 （4）（★★☆☆☆）（2020•青浦区期末）已知 R t A B C 中，  C = 9 0  ， s in A = 5 1 3 ， B C = 1 0 ，则 A B 等于 ( ) A．26 B．32 C．24 D．12 【常规讲解】 （1）解：如果把 R t A B C 的三边长度都扩大2倍，锐角 A 不变，锐角三角函数值不变， 故选：C． （2）解：在 R t A B C 中，  C = 9 0  ，AC=1， B C = 2 ，由勾股定理，得 A B = A C 2 + B C 2 = 5 ． 由锐角的余弦，得 c o s A = A A C B = 1 5 = 5 5 ． 故选： C ． （3）解：在RtABC中，AC=3， A B = 5 ，  c o s A = A A C B = 3 5 ， 故选： C ． （4）解：在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， 5 BC sinA= = ，BC =10， 13 AB7  A B = s B in C A = 1 0  1 3 5 = 2 6 ， 故选： A ． 练习2:【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A B = 3 B C ，则 s in B 的值为 ( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 2 3 D． 2 3 2 【配题说明】三角比的复杂计算 【常规讲解】解：设 B C 为 x ，则 A B = 3 x ， 由勾股定理得， A C = A B 2 − B C 2 = ( 3 x ) 2 − x 2 = 2 2 x ，  s in B = A A C B = 2 3 2 x x = 2 3 2 ， 故选： D ． （2）（★★★☆☆）（2020•浦东新区期末）已知在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， B   = ， A C = 2 ，那么AB的长等于 ( ) 2 A． B． sin 2 s in 2  C． D．2cos cos AC 【常规讲解】解： sinB=sin= ， AB A C = 2 ， AC 2 AB= = ， sin sin 故选： A ．考点三：锐角三角比的简单计算 例题3: （1）（★★★☆☆）（2019•嘉定区期末）矩形 8 A B C D 中AB=10， B C = 8 ， E 为 A D 边上 一点，沿 C E 将  C D E 对折，使点 D 正好落在 A B 边上，求 ta n  A F E ． （2）（★★★☆☆）在  A B C 中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求  A C B 的四个三角比的 值． （3）（★★★★☆）如图，在  A B C 中，  A C B = 9 0  ，CD ⊥ AB于点D， D C B   = ， 若AD : BC = 16 : 15，求 s in 、 c o t 的值． 【常规讲解】 （1）解：根据图形有：  A F E +  E F C +  B F C = 1 8 0  ， 根据折叠的性质，  E F C =  E D C = 9 0  ， 即AFE+BFC=90， 而 R t B C F 中，有  B C F +  B F C = 9 0  ， 易得  A F E =  B C F ， 在 R t B F C ， 根据折叠的性质，有 C F = C D ， 在 R t B F C 中，BC=8，CF =CD=10， 由勾股定理易得： B F = 6 C A D B ， 3 则tanBCF = ； 4故有 9 ta n  A F E = ta n  B C F = 3 4 ； 答： ta n  A F E = 3 4 ． （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由 A B = 2 0 ， B C = 2 1 ， A C = 1 3 ,设CD=x，则BD=21−x， 根据 A D 2 = A B 2 − B D 2 = A C 2 − C D 2 ， 得： 2 0 2 − ( 2 1 − x ) 2 = 1 3 2 − x 2 ，解得 x = 5 , 则 A D = 1 2 12 5 12 5 ,设ACB=，∴sin= ，cos= ，tan= ，cot= ． 13 13 5 12 （3）∵  A C B = 9 0 ， C D ⊥ A B ，由射影定理得 C B 2 = B D B A （证  B C D  B A C ），∵ A D : B C = 1 6 : 1 5 ， 设 B C = 1 5 k ， A D = 1 6 k ( k  0 ) ， B D = x ，列等量关系，得 ( 1 5 k ) 2 = x ( x + 1 6 k ) ， 解得 x 1 = 9 k ， x 2 = − 2 5 k ( 舍 ) ，∴ B D = 9 k ， 根 据 勾 股 定 理 ， 得 C D = 1 2 k ， 由三角比的定义得 s in 3 5 c o t 4 3   = ， = ． 练习3:【学习框12】 （1）（★★★☆☆）如图，在 R t  A B C 中，C=90，点 D 在边 BC 上，AD = BD = 5， s in  A D C = 4 5 ，求cosABC和tanABC的值． B 2 0 2 1 - x A D x 1 3 C A C D B（2）（★★★★☆）在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E， BD 10 ⊥ CD，AB = 12， c o t  A D B = 4 3 ，求：①  D B C 的余弦值；② DE的长． 【常规讲解】 （1）  C = 9 0 ，  s in  A D C = A A C D = 4 5 ， ∵ A D = 5 ，∴ A C = 4 ， C D = 3 ， B C = C D + B D = 3 + 5 = 8 ， 由勾股定理，得 A B = 4 5 ,∴ c o s  A B C = B A C B = 2 5 5 ， ta n  A B C = A B C C = 1 2 ． （2）① ∵ A B ⊥ A D ， A B = 1 2 ， c o t  A D B = 4 3 ， ∴ A D = 1 6 ，由勾股定理，得 B D = 2 0 ， ∵AD BC，∴  A D B =  D B C ，即 c o s  B D C = c o s  A D B = 1 2 6 0 = 4 5 ； ② ∵ B D ⊥ C D ，∴ c o s  B D C = B B D C = 4 5 ，∵BD=20，∴ B C = 2 5 ，设 D E = x ，则 B E = 2 0 − x AD DE 16 x ，∵ = ，即 = ，解得 BC BE 25 20−x x = 3 2 4 0 1 ．知识加油站 2——特殊锐角三角比的值【建议时长：30分钟】 考点三：特殊三角比的直接应用 知识笔记2 特殊锐角的三角比的值  tan 11 c o t  s in  c o s  30° 3 3 2 3 45° 1 2 2 3 60° 3 1 2 【填空答案】 （横向） 3， 1 2 ，1， 2 2 ， 3， 2 3 例题4: （1）（★☆☆☆☆）用特殊锐角的三角比填空： ① 1 2 = 2 ______ = ______； ② =______ = ______； 2 ③ 1 = ______ = ______； ④ 2 3 = ______ = ______． （2）（★★☆☆☆）正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，求  O A B 的三角比 的值． 【常规讲解】 （1） ① sin 30°，cos 60°；② sin 45°，cos45°； ③ tan45°，cot 45°； ④ sin 60°，cos30°． （2）∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴ 12  O A B = 1 2  B A C = 1 2  9 0  = 4 5  ． ∴ s in  O A B = s in 4 5  = 2 2 ， c o s  O A B = c o s 4 5  = 2 2 ， t a n  O A B = t a n 4 5  = 1 ，cotOAB=cot45=1． 练习4:【学习框14】 （1*）（★★☆☆☆）如图，在 R t  A B C 中，  C = 9 0  ，  A = 3 0  ，BC = a．求  A 的三角 比的值． （2）（★★☆☆☆）求满足下列条件的锐角： ① 2 c o s 2 0  − = ； ② ta n ( 1 0 ) 3  +  = ． 【常规讲解】 （1）∵  A = 3 0  ∴ s in A = s in 3 0  = 1 2 ， c o s A = c o s 3 0  = 2 3 ， ta n A = ta n 3 0  = 3 3 ， c o t A = c o t 3 0  = 3 ． 2 （2） ①由题意可得：cos= ，则 2 = 4 5   ； ②由题意可得： + 1 0  = 6 0   ，则 = 5 0   ． 考点四：特殊三角比值的计算 例题5: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区一模）计算： 2 s in 2 4 s 5 in  6 + 0  ta n 4 5  − 4 c o t 3 0   c o s 2 3 0  B C A ． 4sin245−tan45 （2）（★★☆☆☆）（2023•金山区一模）计算： +2cot30sin60． 2cos60 （3）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）计算：4cos30−cos45tan60+2sin245．（4）（★★☆☆☆）（2023•奉贤区一模）计算： 13 4 c o s 3 0   s in 6 0  + 2 ta n 4 5 1  − c o t 3 0  ． 【常规讲解】 （1）解：原式 = 2 3 + 1 − 4 3  3 4 = ( 2 3 + ( 1 ) 2 ( − 2 1 ) − 1 ) − 3 3 = 6 − 3 − 3 3 = 6−4 3． 2 4( )2 −1 2 3 （2）解：原式= +2 3 1 2 2 2 = 4  1 21 − 1 + 3 = 1 + 3 = 4 ． （3）解：原式 = 4  2 3 − 2 2  3 + 2  ( 2 2 ) 2 = 2 3 − 2 6 + 2  1 2 = 2 3 − 2 6 + 1 ． （4）解：原式 = 4  2 3  2 3 + 2  1 1 − 3 = 3 + ( 2 − 2 + 3 ) ( 2 3 + 3 ) = 3 + 2 + 3 = 5 + 3 ． 练习5:【学习框16】 4cos245 （1）（★★☆☆☆）（2022•青浦一中期末）计算：2sin60−cot30+ ． tan30−1 （2）（★★☆☆☆）计算： 2 ta n 4 5  − 2 c o s c o t 3 3 0 0   − 2 s in 2 6 0  ． （3）（★★☆☆☆）（2022•青浦实验期末）计算： 2 c ta o n s 6 2 0 3  0  + − 2 c o s in t 4 5  4 5  ． tan45 （4）（★★☆☆☆）（2022•复旦二附中期末）计算： + (1−cos45)2 +sin45． cot30sin60【常规讲解】 （1）解： 14 2 s in 6 0  − c o t 3 0  + 4 ta c n 2 o s 3 0 4  5 −  1 = 2  2 3 − 3 + 4  ( 3 3 2 2 − ) 1 2 = 3 − 3 + 3 3 2 − 1 = 3 6 − 3 = 6 ( 3 3 − + 9 3 ) = − 3 − 3 ． （2）解：原式 = 2  1 − 2  3 2 3 − 2  ( 2 3 ) 2 3 =2−1− 2 1 =− ． 2 （3）解：原式 = 2  3 ( + 3 2 2 )  2 − 2 2 1 = 3 23 − + 1 2 = 3 1 2+ 2 = 3 − 2 2 ． （4）解：原式 = 3 1  2 3 + 1 − 2 2 + 2 2 = 2 3 + 1 5 = ． 3例题6: （1）（★★☆☆☆）已知 15 3 ta n 2 c o s 3 0 0  −  = ，求锐角； （2）（★★★☆☆）在  A B C ( )2 中，A、B均是锐角且 tanB− 3 + 2sinA− 3 =0， 请判断  A B C 的形状，并说明理由． （3）（★★★☆☆）（2019•浦东新区期末）在  A B C 中，已知  A = 6 0  ，  B 为锐角，且 ta n A ， c o s B 恰为一元二次方程 2 x 2 − 3 m x + 3 = 0 的两个实数根．求 m 的值并判断  A B C 的形状． 【常规讲解】 （1）解：解得： ta n 3 3  = ，则 3 0  =  ； （2）∵ ta n B − 3 + ( 2 s in A − 3 ) 2 = 0 ， ∴ t a n B − 3 = 0 ， 2 s in A − 3 = 0 ，解得： ta n B = 3 ， s in A = 2 3 ． ∴  B = 6 0  ，  A = 6 0  ． ∴ABC为等边三角形． （3）解：  A = 6 0  ，  ta n A = 3 ． 把x= 3代入方程 2 x 2 − 3 m x + 3 = 0 得 2 ( 3 ) 2 − 3 3 m + 3 = 0 ，解得 m = 3 ． 把 m = 3 代入方程 2 x 2 − 3 m x + 3 = 0 得 2 x 2 − 3 3 x + 3 = 0 3 ，解得x = 3，x = ． 1 2 2  c o s B = 2 3 ，即B=30度．   C = 1 8 0  −  A −  B = 9 0  ，即  A B C 是直角三角形． 练习6:【学习框18】 （1）（★★★☆☆）已知 2 s in 3 ta n 3 0 0  −  = ，求锐角． 3 （2）（★★★☆☆）若(tanA− 3)2 +(tanB− )2 =0， 3  A ，  B 为ABC的内角，试确 定三角形的形状． 【常规讲解】 3 （1）解得：sin= ，则=60． 2（2）解：由 16  ( ( ta ta n n A B − − 3 3 3 2 ) 2 ) = = 0 0 ，得  ta ta n n A B = = 3 3 3 ，则    A B = = 6 3 0 0   ，   C = 1 8 0  −  A −  B = 9 0 度． ABC为直角三角形． 全真战场 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）如图，在  A B C 中，C=90，设  A ，  B ，  C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则 ( ) A． s in A = a b B．a=sinBc C． c o s A = b c D． ta n A = b a （2）（★★☆☆☆）如图，在  A B C 中，  C = 9 0  ，设A，  B ，C所对的边分别为 a， b ，c，则下列式子正确的是 ( ) c b A．cosB= B．sinB= C． a c ta n B = a b b D．tanB= c （3）（★★☆☆☆）（2020•崇明区期末）在RtABC中，  C = 9 0  ，AC=12，BC=5， 那么下列各式中正确的是 ( ) A． ta n A = 1 5 2 B． ta n A = 5 1 3 C． s in A = 1 5 2 5 D．cosA= 12 【常规讲解】（1）解：在ABC中，C=90，设A，B，C所对的边分别为a，b， 17 c ，因此 有： s in A = a c ， s in B = b c ， c o s A = b c ， ta n A = a b ， 故A不符合题意；故 C 符合题意；故 D 不符合题意； b 由sinB= 可得 c b = s in B  c ，故 B 不符合题意； 故选： C ． （2）解：在ABC中，C=90， c o s B = a c ， A 选项说法错误； s in B = b c ， B 选项说法正确； ta n B = b a ， C 、D选项说法错误； 故选： B ． （）解：  C = 9 0  ， A C = 1 2 ， B C = 5 ，  A B = 1 2 2 + 5 2 = 1 3 ，  ta n A = 1 5 2 ， s in A = 5 1 3 ， c o s A = 1 1 2 3 ， 故选： A ． 练习2: （★★☆☆☆）（2020•金山区期末）三角比的计算 2 （1）cos60+ sin45+ 3tan30 2 （2） sin260−2sin60+1−|1−tan60| （3） ( s in 3 0  ) − 1  ( s in 6 0  − c o s 4 5  ) − (1 − ta n 6 0  ) 2 ． 1 2 2 3 【常规讲解】解：（1）原式= +  + 3 2 2 2 318 = 1 2 + 1 2 + 1 = 2 ； （2）原式 = ( 2 3 ) 2 − 2  2 3 + 1 − | 1 − 3 | = 1 − 2 3 + 1 − 3 = 2 − 3 2 3 ． （3）解：原式 = ( 1 2 ) − 1  ( 2 3 − 2 2 ) − ( 3 − 1 ) = 2  ( 2 3 − 2 2 ) − 3 + 1 = 3− 2− 3+1 = 1 − 2 ． 练习3: （1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区期末）计算： ta n s in 4 4 5 5   + + c c o o t s 4 3 5 0   ． （2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）计算： ta n 4 5 2  − s in c 3 o 0 s  6 0  + c o t 2 6 0  cot45 （3）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期末）计算：4sin45−2tan30cos30+ ． cos60 【常规讲解】 （1）解：原式 = 2 1 2 + + 1 2 3 = 4 3 − 4 2 ． 1 1− （2）解：原式= 2 +( 3 )2 1 3 2 2 = 1 2 + 1 3 = 5 6 ． 2 3 3 1 =4 −2  + （3）解：原式 2 3 2 1 2 =2 2−1+219 = 2 2 + 1 ． 练习4: （1）（★★★☆☆）在RtABC中，C=90，BC=6，tanB=0.75，求AC的长． （2）（★★★☆☆）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ，已知 B C = 1 2 ，AC=4 3，求  A ，B， A B 的大小． 【常规讲解】 （1）解： 在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， AC tanB= ， BC 又 ta n B = 0 .7 5 ， B C = 6 ，  A C = B C  ta n B = 6  0 .7 5 = 4 .5 ． （2）解：根据题意可得， A B = B C 2 + A C 2 = 1 2 2 + ( 4 3 ) 2 = 1 4 4 + 4 8 = 8 3 ； ta n A = B A C C = 4 1 2 3 = 3 ，   A = 6 0  ， B=90−A=90−60=30． 关卡二 练习5: （★★★★☆）已知 R t  A B C 中，  C = 9 0  ，  A = 4 5  ，c−a=3，求a、b、c的值． 【常规讲解】解：在 R △t A B C 中， s in A = a c = 2 2 ，则c= 2a． ∵c−a=3，∴ 2 a − a = 3 ，解得： a = 3 2 + 3 ， ∴ b = a = 3 2 + 3 ，c= 2a=6+3 2．练习6: （★★★★★）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长 的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰 的比叫做顶角的正对 20 ( s a d ) ．如图，在  A B C 中， A B = A C ，顶角 A 的正对记作 s a d A ， 这时 s a d A = 底 腰 边 = B A C B ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1） s a d 6 0  的值为（ ）． A． 1 2 B ．1 C ． 2 3 D ．2 （2）对于 0   A  1 8 0  ，  A 的正对值 s a d A 的取值范围是_________． （3）已知 s in A = 3 5 ，其中  A 为锐角，试求 s a d A 的值． 【解答】解：（1）根据正对定义， 当顶角为 6 0  时，等腰三角形底角为 6 0  ， 则三角形为等边三角形， 则 s a d 6 0  = 1 1 = 1 ． 故选 B ． （2）当A接近 0  时， s a d A 接近0， 当  A 接近180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2． 于是 s a d A 的取值范围是 0  s a d A  2 ． 故答案为0sadA2．（3）如图，在 21  A B C 中，ACB=90， s in A = 3 5 ． 在 A B 上取点 D ，使 A D = A C ， 作 D H ⊥ A C ， H 为垂足，令 B C = 3 k ， A B = 5 k ， 则 A D = A C = ( 5 k ) 2 − ( 3 k ) 2 = 4 k ， 又 在  A D H 中，  A H D = 9 0  ， s in A = 3 5 ．  D H = A D s in A = 1 2 5 k ， A H = A D 2 − D H 2 = 1 6 5 k ． 则在  C D H 中， C H = A C − A H = 4 5 k ， C D = D H 2 + C H 2 = 4 1 5 0 k ． 于是在  A C D 中，AD= AC=4k， C D = 4 1 5 0 k ． 由正对的定义可得： s a d A = C A D D = 1 5 0 ． 练习6: （★★★★★）应用锐角三角比的定义，求sin 15°、tan 15°、sin 75°、tan 75°． 【常规讲解】如图，作等腰△ABC，且  B =  C = 1 5  ． 过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D， 则  B = 1 5  ，  B C D = 7 5  ，  C A D = 3 0 ． 设DC =x，则AC = AB=2x， D A = 3 x ， B C = C D 2 + B D 2 = x 2 + ( 2 + 3 ) 2 x 2 = 8 + 4 3 x = ( 6 + 2 ) 2 x = ( 6 + 2 ) x ． 在 R t △BDC中， s in 1 5  = s in B = D B C C = ( 6 + x 2 )x = 6 1 + 2 = 6 − 4 2 ； DC x 1 tan15=tanB= = ( ) = =2− 3； BD 2+ 3 x 2+ 322 s in 7 5  = s in  B C D = D B B C = ( (2 6 + + 3 )x) 2 x = 2 6 + + 3 2 = 6 + 4 2 ； t a n 7 5  = t a n  B C D = D C B D = (2 + x 3 )x = 2 + 3 ． 【答案】 s in 1 5  = 6 − 4 2 ， t a n 1 5  = 2 − 3 ， s in 7 5  = 6 + 4 2 ， t a n 7 5  = 2 + 3 D A B C ．