文档内容
重难点突破 01 高等数学定理背景下新定义
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：泰勒公式................................................................................................................................3
题型二：极大值点的第二充分条件定理..........................................................................................10
题型三：帕德逼近..............................................................................................................................14
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理......................................................22
题型五：伯努利、琴生不等式..........................................................................................................27
题型六：微积分、洛必达..................................................................................................................35
03 过关测试.........................................................................................................................................421、泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存在时，
．注： 表示 的2阶导数，即为
的导数， 表示 的 阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、【极值点第二充分条件】已知函数 在 处二阶可导，且
（1）若 ，则 在 处取得极小值；
（2）若 ，则 在 处取得极大值.
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，
n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ，
， ，…， ．（注： ， ，
， ，…； 为 的导数）.
4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数 在 上连续，且在 上可导，则必有
，使得 .
5、罗尔定理描述如下：如果 上的函数 满足以下条件：①在闭区间 上连续，②在开区间
内可导，③ ，则至少存在一个 ，使得 ．
6、微积分
知识卡片1：一般地，如果函数 在区间 上连续，用分点 将区
间 等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式
（其中 为小区间长度），当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常
数叫做函数 在区间 上的定积分，记作 即 .这里， 与 分别
叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积.
知识卡片2：一般地；如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数 ，
的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
7、伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种
不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 ，在 时，有不等式
成立；在 时，有不等式 成立．
8、设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有 ，
则称 为 上的凹函数；若 ，则称 为凸函数.若 是区间 上
的凹函数，则对任意的 ，有琴生不等式 恒
成立（当且仅当 时等号成立）.
题型一：泰勒公式
【典例1-1】英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中 ，此
公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当 时， ，
，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
(1)证明：当 时， ；(2)设 ，若区间 满足：当 定义域为 时，值域也为 ，则称区间 为
的“和谐区间”．试问 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 的所有“和谐区
间”，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，得 ，所以 ，
所以当 时， ．
（2）对于函数 ，有 ，
①若 ，则由 ，知 ，矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理 时，也不存在，
下面讨论 ，
③若 ，则 ，故 最小值为 ，于是 ，
所以 ，
所以 最大值为2，故 ，
此时 的定义域为 ，值域为 ，符合题意．
④若 ，当 时，同理可得 ，舍去，
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，于是 ，
若 ，即 ，则 ，
故 ，
与 矛盾；
若 ，同理，矛盾，
所以 ，即 ，
由（1）知当 时， ，
因为 ，所以 ，从而， ，从而 ，矛盾，综上所述， 有唯一的“和谐区间” ．
【典例1-2】（2024·安徽·一模）给出以下三个材料：
①若函数 可导，我们通常把导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似的，函数
的二阶导数的导数叫做函数 的三阶导数，记作 ，函数 的三阶导数的导数叫做函数
的四阶导数……，一般地，函数 的 阶导数的导数叫做函数 的n阶导数，记作
， ；
②若 ，定义 ；
③若函数 在包含 的某个开区间 上具有任意阶的导数，那么对于任意 有
，我们将 称为函数 在点
处的泰勒展开式.
例如 在点 处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的泰勒展开式 ；
(2)用 在点 处的泰勒展开式前三项计算 的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知 ，试求 的值.
【解析】（1） ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
由
所以
（2）由（1）可得
（3）因为 ①，
对 ，
两边求导可得： ，所以 ，
所以 ②，
比较①②中 的系数，可得：
，
所以 .
【变式1-1】（2024·广西·模拟预测）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，以
上公式成为泰勒公式．设 ， ，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如
下问题．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）设 ，则 ，故对 有 ，对 有
.
所以 在 上递减，在 上递增，从而 ，即 .
（2）设 ，则 .
故对 有 ，所以 在 上递增.
从而对 有 ，即 ，故 .
（3）据已知有 ，故 ，
（我们约定 是 的导数）.
若 ，则对 ，据 ，有 .
所以 在 和 上递增，从而在 上递增.故对 有 ，对 有 .
所以 在 上递减，在 上递增，从而 是 的极小值点，满足条件；
若 ，则对 ，有 .
从而 ，且
.
所以 ，故 .
这就说明 在 上递减，从而对 有
.
故 在 上递减，从而 不可能是 的极小值点，不满足条件.
综上， 的取值范围是 .
【变式1-2】18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式
（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存在时，
．其中，f″(x)表示 的二阶导数，
即为f'(x)的导数， 表示 的 阶导数．
(1)根据公式估计 的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得： ，当 时，请比较 与 的大小，
并给出证明；
(3)已知 ，证明： ．
【解析】（1）记 ，则 ，
，所以 ，
因为 ，
所以 且 ，
， ．
（2）令 ，则 ，
恒成立， 在 递增， 在 递增，
在 递增， ，
即 .
（3）由题， ，则 ，则 ，
令 ，
易得 在 上递增，在 上递减，从而 ，
即 当且仅当 时取等号），
，
即 ，
，，得证．
【变式1-3】英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，
我们能得到 （其中e为自然对数的底数，
），其拉格朗日余项是 可以看出，右边的项用得越多，
计算得到的e的近似值也就越精确.若 近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项 不超过 时，
正整数n的最小值是 .
【答案】5
【解析】依题意得 ，即 ，
又 ， ，
所以 的最小值是5．
故答案为：6．
【变式1-4】英国数学家布鲁克 泰勒 ， 以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.
根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于
，有 ，其中，
（此处 介于 和 之间）.
若取 ，则 ，其中， （此处
介于0和 之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式，也称作 的
阶麦克劳林公式.
于是，我们可得 （此处 介于0和1之间）.若用 近似的表示 的泰勒公式的拉格朗日余项 ，当 不超过 时，正整数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件有 ，即
因为 ， ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
题型二：极大值点的第二充分条件定理
【典例2-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函
数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.经研究
发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 图象的
对称中心.
(1)若函数 ，求函数 图象的对称中心；
(2)已知函数 ，其中 .
（ⅰ）求 的拐点；
（ⅱ）若 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 .令 ，解得 ，又 ，
所以函数 的“拐点”为 ，
所以函数 图象的对称中心为 .
（2）（ⅰ）因为 ， ，
所以 ，
，且 ，
令 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，又 ，
由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
所 ，且 ，当 时， ，
所以 的拐点为 .
（ⅱ）证明：由（i）可知， 在 上单调递增， ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
∴ 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 .
【典例2-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）记 ， 为 的导函数.若对 ，
，则称函数 为D上的“凸函数”.已知函数 ， .
(1)若函数 为 上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数 在 上有极值，求a的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ， ，
由于函数 为 上的凸函数，故 ，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故 ，
故a的取值范围为 ；（2）由 ，得 ，
函数 在 上有极值，即 在 上有变号零点，
即 在 上有解，
令 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，
且当x无限趋近于1时， 无限接近于-1， ，
故存在 ，使得 ，
且 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，由于 ，
故 ， ，
而 在 时单调递减，故 ，
故 ，即a的取值范围为 .
【变式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函数 同时满足下列两个条件，则称 在
上具有性质 ．
① 在 上的导数 存在；
② 在 上的导数 存在，且 （其中 ）恒成立．
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ？并说明理由．
(2)设 、 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得
在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．【解析】（1）令 ， ，
则 ， ，
， ，
当 时， 恒成立，
∴函数 在区间 上具有性质 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 在 处取得极值，且 为奇函数，
∴ 在 处也取得极值，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
故 在 单调递减，在 单调递增，满足 在 处取得极值，
∴ ，
当 时， 恒成立，
∴存在实数 ，使 在区间 上恒成立，
∴存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ， 的取值范围是 ；
（3）∵ ，
∴ ，
令 ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
又∵ ， ，
∴存在 ，使 ，
∴当 时， ， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， ， 在区间 上单调递增，
∴当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ 恒成立，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ 的最大值为 .
题型三：帕德逼近
【典例3-1】帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， .（注： ，
， ， ，…； 为 的导数）.
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似函数 ；
(2)在（1）的条件下，试比较 与 的大小；
(3)在（1）的条件下，若 在 上存在极值，求m的取值范围.【解析】（1）由 得 ， ，
则函数 在 处的 阶帕德近似函数 ，
由于 ，所以 ，
故
， ，
因为 ， ，所以 ，
解得 ， ．
所以
（2）令 ， ，
则 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ．
（3）
， ，
，
因为 在 上存在极值，
所以 在 上存在变号零点，
令 ， ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
，所以 无零点，不符合题意；记 ，则 ，
②当 时，由于 ，所以 ，故 ，故 在 上单调递增，
，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 无零点，不符号题意；
③当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 ，
令 ， ，
，所以 在 上单调递增， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ，进而 ，
所以 ；
，
令 ；
设 ，
则当 时 单调递减，当 时， 单调递增，故当 ，
故 故 ，
，故 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，，
所以 ，所以 在 上存在零点，即 在 上存在极值点，
所以 的取值范围为 ．
【典例3-2】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 ，
，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
.（注： ，
为 的导数）已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：当 时， ；
(3)设 为实数，讨论方程 的解的个数.
【解析】（1）由 ，有 ，
可知 ，
由题意， ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知， ，
令 ，
则 ，
所以φ(x)在其定义域 内为增函数，
又 ，
时， ，得证.
（3） 的定义域是 ，.
①当 时， ，所以ℎ(x)在 上单调递增，且 ，
所以ℎ(x)在 上存在1个零点；
②当 时，令 ，
由 ，得 .
又因为 ，所以 .
+ 0 - 0 +
单调递
ℎ(x) 极大值 单调递减 极小值 单调递增
增
当 时，因为 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点，
且 ；
当 时，因为 ，
，而ℎ(x)在 单调递增，且 ，
而 ，故 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点；
当 时，因为 ，
，而ℎ(x)在 单调递增，且 ，而 ，
所以 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点.
从而ℎ(x)在 上存在3个零点.
综上所述，当 时，方程 有1个解；
当 时，方程 有3个解.
【变式3-1】给定两个正整数 ， ，函数 在x=0处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， .已知 在x=0处的 阶帕德近似 注： ， ，
， ，…
(1)求 ， ， 的值；
(2)比较 的大小，并说明理由；
(3)求不等式 的解集，其中
【解析】（1）因为 ，
，
， 则 ，
则 ，则 ，
，
所以 .
（2） ，
令 ， 则 ，
令 ，
，
所以 在 单调递增， 在 单调递增，
， 即 ， 所以 ，
， 所以 ，
综上， .
（3）若要使 成立， 则 ， 即 或 x>0，当 时， 即 ，
由（2）知上式成立， 所以 ，
当 等价于 ，
当 x>0 时， 等价于 ， 成立;
当 时， 等价于 ， 不成立，
所以解集为 .
【变式3-2】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数
m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， …， （注： ，
， ， ，…， 为 的导数）已知
在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求实数a，b的值，并估计 的近似值（保留三位小数）；
(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ， ；
因为 ，所以 ，
由题意知， ，
所以 解得 ， ．
（2）由（1）知，即证 ，令 ， 且 ．即证 时，有
设 ， ，则
所以 在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增
当 时， ，
可得 ，即 成立，
当 时， ，
可得 ，即 成立，
综上可得当 时，
所以 成立，即 成立；
（3）由题意知，欲使得不等式 成立，
则至少有 ，即 或 ．
首先考虑 ，该不等式等价于 ，
即 ．
由（2）知 成立，
所以使 成立的x的取值范围为 或
再考虑 ，
该不等式等价于 ，
不妨令 ，函数定义域为 ．
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
即当 时， ，
则当 时，有
当 时，由 可得 成立；
当 时，由 可得 不成立，
所以使 成立的x的取值范围为 ，
综上可得不等式 的解集为 ．
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理
之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数
满足以下条件：①在闭区间 上连续，②在开区间 内可导，③ ，则至少存在一个
，使得 ．据此，解决以下问题：
(1)证明方程 在 内至少有一个实根，其中 ；
(2)已知函数 在区间 内有零点，求 的取值范围．
【解析】（1）设 ，
则 ，
所以函数 在 上连续，在区间 上可导，
又 ，故 ，
所以由罗尔中值定理可得至少存在一个 ，使得 ，
所以 ，
所以方程 在 内至少有一个实根，（2）因为函数 在区间 内有零点，
不妨设其零点为 ，则 ， ，
由 可得 ，
所以函数 在 上连续，在 上可导，
又 ， ，
由罗尔中值定理可得至少存在一个 ，使得 ，
因为函数 在 上连续，在 上可导，
又 ， ，
由罗尔中值定理可得至少存在一个 ，使得 ，
所以方程 在 上至少有两个不等的实数根，
设 ，
则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以方程 在 上至多有一个根，矛盾，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以方程 在 上至多有一个根，矛盾，
当 时，由 ，可得 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，
又 ，
所以 ，
又 ， ，
由零点存在性定理可得 ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，所以 的取值范围 ．
【典例4-2】（2024·高三·陕西安康·开学考试）定理：如果函数 在闭区间 上的图象是连续不断的
曲线，在开区间 内每一点存在导数，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得
这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上
有着广泛的应用．
(1)设 ，记 的导数为 ，试用上述定理，说明方程 根的个数，并
指出它们所在的区间；
(2)如果 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间 内每一点存在导数，记 的导
数为 ，试用上述定理证明：在开区间 内至少存在一点 ，使得 ；
(3)利用（2）中的结论，证明：当 时， ．（e为自然对数的底数）
【解析】（1）函数 的定义域为R，函数 在R上的图象连续不断，
求导得 ，显然 ，
在闭区间 上 的图象是连续不断的，在开区间 内每一点存在导数，且 ，
由罗尔定理，在开区间 内至少存在一点 ，使得 ；
同理在开区间 内至少存在一点 ，使得 ；
在开区间 内至少存在一点 ，使得 ，因此方程 至少有3个根，
又函数 是三次函数，最多有三个零点，
所以方程 有3个根，分别在区间 内.
（2）令函数 ，依题意， 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，
求导得 ，则 在开区间 内每一点存在导数，
且 ，
由罗尔定理，在开区间 内至少存在一点 ，使得 ，
即 ，整理得 ，
所以在开区间 内至少存在一点 ，使得 .
（3）令函数 ，函数 在 上的图象连续不断，求导得 ，
由（2）知，存在 ，使得 ，存在 ，使得 ，
由 ，得 ，
令 ，求导得 ，则函数 在 上单调递增，
于是 ，即 ，整理得 ，
即 ，所以 .
【变式4-1】利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数 表示成
的形式.
(1)若 ， ， ， ， ，把 的二次项系数表示成关于f的函数 ，并求 的值
域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）；
(2)若 ， ， ， ，求证： .
【解析】（1）由题意
又 ，所以
．
即 的值域是 ；
（2）因为 ， ， ， ，所以 ，
因为 ， ， ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ， ， ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
综上，原不等式成立．
【变式4-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束
条件 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格
朗日系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
【解析】（1）函数 ，对变量 求导得： ，
当 时， .
（2）令 ，
则 ，解得 或 ，
于是函数 在约束条件 的可能极值点是 ， ，当 时，函数 的一个极值为函数 ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
方程 视为关于x的方程： ，则 ，解得 ，
视为关于y的方程： ，则 ，解得 ，
因此函数 对应的图形是封闭的，而 ，
所以 的最大值为 .
（3）①由 ， ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
②当 时，
，当且仅当 时取等号，
所以 时， 取得最小值4.
题型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·山东潍坊·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这
个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程
，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地双曲正弦函数
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当 时，双曲正弦函数 图象总在直线 的上方，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明：
【解析】（1）平方关系： ；
倍角公式： ；
导数： .
理由如下：平方关系， ；
倍角公式： ；
导数： ， ；
以上三个结论，证对一个即可.
（2）构造函数 ，x∈(0,+∞)，由（1）可知 ，
①当 时，由 ，
又因为 ，故 ，等号不成立，
所以 ，故 为严格增函数，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ，
则 ，可知 是严格增函数，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 上为严格减函数，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；综上所述，实数 的取值范围为 ；
（3）因为 ，
所以原式变为 ，
即证 ，
设函数 ，即证 ， ，
设 ， ，
时 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
设 ，则 ，
由于 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，故 在 上单调递增，
又 ，所以 时， ，
所以 ，即 ，
因此 恒成立，所以原不等式成立，得证.
【典例5-2】伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数
列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见
形式为：当 时， ，当且仅当 或 时取等号．
(1)假设某地区现有人口 万，且人口的年平均增长率为 ，以此增长率为依据，试判断 年后该地区
人口的估计值是否能超过 万？
(2)数学上常用 表示 ， ， ， 的乘积， ．
①证明： ；
②数列 ， 满足： ， ，证明： ．
【解析】（1）依题意， 年后该地区人口的估计值为 万人，
由伯努利不等式可得 ，
所以 年后该地区人口的估计值能超过 万.
（2）①根据伯努利不等式可知 ，所以
，
所以 .
②因为 ，则
，
所以 ，
由①可知 ，所以 ，
又因为 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
【变式5-1】自然常数 是自然对数的底数，是极为重要的常数，通常称为欧拉数.它的发现
和研究跨越了多个世纪，涉及了众多数学家的贡献，从雅各布·伯努利的早期工作到莱昂哈德·欧拉的深入
研究，再到现代数学家对其性质的进一步探索，充分展现了数学知识的积累和发展，以及数学精神的传承.
瑞士数学家雅各布·伯努利于1683年通过研究复利首先发现，即 是数列 的极限.
(1)证明： ；
(2)已知函数 .
①若 ，证明： ；
②讨论 的极值点的个数.
【解析】（1）当 时， 符合；
当 时，由二项式定理，
，由 ，知 ；
另一方面， ， ，
则
，
综上， .
（2）①当 时， ， ， ， ，
由 均在 单调递增，所以 在 上单调递增，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
从而 ，得证.
②函数 的定义域为 ， ，
设 ， ，显然函数 在 上单调递增， 与 同号，
当 时， ， ，所以函数 在 内有一个零点 ，
且 ， ， ， ，
故 在 单调递减，在 单调递增；
所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
当 时，由①知，函数 在 上有且仅有一个极值点；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以函数 在 内有一个零点 ，
且 ，g(x)<0， ，g(x)>0故 在 单调递减，在 单调递增；
所以函数 在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数 在(0,+∞)上有且仅有一个极值点.
【变式5-2】临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和
周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数 和 ，虽然它们都是增函数，但是图像上
却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续
函数f（x）的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有 ，则称
为 上的凹函数；若 ，则 为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，
小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间 上的凹函数，则对任意的
,有不等式 恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在
运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数 和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设 ，求W= 的最小值.
(2)设 为大于或等于1的实数，证明 （提示：可设 ）
(3)若a>1，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）记函数 ，首先证明其凹凸性：
,则
所以 在(0,1)为凹函数.
由琴生不等式，得 ，即
所以 ，当 时，W的最小值为 .
（2）设 ,因为 故
要证 只需证
由琴生不等式，只需证 在 为凹函数.
设 ，
下证 ，即证 ，
即证 ,
化简得 .
即证
式显然成立，所以 成立，ℎ(x)在 为凹函数，则
得证.
（3）当 时，不等式 恒成立，即 ，因为 ,即 恒成
立，
可得 在 时恒成立．
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，及 ，可得 ，所以 ．
故 ．【变式5-3】设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有
，则称 为 上的凹函数；若 ，则称 为
凸函数.若 是区间 上的凹函数，则对任意的 ，有琴生不等式
恒成立（当且仅当 时等号成立）.
(1)证明： 在 上为凹函数；
(2)设 ，且 ，求 的最小值；
(3)设 为大于或等于1的实数，证明： .（提示：可设
）
【解析】（1）设 ，
则
，
所以 在(0,1)上为凹函数.
（2）令 ，由（1）知 在(0,1)上为凹函数，所以函数 在(0,1)上
也为凹函数.
由琴生不等式，得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .（3）设 ，因为 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，
由琴生不等式，只需证 在 上为凹函数.
设 ，则 ，
下证 ，即证 ，
即证 ，
化简得 ，
即证
又 式显然成立，
所以 成立，ℎ(x)在 上为凹函数，
则 得证.
题型六：微积分、洛必达
【典例6-1】①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数
， 的导函数分别为 ， ，且 ，则 ；
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明 不是区间 上的2阶无穷递降函数；(2)计算： ；
(3)记 ， ；求证： .
【解析】（1）记 ，
因为 ，
所以 在区间 不恒成立，
所以， 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）记 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 .
（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
即对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以，
所以， 时， .
【典例6-2】英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发
明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中，给出
了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，具体做法如下：先在x轴找初始点 ，然后作
y=f (x)在点 处切线，切线与x轴交于点 ，再作y=f (x)在点 处切线，
切线与x轴交于点 ，再作y=f (x)在点 处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点
近似解 为止．
(1)设函数 ，初始点 ，若按上述算法，求出 的一个近似值 （精确到0.1）；
(2)如图，设函数 ，初始点为 ，若按上述算法，求所得前n个三角形 ， ，
……， 的面积和；
(3)设函数 ，令 ，且 ，若函数 ，
，设曲线 的一条切线方程为 ，证明：当 时，
．
【解析】（1）由函数 ，则 ，
当 时，则切线斜率 ，且 ，那么在Q点处的切线方程为 ，
令 ，切线与x轴的交点横坐标为 ，
此为 的一个符合题目精度的近似值；
（2）设 ，则 ，因为 ，所以 ，
则 处切线为 ，
切线与x轴相交得 ，
，因为 得 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
．
故所得前n个三角形， ， ，……， 的面积和为 ；
（3）曲线y=f (x)在 处的切线为 ，
所以切线与x轴交点横坐标为 ，
当函数 时，即 ，
得 ，又 ，则 ， ，
故 ，曲线 的一条切线方程为 ，
要证：当 时， ，即证： ，
即 ，
又 ，故曲线 在 处的切线方程为 ，
因为 ，故可猜测：当 且 时，ℎ(x)的图象恒在切线 的上方．
下证“当 时， ”．
证明：设 ， ，
则 ，令 ，则 且在(0,+∞)上单增，
当 时， ，故 单调递减；当 时， ，故 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ；当 ， ，
那么 在 上单调递增，在 上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又 ，∴ ，当且仅当 时取等号，
故 ， ．
易证 ，故 ，∴ ，当且仅当 时取等号．
所以 ，
即 ．所以， ，
即 成立，当 时等号成立．
故当 时，
另要证 ，即 ，等价于 ，
又 ，不等式两边同除以x，可转化为证明 ，
令 ， ，
∵ ，因此当x∈(0,1)时， ， 单调递增；
当x∈(1,+∞)时， ， 单调递减；
∴ 有最大值 ，即 恒成立，即当 时， .
【变式6-1】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有
结论：若函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【解析】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，证毕!
【变式6-2】（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代
数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 在区间
上的图像连续不断，从几何上看，定积分 便是由直线 和曲线 所围成的区
域（称为曲边梯形 ）的面积，根据微积分基本定理可得 ，因为曲边梯形 的
面积小于梯形 的面积，即 ，代入数据，进一步可以推导出不等式：
．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： ；
(2)已知函数 ，其中 ．
①证明：对任意两个不相等的正数 ，曲线y=f (x)在(x ,f (x ))和(x ,f (x ))处的切线均不重合；
1 1 2 2
②当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．【解析】（1）在曲线 取一点 ．
过点 作 的切线分别交 于 ，
因为 ，
可得 ，即 ．
（2）①由函数 ，可得 ，
不妨设 ，曲线 在 处的切线方程为
，即
同理曲线 在 处的切线方程为 ，
假设 与 重合，则 ，
代入化简可得 ，
两式消去 ，可得 ，整理得 ，
由（1）的结论知 ，与上式矛盾
即对任意实数 及任意不相等的正数 与 均不重合．
②当 时，不等式 恒成立，
所以 在 恒成立，所以 ，
下证：当 时， 恒成立．
因为 ，所以
设
（i）当 时，由 知 恒成立，
即 在 为增函数，所以 成立；
（ii）当 时，设 ，可得 ，
由 知 恒成立，即 在 为增函数．所以 ，即 在 为减函数，所以 成立，
综上所述，实数 的取值范围是
1．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数 在闭区间 上的图象连续不间
断 ， 在 开 区 间 内 的 导 数 为 ， 那 么 在 区 间 内 至 少 存 在 一 点 c ， 使 得
成立，其中c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得
函数 在 上的“拉格朗日中值点”为（ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，
令 为函数 在 上的“拉格朗日中值点”，
则 ，
解得 .
故选：C
2．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必
达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】 .故选：B
3．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必
达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】 .
故选：B.
4．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容为：如果函数 在区间 上的图像连续不
间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得
成立，其中 叫作 在 上“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数
在 上的拉格朗日中值点的个数为 ．
【答案】3
【解析】 ，设 为函数 在 上的拉格朗日中值点，
所以 ，即 ，
当 ， ，
如图， 与 有3个交点，即拉格朗日中值点的个数为3个.
故答案为：3
5．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数 满足如下
两个条件：（1）其图象在闭区间 上是连续不断的；（2）在区间 上都有导数.则在区间 上至少存在一个数 ，使得 ，其中 称为拉格朗日中值.函数 在区间
上的拉格朗日中值 .
【答案】
【解析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得 ，进而求得 的值即
可. ，则
由拉格朗日中值的定义可知，函数 在区间 上的拉格朗日中值 满足，
所以
所以 ，即 ，则
故答案为：
6．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数 满足如下
条件：
（1）在闭区间 上是连续不断的；
（2）在区间 上都有导数.
则在区间 上至少存在一个实数 ，使得 ，其中 称为“拉格朗日中值”.函数
在区间 上的“拉格朗日中值” .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，结合“拉格朗日中值”定义可得 ，所以
.
7．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为
，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”，已知
在 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是 ．
【答案】【解析】函数 ，求导得 ， ，
依题意， ， 恒成立，
而函数 在 上单调递增， ，则 ，
所以实数m的取值范围是 .
故答案为：
8．丹麦数学家琴生是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下
了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，若
在 上 恒成立，则称函数 是 上的“严格凸函数”，称区间 为函数 的
“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 在 上为“严格凸函数”；
②函数 的“严格凸区间”为 ；
③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
【答案】①②
【解析】 的导函数 ， ，
在 上恒成立，
所以函数 在 上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数 ， ，
令 ，则 ，解得 ，
所以函数 的“严格凸区间”为 ，所以②正确；
的导函数 ， ，
函数 在 为“严格凸函数”
可得 在 上恒成立，
即 ，设 ，由于在 上，
所以 在 单调递增，
所以 ，所以 ，所以③不正确；
故答案为：①②.
9．（2024·云南红河·三模）丹麦数学家琴生是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹
凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ， 在 上
的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 是 上的“严格凸函数”，称区间
为函数 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 在 上为“严格凸函数”；
②函数 的“严格凸区间”为 ；
③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
【答案】①②.
【解析】 的导函数 ， ， 在 上恒成立，所以函
数 在 上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数 ， ， ，所以 ，解得 ，所以
函数 的“严格凸区间”为 ，
所以②正确；
的导函数 ， ， ，所以 在
上恒成立，
即 ，设 ，则 在 单调递增，
所以 ，所以 ，所以③不正确；
故答案为：①②.
10． 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，按此方法则有 ．【答案】
【解析】由题意可得： ．
故答案为： .
11．英国数学家泰勒发现了如下公式： ， ，其中
.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.
(1)用前三项计算 ；
(2)已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小.
【解析】（1） .
（2）法1： ，
下证： ，
证明：如图，在单位圆中， ， 与单位圆的交点为 ， ，
因 大于扇形 的面积，故 ，
故 .
由上述不等式可得 ，故 ，
故
法2： ，
而
，而 ，
且 ，
故 ，
故 .
12．英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中 为自然对
数的底数， ．以上公式称为泰勒公式．设 ，根据以上信息，
并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ：
(3)设 ，证明：当 时， 的极小值点是0．
【解析】（1）令 ，则 ，
当 时，ℎ'(x)>0，当 时，ℎ'(x)<0，
故ℎ(x)在 上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故ℎ(x)在 处取得极小值，也是最小值， ，
故 ；
（2） ，x∈(0,+∞)，
令 ，x∈(0,+∞)，
则 ，
当 时， ，
故 在x∈(0,+∞)上单调递减
故 ，即 ，结论得证；
（3） ，
则 ，令 ，
时， ，
故 在R上单调递增，
又 ，
故x∈(0,+∞)时， ，当 时， ，
故F(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，在 上单调递减，
故 时，F(x)的极小值点是0.
13．（2024·高三·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将 在 处及其附近可以用一个多项
式函数近似表示，具体形式为：
（其中 表示 的n次导数），以上公式我们称为函数 在 处的秦勒展开式．
(1)分别求 在 处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明： ．（其中 为虚数单位）；
(3)当 时，求证： ．（参考数据 ）
【解析】（1）因为函数 在 处的泰勒展开式为
（其中 表示 的n次
导数），
所以 ， ， 在 处的泰勒展开式分别为：
；
；
.
（2）把 在 处的泰勒展开式中的 替换为 ，可得
，所以 ，即 .
（3）由 在 处的泰勒展开式，先证当 时， ，
令 ，
，又 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
再令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，
所以当 时， 恒成立，
则 ，
所以 .
14．（2024·全国·模拟预测）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中
， 为自然对数的底数， ．以上公式称为泰勒公式．设 ，
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此 ，即 ；
（2）由泰勒公式知 ①，
于是 ②，
由①②得 ，
，
所以 ，
即 ；
（3）由（2）知 ，
所以当 时， ，
由此可知，当 时，有 对 恒成立，
下面证明：当 时， 对 不恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，即 ，
解得 或 ．
因为当 时， ，故 舍去，
所以当 时， ，得 在 上单调递减，故 ，即 ，
从而 在 上单调递减，故 ，
即 ，
因此 在 上单调递减，所以 ，矛盾，
所以当 时， 对 不恒成立，
综上， 的最大值是1．
15．（2024·高三·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式， 的麦克劳林展
开式为： ，其中 表示 的n
阶导数在0处的取值，我们称 为 麦克劳林展开式的第 项．例如：
．
(1)请写出 的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；
(2)数学竞赛小组发现 的麦克劳林展开式为 ，这意味着：当 时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当 时，若 ，求整数 的最大值．
【解析】（1）因为
所以第2项 .
（2）设 ，
，
因为 所以 单调递增，
所以 ,
所以 .（3）当x=1时， 成立，得出 ， 的最大整数为3.
当 时，设
当 单调递增，则 ，
所以 ，又当x=1时， 成立，
所以当 时 .
16．帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 ，函
数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ，
， ， ， .（注： ， ，
， ， 为 的导数）已知 在 处的
阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：当 时， ；
(3)设 为实数，讨论函数 的单调性.
【解析】（1）由 ， 知： ；
， ， ， ，
， ， ， .
（2）由（1）知： ；
令 ，
则 ， 在 上单调递增，
又 ， ，即当 时， .（3）由题意知： ，
；
①当 ，即 时， ， ，
在 上单调递增；
②当 ，即 时，令 得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
17．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，
在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…， .已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明： .
【解析】（1）依题意可知， ，因为 ，所以 ，
此时， ，因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ；（2）依题意， ，
，
故 在 单调递增，
由 ，故 ， ， ， ，
综上， ， ；
（3）不妨设 ，令 ，
，
当 时， ，此时 单调递增， 不存在三个不等实根；
当 时，令 ，其判别式 ，
若 ，即 ， 恒成立，即 ，
此时 单调递减， 不存在三个不等实根；
若 ，即 ， 存在两个不等正实根 ，
此时有当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，且 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以存在 ，满足 ，
又因为 ，
故存在 ，满足 ，
故当且仅当 时， 存在三个不等实根，且满足 ，且 ，
由（2）可知，当 时， ，
因此， ，
故 ，
化简可得： ，
因此 ，命题得证.
18．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数 ，
函数 在 处的 阶帕德近似定义为 ，且满足：
.. .已知 在 处的 阶帕德近
似为 .注： ，
(1)求实数 的值；
(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中，
【解析】（1）∵ ∴
∵ ，则 ，
由题意得：
∴ 解得： ；
（2）由（1）知，即证
令 ，则 且即证 时 ，记
则
∴ 在 上单调递增，在 和 上单调递增
当 时， ，即 ，即 成立，
当 时， ，即 ，即 成立，
综上所述， 时，
∴ 成立，即 成立.
（3）由题意得：欲使得不等式 成立，则至少有 ，即 或
首先考虑 ，该不等式等价于 ，即 ，
又由（2）知 成立，
∴使得 成立的 的取值范围是
再考虑 ，该不等式等价于 ，
记 ，则 ，
∴当 时， 时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时由 ，可知 成立；
当 时由 ，可知 不成立；所以使得 成立的 的取值范围是
综上可得：不等式 的解集为 .
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定
两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， ．注： ，
， ， ，…已知 在 处的 阶帕德近似
为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)已知正项数列 满足： ， ，求证： ．
【解析】（1）由题意得 ， ，
，故 ， ，
解得 ， .
（2）由上可得 ，要比较 与 的⼤⼩，
，只需比较1与 的⼤⼩，
令 ， ，
所以 ，从而可得 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
（3）设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立；
由题意知 ，令 ， ，
故该函数在 上递减，
故可得 ，即 ，可得 ；
一方面：由（2）可得 ，
又因为 ，
所以可得 ，即 ，即 ，
即 ，
故 ，
即 ，所以 .
另一方面：要证明
，
两边同时除以 ，原式
令 ，
由基本不等式，
故 ，所以 在 单调递增，
所以 ，得证.
20．帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 ， ，
函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ，
， ， ， ，注： ， ，， ， 已知函数 .
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似 .
(2)在（1）的条件下： ①求证： ；
②若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题可知函数 在 处的 阶帕德近似，
则 ， ， ，
由 得 ，所以 ，则 ，
又由 得 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
（2）①令 ， ，
因为 ，
所以 在 及 上均单调递减.
当 ， ，即 ，
而 ，所以 ，即 ，
当 ， ，即 ，
而 ，所以 ，即 ，
所以不等式 恒成立；②由 得 在 上恒成立，
令 ，且 ，所以 是 的极大值点，
又 ，故 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ， ，则 ，
故 在 上单调递增，所以当 时， ，
当 时， ，
令 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
又因为在 上 ，
故当 时， ，
综上，当 时， 恒成立.
21．罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日 中值定理和
柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数
满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间 内是可导函数，③ ，
那么在 内至少存在一点 ，使得等式 成立.
(1)设方程 有一个正根 ，证明：方程 必
有一个小于 的正根.
(2)设函数 是定义在 上的连续且可导函数，且 .证明：对于 ，方程
在 内至少有两个不同的解.
(3)设函数 .证明：函数 在区间 内至少存在一个零点.
【解析】（1）证明：令函数 ，
显然 在 上连续，在 内可导，则 ，
由条件知 ，
由罗尔中值定理知，至少存在一点 ，使得 ，
即方程 必有一个小于 的正根.
（2）令 ，则 .
由 ，得 ，所以 .
因为 ，所以 ，
由罗尔中值定理知，至少存在一个 ，使得 ，
即 .
同理，因为 ，由罗尔中值定理知，
至少存在一个 ，使得 ，所以 .
故方程 在 内至少存在两个不同的解.
（3）证明：令 ，则 .
由 ，得 ，
则 ，又因为 是连续且可导函数，
由罗尔中值定理知，存在 ，使得 ，
则 ，所以 .
故函数 区间 内至少存在一个零点.
22．罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔
罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，在开区间 内可导，且
，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ．
(1)运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得
．
(2)已知函数 ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有
成立，求实数 的取值范围．【解析】（1）令 ，则 ，
令函数 ，则 ，
显然 在 上连续，且在 上可导，由罗尔定理，存在 ，使得 ，
即 ，∴ ．
（2）依题意， ，
不妨令 ，则 恒成立，
由（1）得 ，于是 ，即 ，
因此 ，令 ，
求导得 ，函数 在 上单调递增，则 ，
而函数 在 上单调递增，其值域为 ，则 ，
∴实数 的取值范围是 ．
23．已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的在点 处的切线；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(3)若函数 的图象上存在两点 ， ，且 ，使得 ，则称
为“拉格朗日中值函数”，并称线段 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数
是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说
明理由.
【解析】（1）由题意可知当 时， ， ， ，
所以函数 的在点 处切线的斜率 ，
所以函数 的在点 处的切线为 .
（2）由题意可得 ，
若函数 在区间 上单调递减，则 在 恒成立，
即 在 恒成立，只需 即可，
又因为当 时 ，所以 .
（3）假设函数 是“拉格朗日中值函数”，
设 ， 是 上不同的两点，且 ，
由题意可得 ， ，
则 ，
函数 在拉格朗日平均值点处的切线斜率 ，
由 整理可得 ，
当 时， 恒成立，
则函数 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；
当 时， 即 ，
令 ，上式化为 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增， 恒成立，
所以在 上不存在 使得 ，即不存在这样的 两点使得 ；
综上所述，当 时，函数 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当
时， 不是“拉格朗日中值函数”.
24．函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 图象上存在两点 ，且 ，使得 ，则称
为“拉格朗日中值函数”，并称线段 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函
数 是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，
请说明理由．【解析】（1）由题知， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则f'(x)≥0恒成立，故 在定义域(0,+∞)上单调递增；
当 时， 的两根分别为 ，
若 ，则 ，且 时， 单调递增； 时，
单调递减，
若 ，则 ，且 时， 单调递增； 时，f'(x)<0， 单调
递减，
综上：
当 时， 在定义域(0,+∞)上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） ，
若 是拉格朗日中值函数，则需满足存在A(x ,y ),B(x ,y )，且 ，使得
1 1 2 2
，
即 ，即 ，
①当 时，上式对任意的 都成立，则 为拉格朗日中值函数， 的拉格朗日平均值点
有无数个；
②当 时，需满足 ，设 ，即需方程 在区间(0,1)上有解，
令 在(0,1)上单调递增，
当 时， ，即方程 在区间(0,1)上无解，
综上：
当 时， 为拉格朗日中值函数， 的拉格朗日平均值点有无数个；当 时， 不是拉格朗日中值函数．
25． 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立
问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
26．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类
讨论和数形结合思想的应用.
27．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用
这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
28．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：
如果函数 满足如下条件：
① 的图象在闭区间 上是连续不断的；
② 在区间 上都有导数.
则在区间 上至少存在一个数 ，使得 .
这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中 称为拉格朗日中值.
请阅读以上内容，回答以下问题:
⑴函数 在区间 上的拉格朗日中值 为 ；
⑵下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间 ?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上
.
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
【解析】(1)由题意知 在区间 上的拉格朗日中值 ，
所以 ， ， ，
根据“拉格朗日中值定理”可得 ，解得 ，又因 ，
故 .
(2)根据题意知① ，故 ，
所以 ，代入可得 ，
若 ，则 ，即 ，存在区间 ；
根据题意知② ，故 ，
所以 ，代入 ，
若 ，则 ，即 ，不存在以0为拉格朗日中值的区间；根据题意知③ ，故 ，
所以 ，代入可得 ，
若 ，则 ，变形可得 ，
可设 ，即 ，则 ，令 可得 ，
当 时， ，所以 单调递减，
当 时， ，所以 单调递增，
， 连续不间断函数，所以存在 使得
故存在 .
根据题意知④ ， ，
，代入 ，
若 ，则 ，变形可得 ，
可设 ， ，则 ，所以 单调递减，
故不存在 .
根据题意知⑤ ，故 ，
所以 ，代入 ，
变形可得 ，可设 ， ，
令 ，可得 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
， 连续不间断函数，所以存在 使得
存在 .
故填：①③⑤
29．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效
工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；
(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
【解析】（1）当 时 ，则 ，
因为 为函数 在 上的“拉格朗日中值点，
则 ，
即 ，解得
（2）当 时 ，
不妨设 ， ， ，则 ，
又 ，令 ，
则 ，
又 ，所以 恒成立，
所以当 时 ，当 时 ，
所以F(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以F(x)在 处取得极大值，即最大值，
所以 ，所以 ，
由拉格朗日中值定理可知必存在 使得 ，
即 ，又 ，所以 ，
即函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
（3）当 时 ，
由拉格朗日中值定理知，存在 和 ，
使得 ， ，所以只需证明 ，即证明f'(x)在 上单调递减，
又 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时 ，
令 ， ，则 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在 使得 ，
所以当 时 ，则 ，即 单调递增，
当 时 ，则 ，即 单调递减，
所以 在 处取得极大值，即最大值，
所以
，
所以 ，所以 在 上单调递减，
即f'(x)在 上单调递减，命题得证.
30．变分法是研究变元函数达到极值的必要条件和充要条件，欧拉、拉格朗日等数学家为其奠定了理论基
础，其中“平缓函数”是变分法中的一个重要概念．设 是定义域为 的函数，如果对任意的
均成立，则称 是“平缓函数”．
(1)若 ．试判断 和 是否为“平缓函数”?并说明理由；（参考公式：① 时， 恒成立；② ．）
(2)若函数 是周期为2的“平缓函数”，证明：对定义域内任意的 ，均有
；
(3)设 为定义在 上的函数，且存在正常数 ，使得函数 为“平缓函数”．现定义
数列 满足： ，试证明：对任意的正整数 ．
（参考公式： 且 时， ．）
【解析】（1）对于函数 ，
由对任意的 ，且 ，
则 ，即 ，
，
因此函数 是“平缓函数”；
对于函数 ，由对任意的 ，且 ，
，
可知函数 是 上的“平缓函数”
（2）由周期性可得 ，由于函数 是周期函数，
故不妨设 ，且 ，
当 时，由 为 上的“平缓函数”得 ；
当 时，不妨设 ，此时由 为 上的“平缓函数”得
．
故对定义域内任意的 ，且 均有 ．
（3）由 为 上的“平缓函数”，且 得 ，则对任意的 ，
，因此
，得证．
31．已知数列{a }的前 项和为 ，且 ．
n
(1)求数列{a }的通项公式 ；
n
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不
等式的一般形式为：若 且 为正整数时， ，当且仅当 或 时等号成立．
（ⅰ）证明：数列 为递增数列；
（ⅱ）已知 时， ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ， 符合此式，
所以 ；
（2）（ⅰ）记 ，
则
，
则 ，所以数列 为递增数列；
（ⅱ）当 ， 时，因为 ，由伯努利不等式，得 ，
于是 ，
所以当 时，
，
所以 ，
即 ，
当 时， ，不等式成立，
当 时， ，不等式成立，
当 时， ，不等式成立，
综上所述，不等式 恒成立.
32．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数 在点
附近有定义，当 固定在 而 在 处有改变量 时，相应的二元函数 有改变量
，如果 存在，那么称此极限为二元函数 在点 处对
的偏导数（计算时相当于将 视为常数），记作 ，若 在区域 内每一点 对 的偏
导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于 的偏导函数，它被称为二元函数 对 的偏导函数，
记作 .以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量 满足： （ 是非零常量）.求 的值，并说明
其为常数.
(2)求值：对 的偏导数 .
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲
线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族 的包络线为 .不难发现：
对于任何一个给定的 的值，包络线与原曲线的切点 的 总是对应 值在参数取遍后得到的极值.
已知函数 的包络线为 .（i）求证： .
（ⅱ）设 的极值点构成曲线 ，求证：当 时， 与 有且仅有一个公共点.
【解析】（1） ；
， ；
， .
，为常数.
（2） ，
故： .
（3）（ⅰ）令 ，则： .
由于 在 上，故： ，①
由于 取极值，故： ，即： ，②
由①②消去 得： .
下试证： ，
即证： .
，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
， ，故： .
（ⅱ） ，令：
，令： ，，令：
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，且 的最大值与 的最大值等价.
，当且仅当 时， .
又 ， ，令： 或 .
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
.
当且仅当 时等号成立.
与 有唯一公共点 .
33．（2024·云南曲靖·模拟预测）英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱
布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》
一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为 ，先
在 轴找初始点 ，然后作y=f (x)在点 处切线，切线与 轴交于点 ，再作
y=f (x)在点 处切线，切线与 轴交于点 ，再作y=f (x)在点 处切线，
以此类推，直到求得满足精度 的零点近似解 为止.
(1)设函数 ，初始点 ，精度 ，若按上述算法，求函数 的零点近似解满足精
度时 的最小值（参考数据： ）；
(2)设函数 ，令 ，且 ，若函数 ， ，证明：当 时， .
【解析】（1）令 ，解得 ，即
由函数 ，则 ，
当 ，则切线斜率 ，且 ，
那么在 点处的切线方程为 ，
令 ，切线与 轴的交点横坐标为 ，
因为 ，
当 ，则切线斜率 ，且 ，
那么在 点处的切线方程为 ，
令 ，切线与 轴的交点横坐标为 ，
因为 ，
函数 的零点近似解满足精度时 的最小值为3.
（2）曲线 在 处的切线为 ，所以切线与 轴交点横坐标为
，
当函数 时，即 ，
得 ，又 ，则 ， ，
故 ，曲线 的一条切线方程为 ，
要证：当 时， ，即证： ，即 ，
又 ，故曲线 在 处的切线方程为 ，因为 ，
故可猜测：当 且 时， 的图象恒在切线 的上方．
下证“当 时， ”．
证明：设 ， ，
则 ，令 ，则 且在 上单增，
当 时， ，故 单调递减；当 时， ，故 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以，存在 ，使得 ，当 时， ；当 ， ，
那么 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，当且仅当 时取等号，
故 ， ．
易证 ，故 ， ，当且仅当 时取等号．
所以， ，
即 ．所以， ，
即 成立，当 时等号成立．
故当 时， .
34．（2024·河南·模拟预测）数列极限理论是数学中重要的理论之一，它研究的是数列中数值的变化趋势
和性质．数列极限概念作为微积分的基础概念，它的产生与建立对微积分理论的创立有着重要的意义．请
认真理解下述3个概念．
概念1：对无穷数列{a }，称 为数列{a }的各项和．
n n
概念2：对一个定义域为正整数集的函数 ，如果当 趋于正无穷大时， 的值无限趋近于
一个常数 ，即当 时， ，就说常数 是 的极限值，记为 ．如：
，当 时，由反比例函数的性质可知 ，即记为
．当 （ 为常数）时， ．
概念3：对无穷数列{a }，其各项和为 ，若当 时， （ 为常数），
n
即 ，则称该数列的和是收敛的， 为其各项和的极限；若当
时，其各项和 的极限不存在，则称该数列的和是发散的，其各项和的
极限不存在．
试根据以上概念，解决下列问题：
(1)在无穷数列{a }中， ，求数列{a }的各项和 的极限值；
n n
(2)在数列{b }中， ，讨论数列{b }的和是收敛的还是发散的；
n n
(3)在数列 中， ，求证：数列 的和是发散的．【解析】（1）因为， ，所以，数列 的前 项和
为
．
因为 ，由指数函数的性质知，当 时， ，
所以当 时， ，即 ．
所以数列 的各项和的极限值为 ．
（2）因为 ，所以数列 是公比为 的等比数列，其前 项和为
．①若 ，由指数函数的性质知，当 时， ，即 ，所以
．
此时数列 的和是收敛的，其各项和的极限为 .
②若 ，由指数函数的性质知，当 时， ，即 ，
所以 ，此时数列 的和是发散的．
③当 时， ，所以当 时， ，即 ，此时数列 的和是发散的．
综上可知，当 时，数列 的和是收敛的，其各项和的极限为 ；
当 时，数列 的和是发散的．
（3）方法一：数列 的前 项和 ，其中 ，同理可得 ．一般地，可得 ．当 时， ，由此得
．即当 时， 的极限不存在．因为 包含于数列
，所以数列 的前 项和 的极限不存在．所以数列 的和是发散的．
方法二：因为 ，所以， ．
因为， ，当 时， ，
即 时， .所以数列 的前 项和 的极限不存在，即数列 的和是发散的．
