文档内容
11B 证明举例—辅助线添加
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）构造全等三角形
（2）倍长中线
（3）截长补短
2. 考情分析
（1）添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约20%；
（2）主要考察添加辅助线构造全等三角形，以解答题为主；
（3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
（4）本节课需要运用七年级的全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过
添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大；通过这节课的学习
一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学
习直角三角形性质奠定基础。
1知识加油站 1——构造全等三角形
考点一：构造全等三角形
知识笔记1
常用辅助线
（1）____________________________________；
（2）____________________________________；
（3）____________________________________．
例题1:
（1）如图，已知在ABC 中，AB= AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE =BD．联
结DE交BC于点F ，求证：DF =EF．
（2）如图，在ABC 中，A=90，AB= AC，BD平分ABC，交AC于点D，过C 作
BD的垂线交BD的延长线于点E．求证：BD=2CE．
2（3）已知：如图，在ABC 中，ABC =3C，1=2，BE⊥AE．
求证：AC− AB=2BE．
练习1:
（1）如图，ABC 中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC 的延长线于
点F ，且BE =CF．
求证：AE = AF．
（2）已知BC = ED，AB= AE，B =E，F 是CD的中点，求证：AF ⊥CD．
（3）如图，在ABC 中，AD平分BAC，CE ⊥ AD于E．
求证：ACE =B+ECD．
3知识加油站 2——倍长中线
考点二：构造倍长中线
知识笔记2
倍长中线
_______________________________________________________________
例题2:
（1）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围_______．
A
B D C
（2）如图， 四边形BEFC中D为BC的中点，EDF =90，求证：BE+FC EF ．
（3）（2022•杨浦区期末）已知，如图：ABC 中，BD=DC = AC，AE是ADC 的中线，
求证：AB=2AE．
4（4）已知：如图，点M是△ABC的边BC的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别交AB、
AC于E、F两点，连接EF．
①求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；
②若∠A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明．
5练习2:
（1）（2022•徐汇区南洋模范期中）在ABC 中，AB=4，AC =6，AD是BC边上的中线，
则AD的取值范围是( )
A．0 AD10 B．1 AD5 C．2 AD10 D．0 AD5
（2）如图，已知ABC 中，D是BC的中点，ED⊥DF ．求证：BE+CF EF ．
（3）如图，向ABC 外作正方形ABEF和ACGH ，点M 是BC边的中点，求证：FH =2AM ．
（4）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF//DA交BA的
延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF．
E
A
F
C
D M
B
6知识加油站 3——截长补短
考点三：截长补短
知识笔记3
截长补短
（1）截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩
下的线段与另一短边相等；
（2）补短法：延长_____________；通过旋转等方式使两短边拼合到一起.
例题3:
（1）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD平分BAC，B=2C．求
证：AB+BD= AC．”
李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD= AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个
方法：
方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE = AB，连接DE，只要证BD=________即可，
这就将证明线段和差问题________为证明线段相等问题，只要证出△________△________，
得出B=AED及BD=________，再证出________=________，进而得出ED=EC，则
结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分BAC，将ABD沿直线AD对折，使点B落在
AC 边上的点E处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F ，使BF =BD．只要证AF = AC即可，此时先
证________=C ，再证出△________△________，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
7（2）如图，在四边形 ABCD 中， AC 平分BAD ，过点C 作CE ⊥ AB 于点 E ，并且
1
AE= (AB+ AD)，求ABC+ADC 等于多少度？
2
（3）如图，已知ABC 中，AB= AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上
一点，且有DE=DB．求证：AE =BE+BC．
8练习3:
（1）探索与证明：
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上的中点，EF ⊥AE于点E，且EF交正方形外
角的平分线CF 于点F ．
①求证：AE =EF ；
②如果点E是BC边上异于B、C 的任意一点，其他条件不变，AE =EF 吗？并证明．
（2）如图，BAD=CAE =90，AB= AD，AE = AC ，AF ⊥CB，垂足为F ．
①求证：ABC ADE；
②求FAE 的度数；
③求证：CD=2BF +DE ．
9全真战场
关卡一
练习1:
已知：如图，AM 是ABC 的中线，DAM =BAM ，CD//AB．
求证：AB= AD+CD．
练习2:
已知：如图所示，AB=BC，AD为ABC 中BC边的中线，延长BC至E点，使CE =BC ，
连接AE．求证：DAC =CAE．
练习3:
如图，在四边形ABCD中，AB= AD，B+D=180，E，F 分别是边BC，CD上的点，
1
且EAF = BAD，求证：EF =BE+FD．
2
10练习4:
已知，如图，BD是ABC 的角平分线，AB= AC，若BC =BA+CD，求A的度数．
关卡二
练习5:
如图，在四边形ABCD中，AD//BC ．若DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且
1
BE边平分ABC，得到如下结论：①AEB=90；②BC+ AD= AB；③BE= CD；
2
④BC =CE；⑤若AB= x，则BE的取值范围为0BE x，那么以上结论正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
11练习6:
在三角形ABC中，点D 在线段AC上，DE//BC交AB于点E ，点F 在线段AB上（点F 不
与点 A，E，B重合），连接DF，过点F 作FG ⊥ FD交射线CB于点G ．
（1）如图1，点F 在线段BE上．
①用等式表示EDF与BGF 的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：ABC+BFG−EDF =90；
（2）当点F 在线段AE上时，依题意，在图 2 中补全图形，请直接用等式表示EDF与
BGF 的数量关系，不需证明．
12
