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1
第13 讲相似多边形
课程标准
学习目标
通过具体实例认识图形的相似。了解相似多
边形和相似比。．
1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形
的含义．
2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学
生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能
力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用．
知识点一：相似图形
(1)相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形；
(2)相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
2
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况；
(3)相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形；
知识点二：相似多边形的性质
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；
(2)相似多边形对应边的比叫做相似比；
(3)全等多边形的相似比为1 或相似比为1 的相似多边形是全等形；
(4)相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等；
题型01
相似图形
1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（
）
A．相似
B．平移
C．轴对称
D．旋转
2．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（
）
A．甲和乙
B．乙和丁
C．甲和丙
D．甲和丁
3．下列说法不正确的是（
）
A．C929客机模型与C929客机相似
3
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4 岁时的照片与16 岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
4．下面几对图形中，相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
题型02
相似多边形的判定
6．下列说法正确的是（
）
A．所有的菱形都是相似形
B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．所有的正方形都是相似形
7．下列图形中不一定是相似图形的是（
）
A．两个正方形
B．两个等边三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
8．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另
一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（
）
4
A．
B．
C．
D．
9．已知矩形的长与宽分别为4 和3，下列矩形与它相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（
）
A．三个矩形都不相似B．乙与丙
C．甲与乙
D．甲与丙
11．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的
是（
）
A．
B．
C．
D．
12．两个大小不一的五边形ABCDE 和五边形FBCHG 如图所示放置，点F 在线段AB 上，点H 在线段CD 上，
对应连接并延长AF
EG
DH
，
，
刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（
）
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．不能确定
题型03
相似多边形的性质
13．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
最短边为8．则四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
5
的最长边长为（
）
A．12
B．14
C．16
D．20
14．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，点E，F 分别在AD ，BC 上，且EF
AB
∥
，矩形ABCD与
矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（
）
A．16
B．40
3
C．32
3
D．16
3
15．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰
梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个
相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你
认为（
）
A．结论1、结论2 都正确
B．结论1 正确、结论2 不正确；
C．结论1 不正确、结论2 正确
D．结论1、结论2 都不正确．
16．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为3cm ，4cm ，且它们面积的差为28
2
cm ，则较大的五
边形的面积为（
）
A．44.8
2
cm
B．45
2
cm
C．64
2
cm
D．54
2
cm
17．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF 对开（
,
E F 分别为
,
AD BC 的
中点）后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD
AB 等于（
）
A．
2
2
B．
2
C．0.618
D．
5
1
2
18．五边形ABCDE∽五边形A B C D E
，相似比为13：，若
2
AB
，则A B
．
19．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为
．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4:9，
6
20．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为
．
21．已知矩形ABCD中，
1
AD ，在BC 上取一点E，沿AE 将ABE
向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，
若四边形EFDC 与矩形ABCD相似，则AB
．
22．书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2 开纸，再对折得到4
开纸，以此类推，可以得到8 开纸、16 开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16 开本，
有些图书是32 开本，16 开的纸和32 开的纸的相似比是
．
23．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D
，
12
9
AB
BC
，
，
6
4
B C
C D
，
．
95
136
60
A
D
B
，
，
(1)
C
___________；
(2)求边A B
CD
，
的长度．
24．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA 边落在DC 边上，点A 落在
点H 处，折痕为DE ；使CB 边落在CD 边上，点B 落在点G 处，折痕为CF ．若矩形HEFG 与原矩形ABCD
相似，
1
HG ，则AD 的长为
．
7
25．已知五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，
:
3: 4
AB MN
，则下列说法中错误的是（
）
A．
D
P
B．3
4
CD
OP
C．五边形ABCDE 的周长是五边形MNOPQ 周长的0.75倍
D．
:
9:16
ABCDE
MOPQ
S
S
五边形
五边形
26．如图所示，矩形纸片ABCD被分割成六个小矩形，其中矩形EBHK ∽矩形GKLI ，若已知BDK
的面积，
则一定能求出（
）
A．矩形ABCD的面积B．矩形AEKG 的面积C．矩形LJCF 的面积D．矩形ILFD 的面积
27．如图，在矩形ABCD中，
3,
4
AB
AD
，连接AC ，以对角线AC 为边，按顺时针方向作矩形ABCD的
相似矩形
1
1
AB C C ；再连接
1
AC ，以对角线
1
AC 为边，按顺时针方向作矩形
1
1
AB C C 的相似矩形
2
2
1
AB C C 依
次类推，则矩形
1
n
n
n
AB C C - 的面积为（
）
A．
2
2
1
3 5
4
n
n
B．
2
1
2
3 5
4
n
n
C．
1
3 5
4
n
n
D．
1
3 5
4
n
n
∵矩形ABCD ∽矩形
1
1
AB C C ，
8
∴矩形
1
1
AB C C 的面积
2
2
4
75
3 5
12
5
4
4
，
28．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F，
折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD落在FE 上，点D 的对应点为点H，折痕为FG ，展
平后连接HG ．若矩形HECG∽矩形ABCD，
1
AD ，则CD 的长为（
）．
A．0.5
B．3 1
C．
5
1
2
D．
5
1
2
29．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
是相似的图形，点A 与点
1A 、
点B 与点
1
B 、点C 与点
1
C 、点D 与点
1
D 分别是对应顶点，已知
1
1
AB
k
A B
．该同学得到以下两个结论：①四
边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的面积比等于
2
k ；②四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的两条对角线的和之比等
于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①和②都错误
D．①和②都正确
30．如图，正方形ABCD，点M 在对角线BD 上，
2
BM
DM
，MN
MG
分别交AB 、BC 于点N 、G ，
若随机向正方形ABCD内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（
）
A．3
5
B．4
9
C．2
3
D．9
25
31．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形ABCD 矩形BEFG ．设矩形
ABCD与矩形AHIE 的面积分别为m 和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（
）
9
A．4m
B．2
3
m
n
C．
3
m
n
D．3m
n
32．如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD四条边上的点，连接EF ，GH 相交于点I ，且GH
AD
∥
，EF
AB
∥
，
矩形BFIG 矩形EIHD ，连接AC 交GH ，EF 于点P ，Q ，下列一定能求出
DPQ
面积的条件是（
）
A．矩形BFIG 和矩形EIHD 的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG 的面积之差
C．矩形BFIG 和矩形FCHI 的面积之差
D．矩形BFIG 和矩形EIGA的面积之差
33．宽与长的比是
5
1
2
（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以
用这样的方法画出黄金矩形；作正方形ABCD，BC 的中点E，F，连接EF ，以FD为半径画弧，交BC 的
延长线于点G，交AD 的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
34．如图，矩形ABCD中，
4
AB
，
10
BC
．将矩形ABCD分成矩形ABNM 和矩形CDMN ．
（1）若矩形CDMN 与矩形ABCD相似，则DM 的长是
；
（2）若矩形ABNM 与矩形CDMN 相似（两矩形全等的情况除外），则DM 的长是
．
35．将一张平行四边形
(
2
)
ABCD AD
AB
AD
纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边
形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD相
10
似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD 与AB 的比值是
．
36．如图，一个矩形广场的长
120
AB
米，宽
60
AD
米，广场内两条纵向的小路宽为a 米，横向的两条小
路宽为b 米，矩形ABCD 矩形EFGH．
(1)求
:
a b 的值；
(2)若
4
a
，求矩形EFGH 的面积．
37．在
30m
20m
AB
AD
，
的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形A B C D
和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为
x
y y
x
，
，试问：当两条小路的宽x 与y
的比值为多少时，矩形A B C D
和矩形ABCD相似？请说明理由．
38．向阳中学有一块正方形的空地，边长为40m ，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边
长为20cm 的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图1，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间
小正方形的边长为4cm ．
小芳：如图2 ，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比
为1:5．
11
(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
39．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似
的菱形AEFG ．把透明的菱形放在上面记作菱形ABCD，它们的锐角顶点A 重合，且
BAD
EAG
，连接
BE ，DG ．
(1)如图1，当边AD 在边AE 所在的射线上，直接写出BE 与DG 的数量关系；
(2)如图2，将菱形ABCD绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 落在EF 边上，连接BE 和DG ．你认为（1）中
的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
90
BAD
EAG
时，探究并说明线段BE 和DG 的数量关系和位置关系．
40．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为
1
a a
，宽为1．
一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a 的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a 的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论a 为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意
12
这个说法吗？若同意，在图3 中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每
个示意图下方直接写出对应的a 的值．
