1
第19 讲反比例函数及其图象和性质
课程标准
学习目标
结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根
据已知条件确定反比例函数的表达式；
会用描点法画出反比例函数的图象；
知道当k>0 和k<0 时反比例函数
k
y
x
(k≠0)图象
的整体特征．
1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例
函数。
2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实
际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双
曲线。
4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问
题。
5、理解反比例函数
)
0
(
k
x
k
y
中的比例系数k 的几何
意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面
积问题。
2
知识点一：反比例函数的概念及表达式
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy
k
，或
表示为
k
y
x
，其中k 是不等于零的常数.
一般地，形如
k
y
x
( k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的
取值范围是不等于0 的一切实数.
知识点二：反比例函数图象的画法
（1）列表：自变量的取值应以0 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，
切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相
交；
（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当
0
k
时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当
0
k
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
知识点三：反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例
函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2.反比例函数的性质
（1）当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；
（2）当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；
（3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线y
x
对称；
知识点四：反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义
通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为1
2 k ，与两条坐
标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．
3
题型01
用反比例函数表示数量关系
1．下列说法正确的是（
）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；
B．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
D．圆的周长与直径成正比例关系．
【答案】D
【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．
【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；
B、车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成正比例关系，不符合题意；；
C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；
D、圆的周长l
d
故与直径成正比例关系,符合题意．
故选：D
【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键．
2．已知压力F、受力面积S、压强P 之间的关系是
F
P
S
．则下列说法不正确的是（
）
A．当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系；
B．当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大；
C．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成正比例函数关系；
D．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系．
【答案】C
【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．
【详解】解：A．在
F
P
S
中，当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系，故选项正确，不
符合题意；
B．在
F
P
S
中，当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大，故选项正确，不符合题意；
C．在
F
P
S
中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；
4
D．在
F
P
S
中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定
义是解题的关键．
3．若某城市市区人口x 万人，市区绿地面积100 万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的
函数表达式为
．
【答案】
100
y
x
【分析】根据题意平均每人拥有绿地面积总面积
总人口，列出函数关系式即可得出答案．
【详解】解：由城市市区人口x 万人，市区绿地面积100 万平方米，
则平均每人拥有绿地面积为
100
y
x
．
故答案为：
100
y
x
【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键．
4．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数(d)
y
是每日铺轨量(km / d)
x
的反比例函数吗？
【答案】
1200
y
x
，y 是x 的反比例函数
【分析】铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到y 与x 之间的函数关系式，根据反比例
函数的一般形式判断是否为反比例函数即可．
【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量，
1200
y
x
，
∴y 是x 的反比例函数．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为
(
0)
k
y
k
x
，关键是得到y 与x 之
间的函数关系式．
题型02
根据反比例函数定义求参数
5．若函数
2
n
y
nx
是反比例函数，n 的值是（
）
A．1
B．1
C．1
D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义
5
求出n 的值即可．
【详解】∵
2
n
y
nx
是反比例函数，
∴
2
1
n
，
解得
1
n ．
故选：A
6．若函数
1
m
y
x
为反比例函数，则m 的值是
．
【答案】0
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据题意列出关于m 的方程是解题的关键．
根据反比例函数的定义列出关于m 的方程求解即可．
【详解】解：∵函数
1
m
y
x
为反比例函数，
∴
1
1
m ，解得
0
m
．
故答案为：0．
7．若函数
2
3
2
m
y
m
x
是反比例函数，则m
．
【答案】2
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答．
【详解】解：∵函数
2
3
2
m
y
m
x
是反比例函数，
∴
2
0
m
，
2
3
1
m
，
解得
2
m ．
故答案为：2
8．已知
3
2
2
m
y
m
m x
是关于x 的反比例函数，则
2023
2
m
．
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是
k
y
x
（k 为常数，
0
k
），
先根据反比例函数的定义求出m 的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
2
2
0
m
m
，
3
1
m
，
解得：
2
m
，
∴
2023
2023
2
2
2
0
m
，
故答案为：0 ．
6
题型03
求反比例函数的自变量或函数值
9．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增加它的1
2 时，y 将（
）
A．减少它的1
2
B．减少它的1
3
C．增加它的1
2
D．增加它的1
3
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y 是x 的反比例函数，得出xy
k
，根据当x 增加它的1
2
时，自变量变为3
2 x ，设因变量y 变为
1y ，得出
1
3
2 x y
xy
k
，求出
1
2
3
y
y
，得出答案．
【详解】解：∵y 是x 的反比例函数，
∴xy
k
，
当x 增加它的1
2 时，自变量变为3
2 x ，设因变量y 变为
1y ，则：
1
3
2 x y
xy
k
，
∴
1
2
3
y
y
，
∴y 将减少它的1
3 ，
故选：B．
10．在反比例函数
5
y
x
中，当
10
x
时，y
．
【答案】1
2 /0.5
【分析】本题考查了反比例函数的定义，将
10
x
代入反比例函数
5
y
x
中，解出y 即可．由已知函数解析
式和函数值求相应的自变量的值．
【详解】解：当
10
x
时，
5
1
10
2
y
．
故答案为：1
2 ．
11．反比例函数
6
y
x
中，
2
x
，则y
．
【答案】3
【分析】本题考查反比例函数解析式，直接将
2
x
代入求出y 的值即可．
【详解】解：反比例函数
6
y
x
中，
当
2
x
时，
6
6
3
2
y
x
，
7
故答案为：3．
12．某蓄电池的电压为60V ，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为
60
I
R
，
当
12
R
时，I 的值为
A．
【答案】5
【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键．
把
12
R
代入函数表达式即可求出I 的值．
【详解】解：当
12
R
时，
60
5
12
I
I
．
故答案为：5．
13．已知反比例函数
12
y
x
的图象经过点
1,4
A a
，则a
．
【答案】4
【分析】直接将点
1,4
A a
代入
12
y
x
求出a 即可．
【详解】解：直接将点
1,4
A a
代入
12
y
x
，则
12
4
1
a
，
解得：
4
a ．
故答案为：4
．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本
题的关键，难度较小．
14．已知反比例函数
12
y
x
．
(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．
(2)求当
3
x 时函数的值．
(3)求当
3
y
时自变量x 的值．
【答案】(1)
12,
0
k
x
(2)4
(3)4 3
【分析】（1）根据k 是反比例函数的比例系数，x 在分母上求出取值范围即可；
（2）把
3
x ，代入解析式，求出y 值，即可得解；
（3）把
3
y
，代入解析式，求出x 值，即可得解．
8
【详解】（1）解：∵
12
y
x
，
∴
12,
0
k
x
；
（2）解：把
3
x ，代入
12
y
x
得：
12
4
3
y
；
∴当
3
x 时函数的值为：4 ；
（3）解：把
3
y
，代入
12
y
x
得：
12
3
x
，解得：
4 3
x =
；
∴当
3
y
时x 的值为：4 3 ．
【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．
题型04
利用反比例函数求解析式
15．已知
1
2
y
y
y
，并且
1y 与x 成正比例
2y 与(
2)
x
成反比例，当
2
x 时，
7
y ；当
3
x
时，
13
y
．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)求当
5
x
时的函数值．
【答案】(1)
4
3
2
y
x
x
(2) 49
3
【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数．
（1）设
1
2
,
2
m
y
kx y
x
，则
2
m
y
kx
x
，然后利用待定系数法即可求得；
（2）把
5
x
代入（1）求得函数解析式求解．
【详解】（1）解：设
1
2
,
2
m
y
kx y
x
，
则
2
m
y
kx
x
，
根据题意得：
2
7
4
3
13
m
k
k
m
，
解得：
3
4
k
m
，
则函数解析式是：
4
3
2
y
x
x
；
（2）解：当
5
x
时，
4
49
3 5
5
2
3
y
．
9
16．已知
1
2
y
y
y
，
1y 与(
1)
x
成正比例，
2y 与(
1)
x
成反比例，当
0
x
时，=
3
y
，当
1
x 时，
1
y ．
(1)求y 的表达式；
(2)求当
2
x 时y 的值．
【答案】(1)
2
1
1
y
x
x
(2) 1
【分析】
（1）先根据题意得出
1
1(
1)
y
k x
，
2
2
1
k
y
x
，根据
1
2
y
y
y
，当
0
x
时，=
3
y
，当
1
x 时，
1
y
得出x 、y 的函数关系式即可；
（2）把
2
x 代入（1）中的函数关系式，求出y 的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y 与x 的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：
1y
与(
1)
x
成正比例，
2y 与(
1)
x
成反比例，
1
1(
1)
y
k x
，
2
2
1
k
y
x
，
1
2
y
y
y
，当
0
x
时，=
3
y
，当
1
x 时，
1
y ．
1
2
2
3
1
1
2
k
k
k
，
2
2
k
，
1
1
k ，
2
1
1
y
x
x
；
（2）解：当
2
x ，
2
2
1
2 1
1
1
2 1
y
x
x
．
17．已知函数
1
2
y
y
y
，
1y 与
1
x 成正比例函数，
2y 与x 成反比例函数，当
1
x 时，
7
y
，当
3
x
时，
9
y ．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)求当= 1
x 时，y 的值．
【答案】(1)
3
2
2
y
x
x
(2) =
3
y
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义．
10
（1）根据正比例与反比例的定义设出y 与x 之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算
即可得解；
（2）把= 1
x 代入（1）中所求函数解析式，计算求y 即可．
【详解】（1）解：设
1
1
1
y
k
x
，
2
2
1
2
0,
0
k
y
k
k
x
则
2
1
2
1
1
k
y
y
y
k
x
x
把
1,7
3,9 代入得
1
2
2
1
2
7
4
9
3
k
k
k
k
，
∴
1
2
2
3
k
k
∴
3
2
2
y
x
x
（2）当= 1
x 时
2
3
2
3
y
18．已知
1
2
1
y
y
y
y
，
与x 成正比例，2y 与2
3
x 成反比例．并且当
2
x
时，
5
y
；当
1
2
x
，
7
4
y
求y 与x 之间的函数关系式．
【答案】
1
4
2
2
3
y
x
x
【分析】本题考查求函数表达式，设
2
1
1
2
,
2
3
k
y
k x y
x
，待定系数法求出
1
2
,
k k ，即可．掌握待定系数法求
函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：设
2
1
1
2
,
2
3
k
y
k x y
x
，
则：
2
1
2
1
2
3
k
y
y
y
k x
x
，
由题意，得：
2
1
2
1
2
5
2 2
3
1
7
1
2
4
2
3
2
k
k
k
k
，解得：
1
2
1
2
4
k
k
，
∴
1
4
2
2
3
y
x
x
．
题型05
反比例函数图象与参数之间的关系
11
19．若反比例函数
2
1
m
y
x
的图像在第二、四象限，则m 的最大整数值是（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；根据图像所在的象
限，可知2
1
0
m
－
，即可求解；
【详解】解：
2
1
0
m
－
，
0.5
m
，
m
的最大整数是1
，
∴选：B.
20．若反比例函数
2
1
m
y
x
的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数
0
k
y
k
x
的性质：当
0
k
时，图象在一、三象限；当
0
k
时，图象在二、四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数
2
1
m
y
x
的图象经过第二、四象限，
∴2
1
0
m
，
∴
1
2
m
，
故选：C．
21．如图是反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的图像，写出一个符合要求的整数k 的值是
．
【答案】1（或2 或3）
【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）
0
k
时，图像是位于一、三象限；（2）
0
k
时，图像
是位于二、四象限．
反比例函数
(
k
y
k
x
是常数，
0)
k
的图像在第一象限，则
0
k
，再根据反比例函数
k
y
x
的图像经过点
(2,2)
A
，
12
找出符合上述条件的k 的一个值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限，
0
k
，
又∵反比例函数
k
y
x
的图像经过点
(2,2)
A
时，
2 2
4
k
．
0
4
k
，
∴k 的值可以是1．
故答案为：1．
22．如图是反比例函数
2
m
y
x
的图象，那么实数m 的取值范围是
．
【答案】
2
m
【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得�−2 > 0，直接解答即可．本题主要考查了反比例
函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限
∴�−2 > 0，
故
2
m
．
故答案为：
2
m
．
题型06
反比例函数的增减性与参数之间的关系
23．在函数
0
k
y
k
x
的图象上有三点
1
1
,
x
y
，
2
3
,
x
y
，
3
3
,
x
y
，已知
1
2
3
0
x
x
x
，那么下列各式中，
正确的是（
）
A．
2
1
3
y
y
y
B．
3
1
2
y
y
y
C．
2
3
1
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案．
【详解】解：∵
0
k
，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
13
又∵
1
2
3
0
x
x
x
，
∴
2
1
3
y
y
y
．
故选：A．
24．若点
1
2
2
3
3
1
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
的图象上，若
1
2
3
0
x
x
x
则
1
2
3
,
,
y y
y 的大
小关系是
．（请用“”号连接）
【答案】
2
1
3
y
y
y
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函
数的性质解答．
由
2
1
0
k
，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，进而得到
1
2
3
,
,
y y
y 的
大小关系．
【详解】解：
2
1
0
k
，
反比例函数
2
1
k
y
x
的图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，
又
1
2
3
0
x
x
x
，
1
2
3
0,
0,
0
y
y
y
，且
3
2
y
y
，
2
1
3
y
y
y
，
故答案为：
2
1
3
y
y
y
．
25．反比例函数
3
y
x
的图象，当
0
x
时，y 随x 的增大而
．
【答案】减小
【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反
比例函数
0
k
y
k
x
中，当
0
k
时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大
而减小是解答此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为
3
y
x
，
∴
3
0
k
，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
故答案为：减小．
14
26．如果反比例函数
3
4a
y
x
的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，那么a 满足的条件是
．
【答案】
3
4
a
【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数
0
k
y
k
x
，当
0
k
时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的
增大而减小；当
0
k
时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增
大而增大．根据反比例函数的性质可得3
4
0
a
，再解不等式即可．
【详解】解：∵反比例函数
3
4a
y
x
的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，
∴3
4
0
a
，
解得
3
4
a
．
故答案为：
3
4
a
．
27．反比例函数
| | 3
(
1)
k
y
k
x
，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则k
【答案】2
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当
0
k
，双曲线的两支
分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当
0
k
，双曲线的两支分别位于第二、第
四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．
直接利用反比例函数的性质和定义得出
1
0
k
且
3
1
k
，进而得出k 的值．
【详解】解：在反比例函数
| | 3
(
1)
k
y
k
x
的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减少，
1
0
k
且
3
1
k
，
2
k
，
故答案为：2
．
28．已知点
1
2
1,
,
2,
A
y
B
y
都在反比例函数
1
m
y
x
的图象上，且
1
2
y
y
，则m 的取值范围为
．
【答案】
1
m
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可．
【详解】解：
1
2
，
1
2
y
y
，
反比例函数在各个象限内，y 随x 的增大而增大，
点A 、B 在同在第四象限，
1
0
m
，即
1
m ．
15
故答案为：
1
m ．
题型07
利用图形面积求比例系数k
29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，过点A 作AC
y
轴于点C，
过点B 作BD
x
轴于点D，AC
BD
，若
3
OC
，
AOB
的面积为4，则k 的值为（
）
A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，图象点的坐标特征．延长CA
DB
，
交于点E，得到
,3
3
k
A
，
3, 3
k
B
，再根据题意得到
2
1
1
3 3
2
3
3
4
2
3
2
3
k
k
，计算即可求解．
【详解】解：如图，延长CA
DB
，
交于点E，
∵点A，B 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，AC
BD
，
3
OC
，
∴
,3
3
k
A
，
∴
3, 3
k
B
，
∴
3
3
k
AE
，
3
3
k
BE
，
∵
AOB
的面积为4，
∴
2
1
1
3 3
2
3
3
4
2
3
2
3
k
k
，
解得
1
3
k
，
2
3
k （舍去）．
故选：B．
16
30．如图，过反比例函数
k
y
x
0
x
图象上的一点A 作AB
x
轴于点B，连接AO ，若
4
AOB
S
，则k 的
值是（
）
A．4
B．4
C．8
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数值k 的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关
键．
根据反比例函数k 值的几何意义可知2
8
AOB
S
k
|，再根据图象所在象限确定k 的符号即可．
【详解】解：
2
2 4
8
AOB
k
S
，
8
k
，
函数图象在第二象限，
8
k
．
故选：D．
31．如图，点A 是函数
3
y
x
（
0
x
）图象上一点，点B 是
k
y
x
（
0
k
，
0
x
）图象上一点，点C 在x
轴上，连结AB ，CA ，CB ．若AB
x
∥轴，
4
ACB
S
△
，则k （
）．
A．4
B．2
C．2.5
D．5
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
连接OA
OB
、
，如图所示，得到
ABC
ABO
S
S
，再结合反比例函数k 的几何意义即可得到3
4
2
2
k
，解方程
17
即可得到答案．
【详解】解：连接OA
OB
、
，如图所示：
AB
x
∥轴，
3
2
2
ABC
ABO
k
S
S
△
△
，
4
ACB
S
△
，
3
4
2
2
k
，解得
5
k
，
故选：D．
32．如图，在平面直角坐标系中，若将点
0,2
A
向右平移后，其对应点A恰好落在反比例函数
k
y
x
的图
象上，已知点
4,0
B
，连接AB 、A B
，则图中阴影部分的面积为4 则该函数的解析式
k
y
x
中的k 值是（
）
A．4
B．8
C．4
D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过A作A H
OB
⊥
于H ，由将点
0,2
A
向
右平移后，其对应点A恰好落在反比例函数
>0
k
y
x
x
的图象上，可得
1
4
2
S
k
阴影
，从而可得答案．
【详解】解：如图，过A作A H
OB
⊥
于H ，
18
∵将点
0,2
A
向右平移后，其对应点A恰好落在反比例函数
>0
k
y
x
x
的图象上，
∴
1
4
2
S
k
阴影
∴
8
k ，
故选：B.
33．如图，平行四边形的顶点B 在x 轴上，点A 在
0
k
y
k
x
上，且AB
x
轴，对角线DB的延长线交y
轴于点E，若
3
BCE
S
，则k （
）
A．3
B．6
C．−8
D．9
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四
边形的性质，熟练掌握k 值几何意义是关键．
设DC 与x 轴交于点F ，连接AF、OA ，根据
1
2
OAF
S
OF AB
，
1
2
CDE
S
OF CD
，且CD
AB
，可得
OAF
CDE
S
S
，再利用
ABF
DCB
S
S
，
3
ABO
BCE
S
S
，继而求出k 值．
【详解】解：设DC 与x 轴交于点F ，连接AF、OA ，
19
∵
1
2
OAF
S
OF AB
，
1
2
CDE
S
OF CD
，且CD
AB
，
OAF
CDE
S
S
，
又∵
ABF
DCB
S
S
，
3
ABO
BCE
S
S
，
2
6
ABO
k
S
，
反比例函数在第二象限，
6
k
.
故选：B.
题型08
利用比例系数k 求图形面积
34．如图，两个反比例函数
5
y
x
和
3
y
x
在第一象限内的图象分别是
1
C 和
2
C ，设点P 在
1
C 上，PA
x
轴于
点A ，交
2
C 于点B ，则
POB
的面积为( )
A．1
B．2
C．4
D．无法计算
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义．根据反比例函数k 值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：点P 在反比例函数
5
y
x
的图象上，
20
5
2
POA
S
，
点B 在反比例函数
3
y
x
的图象上，
3
2
BOA
S
，
5
3
1
2
2
POB
POA
BOA
S
S
S
．
故选：A．
35．如图，反比例函数
6
y
x
，点A 位于反比例函数图像上，AB 垂直于x 轴，点C 在y 轴从上往下运动的
过程中，三角形ABC 的面积变化情况是（
）
A．不变
B．一直变大
C．先变大后变小
D．先变小后变大
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，
ABC
AOB
S
S
△
△
，根据平行线的
性质和反比例函数比例系数的几何意义可得
6
3
2
ABC
AOB
S
S
，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，
∵AB
OB
，
∴AB
OC
∥
，
∴
ABC
AOB
S
S
△
△
，
∵点A 位于反比例函数图像上，
∴
6
3
2
ABC
AOB
S
S
，
故选：A．
21
36．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在y 轴、x 轴上，BD
x
轴，与双曲线
1
6
0
y
x
x
交于
点B ，与双曲线
2
2
0
y
x
x
交于点C ，若四边形OABC 为平行四边形，则平行四边形OABC 的面积是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是
关键．设
6
,
B m
m
，可表示出点C 坐标，便得BC 和OD 的长，即可得平行四边形OABC 的面积．
【详解】解：设
6
,
(
0)
B m
m
m
，
∵BD
x
轴，点B 在双曲线
1
6
0
y
x
x
上，点C 在双曲线
2
2
0
y
x
x
上，
∴
2
,
C m
m
，
∴
6
BD
m
，
2
CD
m
，
∴
6
2
4
BC
BD
CD
m
m
m
，
∵四边形OABC 为平行四边形，
∴平行四边形OABC 的面积
4
4
BC
OD
m
m
，
故选：D．
37．如图，反比例函数
0
k
y
k
x
经过A、B 两点，分别过A、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C、
22
D，连接AO ，连接BO交AC 于点E，若
AEO
△
的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（
）
A．2
B．3
2
C．3
D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，由k 的几何意义得
ACO
BDO
S
S
k
，即
AEO
OCE
OCE
BDCE
S
S
S
S
四边形
，即可求解；理解k 的几何意义“过反比例函数上任意一点作x 轴（y 轴）的
垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为1
2 k ．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
ACO
BDO
S
S
k
，
AEO
OCE
OCE
BDCE
S
S
S
S
四边形
，
AEO
BDCE
S
S
四边形
，
3
AEO
BDCE
S
S
四边形
；
故选：C．
38．如图，点
,
A B 均在反比例函数
0
0
k
y
k
x
x
，
的图象上，AC
x
轴于点
,
C BD
x
轴于点D ，连接BC ，
若
2 4 ,
6
A
CD
，
，则
BCD
△
的面积为
．
【答案】3
【分析】由
2 4
A
，可得到k 的值为8，由
6
CD
方得到
8 0
D
，，再结合BD
x
轴，点B 在反比例函数的图
象上，可得到
8,1
B
，则
1
1
6 1
3
2
BCD
BD
S
，△
．
23
本题考查了反比例函数的面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由
2 4
A
，，得到k 的值为8，由
6
CD
，得到
8 0
D
，，
∵BD
x
轴，点B 在反比例函数的图象上，
∴
8,1
B
，
∴
1
1
6 1
3
2
BCD
BD
S
，△
．
故答案为：3．
题型09
反比例函数图象和性质的综合判断
39．对于反比例函数
1
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的两支图象关于原点对称
C．当
1
2
0
x
x
时，则
2
1
0
y
y
D．y 随x 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、由
1
0
k
得反比例函数
1
y
x
的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；
B、反比例函数
1
y
x
的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意；
C、当
1
2
0
x
x
时，反比例函数
1
y
x
的图象在第三象限，且y 随x 的增大而减小，则
2
1
0
y
y
，原说法正
确，不符合题意；
D、反比例函数
1
y
x
的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小，原说法错误，符合
题意，
故选：D．
40．已知反比例函数
2
y
x
，则下列描述不正确的是（
）
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过
1,2
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y 随x 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；
根据反比例函数的图象与系数的关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：A.∵
2
0
k
，
24
∴图象位于第一、三象限，正确；
B.∵当
1
x 时，
2
2
y
x
，
∴图象必经过
1,2 ，正确；
C.图象不可能与坐标轴相交，正确
D.∵
2
0
k
，
∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，描述错误；
故选：D．
41．已知反比例函数
3
y
x
，下列结论不正确
．．．的是（
）
A．图象必经过点
1,3
B．在每一象限内，y 随x 的增大而增大
C．若
1
x ，则
3
y
D．图象位于第二、四象限内
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当
0
k
，双曲线的两支分别位于第二、
第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：A、反比例函数
3
y
x
的图象必经过点
1,3
，原说法正确，不合题意；
B、
3
0
k
，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，原说法正确，不符合题意；
C、若
1
x ，则3
0
y
，原说法错误，符合题意；
D、
3
0
k
，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
42．下列说法中不正确的是（
）
A．函数
5
y
x
的图象经过原点
B．函数
3
y
x
的图象位于第一、三象限
C．函数
3
2
y
x
的图象不经过第二象限
D．函数
2
y
x
的值随x 值增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是
了解有关函数的性质，难度不大．
利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A 、函数
5
y
x
是正比例函数，
函数
5
y
x
的图象经过原点，故A 正确，不符合题意；
25
B、
3
0
，
函数
3
y
x
的图象位于第一、三象限，故B 正确，不符合题意；
C、
3
0
，2
0
，
函数
3
2
y
x
的图象经过第一、三、四象限，故C 正确，不符合题意；
D、
2
0
，
当
0
x
或
0
x
时，函数
2
y
x
的值随x 值增大而增大，故D 错误，符合题意．
故选：D．
43．下列关于函数说法错误的个数为（
）
（1）已知反比例函数
k
y
x
的图像在第一象限，则k 的取值范围是
0
k
且
0
x
；
（2）单曲线不是反比例函数
（3）只要满足xy
k
且自变量k 为不为0 的常数的函数，就是反比例函数
（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定
（5）直线
1
y 是常值函数，常值函数不是函数
（6）直线
1
x 不是函数
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义
成为解题的关键．
根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可．
【详解】解：（1）已知反比例函数
k
y
x
的图像在第一象限，则k 的取值范围是
0
k
且
0
x
，说法正确；
（2）单曲线不是反比例函数，说法错误；
（3）只要满足xy
k
且自变量k 为不为0 的常数的函数，就是反比例函数，说法正确；
（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误；
（5）直线
1
y 是常值函数，常值函数是函数，说法错误；
（6）直线
1
x 不是函数，说法错误．
综上，正确的有2 个正确．
26
故选B．
44．如图：点P、Q 是反比例函数
k
y
x
图象上的两点，PA
y
轴于点A，QN
x
轴于点N，作PM
x
轴
于点M，QB
y
轴于点B，连接PB、QM ，ABP
的面积记为
1S ，QMN
的面积记为
2S ，则
1S 与
2S 的大
小关系是（
）
A．
1
2
S
S
B．
1
2
S
S
=
C．
1
2
S
S
D．
1
2
2
S
S
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于|
|
k ，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
设
( , )
P a b ，
( , )
Q m n ，根据三角形的面积公式和k 的几何意义，即可求出结果．
【详解】解：设
( , )
P a b ，
( , )
Q m n ，
则
1
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
ABP
S
S
AP AB
a b
n
ab
an
，
2
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
QMN
S
S
MN QN
m
a n
mn
an
，
点P ，Q 在反比例函数的图象上，
ab
mn
k
，
1
2
S
S
．
故选：B．
45．如图，点P，Q，R 为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x 轴，y 轴的垂线，与y
轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为
1
2
3
S
S
S
，，
，其中
:
:
1:2:3
OA AB BC
，若
2
6
S
，则
1
3
S
S
（
）
27
A．15
B．12
C．10
D．18
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为
k
y
x
，设
,
2 ,
3
OA
x AB
x BC
x
，得到
k
AR
x
，
3
k
BQ
x
，
6
k
CP
x
，求出
1
4
,
S S ，得到
1
4
6
3
2
k
k
k
S
S
，求出
2
5
2
2
k
k
S
S
k
，得到
2
4
6
S
S
，
5
1
6
k
S
S
，列得
6
3
k
，得到
18
k
，进而求出
5
1
3
6
k
S
S
，即可得到
1
3
18
3
15
S
S
．
【详解】解：设反比例函数为
k
y
x
,
∴OA
AR
OB
BQ
OC
CP
k
，
∵
:
:
1:2:3
OA AB BC
，
2
6
S
，
∴设
,
2 ,
3
OA
x AB
x BC
x
，
∴
,
3 ,
6
OA
x OB
x OC
x
，
∴
k
AR
x
，
3
k
BQ
x
，
6
k
CP
x
，
∴
1
6
6
k
S
k
OA CP
x
x
，
4
3
2
6
k
S
CP
AB
x
x
k
，
∴
1
4
6
3
2
k
k
k
S
S
∴
2
5
2
2
k
k
S
S
k
，
∴
2
4
6
S
S
，
5
1
6
k
S
S
，
∴
6
3
k
，
得
18
k
∴
5
1
3
6
k
S
S
∵
1
5
3
18
S
S
S
k
∴
1
3
18
3
15
S
S
．
28
故选A．
46．如图，已知点
6 3
P
，，过点P 作PM
x
轴于点M，PN
y
轴于点N ，反比例函数
k
y
x
的图象交PM
于点A，交PN 于点B ，若四边形OAPB 的面积为12，则k 的值为（
）
A．6
B．6
C．12
D．1
【答案】A
【详解】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．
根据反比例函数系数k 的几何意义，利用
ONB
OMA
OMPN
OMPN
S
S
S
S
矩形
四边形
，即可解决问题．
【解答】解：∵PM
x
轴于点M，PN
y
轴于点N，
∴四边形OMPN 是矩形，
又∵
6 3
P
，，
∴
3
PM
，
6
PN
，
∴
18
OMPN
S
PM PN
矩形
，
∵点A、B 在反比例函数
k
y
x
∴
1
2
ONB
OMA
S
S
k
，
∵
12
ONB
OMA
OMPN
OMPN
S
S
S
S
矩形
四边形
，
即18
12
k
，
29
∵
0
k
，
∴
6
k
，
故选：A．
47．在函数
2
3
1
m
y
x
（m 为常数）的图象上有三点
1
2
3
4,
,
2,
, 1,
y
y
y
，则函数值
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系
为（
）
A．
2
1
3
y
y
y
B．
1
2
3
y
y
y
C．
3
2
1
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数值的大小比较．熟练掌握反比例函数的图象与
性质是解题的关键．
由
2
2
3
3
0
m
m
，可知函数
2
3
1
m
y
x
（m 为常数）的图象在第二、四象限，在第二象限中y 随x
的增大而增大，且
0
y
；在第四象限中y 随x 的增大而增大，且
0
y
；然后比较大小即可．
【详解】解：由题意知，
2
2
3
3
0
m
m
，
∴函数
2
3
1
m
y
x
（m 为常数）的图象在第二、四象限，
在第二象限中y 随x 的增大而增大，且
0
y
；在第四象限中y 随x 的增大而增大，且
0
y
；
∵4
2
0
1
，
∴
3
1
2
y
y
y
，
故选：D．
48．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OC 、OA分别在x 轴和y 轴上，
15
OA
，点D 是边AB
上靠近点A 的三等分点，将
OAD
△
沿直线OD 折叠后得到
OA D
△
，若反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图象经
过A点，则k 的值为（
）
30
A．27
B．48
C．54
D．108
【答案】D
【分析】过A作EF
OC
于F，交AB 于E，设
( , )
A m n
，OF
m
，
A F
n ，通过证明A OF
DA E
∽
，
得到
15
3
15
5
5
m
n
n
m
，解方程组求得m 与n 的值，即可得到A的坐标进而得到反比例函数中k 的值．
【详解】解：如图所示
过A′作EF
OC
于F，交AB 于E，由折叠性质以及正方形性质可得：
90
OA D
OAD
，
90
OA F
DA E
90
OA F
A OF
A OF
DA E
A FO
DEA
A OF
DA E
∽
，
设
,
A m n
，
∴OF
m
，
A F
n ．
31
∵正方形OABC 的边OC 、OA分别在x 轴和y 轴上，
5
OA
，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
∴
5
DE
m
，
15
A E
n
．
∵A OF
DA E
∽
，
OF
A F
OA
A E
DE
A D
即
15
3
15
5
5
m
n
n
m
解得：
9
m
，
12
n
．经检验符合题意；
∴
(9,12)
A
∴反比例函数中
108
k
xy
，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图
像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得A的坐标是解决本题的关键．
49．如图，在四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，
6
AC
，AB
CD
∥
，AC 平分
DAB
．设AB
x
，AD
y
，
则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函
数的图象，通过添加辅助线证明
ABC
AED
∽
△
△
是解本题的关键．
先证明CD
AD
y
，过D 点作DE
AC
于点E ，证明
ABC
AED
∽
△
△
，利用相似三角形的性质可得函数
关系式，从而可得答案．
【详解】解：过D 点作DE
AC
于点E ．
32
AB
CD
∥
，
ACD
BAC ，
AC
平分
DAB
，
BAC
CAD
，
ACD
CAD
，则CD
AD
y
，即ACD
为等腰三角形，
则DE 垂直平分AC ，
1
3
2
AE
CE
AC
，
90
AED
，
BAC
CAD
，
90
B
AED
，
ABC
AED
∽
，
AC
AB
AD
AE
，
6
3
x
y
，
18
y
x
，
在
ABC
中，AB
AC
，
6
x
，
故选：D．
二、填空题
50．从2
，1
，3，6 四个数中任意取一个数作点P 的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P
的纵坐标，记为n，则点
,
P m n 落在反比例函数
6
y
x
图象上的概率是
．
【答案】1
3
【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率
的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点
,
P m n 落在反比例函数
6
y
x
图象上的结果，
最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
33
∴共有12 种等可能的结果，其中点P在反比例函数
6
y
x
图象上的有4 种结果：
2,3 ,
1,6 , 6, 1 , 3, 2
，
∴点
,
P m n 落在反比例函数
6
y
x
图象上的概率是4
1
12
3
．
故答案为：1
3 ．
51．如图，点A 在反比例函数
10
0
y
x
x
的图象上，AB
x
轴于点B，C 是点B 关于原点O 的对称点，
连接AC ，则
ABC
的面积为
．
【答案】10
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特性、点的坐标规律，设
,
A a b ，则
,0
B a
，
,0
C
a
，可
得
ABC
S
ab
，再根据反比例函数图象上点的特征可得
10
ab
，即可求解．
【详解】解：设
,
A a b ，则
,0
B a
，
,0
C
a
，
∴AB
b
，
2
2
BC
a
a
，
∴
1
1
2
2
2
ABC
S
AB
BC
b
a
ab
，
∵点A 在反比例函数
10
0
y
x
x
的图象上，
∴
10
ab
，
∴
10
10
ABC
S
ab
，
故答案为：10．
52．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5 个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放
在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC
BC
，
分别落在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（如图所示），然后将
34
三角板向右平移a 个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A
B
，两点恰好都落在函数
6
y
x
的图
象上，则a 的值为
．
【答案】2 或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A 和点B 的坐标，再得出平移后点A 和点B 对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数
6
y
x
的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵
5
OA
OB
，
∴
5,0 ,
0,5
A
B
，
设平移后点A、B 的对应点分别为A
B
、
，
∴
5
,
,
,5
A
a
a
B a
a
，
∵A
B
、
两点恰好都落在函数
6
y
x
的图象上，
∴把
,5
B a
a
代入
6
y
x
得：
5
6
a
a
，
解得：
2
a
或
3
a
．
故答案为：2 或3．
53．如图，点A 是反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上一点，过点A 作AC
x
轴，垂足为点C ，延长AC 至点
B ，使
2
BC
AC
，点D 是y 轴上任意一点，连接AD ，BD，若
ABD
△
的面积是9，则k 的值是
．
35
【答案】6
【分析】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象
上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键．
设点A 的坐标为
, k
m m
，即可表示出OC 和AC 的长，再由
2
BC
AC
可得出AB 的长，最后由三角形的面
积公式列方程即可得出结果．
【详解】解：设点A 的坐标为
, k
m m
，则OC
m
，
k
AC
m
，
2
BC
AC
，
2k
BC
m
，
3k
AB
m
，
1
2
ABD
S
AB OC
，
即1
3
9
2
k
m
m
，
解得
6
k
．
故答案为：6．
54．如图，在
ABC
中，AB
AC
，点A 在反比例函数
(
0
0)
k
y
k
x
x
，
的图象上，点B
C
、在x 轴上，
4
BC
OC
，
若
ABC
的面积等于8，则k 的值为
．
36
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求
学生掌握设而不求的方法解题．设OC
a
，过点A 作AE
x
轴于点E，表示出BC 、AE ，结合
ABC
的面
积即可求出k 的值．
【详解】解：设OC
a
，则
,0
C a
，
4
BC
OC
，
5
OB
a
，
4
CB
a
，
过点A 作AE
x
轴于点E，
AB
AC
，
2
CE
EB
a
，
3
OE
a
，
·
OE AE
k
，
3
k
AE
a
，
1
1 4
8
2
2
3
ACB
k
S
BC AE
a
a
，
12
k
．
故答案为：12．
55．如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的边AC
x
∥轴，边
∥
BC
y 轴，且点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
在反比例函
数
k
y
x
（k 为大于0 的常数，
0
x> ）的图象上．若
2
1
2 ,
x
x
ABC
△
的面积是2，则k 的值是
．
37
【答案】8
【分析】根据边AC
x
∥轴，边
∥
BC
y 轴，得到
90
ACB
，根据题意，
1
2
1
2
,
,
,
k
k
A x
B x
x
x
，结合反比例
函数的性质解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵边AC
x
∥轴，边
∥
BC
y 轴，
∴
90
ACB
，
根据题意，
1
2
1
2
,
,
,
k
k
A x
B x
x
x
，
2
1
2 ,
x
x
ABC
△
的面积是2，
∴
2
1
1
AC
x
x
x
，
1
2
1
2
1
1
1
2
2
k
k
k
k
k
CB
y
y
x
x
x
x
x
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
k
AC CB
x
x
，
解得
8
k =
，
故答案为：8．
56．如图，点A，B 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，分别过点A，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
线段AB 交x 轴于点E，连接AD
BC
，
．若DE
EO
OC
，四边形ADBC 的面积为9，则k 的值为
．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设DE
EO
OC
a
，结合点A，B 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，分别过点A，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，得出
0
2 0
2
2
k
k
C a
a
a
a
a
a
，，D
，，A
，，B
，
，
结合四边形ADBC 的面积为9，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设DE
EO
OC
a
，
∵点A，B 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，分别过点A，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
38
∴
0
2 0
2
2
k
k
C a
a
a
a
a
a
，，D
，，A
，，B
，
∵四边形ADBC 的面积为9
∴
1
1
2
2
DBC
ADC
ADBC
S
S
S
DC
DB
DC
AC
四边形
即
1
1
3
9
2
2
2
ADBC
k
k
S
DC
DB
AC
a
a
a
四边形
解得
4
k
故答案为：4
57．已知函数
1
k
y
x
，
2
0
k
y
k
x
，当1
3
x
时，函数
1y 的最大值为a ，函数
2y 的最小值为
4
a
，则a
的值为
．
【答案】2
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k 与a 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性
质分别得出k 与a 的关系，进而得出答案．
【详解】解：函数
1
(
0)
k
y
k
x
，当1
3
x
时，函数
1y 的最大值为a ，
1
x
时，y
k
a
，
2
(
0)
k
y
k
x
，当1
3
x
时，函数
2y 的最小值为
4
y
a
，
当
1
x 时，
4
y
k
a
，
4
k
a
，
故
4
a
a
，
解得：
2
a
．
故答案为：2．
58．如图，点A ，B 分别在函数
0
a
y
a
x
图像的两支上（A 在第一象限），连结AB 交x 轴于点C ．点D ，
E 在函数
0,
0
b
y
b
x
x
图像上，AE
x
轴，BD
y
∥
轴，连结DE ，BE ．若
2
AC
BC
，ABE
的面积
为12，四边形ABDE 的面积为15，则a
b
的值为
．
39
【答案】16
【分析】依据题意，设
, a
A m m
，再由AE
x
轴，BD
y
∥
轴，
2
AC
BC
，可得
2 ,
2
a
B
m
m
，
2 ,
2
b
D
m
m
，
,
mb a
E
a
m
，再结合ABE
的面积为12，四边形ABDE 的面积为15，即可得解.
【详解】解：设
, a
A m m
，
∵AE
x
轴，且点E 在函数
b
y
x
上，
∴
,
mb a
E
a
m
.
∵
2
AC
BC
，且点B 在函数
a
y
x
上，
∴
2 ,
2
a
B
m
m
.
∵BD
y
∥
轴，点D 在函数
b
y
x
上，
∴
2 ,
2
b
D
m
m
.
∵ABE
的面积为12，
∴
3
1
1
1
3
12
2
2
2
2
2
2
4
ABE
a
b
a
a
mb
a
a
a
b
a
S
AE
m
m
m
m
a
m
m
a
m
△
.
∴
16
a
b
.
【点睛】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形点坐标的计算方
法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法是解题的关键．
59．如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D，点B，D 都在函数
6 2
0
y
x
x
的图象上，BE
x
⊥轴于点E．若DC 的延长线交x 轴于点F，当矩形OABC 的面积为9 2 时，
EF
OF 的值为
，点F 的坐标为
．
40
【答案】
1
3
3 3 ,0
2
【分析】连接OD ，作DG
x
轴，设点
6 2
B b
b
，
，
6 2
D a
a
，
，根据矩形的面积得出三角形BOD 的面积，
将三角形BOD 的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b 的等式，将其分解因式，从而得出a，b 的
关系，进而在直角三角形BOD 中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D 的坐标，进一步可求得结果．
【详解】解：如图，
作DG
x
轴于G，连接OD ，设BC 和OD 交于I，
设点
6 2
B b
b
，
，
6 2
D a
a
，
，
由对称性可得：BOD
BOA
OBC
≌
≌
，
∴
OBC
BOD
BC
OD
，
，
∴OI
BI
，
∴DI
CI
，
∴DI
CI
OI
BI
，
∵
CID
BIO
，
∴CDI
BOI
∽
，
∴
CDI
BOI
，
41
∴CD
OB
∥
，
∴
2
1
2
9 2
BOD
AOB
AOCB
S
S
S
矩形
，
∵
1
3 2
2
BOE
DOG
S
S
k
，
BOD
DOG
BOE
BEGD
BOGD
S
S
S
S
S
梯形
四边形
，
∴
9 2
2
BOD
BEGD
S
S
梯形
，
∴(
1 6 2
6 2
9 2
2
2
a
b
a
b
，
∴
2
2
2
3
2
0
a
ab
b
，
∴
2
2
0
a
b
a
b
，
∴
2
a
b
，
2
b
a
（舍去），
∴
6 2
2
2
D
b
b
，
），即：
3 2
2
D
b
b
，
，
在Rt BOD
中，由勾股定理得，
2
2
2
OD
BD
OB
，
∴
2
2
2
2
2
2
3 2
6 2
3 2
6 2
2
2
b
b
b
b
b
b
b
b
，
∴
3
b
，
∴
3,2 6 ,
2 3,
6
B
D
，
∵直线OB 的解析式为：
2 2
y
x
，
∴直线DF 的解析式为：
2 2
3 6
y
x
，
当
0
y
时，0
2 2
3 6
x
，
∴
3 3
2
x
，
∴
3 3 ,0
2
F
，
∵
3
OE
，
3 3
2
OF
，
∴
3
2
EF
OF
OE
，
42
∴
1
3
EF
OF
，
故答案为：1
3 ，3 3 ,0
2
．
【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象
性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
三、解答题
