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专题 22.5 高频题型专题：二次函数的图象信息题之五大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】............................................................................................1
【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】........................................................................................6
【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】......................................................................................11
【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】...........................................................................16
【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】..............................................................................................26
【典型例题】
【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】
例题：（2023·安徽合肥·统考三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， 可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；当
时，二次函数值为 ，一次函数值为 ，互为相反数，排除B和D，即可得出答案．
【详解】由 ， 可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；
当 时，二次函数值为 ，一次函数值为 ，互为相反数，排除B和D．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数 与一次函数 ，它们在同一
直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；
一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大
于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知 ， ，由直线知 ， ，∴A正确；
B、由抛物线可知 ， ，由直线知 ， ，∴B错误；
C、由抛物线可知 ， ，由直线知 ， ，∴C错误；
D、由抛物线可知 ， ，由直线知 ， ，∴D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答
本题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知抛物线 和直线 分别交于A点和B点，则抛
物线 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点 、 的坐标，根据已知图象确定， 与 点的横坐标的正负，进而推断新抛物线
的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由 ，得 ，
解得， 或 ，
抛物线 和直线 分别交于 点和 点，
， 的横坐标为： ，
抛物线 的开口向上，交点 在第三象限内，
， ，
抛物线 中， ，对称轴 ，
此抛物线的开口向下，对称轴在 轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定
和 点横坐标的取值．
3．（2023·山东济南·统考三模）在同一坐标系下，一次函数 与二次函数 的图象大
致可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数 与二次函数 图象的位置，逐项判断系数 的符号即可得出
正确选项．
【详解】A、由一次函数 图象可知 ，由二次函数 的图象可知 ，
故选项A不符合题意；
B、由一次函数 图象可知 ，由二次函数 的图象可知 ，故选项
B不符合题意；
C、由一次函数 图象可知 ，由二次函数 的图象可知 ，故选项
C不符合题意；
D、由一次函数 图象可知 ，由二次函数 的图象可知 ，故选项
D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握函数图象的位置与系数间的关系是解题的
关键．
4．（2023·四川成都·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次
函数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】先由二次函数 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数 的图像相比较
看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项
不合题意；
B、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
5．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据抛物线对称轴为直线 推出 ，再根据当 时， ，得到 ，由此
即可得到答案．
【详解】解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，∴
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出 ， 是解题的
关键．
6．（2023·山东青岛·统考二模）如图，二次函数 的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若
点P的横坐标为 ，则一次函数 的图象大致如（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即
可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
， ，
当 时， ，
∴ 的图象在第二、三、四象限，
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】
例题：（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系
内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 可知，二次函数图象与y轴交点为 时，即二次函数图象过原点．再分两种情
况即 ， 时结合二次函数 中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右
侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．
【详解】解：①当 时，二次函数 开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、
二、三象限，反比例函数在一、三象限；
②当 时，二次函数 开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，
反比例函数在二、四象限，
观察图象可知只有D符合，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取
值确定二次函数以及反比例函数的图象．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像可
能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案．
【详解】解：当 时， 的图像开口向上，过一、二象限； 的图像位于一、三象限，可知，
D正确；
当 时， 的图像开口向下，过三、四象限； 的图像位于二、四象限，无此选．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关
键．
2．（2023·山东东营·统考二模）二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数
（ ）与反比例函数 （ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数的图象可得： ， ， ，可得一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，从而可得答案．【详解】解：由二次函数的图象可得： ， ， ，
∴一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次
函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）已知二次函数 （b，c是常数）的图象如图所示，
则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线开口向上得到 ；由抛物线对称轴的位置确定 ，由抛物线与y轴的交点位置确
定 ，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、三、四象限，根据反比例函数的
性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线开口方向向上，
∴ ；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，对于一次函数 ，
∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限；
对于反比例函数 ，
∵ ，
∴ ，反比例函数 图象分布在第二、四象限
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断及反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握
二次函数系数的符号是解决问题的关键
4．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则
一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向下得到 ，再根据对称轴确定出 ，根据与 轴的交点确定出
，然后确定出一次函数图象所在的象限，再由当 时， 可知 ，故可得出反比例函
数的图象在二四象限，据此得出结论．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴ ，∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∵与 轴的正半轴相交，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一二四象限，
∵当 时， ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象在二四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性
质：开口方向、对称轴、与 轴的交点坐标等确定出 、 、 的情况是解题的关键．
5．（2023·山东青岛·统考三模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与
反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与 轴的交点，判断出 、 、 的正负，然后根据
、 、 的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可．
【详解】解：由图可知，， ，
∴
即
∵二次函数与 轴有两个不同的交点
∴
∴一次函数 经过一、二、三象限
当 时，
∴
∴反比例函数 经过一、三象限
故选：A．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出
、 、 的正负是解决本题的关键．
【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
A．点 在该函数的图象上 B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左
侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，当 时： ，
∵ ，
∴ ，
即：点 不在该函数的图象上，故A选项错误；
当 时， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值为 ，
当 时， 有最小值为 ，
∴ ，故B选项错误；
∵ ，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当 时，抛物线的对称轴为： ，
∴该函数图象的对称轴一定在直线 的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数 （a为常数，且 ），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当 时，y随x的增大而
减小；④当 时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．③④
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为 ， ，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当 时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为 ， ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关
键．
2．（2023·江苏南京·校考三模）已知整式 ，下列关于整式 的值的结论：
① 的值可能为 ；
②当 时， 的值随 的增大而增大；
③当 为小于 的实数时， 的值大于 ；
④不存在这样的实数 ，使得 的值小于 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】 当 ，
∴ ，
解得： ， ，∴ 的值可能为 ，
∴ 正确；
设函数的解析式为： ，如图
∴对称轴为： ，函数图象的开口向上，
∴当 ，函数 随 的增大而增大，
∴ 正确；
同理，当 ，函数 随 的增大而减小，
∴当 时，函数 在 轴是上方，即 ，
∴ 正确；
设函数的解析式为： ，如图
∴当 时，函数 有最小值，最小值为：
∴无论 取任何数，
∴ 正确；
综上所述：正确的为：
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数
图象和性质，实数的性质．
3．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 为实数 ，下列四个结论：
当 时，图象与坐标轴所夹的锐角为 ；
若 ，则当 时， 随着 的增大而减小；
不论 为何值，若将函数图象向左平移 个单位长度，则图象经过原点；
当 时，抛物线顶点在第一象限．
其中正确的结论是 （填写序号）【答案】
【分析】由一次函数 即可判断 ；根据二次函数的性质即可判断 ；得到平移后的解析式即
可判断 ；求得顶点坐标即可判断 ．
【详解】解： 当 时，函数为一次函数 ，由于系数为 ，所以图象与坐标轴所夹的锐角
不为 ，故 错误；
若 ，抛物线的对称轴为直线 ，则当 时， 随着 的增大而减小，故
正确；
当函数图象向左平移 个单位时，解析式为 ，则其图象过原点，故 正
确；
当 时，对称轴直线 ，顶点纵坐标为 ，故抛物
线顶点在第一象限，故 正确；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 是常数， 与 轴的交点
坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数 ．有
下列说法：
①若 ，则二次函数的图象与y轴的负半轴相交；
②若 ，当 时，y有最大值3；
③若a为整数，且二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，则a的值只能等于1；
④若 ，且 为该函数图象上的三点，则 ．
其中正确的是 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【分析】求出 的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当 时，函数在 时，y有最大值
3，故可判断②；根据二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a，进
而判断③；分别求出A，B，C三点对应的函数值，再进行比较即可判断④．
【详解】解：①对于 ，令 ，得 ，由 可得 ，即二次函数的图象与y轴的负半轴相交，故①正确；
②二次函数 对称轴方程为直线 ，
∵ ，
∴
又抛物线的开口向上，
∴二次函数 的图象在 内，当 时，y有最大值，最大值为：3；故②正
确；
③∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴ ，
∵a为整数，
∴ ，即a为任意整数；
又二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，
∴对称轴 必为整数，此时a的值不只能等于1，也可以是 ，故③错误；
④∵ 为函数 图象上的三点，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∵ ，
∴ ，即 ．故④正确，
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y
轴）的交点进行判断是解题的关键．
【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】例题：（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）某二次函数 的部分图象如图所示，下
列结论中一定成立的有（ ）
① ；② ；③ ； ④ ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据对
称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①函数的对称轴在 轴右侧，则 ，抛物线与 轴交于负半轴，则 ，则 ，故
①正确；
②函数的对称轴为 ，函数和 轴的一个交点是 ，则另外一个交点为 ，当 时，
，故②错误；
③函数的对称轴为 ，即 ，故③错误；
④由②③得， ， ，故 ，而抛物线开口向上，则 ，即 ，故 ，
故④正确；
故选：B．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数
与方程之间的转换是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）如图，二次函数 的图
像的顶点在第一象限，且过点 和 ，下列结论：① ，② ，③ ，④，⑤当 时， ．其中正确结论的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得 ，利用对称轴在 轴的右侧得 ，则可对①进行判断；根据二次函
数图像上点的坐标特征得 ， 则 所以 ，于是可对②④进行判断；由于
，利用 可得 ，再根据抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另
一个交点在 和 之间，则 时，函数值为正数，即 ，由此可对③进行判断；观察函
数图像得到 时，抛物线有部分在 轴上方，有部分在 轴下方，则可对⑤进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
对称轴位于 轴的右侧，
，
，
，故①正确；
点 和 都在抛物线 上，
， ，
，
，故②错误，④正确；
，
，
，即 ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，而抛物线的对称轴位于 轴的右侧，在直线 的左侧，抛物线与 轴的另一个交点坐标在 和 之间，
时， ，即 ，
，故③正确；
当 时，抛物线由部分在 轴的上方，有部分在 轴的下方，
或 或 ，故⑤错误，
综上所述①③④正确，
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的性质与特征
是解答本题的关键．
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C， ，对称轴为直线 ，则下列结论：① ；② ；③
；④ 是关于x的一元二次方程 的一个根．其中正确的有
（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；
根据 结合抛物线对称性对②进行判断；当 时，函数有最小值可判断③；由 可得B的
坐标，代入解析式由点B坐标结合对称轴可得点A坐标，据此可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴下方，∴ ，
∴ ，所以①正确；
根据对称性可知，当 和 时函数值相等，且为负值，
即 ，所以②错误；
当 时，有最小值 ，
当 时，函数值 ，
∵
∴ ，
即 ，所以③正确；
∵点 ，
，
又∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ 是关于x的一元二次方程 的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合的思想．
3．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，二次函数 的图象
关于直线 对称，与 轴交于 ， 两点，若 ，则下列四个结论：① ；
② ；③ （ 为任意实数）；④ ．正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①， 由开口方向和对称轴以及根据抛物线 时的函数的取
值即可判断 ②，根据抛物线 时的函数的取值即可判断③，根据抛物线 时的函数的取值即可
判断④；
【详解】∵对称轴为直线
∴ ，①正确；
∵抛物线开口向上，与 轴的交点在 轴下方
由题意可知 时，
②正确；
由题意可知 时，
若 则
时，二次函数取得最小值
，③正确；
由题意可知 时，
，④正确；
正确的是：①②③④
故选：D
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌
握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．4．（2023·广东汕尾·校考模拟预测）已知二次函数 的图象的一部分如图所示，其中
对称轴为： ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；上述结
论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线开口向下，可得 ；结合抛物线的对称轴为直线 ，可得 ， ；由
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得 ，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x轴的另
一个交点在 与 之间，可得 ，可判断②符合题意；③符合题意；由 时，y有最大值
，可得当 时， ，可判断④符合题意．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ， ；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴ ，
∴ ，所以①不符合题意；
由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在 与 之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ，所以②符合题意；
∴ ，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ 时，y有最大值 ，
∴当 时， ，
∴ ，所以④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当 ，抛物线的开口向下，当 时，函数值最
大；抛物线与y轴的交点坐标为 ，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
5．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，图象
过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④已知 、
在该二次函数图像上，当 且 时，都有 ．其中正确的结论有 ．
（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当 时， ，即可判断②；根据
图象过点 得到 ，由 得到 ，则 ，即可判断③；分三种
情况根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由二次函数 的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ， ，
∵对称轴为直线 ，即 ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴当 时， ，即 ，
则 ，故②错误；
∵图象过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故③正确；
当 时， ，不符合题意，
当 时，∵ ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
当 时， ，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，
数形结合是解题的关键．6．（2023·全国·九年级假期作业）如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直
线 ．有以下结论：
① ；
② ；
③ （m为任意实数）；
④若 ， 是抛物线上的两点，当 时， ；
⑤若方程 的两根为 ， ，且 ，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据图象得出系数的正负性，可判断①；根据当 时， ，可判断②；当
时，函数有最小值，可判断③；由抛物线的对称性可判断④；由二次函数的交点式可得
，进而判断⑤.
【详解】解：①由图象可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③由图象可知，当 时，函数有最小值，
∴ （ 为任意实数），
∴ ，故③正确；
④∵ ， 是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知： ，
∴当 时， ，故④正确；
⑤∵图象过点 ，对称轴为直线 ．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为 ，
∴
若方程 ，
即方程 的两根为 ， ，
则 、 为抛物线与直线 的两个交点的横坐标，
∵ ，
∴ ，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查二次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，掌握二次函数解
析式的系数和图象之间的关系．【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】
例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在 中， ．动点
从点 出发，沿线段 以1单位长度/秒的速度运动，当点 与点 重合时，整个运动停止．以 为
一边向上作正方形 ，若设运动时间为 秒 ，正方形 与 重合部分的面积为 ，
则下列能大致反映 与 的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目所给条件，分当 时和当 时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，
即可得到答案．
【详解】解；当 时，正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积，
∴ ，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当 时，设 与 相交于 ， 与 相交于 ，
，
此时正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积减去三角形 的面积，
∵ 是等腰直角三角形， ，，
，
∴ ，
∵ ，
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出
发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．设点M运动的路
程为 ， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解： ，
，，
，
故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，
再判断 与 之间函数类型．
2．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，正方形 中， ，动点 分别从 同时出发，点
以每秒 的速度沿 运动，点 以每秒 的速度沿 运动， 点到达点 时运动停止．
设 点运动 （秒）时， 的面积 ，则 关于 的函数图象大致为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况：当点 在 上，即 时，此时 ，利用三角形面积公式得到 关于
的函数关系；当点 在 上，即 时，此时 ，利用正方形和三
角形面积公式得到 关于 的函数关系．进而可得 关于 的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图
象．
【详解】解：当点 在 上，即 时，如图，此时， ，
；
当点 在 上，即 时，如图，
此时， ， ，
， ，
，
；．
综上， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
3．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在矩形 中， ，动点P从A点出发，以
的速度沿 的方向运动，动点Q同时从A点出发，以 的速度沿 的方向运动，
两动点到达C点停止运动．设运动的时间为 ， 的面积为 ，则下列y关于x的函数图像正
确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在 上运动，点Q在
上运动，即 时；②当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时；③当点P在 上
运动，点Q在 上运动，即 时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后
根据关系判断函数图像即可．
【详解】解：①当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，此时 ，
∴ ；
②如图：当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，
∴ ；
③如图：当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，∴ ，
∴
,
＝ ；
综上， ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．
