文档文本内容
1
第19 讲反比例函数及其图象和性质
课程标准
学习目标
结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根
据已知条件确定反比例函数的表达式；
会用描点法画出反比例函数的图象；
知道当k>0 和k<0 时反比例函数
k
y
x
(k≠0)图象
的整体特征．
1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例
函数。
2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实
际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双
曲线。
4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问
题。
5、理解反比例函数
)
0
(
k
x
k
y
中的比例系数k 的几何
意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面
积问题。
2
知识点一：反比例函数的概念及表达式
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy
k
，或
表示为
k
y
x
，其中k 是不等于零的常数.
一般地，形如
k
y
x
( k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的
取值范围是不等于0 的一切实数.
知识点二：反比例函数图象的画法
（1）列表：自变量的取值应以0 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，
切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相
交；
（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当
0
k
时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当
0
k
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
知识点三：反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例
函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2.反比例函数的性质
（1）当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；
（2）当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；
（3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线y
x
对称；
知识点四：反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义
通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为1
2 k ，与两条坐
标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．
3
题型01
用反比例函数表示数量关系
1．下列说法正确的是（
）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；
B．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
D．圆的周长与直径成正比例关系．
2．已知压力F、受力面积S、压强P 之间的关系是
F
P
S
．则下列说法不正确的是（
）
A．当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系；
B．当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大；
C．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成正比例函数关系；
D．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系．
3．若某城市市区人口x 万人，市区绿地面积100 万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的
函数表达式为
．
4．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数(d)
y
是每日铺轨量(km / d)
x
的反比例函数吗？
题型02
根据反比例函数定义求参数
5．若函数
2
n
y
nx
是反比例函数，n 的值是（
）
A．1
B．1
C．1
D．不能确定
6．若函数
1
m
y
x
为反比例函数，则m 的值是
．
7．若函数
2
3
2
m
y
m
x
是反比例函数，则m
．
8．已知
3
2
2
m
y
m
m x
是关于x 的反比例函数，则
2023
2
m
．
题型03
求反比例函数的自变量或函数值
9．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增加它的1
2 时，y 将（
）
A．减少它的1
2
B．减少它的1
3
C．增加它的1
2
D．增加它的1
3
4
10．在反比例函数
5
y
x
中，当
10
x
时，y
．
11．反比例函数
6
y
x
中，
2
x
，则y
．
12．某蓄电池的电压为60V ，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为
60
I
R
，
当
12
R
时，I 的值为
A．
13．已知反比例函数
12
y
x
的图象经过点
1,4
A a
，则a
．
14．已知反比例函数
12
y
x
．
(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．
(2)求当
3
x 时函数的值．
(3)求当
3
y
时自变量x 的值．
题型04
利用反比例函数求解析式
15．已知
1
2
y
y
y
，并且
1y 与x 成正比例
2y 与(
2)
x
成反比例，当
2
x 时，
7
y ；当
3
x
时，
13
y
．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)求当
5
x
时的函数值．
16．已知
1
2
y
y
y
，
1y 与(
1)
x
成正比例，
2y 与(
1)
x
成反比例，当
0
x
时，=
3
y
，当
1
x 时，
1
y ．
(1)求y 的表达式；
(2)求当
2
x 时y 的值．
17．已知函数
1
2
y
y
y
，
1y 与
1
x 成正比例函数，
2y 与x 成反比例函数，当
1
x 时，
7
y
，当
3
x
时，
9
y ．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)求当= 1
x 时，y 的值．
18．已知
1
2
1
y
y
y
y
，
与x 成正比例，2y 与2
3
x 成反比例．并且当
2
x
时，
5
y
；当
1
2
x
，
7
4
y
求y 与x 之间的函数关系式．
题型05
反比例函数图象与参数之间的关系
19．若反比例函数
2
1
m
y
x
的图像在第二、四象限，则m 的最大整数值是（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
5
20．若反比例函数
2
1
m
y
x
的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
21．如图是反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的图像，写出一个符合要求的整数k 的值是
．
22．如图是反比例函数
2
m
y
x
的图象，那么实数m 的取值范围是
．
题型06
反比例函数的增减性与参数之间的关系
23．在函数
0
k
y
k
x
的图象上有三点
1
1
,
x
y
，
2
3
,
x
y
，
3
3
,
x
y
，已知
1
2
3
0
x
x
x
，那么下列各式中，
正确的是（
）
A．
2
1
3
y
y
y
B．
3
1
2
y
y
y
C．
2
3
1
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
24．若点
1
2
2
3
3
1
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
的图象上，若
1
2
3
0
x
x
x
则
1
2
3
,
,
y y
y 的大
小关系是
．（请用“”号连接）
25．反比例函数
3
y
x
的图象，当
0
x
时，y 随x 的增大而
．
26．如果反比例函数
3
4a
y
x
的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，那么a 满足的条件是
．
27．反比例函数
| | 3
(
1)
k
y
k
x
，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则k
28．已知点
1
2
1,
,
2,
A
y
B
y
都在反比例函数
1
m
y
x
的图象上，且
1
2
y
y
，则m 的取值范围为
．
题型07
利用图形面积求比例系数k
29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，过点A 作AC
y
轴于点C，
6
过点B 作BD
x
轴于点D，AC
BD
，若
3
OC
，
AOB
的面积为4，则k 的值为（
）
A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
30．如图，过反比例函数
k
y
x
0
x
图象上的一点A 作AB
x
轴于点B，连接AO ，若
4
AOB
S
，则k 的
值是（
）
A．4
B．4
C．8
D．8
31．如图，点A 是函数
3
y
x
（
0
x
）图象上一点，点B 是
k
y
x
（
0
k
，
0
x
）图象上一点，点C 在x
轴上，连结AB ，CA ，CB ．若AB
x
∥轴，
4
ACB
S
△
，则k （
）．
A．4
B．2
C．2.5
D．5
32．如图，在平面直角坐标系中，若将点
0,2
A
向右平移后，其对应点A恰好落在反比例函数
k
y
x
的图
象上，已知点
4,0
B
，连接AB 、A B
，则图中阴影部分的面积为4 则该函数的解析式
k
y
x
中的k 值是（
）
7
A．4
B．8
C．4
D．8
33．如图，平行四边形的顶点B 在x 轴上，点A 在
0
k
y
k
x
上，且AB
x
轴，对角线DB的延长线交y
轴于点E，若
3
BCE
S
，则k （
）
A．3
B．6
C．−8
D．9
题型08
利用比例系数k 求图形面积
34．如图，两个反比例函数
5
y
x
和
3
y
x
在第一象限内的图象分别是
1
C 和
2
C ，设点P 在
1
C 上，PA
x
轴于
点A ，交
2
C 于点B ，则
POB
的面积为( )
A．1
B．2
C．4
D．无法计算
35．如图，反比例函数
6
y
x
，点A 位于反比例函数图像上，AB 垂直于x 轴，点C 在y 轴从上往下运动的
过程中，三角形ABC 的面积变化情况是（
）
8
A．不变
B．一直变大
C．先变大后变小
D．先变小后变大
36．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在y 轴、x 轴上，BD
x
轴，与双曲线
1
6
0
y
x
x
交于
点B ，与双曲线
2
2
0
y
x
x
交于点C ，若四边形OABC 为平行四边形，则平行四边形OABC 的面积是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
37．如图，反比例函数
0
k
y
k
x
经过A、B 两点，分别过A、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C、
D，连接AO ，连接BO交AC 于点E，若
AEO
△
的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（
）
A．2
B．3
2
C．3
D．1
38．如图，点
,
A B 均在反比例函数
0
0
k
y
k
x
x
，
的图象上，AC
x
轴于点
,
C BD
x
轴于点D ，连接BC ，
若
2 4 ,
6
A
CD
，
，则
BCD
△
的面积为
．
9
题型09
反比例函数图象和性质的综合判断
39．对于反比例函数
1
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的两支图象关于原点对称
C．当
1
2
0
x
x
时，则
2
1
0
y
y
D．y 随x 的增大而减小
40．已知反比例函数
2
y
x
，则下列描述不正确的是（
）
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过
1,2
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y 随x 的增大而减小
41．已知反比例函数
3
y
x
，下列结论不正确
．．．的是（
）
A．图象必经过点
1,3
B．在每一象限内，y 随x 的增大而增大
C．若
1
x ，则
3
y
D．图象位于第二、四象限内
42．下列说法中不正确的是（
）
A．函数
5
y
x
的图象经过原点
B．函数
3
y
x
的图象位于第一、三象限
C．函数
3
2
y
x
的图象不经过第二象限
D．函数
2
y
x
的值随x 值增大而增大
43．下列关于函数说法错误的个数为（
）
（1）已知反比例函数
k
y
x
的图像在第一象限，则k 的取值范围是
0
k
且
0
x
；
（2）单曲线不是反比例函数
（3）只要满足xy
k
且自变量k 为不为0 的常数的函数，就是反比例函数
（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定
（5）直线
1
y 是常值函数，常值函数不是函数
10
（6）直线
1
x 不是函数
A．1
B．2
C．3
D．4
44．如图：点P、Q 是反比例函数
k
y
x
图象上的两点，PA
y
轴于点A，QN
x
轴于点N，作PM
x
轴
于点M，QB
y
轴于点B，连接PB、QM ，ABP
的面积记为
1S ，QMN
的面积记为
2S ，则
1S 与
2S 的大
小关系是（
）
A．
1
2
S
S
B．
1
2
S
S
=
C．
1
2
S
S
D．
1
2
2
S
S
45．如图，点P，Q，R 为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x 轴，y 轴的垂线，与y
轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为
1
2
3
S
S
S
，，
，其中
:
:
1:2:3
OA AB BC
，若
2
6
S
，则
1
3
S
S
（
）
A．15
B．12
C．10
D．18
46．如图，已知点
6 3
P
，，过点P 作PM
x
轴于点M，PN
y
轴于点N ，反比例函数
k
y
x
的图象交PM
于点A，交PN 于点B ，若四边形OAPB 的面积为12，则k 的值为（
）
11
A．6
B．6
C．12
D．1
47．在函数
2
3
1
m
y
x
（m 为常数）的图象上有三点
1
2
3
4,
,
2,
, 1,
y
y
y
，则函数值
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系
为（
）
A．
2
1
3
y
y
y
B．
1
2
3
y
y
y
C．
3
2
1
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
48．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OC 、OA分别在x 轴和y 轴上，
15
OA
，点D 是边AB
上靠近点A 的三等分点，将
OAD
△
沿直线OD 折叠后得到
OA D
△
，若反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图象经
过A点，则k 的值为（
）
A．27
B．48
C．54
D．108
49．如图，在四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，
6
AC
，AB
CD
∥
，AC 平分
DAB
．设AB
x
，AD
y
，
则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
50．从2
，1
，3，6 四个数中任意取一个数作点P 的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P
12
的纵坐标，记为n，则点
,
P m n 落在反比例函数
6
y
x
图象上的概率是
．
51．如图，点A 在反比例函数
10
0
y
x
x
的图象上，AB
x
轴于点B，C 是点B 关于原点O 的对称点，
连接AC ，则
ABC
的面积为
．
52．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5 个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放
在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC
BC
，
分别落在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（如图所示），然后将
三角板向右平移a 个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A
B
，两点恰好都落在函数
6
y
x
的图
象上，则a 的值为
．
53．如图，点A 是反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上一点，过点A 作AC
x
轴，垂足为点C ，延长AC 至点
B ，使
2
BC
AC
，点D 是y 轴上任意一点，连接AD ，BD ，若
ABD
△
的面积是9，则k 的值是
．
54．如图，在
ABC
中，AB
AC
，点A 在反比例函数
(
0
0)
k
y
k
x
x
，
的图象上，点B
C
、
在x 轴上，
4
BC
OC
，若
ABC
的面积等于8，则k 的值为
．
13
55．如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的边AC
x
∥轴，边
∥
BC
y 轴，且点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
在反比例函
数
k
y
x
（k 为大于0 的常数，
0
x> ）的图象上．若
2
1
2 ,
x
x
ABC
△
的面积是2，则k 的值是
．
56．如图，点A，B 在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，分别过点A，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
线段AB 交x 轴于点E，连接AD
BC
，
．若DE
EO
OC
，四边形ADBC 的面积为9，则k 的值为
．
57．已知函数
1
k
y
x
，
2
0
k
y
k
x
，当1
3
x
时，函数
1y 的最大值为a ，函数
2y 的最小值为
4
a
，则a
的值为
．
58．如图，点A ，B 分别在函数
0
a
y
a
x
图像的两支上（A 在第一象限），连结AB 交x 轴于点C ．点D ，
E 在函数
0,
0
b
y
b
x
x
图像上，AE
x
轴，BD
y
∥
轴，连结DE ，BE ．若
2
AC
BC
，ABE
的面积
为12，四边形ABDE 的面积为15，则a
b
的值为
．
14
59．如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D，点B，D 都在函数
6 2
0
y
x
x
的图象上，BE
x
⊥轴于点E．若DC 的延长线交x 轴于点F，当矩形OABC 的面积为9 2 时，
EF
OF 的值为
，点F 的坐标为
．
