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1
第17 讲投影
课程标准
学习目标
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影
的概念。
1、认识生活中的投影现象,了解中心投影、平行投影和正投
影的概念和性质；
2、学生经历探索中心投影、平行投影和正投影的规律的过程,
培养学生的转化能力和分类归纳的数学思想；
经过操作、观察、想象、思考、交流等活动,探索中心投影、
平行投影和正投影；
的规律,发展学生的空间观念和推理能力．
知识点一：平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被
光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平
2
行投影.由此我们可得出这样两个结论：
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，
方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是
由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
.
知识点二：中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，
相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、
放映机的灯光等.
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向
也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
知识点三：正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图
(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情
形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
题型01 平行投影
1．下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
2．矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．线段
3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有记载：“今有竿不知其长，量得影长百寸，立一标杆，
长二十寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：现在有一根不知道长度的竹竿，（把它竖立在太阳下）测量
3
得它的影子长100 寸，同时竖立一根长度为20 寸的标杆，测量得它的影子长5 寸，则竹竿的长度是（
）
A．25 寸
B．40 寸
C．200 寸
D．400 寸
4．在阳光下，身高1.6 米的小明在地面上的影长为0.4 米，同一时刻旗杆的影长为3 米，则旗杆的高度为
米．
5．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知
12m
CD
，
18m
DE
，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻小明站在E 处，影长为2m ，小华站在平地上，影长为1m ，
则塔高AB 是
米．
6．【基础解答】如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．
m
6
AB
，某一时刻AB 在阳光下的投影
2m
BC
，DE 在阳光下的投影长为3m ．根据题中信息，求立柱DE 的长．
【拓展拔高】如图，古树AB 在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即
4m
BC
，还有一部分影子在建
筑物的墙上，墙上的影高CD 为1m ，同一时刻，竖直于地面上的1m 长的竹竿，影长为2m ，求这棵古树AB
的高．
4
题型02 中心投影
7．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的长，那么晚上在同一路灯下（
）
A．小刚的影子比小红长
B．小红的影子比小刚长
C．小刚和小红的影子一样长
D．无法确定
8．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，一块面积为
2
60 cm 的三角形硬纸板（记为
ABC
）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的
投影是
1
1
1
A B C
△
，若
1
2 3
OB BB
:
:
，则
1
1
1
A B C
△
的面积是（
）
A．
2
90 cm
B．
2
135 cm
C．
2
150 cm
D．
2
375 cm
10．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（
）
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
11．如图，在路灯下，AB 表示小明的身高，AC 表示他的影子，FG 表示小亮的身高，路灯灯泡在线段DE
上．
5
(1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子；
(2)如果小明的身高
1.6m
AB
，他的影子
1.4m
AC
，且他到路灯的距离
2.1m
AD
，求路灯的高．
12．如图，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明（用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一
棵大树，它的影子是MN ．
(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置
（用点P 表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；
(2)在图中画出表示大树高的线段；
(3)若小明的身高是1.8m ，他的影长
1 8m
EF .
．大树的高度为7.2m，它的影长
7.2m
MN
．且大树与小明
之间的距离
16.2m
ME
，求路灯的高度．
题型03 正投影
13．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（
）
A．一条线段
B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形
D．一个等腰梯形
14．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（
）
A．
B．
6
C．
D．
15．下列投影一定不会改变
ABC
的形状和大小的是（
）
A．中心投影
B．平行投影
C．当
ABC
平行于投影面时的正投影
D．当
ABC
平行于投影面时的中心投影
16．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图，一块含30角的直角三角形木板ABC ，将它的直角顶点C 放置于直线上，点A ，点B 在直线l 上
的正投影分别是点P ，点Q ，若
20
AB
，
6 3
BQ
，则AB 在直线l 上的正投影的长是（
）
A．10 3
B．8 3
C．6
8 3
D．8
8 3
18．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面ABCD 平行于投影面P ，圆柱下底面的中心正
对正方体上底面的中心，圆柱的高等于AB ，底面圆的直径为1
3 AB ，若
4cm
AB
．
7
(1)画出该立体图形在投影面P 上的正投影；
(2)计算正投影的面积．
题型04 视图视角和盲区
19．如图，在房子屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（
）
A．
ACE
△
B．
ADF
△
C．
ABD
△
D．四边形BCED
20．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（
）
A．增大盲区
B．减少盲区
C．改变光点
D．增加亮度
21．下列几项设计不是为了减少盲区的是（）
A．较大的会场设计成阶梯状
B．城市许多路口设计得都十分宽阔
C．城市设计了许多高层住宅
D．汽车上，司机前的玻璃窗面积设计的尽量大
22．如图1 为五角大楼的示意图，图2 是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两
个侧面，则小红应站的区域是（
）
A．A 区域
B．B 区域
C．C 区域
D．三区域都可以
23．如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P 处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现(
)
8
A．M，R，S，F
B．N，S，E，F
C．M，F，S，R
D．E，S，F，M
24．如图，一墙墩（用线段��表示）的影子是BC ，小明（用线段��表示）的影子是EF ，在M 处有一颗
大树，它的影子是MN ．
1 试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点P 表示）．如果是太阳光请画出光线．
2 在图中画出表示大树高的线段．
(3)若小明的眼睛近似地看成是点D ，试画图分析小明能否看见大树．
25．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点P 处始终以一定角度向被监视的液面
发射一束细光，光束在液面1l 的
1
O 处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点
1S ，光电
转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至2l 时，入射点就沿着入射光线的方向平
移至
2
O 处，反射光线也跟着向左平移至
2S 处，
1
1
O S 交2l 于点Q ，在
1
O 处的法线交2l 于点
2
,
N O 处的法线为
2
O M ．若
1
2
5.2cm
S S
，
45
，则液面从1l 上升至2l 的高度为（
）
9
A．5.2cm
B．2.6cm
C．13
3cm
5
D．13
2cm
5
26．如图，在直角坐标系中，点
2 2
P
，
是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为
01，、
31，．则木杆AB
在x 轴上的投影长为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
27．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB 和一根高7 米的电线杆CD ，它们都与
地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF 的长为10 米，落在围墙上的影子EF 的
长度为2 米，而电线杆落在地面上的影子DH 的长为5 米，则落在围墙上的影子GH 的长为
米．
28．某学校旁有一根电线杆AB 和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影
子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知
5
BC
米，长方形广告牌的长
4
HF
米，高
3
HC
米，
4
DE
米，则电线杆AB 的高度是
米．
29．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A 处安装了360 度旋转摄像头，
由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
10
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB 上重新设计摄像头安装的位置，画
出示意图，并说明理由．
30．如图，王琳同学在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他行到P 处时发现，他在路灯B 下的影长为2 米，且恰
好位于路灯A 的正下方，接着他又走了6.5 米到Q 处，此时他在路灯A 下的影子恰好位于路灯B 的正下方（已
知王琳身高1.8米，路灯B 高9米）
(1)标出王琳站在P 处在路灯B 下的影子；
(2)计算王琳站在Q 处在路灯A 下的影长；
(3)计算路灯A 的高度．
31．综合与实践．
现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关
数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱AB ，在灯柱AB
上有一盏路灯P，在路灯下，人站在点D 和点G 的位置都有影子，B、D、G 三点在同一水平线上．根据
上述内容，解答下列问题：
11
(1)已知人站在点D 时路灯下的影子为DE，请画出路灯P 及人站在点G 时路灯下的影子GH ；
(2)如图，若身高为1.7 米的小明站在点D 影长DE 为3m ，沿BD 方向走5m 到点G，
5m
DG
，此时影
长GH 为4m ，求路灯P 到地面的高度PB；
32．如图，点P 的对面是一面东西走向的墙，某人在点P 观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6
米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD 位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
33．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB ，文化长廊上伫立着三座名人塑像
,
,
CD EF GH ，点A，D，F，H，B 在同一条直线上，且．AD
DF
FH
HB
．在明德楼的楼顶有一照明
灯P，塑像CD 的影子为DM ，塑像EF 的影子为FN ．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．
32
AB
米，塑像的高
3
CD
EF
GH
米，塑像CD 的影长
2
DM
米．
(1)求明德楼的高PA ；
12
(2)求塑像EF 的影长FN ．
34．操作与研究∶如图，
ABC
被平行于CD 的光线照射，CD
AB
于D ，AB 在投影面上．
(1)指出图中AC 的投影是什么，CD 与BC 的投影呢？
(2)探究∶如图1，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，我们可以利用
ABC
与ACD
相似证明
2
AC
AD AB
，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形ABCD 的边长为15，点O是对角线
,
AC BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作
CF
BE
，垂足为F ，连接OF ，
①试利用射影定理证明BOF
BED
∽
；
②若
2
DE
CE
，求OF 的长．
35．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M，N，P 分别为AD，BC，CD 的中点．现从点P 观察线段AB，
当长度为1 的线段l(图中的黑粗线)以每秒1 个单位长的速度沿线段MN 从左向右运动时，l 将阻挡部分观察
视线，在△PAB 区域内形成盲区．设l 的右端点运动到M 点的时刻为0，用t(秒)表示l 的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l 位于不同位置的情形分别画出在△PAB 内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB 内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t 表示y 的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4．
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y 随t 变化而变化的情况．
36．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
13
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF 恰好等于自己的身高DE ．此时，小组同学测得旗
杆AB 的影长BC 为11.3m ，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E 点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小
李的眼睛距地面高度
1.5m
DE
，小李到镜面距离
2m
EC
，镜面到旗杆的距离
16m
CB
．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3 的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N 两点始终处于同一水平
线上．
如图5，在支架上端P 处，用细线系小重物Q，标高线PQ 始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E 点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B 处于同一水平线的D，G 两点，并标
记观测视线DA 与标高线交点C，测得标高
1.8m
CG
，
1.5m
DG
．将观测点D 后移24m 到D¢处，采用同
样方法，测得
1.2m
C G
，
2m
D G
．求雕塑高度（结果精确到1m ）．
