文档文本内容
1
第11 讲成比例线段
课程标准
学习目标
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的
线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分
割．
1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率；
2、体会一些复杂的随机事件发生的概率．
知识点一：比例线段
在四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a
c
b
d
，那么这四条线段a，b，c，d 叫做
成比例线段，简称比例线段．
2
知识点二：比例的基本性质
(1)基本性质：a
c
b
d
⇔ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：a
c
b
d
⇔a
b
b
＝c
d
d
；（b、d≠0）(3)等比性质：a
c
b
d
＝…＝m
n
＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
...
...
a
c
m
b
d
n
＝.（b、d、···、n≠0）
知识点三：黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果AC
AB＝= 5－1
2
≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点
C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
题型01
比例的性质
1．如果
2
3
x
y
，则下列各式不成立的是（
）
A．
1
3
1
4
x
y
B．
5
3
x
y
y
C．
1
3
y
x
y
D．
1
2
3
x
y
2．若4
3
a
b
，则a
b 的值是（
）
A．3
4
B．4
3
C．12
D．1
12
3．已知
1
2
a
c
e
b
d
f
，则
3
2
3
2
a
c
e
b
d
f
（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
4．如果
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
，且
3
a
c
e
b
d
f
，那么k 的值是（
）
A．2
B．3
C．1
3
D．1
2
5．如果
:
10:15
a b
，且b 是a 和c 的比例中项，那么:
b c 等于（
）
A．4:3
B．3: 2
C．2:3
D．3: 4
6．若
0
2
3
4
x
y
z
，则
2
x
y
z
y
．
3
7．已知
0
2
3
4
a
b
c
，且
2
a
b
c
，则
a
．
8．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的
概率是3
8 ，则x
y 的值为
．
9．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2 的桔槔模型中，设支点O 离物体A
的桔槔端点距离为1l ，离物体B 的桔槔端点距离为2l ，若1
2
:
3:1
l
l
，且物体A 的质量为3kg ，则能汲起水
的质量B 为
kg ．
10．已知三条线段a ，b ，c 满足3
2
4
a
b
c
，且
18
a
b
c
.
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值.
题型02
比例线段
11．一种精密零件长2 毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（
）
A．1:500
B．500:1
C．1:50
D．50:1
12．比例尺为1: 2000的地图上，A
B
，两地间的图上距离为2cm ，则两地间的实际距离是（
）
A．10m
B．20m
C．40m
D．4000m
13．小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4 毫米、宽2 毫米的零件画在一张
3
A 纸（42cm 29.7cm
）
上，适合的比例尺是（
）
A．
80
1∶
B．
1
80∶
C．1800
∶
D．
1
800∶
14．如图，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，
那么
:
AP AB 等于（
）
4
A．1:
2
B．1: 3
C．
2 :
3
D．2:3
15．若在比例尺为1:10000 的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是
千米．
16．在比例尺为1:800000 的地图上，量得甲乙两地的距离约为2.5cm，则甲乙两地的实际距离约为
km ．
17．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰
路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图
上比例尺由11000
∶
变为1500
∶
时，则地图上两个校区的路程增加了
cm ．
题型03
成比例线段
18．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
3
a
，
2
b
，
6
c ，则d 的值是（
）
A．6
B．4
C．8
D．10
19．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（
）
A．
3
6
2
4
a
b
c
d
，
，
，
B．
1,
2,
6,
3
a
b
c
d
C．
4
6
5
10
a
b
c
d
，
，
，
D．
2,
5,
15,
2 3
a
b
c
d
20．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
3
a
，
2
b
，
6
c ，则d 的值是
．
21．已知线段
4cm
a
，线段
9cm
b
，线段c 是线段a、b 的比例中项，则c
cm ．
22．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的
学习过程，图中横线上应填写的数值是
．
23．ABC
与DEF
在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1．
5
(1)求AB
DE ，BC
EF ，AC
DF 的值；
(2)求ABC
的周长与DEF
的周长的比；
(3)在AB ，BC ，AC ，DE ，EF ，DF 这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．
题型04
黄金分割
24．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20 米，主持
人从舞台一侧B 进入，设她至少走x 米时倍好站在舞台的黄金分割点上（BP 的长为x 米），则x 满足的方程
是（
）
A．
2
(20
)
20
x
x
B．
2
20(20
)
x
x
C．
2
(20
)
20
x
x
D．
2
20
20
x
x
25．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点
(
)
AP
PB
，则下列结论中正确的是（
）
①
2
2
2
AB
AP
BP
；②
2
BP
AP BA
；③
5
1
2
AP
BP
；④
5
1
2
BP
AP
．
A．1个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
26．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
5
1
2
AC
AB
，则称线段AB 被点C 黄金分割，
点C 叫做线段AB 的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB 上另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD
和BD ，若
5
1
2
BD
AB
，则称点D 是线段AB 的黄金“左割”点，若
2
AB
，则CD （
）
A．5
1
B．
5
2
C．2 5
4
D．5
2 5
27．20 世纪70 年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，
利用黄金分割法，所作EF 将矩形窗框ABCD分为上下两部分，BE
AE
．已知AB 为2 米，则线段BE 的长
6
为
米．
28．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(
)
AP
PB
，如果
2cm
AP
，那么线段AB
cm ．
29．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10 米舞台
PQ 的左边端点P 处，那她要站在最佳位置处时至少要走
米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到
小数点后1 位）．
30．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点
（AP
PB
），如果AB 的长度为10cm，那么AP 的长度为
cm ．（结果保留根号）
31．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，
兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为
5
1
2
，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离
约为1
3 m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为
m．
32．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP
PB
．若
4
AB
，则AP
．（结果保留根
号）
33．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上
7
有一根弦
90 cm
AB
，支撑点C 是靠近点A 的一个黄金分割点，则BC
cm ．（结果保留根号）
34．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C 将线段AB 分成
两部分（AC
BC
），若AC
BC
AB
AC
，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，在ABC
中，点D 是边BC
的黄金分割点（BD
CD
），且
B
BAD
．若
2
AD
，则BC 的长为
．
35．某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB 与从轮子
底部到拉杆顶部的高度CD 之比满足黄金分割（即
5
1
2
AB
CD
），已知
25
5
1 cm
CD
，则AB 的长为
cm．
36．如果
3
4
0
x
y y
，那么下列比例式中成立的是（
）
A．4
3
x
y
B．3
4
x
y
C．
3
4
x
y
D．
4
3
x
y
37．在20 世纪70 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，
取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF 将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E 为边AB 的
黄金分割点，即
2
BE
AE AB
．已知AB 为2 米，则线段BE 的长为（
）．
8
A．
5
1
2
米
B．
5
1
米
C．
5
1
2
米
D．
5
2
2
米
38．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形ABCD是黄金矩形（AB
BC
），点E、
F 分别在边AD 、BC 上，将矩形沿直线EF 折叠，使点B 的对应点B落在CD 边上，点A 的对应点为A，
过点E 作EG
BC
于点G，当矩形ABGE 也是黄金矩形（AE
AB
）时，则BF
BC （
）
A．3
5
2
-
B．
5
1
2
C．3
5
D．5
2 5
二、填空题
39．已知三个数1、2、5 ，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是
．（只
填一个）
40．点P 是线段AB 上的一点，如果
2
AP
BP AB
，
5
1
BP
，那么AP
．
41．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中
6
a
，
3
b
，
2
c
，则d 的值是
.
42．如果
3
1
2
2
3
4
x
y
z
，且
18
x
y
z
，则2x
y
z
的值为
．
43．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC 取中点O，以O
为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF ，
若
4
CE
，则AB
．
9
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设AB
x
，根据正方形的性质可得
AB
BC
x，则
4
BE
x
，然后根据黄金矩形的定义可得
5
1
2
AB
BE
，从而可得
5
1
4
2
x
x
，最后进行计算即可解答，
熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
44．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多
边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4 个结论：①
36
A
，②
5
1
2
PB
PE
，③
3
5
2
PA
AD
，④
3
5
2
PT
PA
．
请填写你认为正确的结论序号：
．
三、解答题
45．如图，我们知道，如果点P 是线段AB 上的一点，将线段分割成AP
BP
，
两条线段
AP
BP
，且满足
:
:
BP AP
AP AB
，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP 与AB 的比值或线段BP 与AP 的比值叫做
黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a
b
c
d
，，，
的四条线段，如果
:
:
a b
c d
，则ad
bc
．求
黄金分割数（结果保留根号）．
46．已知a，b，c，d 为四个不为0 的数．
(1)如果
3
a
b
，求a
b
b
与a
b
a
b
的值；
(2)如果
,
a
c a
b c
d
b
d
，求证
a
c
b
a
d
c
；
10
(3)如果a
c
a
b
d
b
，求证a
c
b
d
．
47．（1）我们把邻边之比为
5
1
2
的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形ABCD，请用无刻度直尺和圆
规作出黄金矩形ABPQ ，使得点P 、Q 分别在线段BC 、AD 上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若以AQ 为边作正方形AMNQ ，使得点M 、N 分别在线段AB 、PQ 上，则矩形MBPN
是黄金矩形吗？为什么？
48．已知a，b，c，d，e，f 六个数，如果
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
，那么a
c
e
k
b
d
f
．
理由如下：
∵
0
a
c
e
k b
d
f
b
d
f
∴a
bk
，c
dk
，e
fk
（第一步）
∴
k b
d
f
a
c
e
bk
dk
fk
k
b
d
f
b
d
f
b
d
f
（第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，
k b
d
f
k
b
d
f
应用了______的基
本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果2
2
5
6
7
a
b
c
，则2
18
a
b
c
______；
②已知
0
3
4
5
x
y
z
，求
2
3
x
y
z
x
y
z
的值．
49．如图，以长为2 的线段AB 为边作正方形ABCD，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，
使PF
PD
．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．
11
(1)求线段AM 、DM 的长；
(2)求证：
2
AM
AD DM
；
(3)请指出图中的黄金分割点．
50．【背景知识】
宽与长的比等于
5
1
2
的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，
为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为30 米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图1 的方法折出一个正方形MNCB ，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并将AB 折到图3 所示的AD 处；
第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DF ，得到矩形BCDF （如图4）．
【问题思考】
（2）若MN 的长为2，请证明：矩形BCDF 是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图3 中的折痕AQ 为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
12
