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18.2.3正方形
正方形的定义和性质
正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中
心.
5.面积为边长的平方或对角线平方的一半.
注意：
①既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为
特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
②正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等
腰直角三角形.
特殊四边形定义间的关系：题型1：正方形的定义和性质
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．
正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．
故选：B．
【变式1-1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中
平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形
中，矩形四边不相等，错误．
【解答】解：A、菱形对角不互补，故本选项错误；
B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-2】下列说法错误的是（ ）
A．正方形是特殊的菱形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．正方形是特殊的矩形
D．矩形是特殊的菱形
【分析】根据正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和
性质判断即可．
【解答】解：A、正方形是特殊的菱形，正确，不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，正确，不符合题意；
C、正方形是特殊的矩形，正确，不符合题意；D、矩形是特殊的平行四边形，错误，符合题意．
故选：D．
题型2：正方形的性质与求角度
2.如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB＝AE，从而可求得∠BAE
的度数，即可求解．
【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知 AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，
∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故选：C
【变式2-1】如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，
连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 6 0 度．
【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度
数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
【变式2-2】．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE．并延长CE交
AD于点F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得∠AEB＝∠CEB＝70°，由三角形的外
角性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°
题型3：正方形的性质与求线段
3.如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延
长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（ ）A．3 B． C．2 D．4
【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝
1，根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：∵ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE＝CF＝1
∵E是AB中点
∴AB＝BC＝2
∴BF＝3
在Rt△BEF中，EF＝ ＝
故选：B
【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，
EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 4 ﹣ 2 ．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出
∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根
据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后
根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4 ，
∴BE＝BD﹣DE＝4 ﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝ BE＝ ×（4 ﹣4）＝4﹣2 ．
故答案为：4﹣2
【变式3-2】正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝
45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，
由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用
SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝
CF+AE；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的
长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝
8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x
的值，即为EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，
∵ ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
题型4：正方形的性质与求面积/周长
4.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF
相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG
的周长为（ ）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
【分析】根据阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的
面积为 6，空白部分的面积为 3，进而依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出
BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝ ，即BG+CG＝ ，
∴△BCG的周长＝ +3，
故选：D
【变式4-1】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形
EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC＝CD＝ ＝1，∠BCD＝90°，CE＝CF
＝ ，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可
得出正方形EFGH的周长．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC＝CD＝ ＝1，∠BCD＝90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE＝ BC＝ ，CF＝ CD＝ ，∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝ CE＝ ，
∴正方形EFGH的周长＝4EF＝4× ＝2 ；
故选：B．
【变式4-2】如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图
中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．4
【分析】设正方形边长为a，由△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，
进而求出边长a．
【解答】解：设正方形边长为a，
由题意可知，AO＝OC，
∠FAO＝∠OCE，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴知阴影面积等于△DOC的面积，
∴ × a2＝1，
a＝2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故选：C．
题型5：正方形旋转对称性的应用
5.边长为10cm的正方形ABCD绕对角线的交点O旋转到得到正方形OA′B′C′，
如图所示，则阴影部分面积为（ ）A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2
【分析】根据题意可得：无论正方形ABCD，OA′B′C′位置关系如何，其重合的
部分的面积总是等于正方形ABCD面积的 ，从而可求得其面积．
【解答】解：根据题意分析可得：无论正方形ABCD，OA′B′C′位置关系如何，
因其EO⊥FO，所以其重合的部分的面积不变，总是等于正方形ABCD面积的 ；
故其面积为 ＝25cm2，
故选：D．
【变式5-1】如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、
D分别是正方形对角线的交点、如果有 n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积
的总和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个正
方形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，由此便可求解．
【解答】解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，
即 ×1×1＝ ，
当有三个正方形时，其面积为 + ＝ ，
当有四个时，其面积为 + + ＝ ，
所以当n个正方形时，其面积为 ．
故选：A
题型6：正方形与探究数量关系
6.如图，点M为正方形ABCD的边AB（或BA）延长线上任意一点，MN⊥DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系？并加以证明．
【分析】结论：DM＝MN．延长 AD 使得 DH＝BM，连接 HM．只要证明
△DHM≌△MBN即可解决问题．
【解答】结论：DM＝MN．
证明：延长AD使得DH＝BM，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴AH＝AM，∠H＝∠AMH＝45°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE＝90°，
∴∠NBM＝∠H＝45°，
∵∠NME+∠AMD＝90°，∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠NME，
∴∠HDM＝∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM＝MN．
【变式6-1】如图，四边形ABCD是正方形，G是直线BC上的任意一点，DE⊥直线AG
于点E．BF⊥直线AG于点F．
（1）如图1，若点G在线段BC上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理
由．
（2）若点G在CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．（3）若点G在BC延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．
【分析】（1）证明△BAF≌△ADE即可．
（2）（3）两问的原理与（1）一样，都是证明△BAF≌△ADE即可．
【解答】解：（1）如图1，AF＝EF+BF．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中：
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF＝AE+EF＝BF+EF．
（2）如图3，AF+BF＝EF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中：
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴AE＝BF，
∴EF＝AE+AF＝BF+AF．
（3）如图2，AF+EF＝BF．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中：
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF+EF＝AE＝BF．【变式6-2】
题型7：正方形性质综合应用
7.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．
【分析】先证∠BCG＝∠DCE，再证明△BCG≌△DCE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中， ，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
【变式7-1】如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝
45°．
（1）求证：MN＝BM+DN；（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．
【分析】（1）延长 CB 到 G，使 BG＝DN，证△ABG≌△ADN，再证明
△AMG≌△AMN，则MN＝BM+BG＝BM+DN即可；
（2）根据题意得出S△CMN ＝S正方形ABCD ﹣2S△AMN ，求出正方形的面积和三角形AMN
的面积即可．
【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝DN，
在△ADN和△ABG中，
，
∴△ADN≌△ABG（SAS），
∴AN＝AG，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAB+∠NAD＝∠MAB+∠BAG＝45°，
在△MAN和△MAG中，
，
∴△MAN≌△MAG（SAS），
∴MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN；
（2）由（1）得， ，
∵S△AMN ＝S△ABM +S△ABG ，∴S△AMN ＝S△ABM +S△ADN ＝15，
∴S△CMN ＝S正方形ABCD ﹣2S△AMN ＝36﹣30＝6．
【变式7-2】如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线
CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那
么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理
由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形
DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定
△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；
（2）成立，延长 BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用 ASA判定
△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；
（3）存在，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，证明
△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四
边形DMEF为平行四边形．
【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（3）存在，
理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM＝AE，
由（1）AE＝EF，
∴DM＝EF，
∴四边形DMEF为平行四边形
正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个
角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或
对角线互相垂直（即菱形）.
顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
题型8：正方形的判定（条件选择）
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，
②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻
边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加AC⊥BD或AB＝BC或∠ACB＝45°，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
【变式8-1】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱
形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正
确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误，
故选：A．
【变式8-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC
＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方
形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析
得出即可．
【解答】解：A、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由∠ABC＝90°
得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由 AC＝BD得对角线相等的
平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的
平行四边形是菱形，所以能得出平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由AC⊥BD得对角线互相垂
直的平行四边形是菱形，
所以不能得到平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
题型9：正方形的判定（基础证明）
9.已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是两锐角角平分线的交点，
ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形
EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．
【解答】证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．
【变式9-1】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且
∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
【解析】根据矩形的性质可得∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据等边三角形的性质可得AE
＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，从而可得∠CFE＝∠CEF＝45°，根据AAS可证
△AEB≌△AFD，可得AB=AD，根据一组邻边相等的矩形是正方形即证.
【变式9-2】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD
上（点F与点C、D不重合）， BE⊥EF ，且 ∠ABE+∠CEF=45° .求证：四
边形ABCD是正方形.
【答案】证明：如图，作 EM⊥BC 于点M，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB⊥BC ，∴EM//AB ，
∴∠ABE=∠BEM ， ∠BAC=∠CEM ，∠ABC=90°
∵∠ABE+∠CEF=45° ，∴∠BEM+∠CEF=45° ，
∵BE⊥EF ，∴∠CEM=45°=∠BAC ，
∴∠BAC=∠ACB=45° ，∴AB=BC
∴矩形 ABCD 是正方形.
【解析】 作 EM⊥BC 于点M， 先由矩形的性质得到 ，由
得到 ， 进而得到
，由等角对等边得到 ，即可证明.
题型10：正方形的判定与性质综合
10.有如下一道作业题：
如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，
DF.
求证：△BCE≌△DCF.
（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC.
①求证：∠BFC＝45°.
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）.求证：BF＝CP+DF.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
在△BCE与△DCF中，
{
CB=CD
∠BCE=∠DCF
CE=CF
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：①由正方形性质可知，∠BCN=∠DCM=90°，
在△BCN和△DCM中，
{
BC=DC
∠BCN=∠DCM
CN=CM
∴△BCN≌△DCM（SAS），
∴∠CBN=∠CDM，
如图，作CG⊥CF交BF于G点，则∠GCF=90°，
∴∠BCG=∠DCF，
在△BCG和△DCF中，
{∠CBG=∠CDF
BC=DC
∠BCG=∠DCF
∴△BCG≌△DCF（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG为等腰直角三角形，∴∠BFC=45°；
②如图所示，作CQ⊥CF交BF于Q点，
由①可知，△BCQ≌△DCF，
∴BQ=DF，
且由①证明可知，△CQF为等腰直角三角形，
∵FP由FC绕F点旋转90°得到，
∴△CFP为等腰直角三角形，
∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°，
∴四边形CQFP为平行四边形，
∴CP=QF，
∵BF= QF +BQ，
∴BF=CP+DF.
【解析】（1）由正方形的性质可知CB=CD，∠BCD=90°，再根据题意推出
∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，从而利用“SAS”证明全等即可；
（2）①根据题意可先证明△BCN≌△DCM，从而推出∠CBN=∠CDM，然后作
CG⊥CF交BF于G点，再证明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG为等腰直角三角形，
从而得出结论；
②作CQ⊥CF交BF于Q点，结合①的结论，可得BQ=DF，然后结合题意证明四边
形CQFP为平行四边形，即可得到CP=QF，从而证得结论.
【变式10-1】综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为E，
GF⊥CD，垂足为F．
（1）（证明与推断）①四边形CEGF的形状是 ；
AG
② 的值为 ；
BE
（2）（探究与证明）
在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°<α><45°），
如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）（拓展与运用）
如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，当B、E、F三点共线
时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）正方形；√2
（2）解：AG=√2BE，理由如下：
如图所示，连接CG．
由旋转可得∠BCE=∠AGG=α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
AC
∴ =√2，
BC
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
CG
∴ =√2，
CE
AC CG
∴ = =√2，
BC EC
∴△ACG∽△BCE，
AG CG
∴ = =√2．
BE EC
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=√2BE．
（3）解：AG⊥GE，理由如下∶如图所示，连接CG，
∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC= ∠BEC=135°．
∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE=∠AGF-∠EGF=180°-90°=90°，
∴AG⊥GE．
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠B=90°,∠BCA=45°．
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四边形CEGF是矩形．
∵∠CGE=∠BCA=45°，
∴CE=GE，
∴四边形CEGF是正方形．
故答案为：正方形
②∵∠B=∠CEG=90°，
∴GE∥AB，
AG CG
∴ = ．
BE CE
∵四边形CEGF是正方形，
∴CE=GE，
∴由勾股定理得：CG=√CE2+GE2=√2CE．
AG CG √2CE
∴ = = =√2．
BE CE CE
故答案为：√2
【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的延长线上一点，连接DE，且∠EDC＝30°，以DE为斜边作等腰Rt△DEF，直角边EF的延长线交BD于点M，
连接AF．
（1）请直接写出∠ADF＝ 度；
（2）求证：△DAF∽△DBE；
EM
（3）请直接写出 的值．
BE
【答案】（1）75
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
1
∴∠DAB=90°，AB=AD，∠ADB= ∠ADC=45°，
2
∴△ADB是等腰直角三角形，
AD √2
∴ = ，
BD 2
∵△DEF是等腰直角三角形，
FD √2
∴ = ,
ED 2
FD AD
∴ = ，
ED BD
∵∠ADB=∠EDF=45°，
∴∠ADB+∠BDF=∠EDF+∠BDF，
∴∠ADF=∠BDE=75°，
∴△DAF∽△DBE；
√6
（3）
3
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDC＝30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠EDC=120°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，∴∠ADF=∠ADE-∠EDF=75°，
故答案为：75°；
（3）设CE=m，
在Rt△DCE中，∵∠EDC=30°，
∴DE=2m，CD=√DE2-CE2=√3m，
∴BC=CD=√3m，
∴BE=BC+EC=(√3+1)m ，
∴在等腰直角三角形DEF中，DF=EF=DE·sin∠DCE=√2m，
∵∠BDE=75°，∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠BDE-∠EDF=30°，
√6
∴在Rt△DFM中，MF=DF·tan∠MDF=√2m·tan30°= m，
3
√6 √6
∴ME=MF+EF=√2m+ m= (√3+1)m，
3 3
EM √6 √6
∴ = (√3+1)÷(√3+1)m= ．
BE 3 3
