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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
学习目标：1.会用描点法画出y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
重点：掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题.
难点：理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
自主学习
一、知识链接
1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.
(1)y=ax2； (2)y=ax2+k； (3)y=a(x－h)2.
2.请说出抛物线y=－2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
3.把y=－2x2的图象向上平移3个单位长度得到？向左平移2个单位长度得到？
4.请猜测一下，二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2的图象平移得到？你认
为该如何平移呢？学完本课时你就会明白.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
典例精析
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
试一试 画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，
y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，
y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
例2 对于二次函数y＝-2(x+1)2-4，下列说法正确的是( )
A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1
C．图象的顶点坐标为(1，4) D．当x＜-1时，y随x的增大而增大
例3 已知抛物线y＝a(x-3)2+2经过点(1，-2)．
（1）指出抛物线的对称轴；
（2）求a的值；
（3）若点A(m，y)、B(n，y)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y 与y 的大小．
1 2 1 2
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系
例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？
知识要点：二次函数y=ax2与y=a(x±h)2±k的关系
上下平移，常数项上加下减，其他不变；左右平移，自变量左加右减，其他不变.二次
项系数a不变.
例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解
析式为（ ）
A．y=2(x-4)2-1 B．y=2(x+4)2+1 C．y=2(x-4)2+1 D．y=2(x+4)2-1
变式训练
将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的
解析式为（ ）
A．y＝5(x+2)2+3 B．y＝5(x-4)2﹣1 C．y＝5(x-4)2+3 D．y＝5(x-3)2+4
例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋k的大致图象是(
)
例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?
三、课堂小结
当a>0，开口向上；当a<0，开口向下.
图象特点
对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k).
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)
的图象和性质
左右平移：自变量左加右减；
平移规律
上下平移：常数项上加下减.
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2的形状相同，位置不同.
当堂检测
1.完成下列表格.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
2.抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式
为 .
3.抛物线 y = 2x2 不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此
抛物线的解析式为__________________．
4.已知函数y＝-(x-4)2-1.
(1)指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为
；
(2)当x 时，y随x的增大而减小；
(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1.
5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1) 求a的值；(2) 若A(m，y)、B(m＋n，y)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y ＝y 时，求m、n之间的
1 2 1 2
数量关系．
参考答案
自主学习
知识链接
1.(1)对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小
值为0），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的
开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增
大而减小.
（2）对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最
小值为k），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为k），当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小.
(3) 对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即
最小值为0），当xh时，y随x增大而增大.
当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当xh时，y随x增大而减小.
2.开口方向向上；顶点坐标是( 0，0)；对称轴是直线 x = 0；y最大值= 0
3.把y=-2x2的图象向上平移3个单位,得到y=－2x2+3的图象，把y=-2x2的图象向左平移2个
单位,得到y=－2(x+2)2的图象.
4.可以，将y=-2x2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位（或向左平移2个单位，
再向上平移3个单位）.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
典例精析
例1 列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
-3 -1 -3
y= (x+1)2-1
描点、连线如图①所示，
开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).图① 图②
试一试
解：函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-
2).
例2 D
例3 解：（1）由y＝a(x-3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3.
（2）∵抛物线y＝a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2＝a（1-3）2+2，∴a＝-1.
（3）∵y＝-(x-3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞
3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y)，(n，y)(m＜n＜3)都在该抛物线上，∴y＜y．
1 2 1 2
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
例4 解：方法一：抛物线 向下平移1个单位，再向左平移1个单位；
方法二：抛物线 向左平移1个单位，再向下平移1个单位；
例5 B 变式 C 例6 A
例7 解：如图建立直角坐标系，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应
的函数是y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得a= .
因此抛物线的解析式为y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3).当x=0时，y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
当堂检测
1.填表如下：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=-3 (-3，5)
向下 直线x=1 (1，-2)
向上 直线x=3 (3，7)
向下 直线x=2 (2，-6)
2. 3.
4.(1)向下 直线x=4 (4，-1) (2)＞4
（3）解：将抛物线y＝-x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛
物线y＝-(x-4)2-1．
5.解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y ＝(m－1)2－4，y ＝(m＋n－1)2－4，∵y ＝y ，∴(m－1)2－4＝
1 2 1 2
(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝
2；
方法二：∵抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
则当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于对称轴对称
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
