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专题 22.2 二次函数 y=ax ²、y=ax ²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k 的图
象和性质之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】......................................................................................................1
【考点二 二次函数y=ax2+k的图象和性质】..................................................................................................5
【考点三 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】..............................................................................................8
【考点四 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】........................................................................................10
【过关检测】...................................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】
例题：（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）下列是关于二次函数 的图像表述：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的开口向下；
③抛物线的顶点是 ；
④抛物线关于 轴对称；⑤抛物线在 轴左侧部分自左向右呈下降趋势；
⑥抛物线在 轴右侧部分自左向右呈下降趋势；其中正确的（ ）
A．①③④ B．②③④⑤ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质对各项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为： ，
∴开口方向向下，顶点坐标为 ，抛物线关于 轴对称，抛物线在 轴右侧部分自左向右呈下降趋势，抛物线在 轴左侧部分自左向右呈上升趋势，
故②③④⑥正确．
故选 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握数形结合是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）已知点 在二次函 图象上，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．8
【答案】D
【分析】把 代入 ，即可求出m的值．
【详解】解：∵点 在二次函数 图象上，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入 求出m值是解题的关键．
2．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当 时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当 时，y有最小值时0
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可
以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A错误；
∵ ，
∴对称轴为y轴，
当 时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是 ，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴当 时，有最大值0，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键．
3．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）关于四个函数 ， ， ， 的共同点，
下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是 轴 D． 随 增大而增大
【答案】C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数
有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
【详解】解：A．函数 与 的开口向下，函数 与 开口向上， 故此选项不符合
题意；
B．函数 与 的开口向下，有最高点；函数 与 开口向上，有最低点， 故此选
项不符合题意；
C．函数 ， ， ， 的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数 与 ，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小；函数
与 ，当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数 的图象性质是解题的关键．
4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知y＝ 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增
大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应
的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当 时， ，当x＝4时， ，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出
解集．
【详解】解：（1）由 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：当 时， ，
当x＝4时， ，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时， ，
∴当 时， ；
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关
键
【考点二 二次函数y=ax2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数 的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数 的性质，熟记二次函数 的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对
称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关
键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交
点以及顶点的坐标．
2．（2022春·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
， ， ．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案】（1）抛物线 ， 与 开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是
（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线 ），顶点坐标为（0，
c）．
【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函
数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．
（2）由（1）的规律可得抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【详解】解：（1）列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
描点、连线，可得抛物线 ．
将 的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到 与 的图象（如图所示）．抛物线 ， 与 开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、
（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线 的开口向上，对称轴是y轴（或直线 ），顶点坐标为（0，c）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．
【考点三 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，
【详解】对于二次函数 ， ，则开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
故A，B选项错误，D选项正确，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时， 随 的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当 时，随x的增大而减小 D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可直接得出该二次函数图象开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为
，从而可判断A，B，D；再由该二次函数图象开口向下，对称轴是直线 ，得出当
时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大减小，可判断C．
【详解】∵ ，
∴该二次函数图象开口向下，故A错误，不符合题意；
由二次函数解析式可直接得出其对称轴是直线 ，故B错误，不符合题意；
∵该二次函数图象开口向下，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大减小，故C错误，不符合题意；
由二次函数解析式可直接得出其顶点坐标为 ，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数 的图象的对称轴为直
线 ，顶点坐标为 ，当 时，图象开口向上，当 时，图象开口向下是解题关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数 的图象不经过第________象限．
【答案】三、四
【分析】先求出顶点坐标，再根据开口方向判断不经过的象限．
【详解】解：∵二次函数顶点 ，开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
【点睛】本题考查二次函数的性质，数形结合掌握二次函数的性质是解题关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知函数 ， 和 ．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图
象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解： 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）解： 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单
位；
（4）解： 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，
当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【考点四 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于 的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当 时， 有最大值 D．当 时， 随 增大而减小
【答案】B
【分析】对于 ，其顶点坐标为 ，对称轴为 ，当 时， 随 的增大而
增大，根据性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线 ，
所以抛物线的顶点坐标为： ，对称轴为： ，
，图象开口向上，当 时， 有最小值为 ，
当 时， 随 的增大而增大，
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线 的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线 的性
质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点
C．当 时，y取得最小值，且最小值为6 D．当 时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D【分析】对于二次函数 (a，h，k为常数， )，当 时，抛物线开口向上，在对称轴
的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当 时，抛物线
开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．
其顶点坐标是 ，对称轴为直线 ．根据二次函数 的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线 ，故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为 ，
∴当 时，函数取得最大值 ，故选项C错误，不符合题意；
又∵抛物线的图象开口向下，
∴图象与x轴有2个交点，
故选项B错误，不符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数 的性质是解答本题的关键．
2．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）关于二次函数 ，下列说
法正确的是_______．（写序号）
①最大值为 ；②对称轴为直线 ；③最大值为 ；④最小值为 ．
【答案】 /
【分析】②通过④二④次②函数的图象及其性质：开口方向，对称轴，最值问题即可解决．
【详解】由 ，
∵ ；
∴二次函数开口方向向上，有最小值 ，故④正确；
由二次函数 可知，顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，故②正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最值，解此题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
3．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知函数 ．
(1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
(2)当x____________时，y随x的增大而减小．
(3)怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
【答案】(1)向下，直线
(2)
(3)把抛物线 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数 .
【分析】（1）根据 确定函数的开口方向，结合顶点式确定函数的对称轴，顶点坐标，可得答案；
（2）结合开口方向与函数图象，可得对称轴的右侧的函数图象满足y随x的增大而减小．可得答案.
（3）根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案.
【详解】（1）解：函数 的开口方向是向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．
（2）解：当x 时，y随x的增大而减小．
（3）解：把抛物线 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数 .
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“函数 的开口方向，顶点坐标，对称
轴方程，函数的增减性，平移的规律”是解本题的关键.
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线 开口方向是（ ）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题．
【详解】∵
∴抛物线的开口向下．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的顶点式逐项判断即可．
【详解】解：由抛物线 可知： ，则抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线的顶点坐标为 ；当 时，y随x的增大而减小．
∴当 时，y随x的增大而增大是错误的．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线 的顶点一定不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】先确定顶点坐标，再分情况：当 时，当 时，当 时，分别判断顶点的位置即可．
【详解】解：抛物线 的顶点为 ，
当 时， ，故顶点在第四象限；
当 时， ，故顶点在第三象限；
当 时， ，故顶点在第二象限，
可得顶点一定不在第一象限，
故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限，正确理解抛物线的性质得到顶点坐标是解题的
关键．
4．（2023·全国·九年级假期作业）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：∵直线 与四条抛物线的交点从上到下依次为 ， ， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，
则a的值为（ ）
A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或
【答案】B
【分析】根据表达式求出对称轴，对 的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
【详解】解： 的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，当 时，在 ，
∵y的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
时，在 ，
当 时函数有最小值，
∴ ，
解得 ；
综上所述：a的值为4或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对 的分类讨论是本题的解题关键．
二、填空题
6．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是
，当 时， 随 的增大而增大，当x 时， 随 的增大而减小．
【答案】 向下 轴
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线 的开口向下，对称轴是 轴，顶点坐标是 ，当 时， 随 的增
大而增大，当 时， 随 的增大而减小．
故答案为：向下， 轴， ， ， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数 中，图像是 ，开口 ，对称轴是直线
，顶点坐标是 ，当x 时，函数y随着x的增大而增大，当x 时，函数y随着x的增大而减小．
当x＝ 时，函数y有最 值是 ．
【答案】 抛物线 向下 大
【分析】根据二次函数图像的性质确定函数的图像的形状、开口方向、顶点的坐标、对称轴及增减性即可
解答．【详解】解：∵二次函数 ，
∴图像是抛物线，开口方向向下，
对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时，函数y随着x的增大而增大，
当 时，函数y随着x的增大而减小，
当 时，函数y有最大值是 ．
故答案为：抛物线、向下、 、大、 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的图像和性质是解答本题的关键．
8．（2023·广东肇庆·校考一模）若将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新
的抛物线，则新抛物线的表达式是 ．
【答案】
【分析】先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移3个单位可得到抛物线，再根据“上加下减”的
原则可知，将抛物线再向下平移2个单位得到的抛物线．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线 先向左平移3个单位可得到抛物线
；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 再向下平移2个单位可得到抛物线
．
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟记平移规律是解题的关键．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 的图象如图所示，线段 轴，交抛物线于
A、B两点，且点A的横坐标为2，则 的长度为 ．【答案】4
【分析】先求出二次函数对称轴为y轴，再推出A、B关于y轴对称，进而求出点B的横坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为y轴，
∵线段 轴，且A、B在二次函数图象上，
∴A、B关于y轴对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为 ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性求出点B的横坐标是解题的关键．
10．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）已知二次函数 （ 、 均为常数）的图象经过
、 、 三点，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由 判断得到点 离对称轴的距离比点 离对称轴的距离远，点 离对称轴的距离比
点 离对称轴的距离远，然后得到 与横坐标之间的关系，从而求出 点的取值范围．
【详解】解：∵
∴点 离对称轴的距离比点 离对称轴的距离远，点 离对称轴的距离比点 离对称轴的距离远，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是通过已知条件得到三点距离对称轴的远近
情况．
三、解答题
11．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得
∴这个函数得关系式为： ．
（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
12．（2023·全国·九年级假期作业）在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性【答案】见解析
【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。
【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与 的图象．
先列表：
x … 0 1 2 3 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当 时，y随x的增大而减大；
开口向下 y轴
当 时，y随x的增大而增小．
当 时，y随x的增大而减大；
开口向下
当 时，y随x的增大而增小．当 时，y随x的增大而减大；
开口向下
当 时，y随x的增大而增小．
【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、
增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，直线 与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，
且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求 BOC的面积．
△
【答案】(1)a的值是 ；b的值是4
(2)
【分析】（1）把B（2，2）代入到直线 中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线
中，进行计算即可得；
（2）联立两函数解析式成方程组， ，进行计算可得点C的坐标为 ，即可得．
【详解】（1）解：把B（2，2）代入到直线 中，
得： ，
即 ；
把B（2，2）代入到抛物线 中，
得： ，
即 ，∴a的值是 ；b的值是4．
（2）解：∵b＝4，
∴点A（0，4）．
联立两函数解析式成方程组， ，
解得： 或 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法求
参数，求函数解析式．
14．（2023·全国·九年级假期作业）在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数 ， ，
与 的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …（1）抛物线 的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线 的开口方向
______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线 与抛物线 的图象关于______轴对称；
（3）抛物线 ，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右
逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线 ，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它
的顶点是最_______点．
【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 向下 y轴 ；（2）x；（3）
≠ > 低 > 高．
【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数
值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像；
（1）根据所画的 与 图像可得答案；
（2）根据所画的 与 图像可得答案；
（3）根据所画的 与 图像可得答案；
【详解】列表如下：x … 0 1 …
… 4 0 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数 与 的图像可得：
抛物线 的开口方向向上，对称轴是 轴，顶点坐标是 ．抛物线 的开口方向向下，对称
轴是y轴，顶点坐标是 ；
故答案为：向上 y轴 向下 y轴
（2）由图像可得：
抛物线 与抛物线 的图象关于 轴对称；
故答案为：x．（3）由图像可得：
抛物线 ，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的
顶点是最低点．抛物线 ，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）已知二次函数 ．
（1）填写表中空格处的数值：
﹣
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 …
3
… ﹣2 0 …
（2）画出这个函数的图象．
【答案】（1）0， ， ；（2）见解析
【分析】（1）根据函数解析式可完成表格即可；
（2）再根据表格中 、 的对应值可画函数图象．
【详解】解：（1）填表如下：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …… 0 ﹣2 0 …
故答案是：0， ， ；
（2）先描点，画图象如下：
【点睛】本题考查了求函数值、画二次函数图象，解题的关键是掌握画二次函数的图象步骤，先描点，再
用一条光滑的曲线连接．
16．（2022秋·湖北孝感·九年级汉川市实验中学校考阶段练习）如图，抛物线
的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物
线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形．
(1)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)4
(3)【分析】（1）画出函数 的图像，求出点D的坐标，即可求解；
（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解；
（3）同（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解．
【详解】（1）解：函数 的图像如下：
抛物线 是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入 得： ，
解得 ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ；
故答案为：4；
（3）解：∵ ，∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定
义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键．
