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第 03 讲 二次函数 y=a(x-h)²与 y=a(x-h)²+k 的图像和性质
知识点1：二次函数y=a(x-h)²的图像和性质
知识点2：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减
开口向上 y轴 （0,0） 小；当x＞0时，y随x的增大而
增大。
当x＜2时，y随x的增大而减
开口向上 x=2 （2,0） 小；当x＞2时，y随x的增大而
增大。【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当x＜0时，y随x的增大而减
大；
开口向下 y轴 （0,0）
当x＞0时，y随x的增大而增
小。
当x＜－1时，y随x的增大而
减大；
开口向下 x=－1 （－1,0）
当x＞－1时，y随x的增大而
增小。
当x＜1时，y随x的增大而减
大；
开口向下 x=1 （1,0）
当x＞1时，y随x的增大而增
小。总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
当x＜h时，y随x的增大 当x＜h时，y随x的增大
增减性 而减小；当x＞h时，y随 而增大；当x＞h时，y随
x的增大而增大。 x的减小而减小。
注意： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【题型1二次函数y=a(x-h)²的性质】
【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数 ，下列说法不正确的
y=−2(x−3) 2
是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线x=3
C．最大值为0 D．图象与y轴不相交
【变式1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数 的图象，下列说
y=−2(x−3) 2
法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x=3C．当x>−4时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(−2,−3)
【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线 的顶点坐标是 ．
y=6(x+8) 2
【变式3】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数 （a为常数），
y=−2(x−a) 2
当x>3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
【题型2：二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【典例2】（2025·广东肇庆·二模）若点 ， ， 在二次函数
A(−3,y ) B(−2,y ) C(2,y )
1 2 3
的图象上，则 ， ， 的大小关系是 ．
y=a(x+1) 2 (a>0) y y y
1 2 3
【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点 ， ， 都在二次函数
(−3,y ) (0,y ) (1,y )
1 2 3
的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
y=(x+2) 2 y y y
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 3 2 1 1 2 3 3 1 2
【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知点 均在抛物线
A(−3,y ),B(2,y )
1 2
上，则下列结论正确的是（ ）
y=−2(x−1) 2+1
A．10 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
当x＜h时，y随x的增大而减
当x＜h时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞h时，y随x的增大而
当x＞h时，y随x的减小而减小。
增大。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
【题型4：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】【典例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数 ，下列
y=−3(x−2) 2−3
说法正确的是（ ）
A．对称轴为x=−2
B．顶点坐标为(2,3)
C．函数的最大值是−3
D．当x>−2时，y随x的增大而减小
1
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线y=−(x+2) 2+ 的顶点坐标是（ ）
3
A．( 1) B．( 1) C．( 1) D．( 1)
2, −2, −2,− 2,−
3 3 3 3
【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）对于二次函数 的图象，下列
y=(x−1) 2+2
叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为(−1,2) B．与x轴有两个交点
C．函数y有最大值2 D．当x<0时，y随x增大而减小
【题型5：二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例5】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知点 ， ，
A(−3,y ) B(2,y ) C(3,y )
1 2 3
在抛物线 上，则 、 、 的大小关系是（ ）
y=2(x−1) 2+c y y y
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数 的图象经过
y=−(x−3) 2+2
， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A(−1,y ) B(1,y ) C(4,y ) y y y
1 2 3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
3 2 1 2 3 1
C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 1 2
【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知 ， ， 在函数
A(−3,y ) B(1,y ) C(2,y )
1 2 3的图象上，则 ， ， 的大小关系为（ ）
y=−(x+2) 2+m y y y
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y
1 3 2 1 2 3
C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 3 1 2
【变式3】（2025·山东威海·中考真题）已知点 都在二次函数
(−2,y ),(3,y ),(7,y )
1 2 3
的图象上，则 的大小关系是（ ）
y=−(x−2) 2+c y ,y ,y
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【题型6：二次函数y=a(x-h)²+k的图像】
【典例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的图像大致是（
y=−2(x−1) 2
）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·陕西宝鸡·三模）二次函数 的图像如图所示，则点
y=(x+m) 2+n (m,n)
所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）二次函数 的图像大致是
y=(x+1) 2−3
（ ）A． B．
C． D．
【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线 ，下列
y=(x−1) 2−2
说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为(1,−2) B．对称轴是直线x=1
C．开口方向向上 D．当x>1时，y随x的增大而减小
【题型7：二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】
【典例7】（24-25八年级下·福建福州·期末）若将抛物线y=−x2−1向左平移1个单位，
则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A． B．
y=−(x−1) 2−1 y=−(x+1) 2−1
C．y=−x2−2 D．y=−x2
【变式1】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）将抛物线 向右平移1个单位，再
y=2(x+2) 2−1
向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
y=2(x−1) 2−2 y=2(x+1) 2+3 y=2(x+1) 2−3 y=2(x+2) 2+1【变式2】（2025·贵州遵义·二模）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
得到抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
y=(x−2) 2−3 y=(x+3) 2−2 y=(x+2) 2−3 y=(x−3) 2+2
【变式3】（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线 可以由抛物线 平
y=−7(x+3) 2+1 y=−7x2
移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
一、单选题
1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线 ，下列判断不正确
y=−(x−2) 2+1
的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x=2时，y有最大值1
C．对称轴为直线x=−2
D．当x<2时，y随x的增大而增大
2．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线y=x2−2x−2，当0≤x≤3时，函数的最大值为
（ ）
A．1 B．−2 C．−3 D．2
3.（25-26九年级上·全国·课后作业）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，那么所得
新抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
y=x2+1 y=x2−1 y=(x+1) 2 y=(x−1) 2
1
4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）对于抛物线y=− (x+1) 2+3，下列结论：①抛物
2
线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(−1,3)；④x>−1时，y随x的
增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
5．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数 ，当 时，
y=2(x+1) 2−5 −4”或“=”）
1 2 1 2
10．（2025·广东广州·一模）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如，
4⊗3=(4+2×3)×(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2的对称轴为直线 ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数 ．
y=3(x−4) 2−27
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(3)当x取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
1
12．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数y=− (x+3) 2−1．
2
(1)指出函数的开口方向是__________，对称轴是__________；
(2)当x__________时，y随x增大而减小；
(3)若点A(1,y )，B(2,y )是函数图象上的两点，则y __________y ．（填“>”“
1 2 1 2<”或“=”）
13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线 的对称轴为直线 ，
y=a(x−ℎ) 2 x=−2
且过点(1,−3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
