文档内容
22.1.3 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 导学案
学习目标
1）用描点法画二次函数y=a(x-h) 2+k的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征及性质，并能发现它
们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
重点难点突破
核心知识思维导图
引入新课新知探究
y
1
【问题】用描点法画二次函数y= - (x+1)2−1的图象。 x
2
-3 -2 -1 O 1 2 3
-2
-4
-6
-8
1
【问题】抛物线y=- (x+1)2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
2
1
1)抛物线y=- (x+1) 2−1的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________
2
2)顶点都是最_____点，函数都有最______值，最______值为________
3)当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势；当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a<0）的图象特征和性质吗？
1
【问题】描点法画抛物线y= (x+1) 2−1的图象？并回答下面问题？
2y
9
1）抛物线的开口方向：________
2）抛物线的对称轴是：________
6
3）抛物线的顶点是________
4）顶点是最____点，函数都有最____值，最_____值
3
为_______________________________
5）在对称轴_____，y随x的增大而_____；
x
-3 -2 -1 O 1 2 3
在对称轴_____ ，y随x的增大而_____.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a>0）的图象特征和性质吗？
【思考】
1 1 2
1)抛物线y=− (x+1) 2−1与y=− x 有什么关系？
2 2
2)有没有其它平移方法？
3)抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
【总结】一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线y=a(x-h)2+k与
y=ax2形状_______、位置_______。平移的方向、距离要根据___________的值来决定。
【总结】二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质:典例分析
例1．二次函数：
1 1 1
①y=− x2+1； ②y= (x+1) 2−2； ③y=− (x+1) 2+2；
3 2 2
1 1 1
④y= x2； ⑤y=− (x−1) 2； ⑥y= (x−1) 2．
2 2 2
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
1
1．抛物线y= (x−2) 2−3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______．
2
1
2．二次函数y= (x+3) 2+2的图象的对称轴是直线_________________；
2
3．二次函数 的最小值是_______ ．
y=(x−1) 2−5
4．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是
__________ ．
5．已知函数y=−3（x+2）2+4，当x=_______时，函数取得最大值．
6．抛物线y=a（x+h）2-k的顶点在第三象限，则h _____0，k_____ 0．
1
例2．已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在二次函数y＝ （x﹣3）2﹣2的图象上，若x ＜x ＜3，则
1 1 2 2 1 2
5
y_____y（填“＞”、“＜”或“＝”）．
1 2
1．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，若x ＜x ＜0，则
1 1 2 2 1 2
y_____y（填“＞”、“＝”或“＜”）。
1 2
2．已知二次函数 的图象上有三点 (1 )， ， ，则 ， ，
y=2(x−1) 2−m A ,y B(2,y ) C(−2,y ) y y
2 1 2 3 1 2
y 的大小关系为______．
3
例3．当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小， 的取值范围是__________．
x<−1 y=2(x+m) 2+1 y x m例4．二次函数 （h、k均为常数）的图象经过A（－2，y ）、B（0，y ）、C（2，
y=2(x−h) 2+k 1 2
y）三点，若y＜y＜y，则h的取值范围是___________．
3 2 1 3
1．当二次函数 的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是_______________．
y=(x−1) 2+m
2．二次函数 在 时 随 增大而减小，则 的取值范围是 __．
y=(x−m) 2+1 x⩽1 y x m
3．当x≥m时，两个函数y＝﹣(x﹣4)2＋2和y＝﹣(x﹣3)2＋1的函数值都随着x的增大而减小，
1 2
则m的最小值为_____．
4. 若抛物线 的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
y=(x−m) 2+(m+1)
5．已知二次函数y=4(x-2h)2+8, x>5时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是_______．
6．二次函数 ，当m＜x＜m＋4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______．
(x−3m) 2+m2
例5．二次函数 ( 3) 2 3的图象 如图所示，则该函数在所给自变
y= x− + (1≤x≤3)
2 4
量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ）
3
A．y≥1 B．1≤ y≤3 C． ≤ y≤3 D．0≤ y≤3
4
例 6．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
y=a(x−1) 2−a(a≠0) −1≤x≤4 y −4 a
（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
1．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函
y=(x−h) 2+1 2≤x≤4
数值y的最小值为5，则h的值为__________．
2．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为__________．
y=a(x−2) 2+a(a<0) −1≤x≤4 y −10 a
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
例7．已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
1．已知抛物线的顶点坐标为(−1,9)，且经过x轴上一点(−4,0)．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)试说明：当x>−1时，函数值y随着x的增大而变化的情况．
例8．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交点，点B
y=a(x−3) 2+k
是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____
1．已知抛物线y＝（x﹣m）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点．
求△ABC的面积．
能力提升
1．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2，3)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接 ，抛物线 经过点A，与x轴正半轴交于点C．
OA y=−(x+1) 2+c+1
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的
边界），求m的取值范围．
直击中考
1．（2022·新疆·统考中考真题）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
y=(x−2) 2+1
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x<2时，y随x的增大而增大
2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数 ，下列说法正确的是
y=(x−1) 2+5
（ ）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大
3．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A，
y=a(x+2) 2+k
B(−1,0)两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a<0 B．点A的坐标为(−4,0)
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x=−2
4．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法
y=2(x−4) 2+6正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
5．（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y ），B（m，y ）都在二次函数y=（x-1）2+n的
1 2
图象上．若y＜y，则m的取值范围为（ ）
1 2
3 3
A．m>2 B．m> C．m<1D． -1时，抛物线从左到右呈下降趋势.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a<0）的图象特征和性质吗？
一般地，当a<0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，对称轴是x=h，顶点是(hike)，顶点是抛物线的
最高点，函数最大值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈下降趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小.
1
【问题】描点法画抛物线y= (x+1) 2−1的图象？并回答下面问
2 y
9
题？
1）抛物线的开口方向：向上
6
2）抛物线的对称轴是：x=-1
3）抛物线的顶点是（-1，-1）
3
4）顶点是最低点，函数都有最小值，最小值为y=-1
5）在对称左侧，y随x的增大减小； x
-3 -2 -1 O 1 2 3
在对称轴右侧 ，y随x的增大而增大.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a>0）的图象特征和性质吗？
一般地，当a>0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，对称轴是x=h，顶点是(h,k)，顶点是抛物线的最低点，函数最小值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈上升趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
【思考】
1 1 2
1)抛物线y=− (x+1) 2−1与y=− x 有什么关系？
2 2
1 2 1 1
y=− x 向左平移1个单位y=− (x+1) 2向下平移1个单位y=− (x+1) 2−1.
2 2 2
2)有没有其它平移方法？
1 2 1 1
y=− x 向下平移1个单位y=− x2-1向左平移1个单位y=− (x+1) 2−1
2 2 2
3)抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
【总结】一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线y=a(x-h)2+k与
y=ax2形状相同、位置不同。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
【总结】二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质:
典例分析例1．二次函数：
1 1 1
①y=− x2+1； ②y= (x+1) 2−2； ③y=− (x+1) 2+2；
3 2 2
1 1 1
④y= x2； ⑤y=− (x−1) 2； ⑥y= (x−1) 2．
2 2 2
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是②③(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是①③⑤(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是⑤和⑥(只填序号)．
1
1．抛物线y= (x−2) 2−3的开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-3）．
2
1
2．二次函数y= (x+3) 2+2的图象的对称轴是直线x=-3；
2
3．二次函数 的最小值是-5．
y=(x−1) 2−5
4．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是
y＝2（x+3）2+1．
5．已知函数y=−3（x+2）2+4，当x=-2时，函数取得最大值．
6．抛物线y=a（x+h）2-k的顶点在第三象限，则h >0，k> 0．
1
2．已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在二次函数y＝ （x﹣3）2﹣2的图象上，若x ＜x ＜3，则y>y
1 1 2 2 1 2 1 2
5
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
1．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，若x ＜x ＜0，则y
1 1 2 2 1 2 1
＜_y（填“＞”、“＝”或“＜”）。
2
2．已知二次函数 的图象上有三点 (1 )， ， ，则 ， ，
y=2(x−1) 2−m A ,y B(2,y ) C(−2,y ) y y
2 1 2 3 1 2
的大小关系为 ．
y y >y >y
3 3 2 1
例3．当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小， 的取值范围是m≤1．
x<−1 y=2(x+m) 2+1 y x m
例4．二次函数 （h、k均为常数）的图象经过A（－2，y ）、B（0，y ）、C（2，
y=2(x−h) 2+k 1 2
y
3
）三点，若y
2
＜y
1
＜y
3
，则h的取值范围是−1<
ℎ
<0．
1．当二次函数 的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是𝑥≤1．
y=(x−1) 2+m2．二次函数 在 时 随 增大而减小，则 的取值范围是 𝑚⩾1．
y=(x−m) 2+1 x⩽1 y x m
3．当x≥m时，两个函数y＝﹣(x﹣4)2＋2和y＝﹣(x﹣3)2＋1的函数值都随着x的增大而减小，
1 2
则m的最小值为4．
4. 若抛物线 的顶点在第一象限，则m的取值范围为𝑚>0．
y=(x−m) 2+(m+1)
5
5．已知二次函数y=4(x-2h)2+8, x>5时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是h≤ ．
2
6．二次函数 ，当m＜x＜m＋4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≥2．
y=(x−3m) 2+m2
例5．二次函数 ( 3) 2 3的图象 如图所示，则该函数在所给自变
y= x− + (1≤x≤3)
2 4
量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ C ）
3
A．y≥1 B．1≤ y≤3 C． ≤ y≤3 D．0≤ y≤3
4
例 6．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
y=a(x−1) 2−a(a≠0) −1≤x≤4 y −4 a
（ D ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
1．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函
y=(x−h) 2+1 2≤x≤4
数值y的最小值为5，则h的值为0或6．
2．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为-1．
y=a(x−2) 2+a(a<0) −1≤x≤4 y −10 a
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1的对称轴是x＝3，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由题意得，当x＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，
则﹣（1﹣3）2+m2+1＝4，
解得，m＝❑√7，m＝﹣❑√7．
1 2
例7．已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
(1)求此二次函数的表达式；(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
解：设二次函数表达式为
y=a(x−1) 2−4
∵ 图像经过（-2，5）∴ 5=9a−4
∴ ∴
a=1 y=(x−1) 2−4
（2）解：令y=0，即 =0
(x−1) 2−4
解得：x=3或x=-1
故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
1．已知抛物线的顶点坐标为(−1,9)，且经过x轴上一点(−4,0)．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)试说明：当x>−1时，函数值y随着x的增大而变化的情况．
【详解】（1）设抛物线的解析式为 ，
y=a(x+1) 2+9
把 代入得 ，解得 ，
(−4,0) a×(−4+1) 2+9=0 a=−1
抛物线的解析式为 ；
∴ y=−(x+1) 2+9
（2）当 时， ，
x=0 y=−(x+1) 2+9=8
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)；
（3）抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线开口向下，
∴当x>−1时，函数值y随着x的增大而减小．
例8．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛物线上
y=a(x−3) 2+k
的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为181．已知抛物线y＝（x﹣m）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，
∴该函数图象开口向上，m−5=−3，
解得m=2，
抛物线的解析式为： ．
∴ y=(x−2) 2−3
令 ，解得： ，
y=(x−2) 2−3=0 x =2+❑√3,x =2−❑√3
1 2
∴BC= ，
|x −x |=|(2+❑√3）−(2−❑√3)|=2❑√3
1 2
1 1
∴S = BC⋅|y |= ×2❑√3×3=3❑√3．
△ABC 2 A 2
能力提升
1．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为 ，
y=(x−m) 2+m+1
∴抛物线的顶点坐标为（m，m+1），
{ m<0
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，∴ ，∴−10
（2）当 时，抛物线解析式为 ，
m=−2 y=(x+2) 2−1=x2+4x+3
令y=0，即x2+4x+3=0，解得x=−1或x=−3，
令x=0，y=3，∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
1
∴OD=3，AB=2，∴S = AB⋅OD=3，
△ABD 2∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2，3)，过点
A作 轴，垂足为B，连接 ，抛物线 经过点A，与x轴
AB⊥y OA y=−(x+1) 2+c+1
正半轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的
内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围．
【详解】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，
得： ，
−(−2+1) 2+c+1=3
解得c=3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为 ，
y=−(x+1) 2+4
∴抛物线的对称轴是直线x=−1，顶点坐标为(-1，4)，
∵点A的坐标是(-2，3)，设直线AO的解析式为y=kx，
3 3
则3=−2k，解得：k=− ，∴直线AO的解析式为y=− x，
2 2
3
当x=−1时，y= ．
2
∵平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），
3 5
∴4−31时，y随x的增大而增大3．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A，
y=a(x+2) 2+k
B(−1,0)两点，则下列说法正确的是（ D ）
A．a<0 B．点A的坐标为(−4,0)
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x=−2
4．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法
y=2(x−4) 2+6
正确的是（ D ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
5．（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y ），B（m，y ）都在二次函数y=（x-1）2+n的
1 2
图象上．若y＜y，则m的取值范围为（ B ）
1 2
3 3
A．m>2 B．m> C．m<1D．
