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22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 分层作业
基础训练
1．对于抛物线 ，下列判断正确的是（ ）
A．顶点
B．抛物线向左平移 个单位长度后得到
C．抛物线与 轴的交点是
D．当 时， 随 的增大而增大
【详解】A、 ，
抛物线的顶点 ，故错误，不符合题意，
B、抛物线向左平移 个单位长度后得到 ， ，故错误，不符合题意，
C、当 时， ，抛物线与 轴的交点是 ，故正确，符合题意，
D、 ，
开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，故错误，不符合题意，
故选：C．
2．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y)，(0，y)， ( ，y)三点，则 大小关系是( )
1 2 3
A． B．
C． D．
【详解】解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；( ，y)关于直线x=1的对称点是( ，y)，
3 3∵-2< <0<1
∴y＞y＞y，
1 3 2
故选D．
3．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ 为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ，故A正确．
故选：A．
4．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
5．点A（m，y），B（n，y）均在抛物线y＝（x﹣h）2+7上，若|m﹣h|＞|n﹣h|，则下列说法正确的是
1 2
（ ）
A．y+y＝0 B．y﹣y＝0 C．y﹣y＜0 D．y﹣y＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】解： y＝（x﹣h）2+7
抛物线的开口向上，对称轴为x=h，
|m﹣h|＞|n﹣h|，
点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，
y＞y，
1 2
y＞y，
1 2
y﹣y＞0．
1 2
故选：D．6．已知一抛物线与二次函数 图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），则
该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵抛物线与二次函数 图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，
2021），
∴该抛物线对应的函数表达式为 ．
故选：D
7．二次函数 的大致图象是( )
A． B． C． D．
【详解】解：∵二次函数 ，
则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，
∴图像开口向上，
所以选项B图像符合．
故选B．
8．已知抛物线 的顶点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A．a<－1 B．－1<a<1 C．0<a<1 D．－1<a<0
【详解】解：由抛物线解析式 可得：顶点坐标为 ；
因为顶点在第三象限，所以 ；解不等式组得： ．
故选C．
9．已知关于 的二次函数 ，当 时， 的取值范围为________．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，
∴在 范围内，当 时，函数有最大值，最大值为1，
当 时，函数有最小值，最小值为： ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
10．若直线 经过第一、三、四象限，则二次函数 的图象顶点必在第__________象
限．
【详解】解：∵直线 经过第一、三、四象限，
∴ ，
∵二次函数 的图象顶点坐标为（m，1），
∴二次函数 的图象顶点在第二象限，
故答案为：二．
11．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
【详解】解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
能力提升
1．小明在研究抛物线 （h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线 上
C．当 时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点 ， ，若 ， ，则
【详解】解：A． ， 当 时， ，当 时， ，故错
误；
B． 抛物线 的顶点坐标为 ，当 时， ，故错误；
C． 抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而增大， ，故正确；
D． 抛物线上有两点 ， ，若 ， ， ， 点A到对称轴的距离
大于点B到对称轴的距离， ，故错误．
故选C．
2．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下
∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大
∵-1＜1，
∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22．故选B．
3．若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
4．若点 ， 在同一个函数图象上，这个函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A，把 代入 中得 ，把 代入 中
得 ，因为13=13，故A符合题意；
B，把 代入 中得 ，把 代入 中得
，因为 ，故B不符合题意；
C，把 代入 中得 ，把 代入 中得
，因为 ，故C不符合题意；
D，把 代入 中得 ，把 代入 中得
，因为 ，故D不符合题意．故选：A．
5．如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（ ）
A．h = m B．k＞n
C．m＞0，n＜0 D．a＞－a
2 1
【详解】解：y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k）；
1
y＝a（x﹣m）2+n的顶点是（m，n）．
2
两个函数的对称轴是同一条直线，故h＝m，k＞n，m＞0，n＜0成立，故A，B，C都是正确的；
y＝a（x﹣m）2+n的开口向上，则a＞0，y＝a（x﹣h）2+k的开口向下，则a＜0，则a＜a，故D不正确．
2 2 1 1 1 2
故选：D．
6．若 ， 为抛物线 上两点，则 _______．
【详解】解：∵ ， 是抛物线 上两点，
∴抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
当 时， ，
故答案为：2016．
7．已知二次函数 有最大值2，则该函数的图像的顶点坐标为______．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+5)2−b(a≠0)有最大值2，
∴-b=2，
根据二次函数的顶点式y=a(x+5)2−b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：（-5，-b），
∴该函数图象的顶点坐标为（-5，2）．
故答案为：（-5，2）．8．当 时，二次函数 （h为常数）有最小值10，则h的值为________
【详解】解：令 代入 得，
，
∴ ，
∴ 或 ，
①当 时， 在 处取得最小值，
∴ （舍去）或 ，
②当 时， 在 处取得最小值，
∴ 或 （舍去），
③当 时， 在 处取得最小值，
最小值为 ，不符合题意，
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
拔高拓展
1．如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正
方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形
为它的内接正方形．
(1)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；(2)当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
【详解】（1）解：函数 的图像如下：
抛物线 是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入 得： ，
解得 ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，
将点D的坐标代入 得：
,
解得 ；
故答案为：4；
（3）解：∵ ，
∴顶点A的坐标为 ，
同理，点D的坐标为 ，将点D的坐标代入 得：
,
解得 ．
