文档内容
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2的图象和性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质第2课时，内容包括：二次函数y=a（x-h）2的图象特
征和性质。
2.内容解析
本节课是在学生已经学习了二次函数y＝ax2和y＝ax2+k的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对
二次函数图象和性质研究的延续．本节课的核心内容是通过类比y＝ax2的图象特征和性质进行探究二次函
数y=a（x-h）2的图象特征和性质．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数y=a（x-h）2的图象特征和性质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）用描点法画二次函数y=a（x-h）2的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=a（x-h）2的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=a（x-h）2的图象特征及性质，并能发
现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过选取适当的自变量的值，描点，连线，从而得到二次函数y=a（x-h）2
的图象．
达成目标（2）的标志是：知道抛物线y=a（x-h）2的对称轴，顶点，开口方向，开口大小，最高(低)
点，增减性．理解抛物线y=a（x-h）2的图象相当于把抛物线y=ax2的图象向左（h<0）或向右（k>0）平移
|h|个单位.
达成目标（3）的标志是：在探究二次函数y=a（x-h）2的图象和性质的过程中，先通过类比二次函数
y=ax2的研究方法，得出二次函数y=a（x-h）2（a＞0）的图象特征及性质，a＜0的情况又是类比a＞0的
学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y=a（x-h）2的图象特征和性质．
三、教学问题诊断分析
通过之前的课程学习，学生对于画抛物线的方法有了一定的了解，会用描点法画二次函数y=a（x-h）
2图象．在本节课上，学生第一次画顶点不在y轴的抛物线图象，而是(h，0)．对于二次函数y=a（x-h）
2，需要学生用数形结合的思想进行研究．基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数y=a（x-h）2的图象特征和性
质．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】尝试说出二次函数y＝ax2＋k图象特征和性质？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y＝ax2＋k的图象和性质进行板书．
【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋k的图象特征和性质，为本节课学习二次函数y=a（x-h）2的
图象特征和性质进行铺垫．
（二）探究新知
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【问题】用描点法画二次函数 y= (x+1)2 和y= (x−1)2的图象。
2 2
1 1
师生活动：学生动手实践画出二次函数y= (x+1)2 和y= (x−1)2 的图象，在学生完成图象后，教
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师通过多媒体展示画图过程。
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【问题】抛物线y= (x+1)2 和y= (x−1)2的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
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师生活动：小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面描述图象特征和性
质．如果学生在探究过程出现困难，需教师引导学生回顾二次函数y＝ax2＋k的相关内容，类比探究．
师：你能说出二次函数y=a（x-h）2 (a＞0)的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a>0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向上，对称轴是x=h，顶点是(h,0)，顶点是抛物线的最
低点，函数最小值为0.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右 呈下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈上升趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=a(x-h)2 (a>0)的图象特征和性质．
1 1
【问题】描点法画抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2的图象？并回答下面问题？
2 2
1）两条抛物线的开口方向：________
2）两条抛物线的对称轴分别是：________
3）两条抛物线的顶点分别是________
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
为_______________________________
5）抛物线的增减性都______:在对称轴_____，y随x的增大而_____；
在对称轴_____ ，y随x的增大而_____.
1 1
师生活动：学生动手实践画出抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2的图象，教师通过多媒体展示
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抛物线的图象，引导学生通过图象特征，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，发现不足。
师：你能说出二次函数y＝ax2＋k(a<0)的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a<0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向下，对称轴是x=h，顶点是(h,0)，顶点是抛物线的最
高点，函数最大值为0.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 呈下降趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=a(x-h)2 (a<0)的图象特征和性质．
1 1 1 2
【思考1】抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2 与y=− x 有什么关系？
2 2 2
1 1
师生活动：学生认真观察二次函数y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2的图象后给出答案.教师通过多媒
2 2
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体展示抛物线y=− x 的平移过程,，并总结得出：抛物线y=− (x+1) 2 是由抛物线y=− x 向左
2 2 2
1 1 2
平移1个单位长度得到的，抛物线y=− (x−1) 2 是由抛物线y=− x 向右平移1个单位长度得到的
2 2
1 1 1 2
，加深同学理解y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2与y=− x 之间的联系。
2 2 2
1 1
【思考2】根据思考1，你觉得抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2有什么关系？
2 2
师生活动：学生独立思考，教师引导学生根据图象特征，归纳总结其关系如下：
1 1
抛物线y=− (x+1) 2是由抛物线y=− (x−1) 2向左平移2个单位长度得到的；
2 2
1 1
或抛物线y=− (x−1) 2是由抛物线y=− (x+1) 2向右平移2个单位长度得到的。
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【思考3】抛物线y=a(x-h)2与y=ax2有什么关系？
师生活动：学生独立思考，小组讨论，师生共同梳理归纳：
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位长度，就得到抛物线y=a(x-h)2（h＞0）；
当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位长度，就得到抛物线y=a(x+|h|)（h<0）．【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y=a(x-h)2与y＝ax2的图象关系．
师：你能说出二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
【设计意图】整体梳理二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质．
（三）典例分析与针对训练
例1．抛物线 的开口_________，对称轴是____，顶点坐标是______，对称轴左侧，y随x
y=−(x+1) 2
的增大而_____，对称轴右侧，y随x的增大而____．
【针对训练】
1．在函数 中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
y=(x−1) 22．二次函数 的顶点坐标为_______．
y=−2(x+3) 2
2 4
3．在下列二次函数中：①y=4x2；②y= (x+1) 2，③y=− x2+5，图象开口最大的是_____（填
3 3
序号）．
4．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有_____．
5．对于任何实数h，抛物线 与抛物线 的相同点是（ ）
y=−x2 y=−(x−h) 2
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点
6．对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
y=−(x−1) 2
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
7．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
y=−(x+a) 2 x≤−4 y x x≥−4 y x
当x=0时，y的值是______．
8 已知抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，
h=
【设计意图】理解与掌握二次函数y=a(x-h)2的性质。
例2 ．二次函数 的图象如图所示，若 ，B(-4, )是该图象上的两点，则
y=a(x−ℎ) 2 A(−2,y
1
) y
2
y
1
______y ．（填“>”“<”或“=”）
2
【针对训练】
1．已知点 、 为抛物线 上的两点，如果 ，那么 ______ 填
A(x ,y ) B(x ,y ) y=(x−2) 2 x ”“<”或“=”)2．若点 ， ， 在抛物线 上，请将 ， ， 按从小到大的
A(−2,y ) B(1,y ) C(−4,y ) y=2(x+1) 2 y y y
1 2 3 1 2 3
顺序用“＜”连接________．
3．已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ，
A(−4,y ) B(−3,y ) C(3,y ) y=−2(x+2) 2 y y
1 2 3 1 2
y 的大小关系为____________.
3
【设计意图】比较二次函数y=a(x-h)2的函数值。
例3．如果二次函数y＝a（x－1）2（a≠0）的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范
围是__________.
【针对训练】
1．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
2．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向
_____．
【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2的性质判断未知数的取值范围。
例4．已知函数 ．当 时， 的取值范围为_____．
y=(x−1) 2 0≤x≤3 y
例5．已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，则h的值为
y=−(x−ℎ) 2 2≤x≤5 −4
______.
【针对训练】
3
1．已知二次函数y=(x−1) 2，当0≤x≤ 时，函数值y的取值范围是______．
2
2．已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最
y=(x−h) 2
小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
【设计意图】已知二次函数y=a(x-h) 2自变量的取值范围，判断y的取值范围。
1
例6．已知一抛物线与抛物线y=- x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特
2
点，试写出该抛物线的解析式．
【针对训练】
1．已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出
当x为何值时，y随x的增大而减小．【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2的性质求解析式。
例7．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积．
y=2(x−1) 2 △ABO
【针对训练】
1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2的性质，求图形周长或面积。
（四）能力提升
1 已知抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛
物线上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
2．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若
AB＝3，则点M到直线l的距离是____________
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解与掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征与性质。
（五）归纳小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y＝ax2的区别与联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？（六）布置作业
P35:课后练习
P41:习题22.1第5题(2)
五、教学反思
