文档内容
22.1.3 二次函数 y=a(x-h) 2的图象和性质 导学案
学习目标
1）用描点法画二次函数y=a(x-h) 2的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=a(x-h) 2的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=a(x-h) 2的图象特征及性质，并能发现它们
的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
重点难点突破
核心知识复习巩固新知探究
1 1
【问题】用描点法画二次函数 y= (x+1)2 和y= (x−1)2 的图象。
y
2 2
9
6
3
x
-3 O 3
1 1
【问题】抛物线 y= (x+1)2 和y= (x−1)2的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
2 2
1
1)抛物线y= (x+1)2的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________
2
1
2)抛物线 y= (x−1)2的开口方向________、对称轴________,顶点坐标是_____________
2
3)顶点都是最_____点，函数都有最______值，最______值都为________
1 1
【提问】观察抛物线y= (x+1)2 和y= (x−1)2的图象，讨论增减性？
2 21 1
从抛物线y= (x+1)2 和y= (x−1)2的图象可以看出：
2 2
两者的增减性__________
在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.
提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2 (a＞0)的图象特征和性质吗？
1 1
【问题】描点法画抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2的图象？并回答下面问题？
2 2
1）两条抛物线的开口方向：________
y
x
2）两条抛物线的对称轴分别是：________
-3 O 3
3）两条抛物线的顶点分别是________
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值 -3
为_______________________________
-6
5）抛物线的增减性都______:
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
-9
在对称轴_____ ，y随x的增大而_____.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2 (a<0)的图象特征和性质吗？
【思考】
1 1 1 2
1)抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2 与y=− x 有什么关系？
2 2 2
1 1
2)抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2有什么关系？
2 23)抛物线y=a(x-h)2 与y=ax2有什么关系？
【总结】二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质:
典例分析
例1．抛物线 的开口_________，对称轴是____，顶点坐标是______，对称轴左侧，y随x
y=−(x+1) 2
的增大而_____，对称轴右侧，y随x的增大而____．
【针对训练】
1．在函数 中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
y=(x−1) 2
2．二次函数 的顶点坐标为_______．
y=−2(x+3) 2
2 4
3．在下列二次函数中：①y=4x2；②y= (x+1) 2，③y=− x2+5，图象开口最大的是_____（填
3 3
序号）．
4．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有_____．
5．对于任何实数h，抛物线y=−x2与抛物线y=−（x−h）2的相同点是（ ）
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点
6．对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
y=−(x−1) 2A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
7．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
y=−(x+a) 2 x≤−4 y x x≥−4 y x
当x=0时，y的值是______．
8 已知抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，
h=
例2 ．二次函数 的图象如图所示，若 ，B(-4, )是该图象上的两点，则
y=a(x−ℎ) 2 A(−2,y
1
) y
2
y
1
______y ．（填“>”“<”或“=”）
2
【针对训练】
1．已知点 、 为抛物线 上的两点，如果 ，那么 ______ 填
A(x ,y ) B(x ,y ) y=(x−2) 2 x ”“<”或“=”)
2．若点 ， ， 在抛物线 上，请将 ， ， 按从小到大的
A(−2,y ) B(1,y ) C(−4,y ) y=2(x+1) 2 y y y
1 2 3 1 2 3
顺序用“＜”连接________．
3．已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ，
A(−4,y ) B(−3,y ) C(3,y ) y=−2(x+2) 2 y y
1 2 3 1 2
y 的大小关系为____________.
3
例3．如果二次函数y＝a（x－1）2（a≠0）的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范
围是__________.
1．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
2．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向
_____．
例4．已知函数 ．当 时， 的取值范围为________．
y=(x−1) 2 0≤x≤3 y例5．已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，则h的值为
y=−(x−ℎ) 2 2≤x≤5 −4
______.
【针对训练】
3
1．已知二次函数y=(x−1) 2，当0≤x≤ 时，函数值y的取值范围是______．
2
2．已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最
y=(x−h) 2
小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
1
例6．已知一抛物线与抛物线y=- x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特
2
点，试写出该抛物线的解析式．
【针对训练】
1．已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出
当x为何值时，y随x的增大而减小．
例7．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积．
y=2(x−1) 2 △ABO
【针对训练】
1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
能力提升
1 已知抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛
物线上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
2．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是____________
课堂小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y＝ax2的区别与联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
【参考答案】
新知探究
1 1
【问题】用描点法画二次函数 y= (x+1)2 和y= (x−1)2 的图象。
2 21 1
【问题】抛物线 y= (x+1)2 和y= (x−1)2 的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？
2 2
1
1)抛物线y= (x+1)2的开口方向向上、对称轴x=-1,顶点坐标是（-1，0）
2
1
2)抛物线 y= (x−1)2的开口方向向上、对称轴x=1,顶点坐标是（1，0）
2
3)顶点都是最低点，函数都有最小值，最小值都为y=0
1 1
【提问】观察抛物线y= (x+1)2 和y= (x−1)2的图象，讨论增减性？
2 2
1 1
从抛物线y= (x+1)2 和y= (x−1)2的图象可以看出：
2 2
两者的增减性相同
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升趋势.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2 (a＞0)的图象特征和性质吗？
一般地，当a>0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向上，对称轴是x=h，顶点是(h,0)，顶点是抛物线的最
低点，函数最小值为0.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右 呈下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈上升趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
1 1
【问题】描点法画抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2？并回答下面问题？
2 2
1）两条抛物线的开口方向：向下
2）两条抛物线的对称轴分别是：x=-1，x=1
3）两条抛物线的顶点分别是（-1，0）（1，0）
4）顶点都是最高点，函数都有最大值，最大值为y=0
5）抛物线的增减性相同:
在对称轴左侧，y随x的增大而增大；
在对称轴右侧 ，y随x的增大而减小.
【提问】你能说出二次函数y=a(x-h)2 (a<0)的图象特征和性质吗？
一般地，当a<0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向下，对称轴是x=h，顶点是(h,0)，顶点是抛物线的最
高点，函数最大值为0.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 呈下降趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.【思考】
1 1 1 2
1)抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2 与y=− x 有什么关系？
2 2 2
1 1 2
抛物线y=− (x+1) 2 是由抛物线y=− x 向左平移1个单位长度得到的，
2 2
1 1 2
抛物线y=− (x−1) 2 是由抛物线y=− x 向右平移1个单位长度得到的
2 2
1 1
2)抛物线y=− (x+1) 2和y=− (x−1) 2有什么关系？
2 2
1 1
抛物线y=− (x+1) 2是由抛物线y=− (x−1) 2向左平移2个单位长度得到的；
2 2
1 1
或抛物线y=− (x−1) 2是由抛物线y=− (x+1) 2向右平移2个单位长度得到的。
2 2
3)抛物线y=a(x-h)2 与y=ax2有什么关系？
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位长度，就得到抛物线y=a(x-h)2（h＞0）；
当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位长度，就得到抛物线y=a(x+|h|)（h<0）．
【总结】二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质:
详见重难点突破
典例分析
例1．抛物线 的开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，0），对称轴左侧，y随x
y=−(x+1) 2
的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
【针对训练】
1．在函数 中,当x＞1时,y随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）
y=(x−1) 2
2．二次函数 的顶点坐标为（-3，0）．
y=−2(x+3) 2
2 4
3．在下列二次函数中：①y=4x2；②y= (x+1) 2，③y=− x2+5，图象开口最大的是②
3 3
（填序号）．
4．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有①．5．对于任何实数h，抛物线y=−x2与抛物线y=−（x−h）2的相同点是（ A ）
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点
6．对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ D ）
y=−(x−1) 2
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
7．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
y=−(x+a) 2 x≤−4 y x x≥−4 y x
当x=0时，y的值是-16．
8 已知抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a=-4，h=-3
例2 二次函数 的图象如图所示，若 ，B(-4, )是该图象上的两点，则 = ．
y=a(x−ℎ) 2 A(−2,y
1
) y
2
y
1
y
2
（填“>”“<”或“=”）
【针对训练】
1．已知点 、 为抛物线 上的两点，如果 ，那么 填“
A(x ,y ) B(x ,y ) y=(x−2) 2 x y .( >
1 1 2 2 1 2 1 2
”“<”或“=”)
2．若点 ， ， 在抛物线 上，请将 ， ， 按从小到大的
A(−2,y ) B(1,y ) C(−4,y ) y=2(x+1) 2 y y y
1 2 3 1 2 3
顺序用“＜”连接y 0.
【针对训练】
1．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≥1．2．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向 向上．
例4．已知函数 ．当 时， 的取值范围为 ．
y=(x−1) 2 0≤x≤3 y 0≤ y≤4
例5．已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，则h的值为0
y=−(x−ℎ) 2 2≤x≤5 −4
或7.
【针对训练】
3
1．已知二次函数y=(x−1) 2，当0≤x≤ 时，函数值y的取值范围是0≤ y≤1．
2
2．已知二次函数 （h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最
y=(x−h) 2
小值为1，则h的值为（ B ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
1
例6．已知一抛物线与抛物线y=- x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特
2
点，试写出该抛物线的解析式．
【详解】解：∵顶点坐标是(-5，0)，
∴可设函数解析式为y=a(x+5)2，
1
∵所求的抛物线与y=- x2+3形状相同，开口方向相反，
2
1
∴a= ，
2
1
∴所求抛物线解析式为y= (x+5)2．
2
【针对训练】
1．已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出
当x为何值时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵二次函数y=a(x-h)2，当x=2时，函数有最大值，
，即二次函数解析式为 ，
∴h=2 y=a(x−2) 2
∵二次函数图象过点(1,−3)，
∴-3=a(1-2)2解得a=−3．
∴二次函数解析式为y=-3(x-2)2；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，∴当x>2时，函数y值随x增大而减小．
例7．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积．
y=2(x−1) 2 △ABO
【详解】解：∵二次函数
y=2(x−1) 2
∴顶点A(1，0)
∵点B在图像上且在y轴上
∴
y=2×(0−1) 2=2
∴B(0，2)
1
∴△ABO的面积= ×OA×OB=1
2
【针对训练】
1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【详解】∵抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令 ， ，解得：x=2，
∴ y=0 3(x−2) 2=0
令 ， ，
x=0 y=3×(0−2) 2=12
∴A(2,0) B(0,12)
OA=2，OB=12，
由勾股定理得：
AB=❑√22+122=2❑√37
1
∴S = ×2×12=12，
△AOB 2
．
C =2+12+2❑√37=14+2❑√37
△AOB
∴△AOB的面积为12，周长为14+2❑√37．
能力提升
1 已知抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛
物线上，则△ABC的面积为（ A ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
2．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若
AB＝3，则点M到直线l的距离是____________【详解】
解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h±❑√a，
即A（h﹣❑√a，0），B（h+❑√a，0），
∵AB＝3，∴h+❑√a﹣（h﹣❑√a）＝3，
9
解得：a＝ ，
4
9
故距离是 ．
4
