文档内容
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质第3课时，内容包括：二次函数y=a（x-h）2+k的图象
特征和性质。
2.内容解析
本节课是在学生已经学习了二次函数y＝ax2、y＝ax2+k、y=a（x-h）2的基础上，继续进行二次函数的
学习，这是对二次函数图象和性质研究的延续．本节课的核心内容是通过类比 y＝ax2的图象特征和性质进
行探究二次函数y=a（x-h）2+k的图象特征和性质．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数y=a（x-h）2+k的图象特征和性质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）用描点法画二次函数y=a（x-h）2+k的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=a（x-h）2+k2的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=a（x-h）2+k的图象特征及性质，并能
发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过选取适当的自变量的值，描点，连线，从而得到二次函数y=a（x-h）
2+k的图象．
达成目标（2）的标志是：知道抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴，顶点，开口方向，开口大小，最高
(低)点，增减性．理解把抛物线y=ax2向左（向右）向上（向下）平移后可得抛物线y=a（x-h）2+k.
达成目标（3）的标志是：在探究二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质的过程中，先通过类比二次函
数y=ax2的研究方法，得出二次函数y=a（x-h）2+k（a<0）的图象特征及性质，a>0的情况又是类比a<0
的学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y=a（x-h）2+k的图象特征和性质．
三、教学问题诊断分析
通过之前的课程学习，学生对于画抛物线的方法有了一定的了解，会用描点法画二次函数y=a（x-h）
2+k图象．在本节课上，学生第一次画顶点不在坐标轴上的抛物线图象，而是(h，k)．对于二次函数y=a
（x-h）2+k，需要学生用数形结合的思想进行研究．
基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数 y=a（x-h）2+k的图象特征和性质．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】尝试说出二次函数y=a（x-h）2图象特征和性质？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y=a（x-h）2的图象和性质进行板书．
【设计意图】复习回顾二次函数y=a（x-h）2的图象特征和性质，为本节课学习二次函数y=a（x-h）
2+k的图象特征和性质进行铺垫．
（二）探究新知
1
【问题】用描点法画二次函数y= - (x+1)2−1的图象。
2
1
师生活动：学生动手实践画出二次函数y= - (x+1)2−1的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒
2
体展示画图过程。
1
【问题】抛物线y= - (x+1)2−1的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
2
师生活动：小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面描述图象特征和性
质．如果学生在探究过程出现困难，需教师引导学生回顾二次函数y=a（x-h）2的相关内容，类比探究．
师：你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a<0）的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a<0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，对称轴是x=h，顶点是(hike)，顶点是抛物线的
最高点，函数最大值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈下降趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=a(x-h)2+k（a<0）的图象特征和性质．
1
【问题】描点法画抛物线y= (x+1) 2−1的图象？并回答下面问题？
2
1）抛物线的开口方向：________
2）抛物线的对称轴是：________
3）抛物线的顶点是________
4）顶点是最____点，函数都有最____值，最_____值为_______________________________
5）在对称轴_____，y随x的增大而_____；
在对称轴_____ ，y随x的增大而_____.1
师生活动：学生动手实践画出抛物线y= (x+1) 2−1的图象，教师通过多媒体展示抛物线的图象，
2
引导学生通过图象特征，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，发现不足。
师：你能说出二次函数y=a(x-h)2+k（a>0）的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
一般地，当a>0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，对称轴是x=h，顶点是(h,k)，顶点是抛物线的
最低点，函数最小值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右呈下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右呈上升趋势.
即当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=a(x-h)2+k (a)0)的图象特征和性质．
1 1 2
【思考1】抛物线y= (x+1) 2−1与y=− x 有什么关系？
2 2
1 1 2
师生活动：学生认真观察二次函数y=− (x+1) 2−1与y=− x 的图象后给出答案.教师通过多媒体
2 2
1 2 1 2 1
展示抛物线y=− x 的平移过程，并总结得出：y=− x 向左平移1个单位y=− (x+1) 2 向下平移
2 2 2
1
1个单位y=− (x+1) 2−1.
2
【思考2】有没有其它平移方法？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生根据图象特征，归纳总结其关系如下：
1 2 1 2 1
y=− x 向下平移1个单位y=− x -1向左平移1个单位y=− (x+1) 2−1
2 2 2
【思考3】抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2有什么关系？
师生活动：学生独立思考，小组讨论，师生共同梳理归纳：
一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同、位置不同。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y=a(x-h)2+k与y＝ax2的图象关系．
师：你能说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
【设计意图】整体梳理二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质．
（三）典例分析与针对训练
例1．二次函数：
1 1 1
①y=− x2+1； ②y= (x+1) 2−2； ③y=− (x+1) 2+2；
3 2 2
1 1 1
④y= x2； ⑤y=− (x−1) 2； ⑥y= (x−1) 2．
2 2 2
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
【针对训练】
1
1．抛物线y= (x−2) 2−3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______．
2
1
2．二次函数y= (x+3) 2+2的图象的对称轴是直线_________________；
2
3．二次函数 的最小值是_______ ．
y=(x−1) 2−5
4．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是__________ ．
5．已知函数 ，当 _______时，函数取得最大值．
y=−3(x+2) 2+4 x=
6．抛物线y=a（x+h）2-k的顶点在第三象限，则h _____0，k_____ 0．
【设计意图】理解与掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质。
1
例2．已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在二次函数y＝ （x﹣3）2﹣2的图象上，若x ＜x ＜3，则
1 1 2 2 1 2
5
y_____y（填“＞”、“＜”或“＝”）．
1 2
【针对训练】
1．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，若x ＜x ＜0，则
1 1 2 2 1 2
y_____y（填“＞”、“＝”或“＜”）。
1 2
2．已知二次函数 的图象上有三点 (1 )， ， ，则 ， ，
y=2(x−1) 2−m A ,y B(2,y ) C(−2,y ) y y
2 1 2 3 1 2
y 的大小关系为______．
3
【设计意图】比较二次函数y=a(x-h)2+k的函数值。
例3．当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小， 的取值范围是__________．
x<−1 y=2(x+m) 2+1 y x m
例4．二次函数 （h、k均为常数）的图象经过A（－2，y ）、B（0，y ）、C（2，
y=2(x−h) 2+k 1 2
y）三点，若y＜y＜y，则h的取值范围是___________．
3 2 1 3
【针对训练】
1．当二次函数 的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是_______________．
y=(x−1) 2+m
2．二次函数 在 时, 随 增大而减小，则 的取值范围是______．
y=(x−m) 2+1 x⩽1 y x m
3．当x≥m时，两个函数y＝﹣(x﹣4)2＋2和y＝﹣(x﹣3)2＋1的函数值都随着x的增大而减小，
1 2
则m的最小值为_____．
4. 若抛物线 的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
y=(x−m) 2+(m+1)
5．已知二次函数y=4(x-2h)2+8, x>5时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是_______．
6．二次函数 ，当m＜x＜m＋4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______．
y=(x−3m) 2+m2
【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质判断未知数的取值范围。例5．二次函数 ( 3) 2 3的图象 如图所示，则该函数在所给自变
y= x− + (1≤x≤3)
2 4
量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ）
3
A．y≥1 B．1≤ y≤3 C． ≤ y≤3 D．0≤ y≤3
4
例 6．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
y=a(x−1) 2−a(a≠0) −1≤x≤4 y −4 a
（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
【针对训练】
1．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函
y=(x−h) 2+1 2≤x≤4
数值y的最小值为5，则h的值为__________．
2．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为__________．
y=a(x−2) 2+a(a<0) −1≤x≤4 y −10 a
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
【设计意图】已知二次函数y=a(x-h)2+k自变量的取值范围，判断y的取值范围。
例7．已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
【针对训练】
1．已知抛物线的顶点坐标为(−1,9)，且经过x轴上一点(−4,0)．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)试说明：当x>−1时，函数值y随着x的增大而变化的情况．
【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质求解析式。
例8．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛物线上
y=a(x−3) 2+k
的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____【针对训练】
1．已知抛物线y＝（x﹣m）2+m-5的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．
【设计意图】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质，求图形周长或面积。
（四）能力提升
1．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2，3)，过点A作AB⊥y轴，垂足为
B，连接 ，抛物线 经过点A，与x轴正半轴交于点C．
OA y=−(x+1) 2+c+1
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的
边界），求m的取值范围．
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解与掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征与性质。
（五）直击中考
1．（2022·新疆·统考中考真题）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
y=(x−2) 2+1
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x<2时，y随x的增大而增大2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数 ，下列说法正确的是
y=(x−1) 2+5
（ ）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大
3．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A，
y=a(x+2) 2+k
B(−1,0)两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a<0 B．点A的坐标为(−4,0)
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x=−2
4．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法
y=2(x−4) 2+6
正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
5．（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y ），B（m，y ）都在二次函数y=（x-1）2+n的
1 2
图象上．若y＜y，则m的取值范围为（ ）
1 2
3 3
A．m>2 B．m> C．m<1D．
