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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．
一、情境导入
对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？
你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
【类型一】 二次函数 y ＝ a (x － h ) 2 ＋ k 的图象
求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．
解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次
函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．
解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x
＝1.当x＝1时，y ＝－2.
最小值
方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方
法是配方法和公式法．
【类型二】 二次函数 y ＝ a (x － h ) 2 ＋ k 的性质
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判
断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y)，(，y)是抛物线上两点，
1 2
则y>y.其中正确的是( )
1 2
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即
4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a
－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y)到对称轴x＝－1的
1
1 ..距离小于点(，y)到对称轴的距离，即y>y，∴④正确．综上所述，选B.
2 1 2
方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定
了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，
二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方
时，y<0.
【类型三】 利用平移确定 y ＝ a (x － h ) 2 ＋ k 的解析式
将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线
的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个
单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A.
探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用
【类型一】 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 的图象与几何图形的综合
如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x
轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B
重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)
解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝
4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长
＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.
方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的
周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．
【类型二】 二次函数 y ＝ a (x － h ) 2 ＋ k 的实际应用
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满
足函数y＝－(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步
降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降
低．
(2)当x＝10时，y＝－(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.
(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．
三、板书设计
2 ..教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象
与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
3 ..
