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22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．
2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．
一、情境导入
在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方
框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【类型一】 y ＝ a x 2 ＋ k 的图象与性质的识别
若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )
A．a＝2
B．当x＜0，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为(2，0)
D．图象有最低点
解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛
物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点
坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.
方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．
【类型二】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ k 增减性 判断
已知点(x，y)，(x，y)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
1 1 2 2
A．若y＝y，则x＝x
1 2 1 2
B．若x＝－x，则y＝－y
1 2 1 2
C．若0＜x＜x，则y＞y
1 2 1 2
D．若x＜x＜0，则y＞y
1 2 1 2解析：如图所示，选项A：若y＝y，则x＝－x，所以选项A是错误的；选项B：若
1 2 1 2
x＝－x，则y＝y，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x＜x，在对称轴的右侧，y随
1 2 1 2 1 2
x的增大而增大，则y＜y，所以选项C是错误的；选项D：若x＜x＜0，在对称轴的左侧，
1 2 1 2
y随x的增大而减小，则y＞y，所以选项D是正确的．
1 2
方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．
【类型三】 识别 y ＝ a x 2 ＋ k 的图象与一次函数图象
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(
)
解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线
开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.
【类型四】 确定 y ＝ a x 2 ＋ k 与 y ＝ a x 2 的关系
抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，
3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？
解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又
∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位
得到的．
方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者
可相互平移得到．
探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用
【类型一】 y ＝ a x 2 ＋ k 的图象与几何图形的综合应用
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的
三个顶点A、B、C，则ac的值是________．
解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互
相垂直平分且相等，不难求得B(－，)、C(，)，因为C(，)在函数y＝ax2＋c的图象上，
将点C坐标代入关系式即可求出ac的值．
解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点坐标为(，)．
∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴＝a()2＋c，即ac＝－2.
方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】 二次函数 y ＝ a x 2 ＋ k 的实际应用
如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮
筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.
(1)球在空中运行的最大高度为多少？
(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮
筐中心的水平距离是多少？
解：(1)∵y＝－x2＋的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.
(2)在y＝－x2＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x2＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限
内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25
＝－x2＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该
运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性
质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.
