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第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象．
2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的
排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系
中，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
【类型一】 y ＝ a ( x － h ) 2 的图象与性质的识别
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求
a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x
＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝.
方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h.
【类型二】 二次函数 y ＝ a (x － h ) 2 增减性的判断
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故
选D.
【类型三】 确定 y ＝ a (x － h ) 2 与 y ＝ a x 2 的关系
能否向左或向右平移函数y＝－x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若
能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，设平移后的函数为y＝－(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9－h)2，
所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.即抛物线的
1 ..顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；
若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”．
【类型四】 y ＝ a ( x － h ) 2 的图象与几何图形的综合
把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于
A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到
的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组得或∵点A在点B的
左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S ＝S －S ＝OC×8－OC×2＝12.
△ABC △OBC △OAC
方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性
质，体会数学建模的数形结合思想方法.
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