1
第09 讲用树状图或表格求概率
课程标准
学习目标
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机
事件所有可能的结果，以及指定随机事件发
生的所有可能结果，了解随机事件的概率．
1.经历猜测、试验、收集与统计试验数据、分析试验结
果等活动过程,进一步发展数据分析观念,体会概率与统
计的关系．
2.能运用列表和画树状图等方法计算一些简单随机事
件发生的概率:能用试验频率估计一些较复杂随机事件
发生的概率．
3.能运用概率解决一些简单实际问题,进一步发展应用
意识,
2
知识点一：古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能
性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中
结果，那么事件A 发生的概率为P（A）= n
m
知识点二：列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法。
知识点三：树状图法求概率
（1）树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率。
题型01
几何概率
1．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，
一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那
么小球停在4 号地砖上的概率是（
）
3
A．
1
2
B．1
4
C．1
6
D．1
8
【答案】D
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概
率的求法：小球落在4 号地砖上的概率就是4 号地砖的面积与总面积的比值．
【详解】解：如图，
由“七巧板”地砖的特点设AB
BC
CD
DE
a
，AC
FC
，
2
AC
FC
CE
a
，
∴4 号地砖的面积为
2
a ，整个正方形的面积为
2
1
1
2
2
4
2
8
2
2
AE CF
a
a
a
，
∴小球停在4 号地砖上的概率是
2
2
1
8
8
a
a
，
故选D
2．如图，地上画了两个半径分别为1m 和2m 的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的
（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1 次），任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率
为
．
4
【答案】1
4
【分析】本题考查几何概率，先求得整个图形的总面积和白色小圆的面积，再由白色小圆面积除以总面积
求解即可．
【详解】解：根据题意，总面积为
2
2
π
2
4π m
，白色小圆面积为
2
2
π
1
π m
，
∴任意投掷小石子一次，则投中白色小圆的概率为π
1
4π
4
，
故答案为：1
4 ．
3．如图，一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在红色区域的概率是
．
【答案】23
72
【分析】本题主要考查几何概率，随机事件A 的概率P （A）事件A 可能出现的结果数所有可能出现的
结果数．转盘停止后，指针落在红色区域的概率是红色区域的圆心角所占的比例，代入数据求解即可．
【详解】解：转盘停止后，指针落在红色区域的概率是115
23
360
72
，
故答案为：23
72 ．
4．如图所示，正方形EFGO的顶点O 在另一正方形ABCD的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假
设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是
．
5
【答案】1
7
【分析】求出图形和阴影的面积，再根据概率公式计算即可．本题考查了概率公式，根据题意弄清楚图形
之间的关系是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵正方形EFGO的顶点O 在另一正方形ABCD的对角线交点上，两个正方形的边长相等
∴
1
1
90
2
2
BOC
BO
BD
AC
OC
，
，
45
MBO
NCO
∴
90
EOG
∴
BOC
BON
EOG
BON
即
BOM
CON
MOB
NOC
∴
≌
，
1
4
S
S
阴影
正方形，
设正方形的面积为4a ，阴影的面积为a ，
则图形的面积为8
7
a
a
a
，
这个点取在阴影部分的概率是1
7 ．
故答案为：1
7 ．
5．一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？
6
【答案】4
5
【分析】本题考查了几何概率，整式的混合运算，解题关键是求得房屋的总面积．分别表示出房屋总面积
以及卧室和客厅的面积和，相除即可求得概率．
【详解】解：由图形可知，房屋总面积为：
8
4
8
2
4
4
2
30
a
b
a
a
a
b
b
b
ab
，
卧室和客厅的面积和为：
4
4
2
8
2
24
a
b
b
a
b
ab
，
他停留在卧室或客厅的概率是24
4
30
5
ab
ab
．
题型02
列举法求概率
6．2024 年“甲骨文杯”安阳马拉松赛于4 月21 日开赛，共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑项目．现从
这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是（
）
A．1
6
B．2
3
C．
1
2
D．1
3
【答案】B
【分析】本题主要考查了用列举法求概率，通过列举找出共有的选择数量，然后再选出选到欢乐跑项目的
数量，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：从这三个项目中随机选择两项进行推广，则有①全程马拉松、半程马拉松；②全程马拉松，
欢乐跑项目；③半程马拉松，欢乐跑项目一共3 种选择，
其中选到欢乐跑项目有2 种选项，
故选到欢乐跑项目的概率是：2
3
故选：B．
7．两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，0 ~ 9 各个数字及其算筹表
7
示的对应关系如下表：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
〇
横式
用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替
出现．如“
”表示87，“
”表示502，从“
”、“
”、“
”、“
”、“
”可以组成的所有两位数中，
随机抽取一个数，是奇数的概率为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
5
D．
1
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先根据题意得到五个符号表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、
9 必须要在十位，0、2、3 在个位，据此列举出所有符合题意的数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】
解：“
”、“
”、“
”、“
”、“
”分别表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9 必须要在十位，0、2、3
在个位，则可以组成的两位数有60，62，63，90，92，93，共6 个数，其中是奇数的有2 个，
∴随机抽取一个数，是奇数的概率为2
1
6
3
，
故选：B．
8．小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前8位，后三位是2 3 7
，，三个数字的某一种排列顺序，
但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（
）
A．1
3
B．1
6
C．1
9
D．1
4
【答案】B
【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排
序的结果是解题的关键．
【详解】解：因为后3 位是2 3 7
，，三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：2 3 7
，，；2 7 3
，，；3 2 7
，，；3 7 2
，，；
7 2 3
，，；7 3 2
，，；共6种情况，而正确的只有1种，所以第一次就拨通电话的概率是1
6 ，
故选：B ．
9．某企业进行产品内部探伤，现有3 件产品中，含有1 件次品，2 件良品，从中任取两件产品，求取出的
8
两件产品中含有次品的概率
．
【答案】2
3
【分析】本题考查的是利用例举法求解随机事件的概率，先例举所有的等可能的结果数与符合条件的结果
数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：3 件产品，含有1 件次品，2 件良品，用
1
2
,
a a 表示良品，用b 表示次品；
从中任取两件产品，所有可能结果有
1
2
,
a a
，
1,
a b ，
2
1
,
a a
，
2,
a b ，
1
,b a
，
2
,b a
，
∴取出的两件产品中含有次品的概率为4
2
6
3
，
故答案为：2
3
10．如图，在边长为1 的小正方形组成的2
2
的网格中有A，B 两个格点，在网格的格点上任取一点C（点
A，B 除外），恰能使ABC
为等腰三角形的概率是
．
【答案】5
7
【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使ABC
为等腰三角
形的点．
按照题意分别找出点C 所在的位置：当CA
CB
时，符合条件的点C 有3 个；当AB
AC
时，符合条件的
点C 有1 个；当BA
BC
时，符合条件的点C 有1 个；当根据概率公式求出概率．
【详解】解：如图，
9
可以找到5 个恰能使ABC
为等腰三角形的点，
概率为：
5
5
9
2
7
，
故答案为：5
7 ．
题型03
树状图求概率（放回型）
11．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课
活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A ．竞技乒乓；B ．围棋博弈：C ．名
著阅读：D ．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为（
）
A．1
12
B．1
6
C．1
4
D．1
3
【答案】C
【分析】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，数形结合是解题的关键．根据题意画出树状
图，可得共有16 种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4 种，由概率计算公式可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有16 种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4 种，
小明和小王选择同一个课程的概率为4
1
16
4
．
故选：C．
12．小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为自己喜欢的球队加油．现场的观赛区
分为A 、B 、C 三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小李购买门票在A 区观赛的概率为______．
(2)请用画树状图或列表的方法求小李和小张在不同区域观看比赛的概率．
【答案】(1) 1
3 ．
(2)小李和小张在不同区域观看比赛的概率为2
3 ．
【分析】本题考查的知识点是列表法与树状图法、概率公式，解题关键是熟练掌握列表法和树状图法．
10
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小李和小张在不同区域观看比赛的结果数，再利用概率公式即
可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，小李购买门票在A 区观赛的概率为1
3 ．
故答案为：1
3 ．
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小李和小张在不同区域观看比赛的结果共6种，
小李和小张在不同区域观看比赛的概率为6
2
9
3
．
题型04
树状图求概率（不放回型）
13．如图，三张完全相同的卡片正面分别标有数字符号
1
a 、2、3．将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，
分别作为分子和分母，则所得代数式为分式的概率为（
）
A．1
8
B．1
6
C．1
4
D．1
3
【答案】D
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分式的定义，根据题意正确画出树状图是解题关键．由树
状图可知，共有6种等可能额情况，其中所得代数式为分式的情况有2 种，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能额情况，其中所得代数式为分式的情况有2 种，
即所得代数式为分式的概率为2
1
6
3
，
11
故选：D
14．如图，某景区有A，B 两个入口，C，D，E 三个出口，星期天小丽和爸爸妈妈到该景区游玩，他们从B
入口进，从D 出口出的概率是（
）
A．1
6
B．1
5
C．
1
2
D．1
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到
他们从B 入口进，从D 出口出的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6 种等可能性的结果数，其中他们从B 入口进，从D 出口出的结果数有1 种，
∴他们从B 入口进，从D 出口出的概率为1
6 ，
故选：A．
15．四书五经是“四书”与“五经”的合称，四书之名始于南宋朱熹，五经之名则早始于汉武帝之时，向为历代
儒学子首要研学之书经．“五经”是指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，它们是儒家思想的瑰宝，是
中国传统文化的重要组成部分．若从这五部著作中随机抽取两部，则抽取的两部恰好是《诗经》和《春秋》
的概率是
．
12
【答案】1
10
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的两部恰好是《诗经》和《春秋》的情况数，即可求出所求
的概率．
【详解】解：设《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》分别为“A，B，C，D，E”，
列树状图如下：
由列表可知，共有20 种等可能的结果，其中恰好选中《诗经》和《春秋》的结果有2 种，
∴恰好选中《诗经》和《春秋》的概率
2
1
20
10
故答案为：1
10 ．
16．九年级某班四个阅读小组准备研读四部四大名著著作，现制作背面完全相同的4 张卡片，正面分别写
有《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》，将这4 张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选
一名代表从中依次抽取一张卡片(不放回)（四部书分别用A，B，C，D 代替）
(1)第一小组抽到《水浒传》的概率是；
(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写
13
的是《红楼梦》和《三国演义》的概率．
【答案】(1) 1
4
(2) 1
6
【详解】（1）解：∵共有4 张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《水浒传》的概率是1
4 ，
故答案为：1
4 ；
（2）由题意得，分别记《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》为A、B、C、D，画树状图得：
一共有12 种等可能性结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的情况
有两种，
所以，
2
1
12
6
P
，
故答案为：1
6 ．
17．如图，有四张大小、形状、质地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分别画有等边三角形、圆、矩形、
菱形．将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀．
(1)从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是事件；
（填“不可能”“随机”或“必然”）
(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，求取出的两张卡片正面所画的图形都是中心对称图形的概率．
【答案】(1)必然
(2)
1
2
14
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，概率，
（1）根据轴对称的定义判断出所给图片是否为轴对称图形，即可得；
（2）根据题意可得A，B，C，D 这四张卡片上的图形B，C，D 为中心对称图形，画树状图即可得；
掌握轴对称图形，中心对称图形的定义以及概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意可得A，B，C，D 这四张卡片上的图形均为轴对称图形，
∴从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是必然事件，
故答案为：必然．
（2）解：根据题意可得A，B，C，D 这四张卡片上的图形B，C，D 为中心对称图形，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，取出的两张卡片图形都是中心对称图形的结果为6 种，分别为B，C；B，D；
C，B；C，D；D，B；D，C；
∴取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是：6
1
12
2
．
18．在一个不透明的布袋里装有3 个标号为1、2、3 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从
布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，小丽从剩下的2 个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ，这
样确定了点P 的坐标( , )
x y ．
(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P 所有可能的坐标．
(2)求点
( , )
P x y 在函数
5
y
x
图象上的概率．
【答案】(1)有6 种可能
(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,
1) (3,2)
、
、
、
、
、
(2) 1
3
【分析】此题考查了用列举法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数
与总情况数之比．
（1）画出树状图，即可求解；
（2）共有6 种等可能的结果，求出点
( , )
P x y 在函数
5
y
x
图象上的结果有2 种，再由概率公式求解即
可．
15
【详解】（1）解：画树状图如下：
∴点P 的坐标( , )
x y 有6 种可能，分别是(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2)
、
、
、
、
、
．
（2）把(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2)
、
、
、
、
、
分别代入
5
y
x
，可得出：
只有
2,3 ，(3,2) 两点在函数
5
y
x
上，
∴点
( , )
P x y 在函数
5
y
x
图象上的概率为：2
1
6
3
19．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正
常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因
刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______．
(2)若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
【答案】(1) 1
3 ；
(2)正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是1
3 ，树状图见解析．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事
件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：1
3 ；
16
（2）解：画树状图得：
共有6 种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2 种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：2
1
6
3
题型05
列表法求概率（放回型）
20．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、
六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑
点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1 个数，则取出的2 个数之和是5 的倍数的概率是
（
）
A．1
5
B．2
5
C．1
3
D．8
25
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2 个数之和是5的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
2
4
6
8
10
1
1,2
1,4
1,6
1,8
1,10
3
3,2
3,4
3,6
3,8
3,10
5
5,2
5,4
5,6
5,8
5,10
7
7,2
7,4
7,6
7,8
(7,10)
17
9
9,2
9,4
9,6
9,8
9,10
共有25 种等可能的结果，其中取出的2 个数之和是5的倍数的结果有:
1,4 , 3,2 , 5,10 , 7,8 , 9,6 , 共5
种,
∴取出的2 个数之和是5的倍数的概率是5
1
25
5
，
故选: A．
21．【材料阅读】国务院总理李强5 月15 日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英
中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享
发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方
合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．
(1)根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随
机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；
(2)求两个国家选到同一个领域的概率．
【答案】(1)见解析
(2) 1
4
【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．
（1）根据列表法列出表即可．
（2）根据列表法求概率即可．
【详解】（1）解：由题意列表如下：
A
B
C
D
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)
由表可知，共有16 种等可能的选择结果．
（2）由(1) 可知，两个国家选到同一个领域的情况为
,
A A ，
,
B B ，
,
C C ，
,
D D ，
18
共4 种情况，
∴概率
4
1
16
4
P
22．某超市开展“端午节”大酬宾购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120 元，二
等奖60 元，三等奖10 元．抽奖一次的过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注
数字“1”、“2”、“3”，它们除数字不同外其他均相同，先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分
搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和
为4，则获三等奖，其余均不获奖．请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽奖一次获奖的概率．
【答案】2
3
【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共9 种等可能的结果，其中和为4，5，6 的结果共有6种，
∴顾客抽奖一次获奖的概率为6
2
9
3
．
题型06
列表法求概率（不放回型）
23．有四人坐在如图所示的圆桌周围，4 个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4 个
座位中的2 个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（
）
A．
1
2
B．1
3
C．1
6
D．1
9
【答案】B
19
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙
两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设①、②、③、④这4 个座位分别用A 、B 、C 、D 表示，列表如下：
A
B
C
D
A
( , )
B A
(C,A)
( , )
D A
B
( , )
A B
( , )
C B
( , )
D B
C
(A,C)
( ,
)
B C
( ,
)
D C
D
( ,
)
A D
( ,
)
B D
( ,
)
C D
由表格可知，一共有12 种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4 种：(A,C)，( ,
)
B D ，
(C,A) ，( , )
D B ，
甲、乙两人相对而坐的概率为4
1
12
3
，
故选：B．
24．在3 张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3 张小纸条做成3 支签，放在不透明的盒
子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1 支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意
抽出1 支签（不放回），乙再从余下的2 支签中任意抽出1 支签，求甲取胜的概率．
【答案】(1) 1
3
(2)
1
2
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有3 支签，写有“石头”的签有1 支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1 支签，抽到“石头”的概率是1
3 ，
故答案为：1
3 ；
20
（2）解：设分别用A、B、C 表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
甲乙
A
B
C
A
,
B A
,
C A
B
,
A B
,
C B
C
,
A C
,
B C
由表格可知，一共有6 种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有
,
A B ，
,
B C ，
,
C A ，共3 种，
∴甲获胜的概率为3
1
6
2
．
25．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为
2
、0、1，卡片除了数字
不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求
出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
【答案】(1) 1
3 ；
(2) 2
3 ．
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，有理数的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）找出三种卡片中负数卡片的个数即可求出所求的概率；
（2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，即可
得到答案．
【详解】（1）解：总共有3 种等可能事件，其中抽中负数有
2
，1 种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是1
3 ；
（2）解：方法1：画树状图如下：
21
共有6 种等可能的结果：
2,0
、
2,1
、
0,
2
、
0,1 、
1,
2
、
1,0
乘积分别为：0，
2
，0，0，
2
，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4 种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为4
2
6
3
．
方法2：列表如下：
第1 张第2 张
2
0
1
2
——
0，
2
1，
2
0
2
，0
——
1，0
1
2
，1
0，1
——
共有6 种等可能的结果：
2,0
、
2,1
、
0,
2
、
0,1 、
1,
2
、
1,0
乘积分别为：0，
2
，0，0，
2
，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4 种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为4
2
6
3
．
26．从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故
里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4 个小球，除
标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“天”、“水”，每次摸球前先摇匀．
(1)随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为；
(2)随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球
上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．
22
【答案】(1) 1
4 ；
(2)方法见解析，1
6 ．
【分析】本题考查了列表和画树状图求概率，掌握画树状图的方法和概率的计算公式是解题的关键．
（1）先确定随机摸出一个小球，所有等可能的结果和摸到“美”字的结果，再用概率的计算公式求解即可；
（2）列表，再确定所有等可能的结果和两次摸到的球上的汉字，一个是“天”、一个是“水”的结果，最后利
用概率的公式计算即可．
【详解】（1）由题意知，共有4 种等可能的结果，其中摸到“美”字的结果有1 种，
∴随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为1
4 ．
故答案为：1
4 ．
（2）列表如下：
最
美
天
水
最
（最，美）
（最，天）
（最，水）
美
（美，最）
（美，天）
（美，水）
天
（天，最）
（天，美）
（天，水）
水
（水，最）
（水，美）
（水，天）
共有12 种等可能的结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的结果有：（天，水），（水，
天），共2 种，
∴两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率为2
1
12
6
．
题型07
游戏公平性问题
27．甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字1
，0，1，2 的四张卡片（这些卡片除数字外其余均
相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的
卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若x
y
，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的
方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】公平，理由见解析
【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解
23
题的关键．
用列表法（或画树状图法），分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案．
【详解】这个游戏公平，
由题意可列表如下，
x
y
1
0
1
2
1
0, 1
1, 1
2, 1
0
1,0
1,0
2,0
1
1,1
0,1
2,1
2
1,2
0,2
1,2
由表可知，( , )
x y 可能出现的等可能结果共有12 种；
x
y
的情况有6 种，
甲获胜的概率
6
1
12
2
∵x
y
的情况有6 种，
乙获胜的概率
6
1
12
2
，
这个游戏对双方公平．
28．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10 个扇形，分别标有数字1 ~ 10，指针的位置固定，
转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向
右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明
获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜．
(1)上述游戏规则公平吗？请你说说理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据．
【答案】(1)上述游戏规则不公平，理由见解析
24
(2)见解析
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，游戏的公平性，解题的关键是熟练掌握概率公式．
（1）分别求出指针所指的数字大于6 的概率和指针所指的数字小于6 的概率，即可得出答案；
（2）设计游戏规则，使小明和小杰获胜的概率相等，即可得出答案
【详解】（1）解：上述游戏规则不公平．理由如下：
因为转盘被等分成10 个扇形，其中指针所指的数字大于6 有4 种可能，指针所指的数字小于6 有5 种可能
所以，P（小明获胜）
4
2
10
5
，
P（小杰获胜）
5
1
10
2
因为2
1
5
2
所以上述游戏规则不公平；
（2）解：规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获
胜．（答案不唯一）
依据：转盘被等分成10 个扇形，其中指针所指的数字不小于6 有5 种可能，指针所指的数字小于6 有5 种
可能，
所以，P（小明获胜）
5
1
10
2
，
P（小杰获胜）
5
1
10
2
，
因为1
1
2
2
，
所以上述游戏规则公平．
29．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，游戏规则如下：
A 盘被分成面积相等的4 个扇形，B 盘中小的扇形区域所占的圆心角是120．分别任意旋转两个转盘，将A
盘转出的数字，与B 盘转出的数字相乘，如果乘积是4 的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是6的倍数，则
小明赢得游戏．
25
(1)小明转动一次A 盘，求指针指向数字为2 的概率为；
(2)这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】(1) 1
4
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性，熟练掌握画树状
图或列表求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可．
【详解】（1）解：∵A 盘被分成面积相等的4 个扇形，
∴小明转动一次A 盘，求指针指向数字为2 的概率
1
4
，
故答案为：1
4 ；
（2）解：公平，理由如下：
∵B 盘中小的扇形区域所占的圆心角是120，
∴B 盘中大的扇形区域所占的圆心角
360
120
240
，
∴可以理解为B 盘中有两块圆心角是120的数字5的扇形区域，
∴列表如图所示：
A 盘B 盘
1
2
3
4
5
5
10
15
20
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
由表得：共有12种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有4 种，小明赢得游戏的结果有4 种，
∴小红赢得游戏的概率为：
1
4
1
12
3
P
，
小明赢得游戏的概率为：
2
4
1
12
3
P
，
∵
1
2
P
P
，
∴这个游戏对双方公平．
26
30．如图①，以陕西秦岭四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型设计的2021 年第十四
届全运会吉祥物，深受大众喜爱．一天，爸爸买回来四个吉祥物的挂件，让兄弟俩每人挑选两个，哥哥和
弟弟都想先挑选，于是爸爸设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：将一个可自由转动的转盘分成了
四个大小相同的扇形，分别标有数字1，2，3，4；另有一个不透明的袋子，装有分别标有数字7，8，9 的
三个完全相同的小球（如图②所示）．哥哥转动转盘，弟弟从袋中摸球，当转盘停止后，指针所指区域的数
字与随机从袋中摸出小球的数字之和为偶数时，哥哥先挑选；否则弟弟先挑选（指针指向分界线时重转）．
(1)弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为
；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】(1) 1
3
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：弟弟摸出的小球上的数字是“8”的概率为1
3 ，
故答案为：1
3 ；
（2）解：列表如下：
1
2
3
4
7
8
9
10
11
8
9
10
11
12
9
10
11
12
13
由表知，共有12 种等可能结果，其中摸出小球的数字之和为偶数的有6 种结果，摸出小球的数字之和为奇
27
数的有6 种结果，
∴哥哥先挑选的概率弟弟先挑选的概率
6
1
12
2
，
这个游戏对双方公平．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总
情况数之比．
题型08
概率与统计的综合问题
31．成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书
香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒
假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整
的统计图表．
类别
时长（单位：小时）
人数
A
3
t
4
B
2
3
t
20
C
1
2
t
D
0
1
t
8
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为，扇形统计图中B 类扇形所占的圆心角是°．
(2)该校共有1200 名学生，请你估计类别为C 的学生人数；
(3)本次调查中，类别为A 的4 人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画
树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
【答案】(1)50 人；144．
(2)432 人．
28
(3) 1
6
【分析】本题主要考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，
掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用D 类的人数除以其对应的百分比即可解答；用B 类所占的比例乘以360即可求得B 类扇形所占的
圆心角；
（2）先求出C 类的人数，然后用学生数乘以C 类所占的比例即可解答；
（3）先列表求得所有等可能结果数和两名都是女生的结果数，然后运用概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为8 16%
50
（人）．
扇形统计图中B 类扇形所占的圆心角是
20
360
144
50
．
故答案为：50 人；144．
（2）解：调查的C 类学生数有：50
4
20
8
18
18
1200
432
50
（人）．
∴估计类别为C 的学生人数约432 人．
（3）解：根据题意列表如下：
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
共有12 种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2 种，
∴恰好抽到两名女生的概率为2
1
12
6
．
32．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．其中A 等级中有两名男同学和
两名女同学，学校从A 等级中随机选取2 人进行经验分享，则恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为
29
（
）
A．
1
2
B．1
3
C．1
D．2
3
【答案】D
【分析】本题主要利用列表法或树状图求概率，运用列表法列出所有等可等结果，然后找出符合提议的结
果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意可列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
/
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男1，男2
/
男2，女1
男2，女2
女1
男1，女1
男2，女1
/
女2，女1
女2
男1，女2
男2，女2
女1，女2
/
从A 等级两名男同学和两名女同学中随机选取2 人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和
一名女同学共有8种情况，
所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为
8
2
12
3
P
．
故选D．
33．如图，连接正六边形ABCDEF 的对角线BE ，CE ，交对角线AD 于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内
随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（
）
A．
1
2
B．2
3
C．7
14
D．7
12
【答案】D
【分析】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形ABCDEF 面积的比例得出概率是解
题的关键，将对角线和
,
EF BC 的中点连接，设NDE
的面积为a，则正六边形ABCDEF 的面积为12a ，阴
影的面积为7a ，利用几何概率即可求得答案．
30
【详解】解：作如图所示连接，
设NDE
的面积为a，则正六边形ABCDEF 的面积为12a ，阴影的面积为7a ，
那么，一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是7
7
12
12
a
a
．
故选∶D．
34．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了
解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2 张“立春”和2 张“立夏”背面朝上放在桌面上
（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回）．再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好
不同的概率是（
）
A．2
9
B．1
6
C．1
3
D．2
3
【答案】D
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，理解题意，画出相应的树状图是解题的关键．根据题意，
可以画出相应的树状图，求得所有可能得结果数，以及抽到的两张邮票恰好不同的情况数，由于是等可能
性，从而可以得到小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率．
【详解】解：设“立春”用A 表示，“立夏”用B 表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12 种等可能结果，
31
其中小豫抽到的两张邮票恰好不同的情况有8 种，
小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率为8
2
12
3
．
故选：D．
35．甲、乙两名同学玩“石头、剪刀、布”游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是（
）
A．1
3
B．2
3
C．4
9
D．
1
2
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及甲获胜的结果数，再利用概率
公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪刀）
（石头，布）
剪刀
（剪刀，石头）
（剪刀，剪刀）
（剪刀，布）
布
（布，石头）
（布，剪刀）
（布，布）
共有9 种等可能的结果，其中甲获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3 种，
随机出手一次，甲获胜的概率是3
1
9
3
．
故选：A．
36．2024 龙年春晚的节目精彩纷呈，特别是刘谦的纸牌魔术惊艳全场，魔术的背后其实是一个巧妙的数学
原理．先选择不同点数的2 张扑克牌，将扑克牌对折剪开，任意打乱，然后同一方向摞在一起，随机抽取
两张，则这两张牌恰好可以拼成一张完整扑克牌的概率是
．
【答案】1
3
【分析】本题主要考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据题意画出树状图即可求
出概率．
【详解】解：将扑克牌对折剪开，分别记为A
B
C
D
、、、
，
其中A B
、可以拼成一张完整扑克牌，C
D
、
可以拼成一张完整扑克牌，
32
共有12种结果，符合条件的由4 种，
故
4
1
12
3
P
．
故答案为：1
3 ．
37．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动小明所在班级成绩全部合格，他将
自己班级学生的成绩（用x 表示）分为四组：A 组（60
70
x
），B 组（70
80
x
），C 组（80
90
x
），D
组（90
100
x
），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A 组所对应的圆心角的度数为_______°；
(3)把每组中各个学生的成绩用这组数据的中间值（如A 组：60
70
x
的中间值为65）来代替，试估计该班
的平均成绩；
(4)学校要从该班中成绩为满分且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全
知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】(1)作图见解析
(2)36
(3)85.5
(4) 1
6
【分析】（1）用频数分布直方图中C 组的频数除以扇形统计图中C 的百分比可得班级的学生人数，进而可
33
得B 组的人数，补全频数分布直方图即可．
（2）用360乘以A 组的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据平均数的定义计算即可．
（4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【详解】（1）解：班级的学生人数为10
25%
40
（人），
∴B 组的人数为40
20%
8
（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）∵
4
360
36
40
，
∴扇形统计图中A 组所对应的圆心角的度数为36；
故答案为：36；
（3）∵
4 65
8 75 10 85 18 95
40
85.5
（分），
∴估计该班的平均成绩为85.5分；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有：甲丁，丁甲，共2 种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为2
1
12
6
．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、平均数，能够读懂统计图，
掌握列表法与树状图法、平均数的定义是解题的关键．
38．中考过后，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1—大唐不夜城现代唐人街”，“2—
大唐芙蓉园”，“3—西安明城墙景区”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把3 个地点分别写在3 张背面
34
相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
(1)小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．
【答案】(1) 1
3
(2) 1
3
【分析】（1）直接根据概率公式即可求解；
（2）先列表格表示出所有可能出现的结果数，再找出小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两
个地方的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了根据概率公式求概率，根据列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是大唐不夜城现代唐人街的概率
1
3
．
故答案为：1
3
（2）解：所有情况列表格如下：
1
2
3
1
1，2
1，3
2
2，1
2，3
3
3，1
3，2
共6 种情况，其中同时选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方
有2 种情况．
∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率
2
1
6
3
．
39．小云和小南两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了四个小球，分别标有数字1
，2，3
，4，这
些小球除数字外其余都相同，搅匀后，小云从中任意摸出一个小球，记录小球上的数字后放回、搅匀，小
南再从中任意摸出一个小球，记录数字．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果；
(2)若摸出的两个小球上的数字之和是正数小云获胜；否则，小南获胜，请你说明谁获胜的概率大？
【答案】(1)16 种结果见解析
(2)小云获胜的概率大
35
【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出列表或树状图是解题关键．
（1）根据题意作出列表，即可获得答案；
（2）结合（1）求出小云和小南获胜的概率，比较即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题题意，列表如下，
小云
小南
1
2
3
4
1
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
3
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
4
1,4
2,4
3,4
4,4
由上表可知，共有16 种等可能出现的情况；
（2）由（1）中列表可知两个小球上的数字之和为正数的情况有10 种，两个小球上的数字之和为负数的情
况有6 种，
∴小云获胜的概率为10
5
16
8
=
，小南获胜的概率为6
3
16
8
，
∵5
3
8
8
，
∴小云获胜的概率大．
40．如图，A、B、C、D 是四个排成一排的座位，甲先从4 个座位中随机选择一个并坐下，然后乙在剩下的
座位中随机选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人座位不相邻的概率．
【答案】
1
2
【分析】本题考查画树状图求概率，正确画出相应的树状图是解题的关键．
甲有4 种选择方式，乙有3 种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲乙两人座位不相
邻的结果数，最后利用概率的公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下，
36
由树状图可得，一共有12 种等可能结果，其中甲乙两人座位不相邻的结果有6 种，即
(
) ( ,
) (
),( , ),(
)
)
,
,
,
,
,
(
,
A
C
A D
B D
C A
D A
D B
，
，
所以甲乙两人座位相邻的概率为：
6
1
12
2
P
．
41．经研究发现，体育锻炼有助于缓解人的紧张情绪，有效改善身体和心理健康状态．为了解某校九年级
男生短跑100m 的成绩，从中抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩分为“A，B，C，D”四个等级，绘制
成如下两幅不完整的统计图．
(1)
a
，b
；
(2)请补全折线统计图；
(3)扇形统计图中表示C 等级的扇形的圆心角度数为
；
(4)学校决定从A 等级的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名参加全市中学生100m 短跑比赛，请用
列表法或画树状图法求甲、乙两人中至少有一人被选中的概率．
【答案】(1)45，15
(2)见解析
(3)54
(4) 5
6
【分析】（1）用折线统计图中A 的人数除以扇形统计图中A 的百分比可得抽取的男生人数，用折线统计图
中B 的人数除以抽取的男生人数再乘以100% 可得%
a
，用折线统计图中C 的人数除以抽取的男生人数再乘
以100% 可得%
b
，即可得a，b 的值．
37
（2）求出D 等级的人数，补全折线统计图即可．
（3）用360乘以C 等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人中至少有一人被选中的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、折线统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答
本题的关键．
【详解】（1）解：抽取的男生人数为24
30%
80
（人），
∴%
36
80 100%
45%
a
=
复
=
，%
12
80 100%
15%
b
=
复
=
，
∴
45
a
，
15
b
，
故答案为：45；15，
（2）解：D 等级的人数为80 10%
8
（人）．
补全折线统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中表示C 等级的扇形的圆心角度数为360
15% 54
＝
．
故答案为：54，
（4）画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人被选中的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，
乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10 种，
∴甲、乙两人中至少有一人被选中的概率为：10
5
12
6
．
42．化学实验课上，杨老师带来了Mg （镁）、Al （铝）、Zn （锌）、Cu （铜）四种金属材料及其元素卡片
（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用
38
抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg
Al
Zn
、
、
可以置换出氢气，而Cu 不能
置换出氢气）
(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“ Al ”的概率为
；
(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图
的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
【答案】(1) 1
4
(2) 9
16
【分析】（1）根据概率公式计算即可求解；
（2 ）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“ Al ”的概率为1
4 ，
故答案为：1
4 ；
（2）解：用A
B
C
D
、、、
分别表示Mg 、Al 、Zn 、Cu ，画树状图如下：
由树状图可知，共有16 中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有9种，
∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为9
16 ．
43．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从
博物馆a 、植物园b 两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年
级组准备从博物馆a 、植物园b 、科技馆c 三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的
可能性相等．记选择博物馆a 为a ，选择植物园b 为b ，选择科技馆c 为c ，记七年级年级组的选择为x ，八
年级年级组的选择为y ．
39
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求
,x y 所有可能出现的结果总数；
(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P ．
【答案】(1)见解析
(2) 2
3
【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图．
（1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题；
（2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6 个等可能的结果，该校七年
级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4 种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可列表如下：
a
b
a
,a a
,b a
b
,a b
,b b
c
,a c
,b c
由表格可知，
,x y 所有可能出现的结果总数为以上6种；
（2）解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4 种，
P （七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）
4
2
6
3
．
44．某公司计划购入语音识别输入软件来提高办公效率．市面上有A、B 两款语音识别输入软件，该公司准
备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了20 个句子，其中每句都含10 个字．他用标
准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下
面给出了部分信息：
A 款软件每个句子中识别正确的字数记录为：
5，5，6，6，6
6，6，6，7，7
8，9，9，9，9
B 款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为：
40
10，10，10，10，10
A、B 两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表
软件
平均数
众数
中位数
识别正确达到10 个字的句子所占百分比
A 款
7.7
a
7.5
25%
B 款
7.7
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述中的
a
______，b ______，c ______；
(2)该公司现派三人采购小组前去购进一批语音识别输入软件，估计他们三人都同意购买A 款软件的概率是
多少？
【答案】(1)6，8，10%
(2)他们三人都同意购买A 款软件的概率是1
8
【分析】本题考查的知识点是求众数、求中位数、列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法
或树状图法求概率．
（1）结合数据或折线统计图即可得解；
（2）画树状图列出所有可能情况，找到同意购买款软件的情况数后即可求解．
【详解】（1）解：A 款软件每个句子中识别正确的字数出现次数最多的是6 个，共出现6 次，因此A 款软
件每个句子中识别正确的字数的众数为6 个，即
6
a
，
将样本中B 款软件每个句子中识别正确的字数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数
8
8
8
2
，
所以中位数是8 ，即
8
b
，
样本中B 款软件识别正确达到10 个字的句子所占百分比为2
20 100%
10%
，即
10%
c
，
故答案为：6，8，10% ；
（2）解：列树状图可得：
41
共有8 种等可能的结果，都选A 的由1 种，
所以他们三人都同意购买A 款软件的概率是1
8 ．
45．目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对
“中学生带手机”的态度（A．无所谓：B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查数据绘制成折线统计
图和扇形统计图（待完善）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查，共调查了名家长；
(2)扇形统计图中C 所对的圆心角度数为°；将折线统计图补充完整；
(3)在此次调查活动中，九（1）班、九（2）班分别有两位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4 位家
长中选2 位参加学校组织的家校活动，请用列表法或画树状图求选出的2 人来自不同班级的概率．
【答案】(1)200
(2)18，补全图形见解析
(3) 2
3
【分析】本题主要考查根据折线统计图与扇形统计图获取相关信息，包括满足条件的人数，圆心角度数，
列表法或树状图法求概率等，理解题意，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
（1）根据B 类的人数及扇形统计图中所占的百分比即可得出调查的总人数；
（2）先求出A 类的人数，再求出C 类的人数，然后用360乘以C 类百分比即为圆心角，然后补全折线统
计图即可；
42
（3）利用列表法表示出所有可能，然后求概率即可．
【详解】（1）解：此次抽样调查，共调查家长40
20%
200
（名）；
（2）解：A 态度人数为200 15%
30
（名），
C 态度的人数为
200
30
40 120
10
（名），
所以扇形统计图中C 所对的圆心角度数为
10
360
18
200
，
（3）解：设九（1）两位家长分别为
1A ，
2
A ，九（2）两位家长分别为
1
B ，
2
B ，列表如下：
1A
2
A
1
B
2
B
1A
1
2
,
A A
1
1
,
A B
1
2
,
A B
2
A
2
1
,
A A
2
1
,
A B
2
1
,
A B
1
B
1
1
,
B A
1
2
,
B A
1
2
,
B B
2
B
2
1
,
B A
2
1
,
B A
2
1
,
B B
由表可知，共有12 种等可能结果，其中2 人来自不同班级的共有8 种，
所以选出的2 人来自不同班级的概率为8
2
12
3
．
46．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习
空间，成立了5 个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A ．音乐；B ．体育；C ．美术；D ．阅
读；E ．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计
结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
43
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了_______名学生；扇形统计图中，圆心角________，
②请将条形统计图补充完整；
(2)若该校有3600 名学生，估计该校参加D 组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请
用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400，54；②见详解；
(2)1260；
(3) 1
6
【分析】本题考查扇形图，条形图，树状图求概率．
（1）①有B 组人数即占比可求得总人数，先求出C 组人数，再求其圆心角即可；②把A、C 组人数求出即
可补全条形统计图；
（2）先求样本中D 组所占比例，再估计其人数即可；
（3）先画出树状图，再求其概率即可．
【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生为100
25%
400
（人）
A 组人数为400 15%
60
，
C 组人数为400 100 140
40
60
60
扇形统计图中，圆心角
60
360
54
400
，
故答案为：400，54；
②补全条形统计图如下：
44
（2）
140
3600
1260
400
（人）
答：估计该校参加D 组（阅读）的学生人数为1260 人；
（3）画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的结果有2 种，故其概率为
2
1
12
6
．
47．某商人在游乐场制作了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转
盘，若指针指向数字“2、4、6”，则收费2 元，若指针指向数字“3”．则奖3 元；若指针指向数字“1”，则奖1
元，若指针指向数字“5”，则获得再转一次转盘的机会．
(1)任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2 元、获奖3 元、获奖1 元的概率分别为______、______、
______．
(2)任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为______．
(3)一天，一名游客转动转盘1 次，转盘停止后，获得再转一次转盘的机会的概率是______．
【答案】(1)
1
2 ，1
8 ，1
4
45
(2) 3
8
(3) 1
8
【分析】（1）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者交费2 元、获奖3 元、获奖1 元的概率各
为多少．
（2）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获奖的概率．
（3）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获得再转一次转盘的机会的概率.
本题主要考查了简单的几何概型，掌握“面积比即概率” 是解题的关键．
【详解】（1）指针指向数字“1”的圆心角为：360
60
3
45
2
90
，
∴参与者交费2 元的概率为：60
60
60
1
360
2
；
参与者获奖3 元的概率为：45
1
360
8
；
参与者获奖1 元的概率为：90
1
360
4
；
故答案为：
1
2 ，1
8 ，1
4 ．
（2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为：90
45
3
360
8
，
故答案为：3
8 ．
（3）游客获得再转一次转盘的机会的概率为：45
1
360
8
，
故答案为：1
8 ．
48．为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑
腿跑”趣味运动比赛（每班有5 名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，
队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15 名学生参加训练，并将15 名学生
的身高（单位：cm ）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，
171，173，176；
(1)15 名学生的身高数据如下表：
平均数
中位数
众数
167.4
m
n
根据信息填空：m __________，n __________；
46
(2)在训练中，将15 名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，
则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高
163
166
166
167
167
乙组学生的身高
162
163
165
166
176
(3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身
高相同的概率．
【答案】(1)167；166
(2)甲组
(3) 1
10
【分析】本题考查中位数、众数、方差等统计量，画树状图或列表法求概率．
（1）根据中位数、众数的概念即可求解；
（2）分别计算两组数据的方差，即可判断；
（3）把168 记为A，169 记为
1
B ，169 记为
2
B ，171 记为C，173 记为D，画树状图求出概率即可．
【详解】（1）解：15 名学生的身高排序后，处于中间位置（第8 位）的是167，
∴中位数是167，即
167
m
；
15 名学生的身高中，166 出现的次数最多，
∴众数是166，即
166
n
．
故答案为：167，166
（2）解：甲组学生的身高的平均数
163 166
2
167
2
165.8
5
x
甲
，
方差
2
2
2
2
163 165.8
166 165.8
2
167 165.8
2
2.16
5
s
甲
；
乙组学生的身高的平均数
162
163 165 166
176
166.4
5
x
乙
，
方差
2
2
2
2
2
2
162 166.4
163 166.4
165 166.4
166 166.4
176 166.4
25.04
5
s
乙
∵
2
2
s
s
甲
乙，
∴获胜机率大的是甲组．
47
故答案为：甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168 记为A，169 记为
1
B ，169
记为
2
B ，171 记为C，173 记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20 种等可能结果，其中5 名同学中身高相同的结果有2 种，
P （恰好抽到两名引导员身高相同）
2
1
20
10
．
答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为1
10 ．
49．“七彩云南·欢乐世界”是云南省重点历史文化旅游项目，以“古滇文化”、“民族文化”、“地域文化”为特色
某校为让学生了解家乡，亲近自然，增强学生集体观念和团体意识，某组织全校师生去往此地开展研学活
动．活动结束后，该校举行了“古滇文化知识竞赛活动”，并随机抽查八、九年级各15 名同学成绩进行分析，
相关信息如下：
成绩x /分
12
14
x
14
16
x
16
18
x
18
20
x
八年级
4
3
5
3
九年级
0
0
5
10
九年级抽取的15 名同学竞赛成绩统计
平均数
中位数
众数
方差
八年级
15.4
a
16
8
九年级
18.2
18
b
2
48
说明：八年级抽取的15 名同学的竞赛成绩在14
18
x
分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，
15，16．根据以上信息，解答下列问题．
(1)
a
______；b ______；
2s八______
2s九，（填“”“”或“ ”）．由此，你认为哪个年级同学掌握有关“古滇
文化”的知识更好？请说明理由．
(2)学校从“18
20
x
”范围内随机抽取了4 名学生，其中有3 名男生和1 名女生，若从这4 名学生中随机选
取2 名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2 名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)16；19；．九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好
(2)
1
2
【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差；
（1）根据中位数、众数、方差的定义可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选取的2 名学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【详解】（1）（1）将八年级抽取的15 名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8 名的成绩为16，
16
a
．
由九年级抽取的15 名同学的竞赛成绩统计图可知，
19
b
．
八年级成绩的方差为8，九年级成绩的方差为2，
2
2
S
S
八
九．
故答案为：16；19；．
九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好．
理由：九年级成绩的平均数、中位数、众数都大于八年级，且九年级成绩的方差小于八年级，
九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好．
（2）列表如下：
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
49
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
共有12 种等可能的结果，其中所选取的2 名学生恰好是一男一女的结果有6 种，
所选取的2 名学生恰好是一男一女的概率为6
1
12
2
．
