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第20 讲 角的比较与运算
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 角的比较
题型2 角度的四则运算
题型3 三角板中角度计算问题
题型4 实际问题中角度计算问题
题型5 角平分线的有关计算
题型6 角n 等分线的有关计算
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
角的比较、叠合法、度
量法、角的和差、角平
分线、度分秒运算、类
比思想。
1. 掌握角的大小比较的两种方法：度量法和叠合法，能根据图形选择合适方
法比较角的大小。
2. 理解角的和、差运算，能从图形中识别并计算角的和差关系（如∠AOC=∠
AOB+∠BOC）。
3. 理解角平分线的概念，掌握其文字语言、图形语言与符号语言的表述，能
运用角平分线进行角度计算。
4. 会进行涉及度、分、秒的角度的加、减运算，体会类比思想（类比线段比
较与和差）。
学习重点：掌握角的大小比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念及数量关系，会进行角
的和差与角平分线的相关计算。
学习难点：从复杂图形中准确识别角的和差关系，以及进行含度、分、秒的角度的加、减运算（特别
是借位与进位）。
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知识点01 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB
＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【易错提醒】
角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的
大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。
勿仅凭视觉判断。
即时即练1．已知
1
76 24
，
2
76.24
，
3
76.4
，下列说法正确的是（ ）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
知识点02 角的运算
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记作：∠1＝∠AOB-∠
2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
【易错提醒】
角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60 进1，不够借1 当60。乘法时度分秒分别乘，满60 进位；
除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如 \(1°=60'=3600''\)）。勿
用十进制直接加减。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部的一条射线，图中有三个角：
AOB
，
AOC
和
BOC
，当
其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC 为
AOB
的“巧分线”．如果
72
MPN
，PQ 是
MPN
的“巧
分线”，则
MPQ
的度数为
．
2．计算：
(1) 47 53 43
53 47 42
；
(2)92 56 3
46 57 54
．
知识点03 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
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注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【易错提醒】
角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，
不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P 在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。
勿与中线混淆。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部任意的一条射线，OM 、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分
线．
(1)若
20 ,
30
AOM
BON
，求
MON
的度数；
(2)若
120
AOB
，则
MON
；若
AOB
，则
MON
．
题型1 角的比较
【例1】如图，用同样大小的三角板此较
A
和
B
的大小，下列判断正确的是（ ）
A．
A
B
B．
A
B
C．
A
B
D．没有量角器，无法确定
【例2】如图，下列各式中不一定正确的是（ ）
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A．
BOD
COD
B．
1
2
AOC
C．
1
2
3
D．
1
2
AOD
BOD
【技巧归纳】
角的比较：度量法（用量角器读数比较）、叠合法（将顶点和一边重合，比较另一边的位置）。注意角的
大小与边的长短无关。也可通过估算：锐角<直角<钝角。若用度数表示，直接比较数值。在复杂图形中，
利用已知角（如直角、平角）作参照。叠合法时注意边的方向。
【变式3-1】如图，已知OB 是
AOC
内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A．
2
AOC
BOC
B．
BOC
AOB
C．
AOC
可以用
O
表示
D．
1
与
AOB
表示同一个角
3.（23-24 六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则
1
与
2
的大小关
系为（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
1
2
D．无法比较
题型2 角度的四则运算
【例3】计算：
(1)89 35
20 20
（结果用度、分、秒表示）；
(2)123 24
60 36
（结果用度表示）．
【例4】计算：
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(1) 40 26
30 30 30
6
；
(2)13 53
3
32 5 31
．
【技巧归纳】
角度运算：度分秒进制60。加减时度、分、秒分别计算，满60 进位，不够借1（1°=60′，1′=60″）。乘法
时分别乘后再进位。除法时从度开始除，余数换成分再除。如180°-36°45′，先减分：借1°化60′，得143°
15′。注意书写格式，结果可保留小数。常用计算器辅助。
【变式3-1】计算：
(1)180
18 15
6
；
(2)
90
78 36
13 10
4
．
3．（24-25 七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)153 29 42
26 40 32
；
(2) 42 15
5
；
(3)62 24 17
4
；
(4)
180
34 54
21 33
．
题型3 三角板中角度计算问题
【例5】如图，将一副三角尺的两个锐角（45角和60角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作
1
和
2
，若
1
23
，则
2
的度数为
．
【例6】如图，将一个直角三角板的30角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若
1
20 30
，则
EAB
．
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【技巧归纳】
常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，
45-30=15）。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知
角减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。
【变式3-1】如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA 平分
BAC
，则
CAE
的度数是
．
【变式3-2】一副三角板按如图方式摆放，点
,
,
B C D 在同一条直线上，
45 ,
30
A
E
．现将三角板DCE
绕点C 逆时针旋转一周，当AC 所在直线恰好平分
DCE
时，三角板DCE 转过的角度为
．
题型4 实际问题中角度计算问题
【例7】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），
则阳光与平面镜的夹角（
1
）为
【例8】如图，甲从O 处出发沿北偏东15向走向A 处，乙从O 处出发沿南偏西55方向走到B 处，则
BOA
的度数是
．
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【技巧归纳】
根据实际问题抽象出几何图形，找出已知角和未知角关系。常用公式：互余、互补、对顶角相等、角平分
线、平行线性质。设未知数列方程，如角度和为90°或180°。注意单位换算，画辅助线。如楼梯角度、阳光
影子。解后检验是否合理（如角度范围0~360°）。结合生活常识。
【变式3-1】如图所示，若入射光线与平面镜成25夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，
则入射光线与反射光线的夹角的度数为
．
3．（24-25 七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42 届菊花文化节于2024 年10 月
18 日至11 月18 日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与
妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B 点）在东门（A 点）的
北偏西）32 30
方向，爸爸（C 点）在小亮他们（B 点）的南偏西50.2方向，则
ABC
的度数为
．
题型5 角平分线的有关计算
【例9】如图，点O 在直线AB 上，OC
OD
．
(1)若OC 平分
BOE
，
25
BOD
，则
AOE
________．
(2)若
BOD
为锐角，
2
AOE
BOD
，请说明OC 平分
BOE
．
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【例10】如图，OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
130
AOB
．
(1)求
COE
的度数是多少？
(2)如果
20
COD
，求BOE 的度数．
【技巧归纳】
角平分线将角分成两个相等角，OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关
系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。
注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x 表示部分角更简便。
【变式5-1】已知OC 是过点O 的一条射线，OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
．
(1)当射线OC 在
AOB
的内部时
①如图①，若
80
AOB
，则
DOE
_________；
②如图②，若
AOB
x
，求
DOE
的度数（用含x 的式子表示）；
(2)当射线OC 在
AOB
的外部时，
AOB
x
，请借助备用图探究
DOE
的度数是________（直接写出答
案）
【变式5-2】【问题背景】已知OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
【问题再现】（1）如图1，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
．求
MON
的度数；
【问题推广】（2）如图2，
90
AOB
，从点O 出发在
BOC
内引射线OD，满足
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BOC
AOC
COD
．若OM 平分
COD
．求
BOM
的度数；
【拓展提升】（3）如图3，在
AOC
的内部作射线OP ，在
BOC
的内部作射线OQ ．若
1 2
COP
BOQ
：
= ：；求
AOP
和COQ 的数量关系．
题型6 角n 等分线的有关计算
【例11】在
AOB
的内部作射线OC ，射线OC 把
AOB
分成两个角，分别为
AOC
和
BOC
，若
1
3
AOC
AOB
或
1
3
BOC
AOB
，则称射线OC 为
AOB
的三等分线．若
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线，则
AOC
的度数为（ ）
A．20
B．40
C．20或40
D．20或30
【技巧归纳】
n 等分线将角分成n 个相等角。若射线OC 是∠AOB 的m 等分线（从OA 起第m 条），则∠AOC=m/n·∠
AOB。已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：
∠AOC=1/3∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。
【变式6-1】定义：从
AOB
的顶点出发，在角的内部引一条射线OC ，把
AOB
分成1: 2的两部分，射线
OC 叫做
AOB
的三等分线．若在
MON
中，射线OP 是
MON
的三等分线，射线OQ 是
MOP
的三等分
线，设
MOQ
x
，则
MON
用含x 的代数式表示为
．
一、单选题
1．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（ ）．
A．15
B．65
C．105
D．150
2．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，OM ，ON ，且ON 始终在OM 的右侧，若OM 平分
BOC
，
112
BOC
，
70
MON
，则
BON
的度数为（ ）
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A．14
B．16
C．24
D．28
3．如图，
120
AOB
，OC 是
AOB
内部任意一条射线，OD 、OE 分别是
AOC
、
BOC
的角平分线，
下列叙述正确的是（ ）
A．
DOE
的度数不能确定
B．2 AOD
EOC
C．
60
AOD
BOE
∠
∠
D．
2
BOE
COD
4．已知
110
AOC
，过点O 作射线OB ､OM ，使
20
AOB
，OM 是
BOC
的平分线，则
AOM
的度
数为（ ）
A．35
B．45或65
C．40
D．55或65
5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O 附近有A，B，C，D，E，F，6 座海轮，其中F 到灯塔的距
离为10km ，海轮F 在灯塔和海轮D 的中点处．且
42 30
AOD
，
78.5
DOE
AOC
．则下列说法正
确的是（ ）
①若海轮F 的速度为30km / h ，则海轮F 抵达灯塔最少需要20 分钟；
②
43
EOC
；
③
59
BOE
；
④C 在灯塔的北偏东11 30
的方向上．
A．①④
B．①②
C．①③④
D．①②③④
二、填空题
6．计算：71
34 40
__________，24 17
5
__________．
7．如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，1
26 50 28
，则
2
的度数是
__________．
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8．已知点O 为直线AB 上一点，将直角三角板MON 如图所示放置，且直角顶点在O 处，在
MON
内部作
射线OC ，且OC 恰好平分
MOB
．若
2
BON
NOC
，则
AOM
的度数为__________．
9．在
AOB
的内部引一条射线OC ，则图中共有三个角，分别是
AOB
、
AOC
、
BOC
．若其中有一个
角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“好好线”．若
30
AOC
，且射线OC 是
AOB
的“好好线”，则
AOB
的度数有下列情况：
45 ,
60 ,
90 ,
120
①
②
③
④
，其中正确的是______（填序号）．
10．如图1，点A，O，B 依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O 沿顺时针方向以每秒4的速度转动，同
时射线OB 绕点O沿逆时针方向以每秒6的速度转动，直线MN 保持不动，如图2，设转动时间为t（0
60
t
，
单位：秒）当
3
t
时，
AOB
的度数是________；在转动过程中，当t ________时
80
AOB
．
三、解答题
11．计算：
(1)67 39
48 41
；
(2)90
39 9 50
2
．
12．如图 1，点O 在直线AB 上，
90
COD
OE
，
平分
BOC
．
(1)若
50
AOC
，求
DOE
的度数；小杨的解题过程如下：
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解：∵
50
AOC
180
130
BOC
AOC
．
OE
平分
BOC
，
COE
= °．
90
DOE
COD
COE
(2)将
COD
按图 2 所示的位置进行放置，请猜想
AOC
与
DOE
间的数量关系，并给出证明．
13．如图所示，将一副三角板的直角顶点O 重合叠放在一起．
(1)如图1 若
50
BOD
，求
AOC
的度数；若
135
AOC
，求
BOD
的度数；
(2)如图2 若
145
AOC
，求
BOD
的度数；
(3)猜想
AOC
与
BOD
的数量关系，并结合图1 说明理由．
14．已知，OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
(1)如图1 所示，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
，求
MON
的度数；
(2)如图2 所示，
AOB
x
，射线OP ，射线OQ 分别从OC OB
，
出发，并分别以每秒1和每秒2的速度绕
着点O 逆时针旋转，OP 和OQ 分别只在
AOC
和
BOC
内部旋转，运动时间为t 秒．
①直接写出
AOP
和
COQ
的数量关系；
②若
150
AOB
，当
2
3
POQ
BOP
，求t 的值．
15．已知直角三角板ABC 中，
60
BAC
，
90
ABC
，将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
，旋转
角记为
．
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(1)当旋转方向为逆时针方向，且
75
时（如图1），求
'B AC
和
'
BAC
的大小；
(2)当旋转方向为逆时针方向，且
90
时，在图2 中，画出旋转得到的
'
'
AB C
；
(3)当
0
90 时．
①若
'
'
3
BAC
BAB
，求
的度数．
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D 为BC 上一点，
'
1
3
CAD
C AC
，在旋转过程中，若
'
C AD
与
BAD
始终满足
'
m C AD
BAD
为定值，求常数m 的值．
