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第21 讲 余角和补角
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个角的余角
题型2 求一个角的补角
题型3 利用一元一次方程求余角或补角
题型4 与余角、补角有关的计算
题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
余角、补角、互余、互
补、性质、同角或等角、
方位角。
1. 理解余角和补角的概念（余角：两角和为90°；补角：两角和为180°），
能准确判断互余与互补关系。
2. 掌握余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的
补角相等。
3. 能根据余角、补角的性质进行简单的角度计算与推理证明。
4. 了解方位角的概念，能结合图形识别方位角，体会几何知识在实际生活中
的应用。
学习重点：余角和补角的概念及其性质，能进行相关的角度计算。
学习难点：理解“同角（或等角）的余角（补角）相等”的推理过程，并能运用该性质进行简单的几
何证明；方位角的识别与表达。
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知识点01 余角、补角的概念与性质
1.余角概念
余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.补角概念
补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.
3.余角的性质：同角或等角的余角相等.
4.补角的性质：同角或等角的补角相等.
【易错提醒】
余角补角易错警示：互余两角和90°，互补两角和180°。性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的
补角相等。注意：余角/补角是数量关系（只与度数有关），与位置无关。锐角有余角，钝角有补角，直角
无余角。勿将补角与邻补角混淆。
即时即练1．如图，点O 在直线AD 上，过点O 作OC
AD
，射线OB 在
AOC
内，过点O 作OE
OB
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
AOE
COB
B．
AOB
与
COB
互为余角
C．
COE
DOE
D．
COE
与
AOB
互为补角
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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2．如图，点O 是直线AB 上的一点，OC 是任意一条射线，OD 平分
BOC
，OE 平分
AOC
．
(1)图中
BOC
的补角为 ．
(2)若
62
BOC
，求
AOE
的度数．
(3)
COD
与
EOC
存在怎样的数量关系？
题型1 求一个角的余角
【例1】一个角是40，则这个角的余角的度数是
．
【例2】已知
24 34
A
，那么
A
的余角度数为
．
【技巧归纳】
余角：两角和为90°。若∠A 的余角为90°-∠A。互余的两个角均为锐角。注意：只有锐角有余角，直角和钝
角没有余角。求时直接用90°减已知角，若结果为负则不存在。若已知两个角互余，设其中一个为x，则另
一个为90°-x。常用于方程。常与直角结合。
【变式1-1】已知
38 30
A
，则
A
的余角大小是
．
3．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
1
27 45
，
2
的余角的大小是
．
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题型2 求一个角的补角
【例3】已知1
43 30
，那么
1
的补角等于
．
【例4】若
137 49
A
，则
A
的补角的余角为
．
【技巧归纳】
补角：两角和为180°。∠A 的补角为180°-∠A。锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角。
求时直接180°减已知角。若已知两个角互补，设x，另一个180°-x。用于平行线、四边形内角。注意0°<角
<180°才有补角。常用方程求解。与余角类似但和不同。
【变式1-1】已知点A 在点B 的南偏西30方向上，点C 在点B 的北偏西40方向上，则
ABC
的补角的度
数为
．
3．（24-25 七年级上·新疆吐鲁番·期末）若
55 17
A
，则
A
的余角等于
，补角等于
．
题型3 利用一元一次方程求余角或补角
【例5】已知一个角的余角的4 倍与这个角的补角的和是180，求这个角的度数．
【例6】已知一个角的余角的2 倍比它的补角少50，求这个角的度数．
【技巧归纳】
设未知角为x，根据“余角=90°-x”或“补角=180°-x”，列方程。如“一个角的补角比它的余角的3 倍多
20°”，则180-x=3(90-x)+20，解出x。注意未知数的范围（锐角）。解方程后检验是否满足题意。常结合
倍数、差条件。列出方程后按步骤求解。验证结果合理性。
【变式1-1】已知
1
与
2
互为邻补角，且
1
比
2
的3 倍少20，求
1
与
2
的度数．
3．（24-25 七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的1
3 小20，求这个角的度
数．
题型4 与余角、补角有关的计算
【例7】如图，O 为直线AB 上一点，OD 平分
AOC
，
90
DOE
．
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(1)若
50
AOC
，求
BOD
的度数；
(2)试判断BOE 和
COE
有怎样的数量关系，说说你的理由．
【例8】如图，已知
AOD
和BOE 都是直角，它们有公共顶点O．
(1)若
60
DOE
，求
AOB
的度数．
(2)判断
AOE
和
BOD
的大小关系，并说明理由．
(3)猜想：
AOB
和
DOB
有怎样的数量关系，并说明理由．
【技巧归纳】
利用余角、补角定义列等式。多个角关系：设中间角为x，用x 表示其他角。如∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C
互补，则∠A=90°-∠B，∠C=180°-∠B。常用方程思想。注意一个角的余角与补角之差为90°（补角-余角
=90°）。可由此快速求解。结合图形找等量关系。结果需在范围内。
【变式1-1】如图，直线AB 与CD 相交于点O，OE
AB
，OF
CD
．
(1)图中与
AOF
互余的角是 与
COE
互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来）
(2)如果
AOC
比
EOF
的1
5 小6，求
BOD
的度数．
3．（24-25 六年级下·黑龙江大庆·期中）已知
120
AOB
，
COD
在
AOB
内部，
60
COD
．
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(1)如图①，若
30
BOD
，求
AOC
的度数；
(2)如图②，若OE 平分
BOC
，请说明：
2
AOC
EOD
；
(3)如图③，分别作
AOP
，
BOQ
，其中
90
AOP
AOC
，
90
BOQ
BOD
，试探究
AOP
，
BOQ
，
COD
三者之间的数量关系，并说明理由．
题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用
【例9】如图，已知
1
2
90
2
3
90
，
．
(1)
1
与
3
是什么关系？为什么？
(2)当
1
与
4
满足什么关系时，
2
与
4
相等？为什么？
【例10】如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合．
(1)若
40
ACE
，求
DCB
的度数；
(2)写出以C 为顶点的所有相等的角；
(3)请找出
ACB
与
DCE
之间的数量关系，并说明理由．
【技巧归纳】
同角（或等角）的余角相等，补角相等。用于等量代换：如∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。在几何
证明中，用于证明角相等。也可由相等推出余角或补角相等。注意分清“同角”和“等角”。应用时，先
找公共角或相等角，再利用此性质转移角度。简化计算。
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【变式1-1】如图，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C 为顶点的所有相等的角_____________________________．
(2)若
148
ACB
，求
DCE
的度数．
(3)猜想：
ACB
与
DCE
之间的数量关系为___________．
3．（24-25 六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一
起，如图1．
(1)
32 48
BOD
，则
AOC
_____．
(2)写出图1 中相等的角；
(3)若
BOD
变大，
AOC
如何变化，说明原因；
(4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2 中利用直角三角尺画一个与
MON
相等的角．
一、单选题
1．已知
70
A
，则它的余角是（ ）
A．20
B．110
C．30
D．40
2．已知一个角比它的余角的4 倍还多15，则这个角的补角的度数为（ ）
A． 15
B． 35
C． 75
D． 105
3．如图，一副直角三角板如图摆放，若
55
，则
的度数是（ ）
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A．15
B．25
C．35
D．45
4．如图，点B，O，D 在同一条直线上，
90
COA
，直线DB 从与OA重合的位置开始绕点O 逆时针旋
转，形成
1
（小于45），
2
，
3
．当
3
增加15时，下列说法正确的是（ ）
A．
2
增加15
B．
2
减少15
C．
1
增加30
D．∠1 减少30
5．如图，在同一平面内，
90
AOB
COD
，
AOF
DOF
，点E 为OF 反向延长线上一点（图中所
有角均指小于180的角）．下列结论：①
COE
BOE
；②
180
AOD
BOC
；③
90
BOC
AOD
；④
180
COE
BOF
．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
6．角26.5的补角为______．
7．已知
1
2
180
2
3
180
，
， 所以∠1 ________∠3，根据是______
8．已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍少20，则这个角等于 ________．
9．如图，点O为直线AB 上一点，
46
AOC
，过点O作射线OD ，使得OD
OC
，则
BOD
的度数是______．
10．如图：已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE
AB
，射线OF 在
BOC
内部，有如下结论：
①
AOC
的补角是
DOF
；
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②若
70
DOE
，则
20
AOC
；
③若OF 平分
BOC
，则
AOF
DOF
；
④若
4
COE
BOD ，则
60
DOE
．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题
11．解答下列各题：
(1)一个角的余角比它的补角的
1
2少10，求这个角．
(2)如图，若OB 平分
AOC
，
78
AOD
，
20
BOC
，求
COD
的度数．
12．如图，点O 在直线AB 上，射线OC
OD
OE
、
、
都在直线AB 的上方，射线OF 在直线AB 的下
方．CO
DO
，垂足为点O，OE 在
COD
的内部，
35
COE
．
(1)求证：
AOC
与
BOD
互为余角；
(2)若
25
AOC
，
COE
与
BOF
互为余角，求
DOF
的度数．
13．新定义：如果两个角的和为120，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知
15
45
AOB
，
AOB
与
AOC
互为“兄弟角”，
AOB
与
AOD
互余．如图，当点B 在
AOC
的内部，且点B ，点D 在OA的同
侧时．
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(1)若
60
BOC
，则______．
(2)若
1
3
AOE
AOD
，射线OM 在
AOC
内部，且满足
3
COM
AOM
，求
EOM
的度数（用含的
式子表示）．
∴
AOM
AOE
EOM
，
120
AOC
，
1
30
3
AOE
，
∴
1
30
3
AOM
EOM
，
1
2
120
30
90
3
3
COM
EOM
EOM
，
∵
3
COM
AOM
，
∴
2
1
90
3 30
3
3
EOM
EOM
，
14．如图，点O 在直线AB 上，
COD
与
EOF
互补，且
:
2:3
COD
EOF
．
(1)求
COD
、
EOF
的度数；
(2)若2
36
BOF
BOD
，猜想
AOC
与
AOE
的数量关系并说明理由；
(3)在（2）的条件下，OC 平分
DOE
时，在
DOE
内部作射线OG ，使
:
4:1
EOG
COG
，求
AOG
的
度数．
15．如图，将一副直角三角板的直角顶点C 叠放在一起．
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(1)试判断图（1）中
ACE
与
BCD
的大小关系，并说明理由；
(2)在图（1）中若
40
DCE
，求
ACB
的度数；
(3)在图（1）中猜想
ACB
与
DCE
的数量关系，并说明理由；
(4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由．
16．设
AOC
，
0
180 0
180
COB
，
，OD
OE
、
分别是
AOC
、
COB
的角平分线，
记
DOE
．如果，互补，或者，互补，则称
AOC
，
COB
是一对“分补角”．
(1)如图1，
130
AOB
，OC 在
AOB
内，
50
AOC
．分别作
AOC
，
COB
的角平分线OD
OE
、
，
则
DOE
______，
AOC
，
COB
______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，若
120
AOC
，
0
90
COB
，
AOC
，
COB
是一对“分补角”，且OB 在
AOC
的外部，求β 的值；
(3)如图3，
160
AOB
．若
AOC
和
COB
是一对“分补角”，且OC 在
AOB
内部，请直接写出
AOC
的
所有可能值．
