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第21 讲 余角和补角
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个角的余角
题型2 求一个角的补角
题型3 利用一元一次方程求余角或补角
题型4 与余角、补角有关的计算
题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
余角、补角、互余、互
补、性质、同角或等角、
方位角。
1. 理解余角和补角的概念（余角：两角和为90°；补角：两角和为180°），
能准确判断互余与互补关系。
2. 掌握余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的
补角相等。
3. 能根据余角、补角的性质进行简单的角度计算与推理证明。
4. 了解方位角的概念，能结合图形识别方位角，体会几何知识在实际生活中
的应用。
学习重点：余角和补角的概念及其性质，能进行相关的角度计算。
学习难点：理解“同角（或等角）的余角（补角）相等”的推理过程，并能运用该性质进行简单的几
何证明；方位角的识别与表达。
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知识点01 余角、补角的概念与性质
1.余角概念
余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.补角概念
补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.
3.余角的性质：同角或等角的余角相等.
4.补角的性质：同角或等角的补角相等.
【易错提醒】
余角补角易错警示：互余两角和90°，互补两角和180°。性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的
补角相等。注意：余角/补角是数量关系（只与度数有关），与位置无关。锐角有余角，钝角有补角，直角
无余角。勿将补角与邻补角混淆。
即时即练1．如图，点O 在直线AD 上，过点O 作OC
AD
，射线OB 在
AOC
内，过点O 作OE
OB
，
则下列结论错误的是（ ）
A．
AOE
COB
B．
AOB
与
COB
互为余角
C．
COE
DOE
D．
COE
与
AOB
互为补角
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键．
根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可．
【详解】解：A、∵
90
BOE
COD
，
∴
180
90
AOC
AOC
，
∴
90
AOE
AOB
BOC
AOB
,
∴
AOE
COB
，
∴选项正确，不符合题意；
B、∵
90
AOB
COB
AOC
，
即
AOB
与
COB
互为余角
∴选项正确，不符合题意；
C、∵
90
180
COE
AOC
AOE
AOE
DOE
AOE
，
，
∴
COE
DOE
，
∴选项不正确，符合题意；
D、∵
180
COE
AOB
BOE
BOC
AOB
BOE
AOC
,
∴
COE
与
AOB
互为补角
∴选项正确，不符合题意．
故选：C．
2．如图，点O 是直线AB 上的一点，OC 是任意一条射线，OD 平分
BOC
，OE 平分
AOC
．
(1)图中
BOC
的补角为 ．
(2)若
62
BOC
，求
AOE
的度数．
(3)
COD
与
EOC
存在怎样的数量关系？
【答案】(1)
AOC
(2)59
(3)
COD
与
EOC
互余
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的补角
【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题
的关键．
（1）根据互为补角的和等于180找出即可；
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（2）先求出
AOC
的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出
COD
与
EOC
，然后整理即可得解．
【详解】（1）解：
BOC
的补角为
AOC
故答案为：
AOC
（2）解：
60
BOC
，
180
180
62
118
AOC
BOC
，
OE
平分
AOC
，
AOE
1
2
AOC
1
2
120
59
；
（3）解：
COD
与
EOC
互余( 或
90 )
COD
EOC
，
证明：
COD
1
2
,
BOC
EOC
1
2
AOC
，
COD
EOC
1
2
BOC
AOC
1
2
180
90
，
COD
与
EOC
互余．
题型1 求一个角的余角
【例1】一个角是40，则这个角的余角的度数是
．
【答案】50/50度
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了余角的计算，熟练掌握定义是解题的关键．根据两个角的和为90称作互为余角解答即
可．
【详解】解：根据题意，得40的余角为90
40
50
，
故答案为：50．
【例2】已知
24 34
A
，那么
A
的余角度数为
．
【答案】65 26
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可
知
A
的余角为
'
90
24 34
，计算时应首先从90°中取出1化为
'
60 ，然后让分和分相减、度和度相减即
可．
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【详解】解：
24 34
A
的余角为：
'
'
'
'
90
24 34
89 60
24 34
65 26
．
故答案为：
'
65 26
．
【技巧归纳】
余角：两角和为90°。若∠A 的余角为90°-∠A。互余的两个角均为锐角。注意：只有锐角有余角，直角和钝
角没有余角。求时直接用90°减已知角，若结果为负则不存在。若已知两个角互余，设其中一个为x，则另
一个为90°-x。常用于方程。常与直角结合。
【变式1-1】已知
38 30
A
，则
A
的余角大小是
．
【答案】51 30
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了互为余角的概念，根据互为余角的两个角的和为90作答即可，熟记和为90的两个角
互为余角是解题的关键．
【详解】解：根据余角定义可得：90
38 30
51 30
，
故答案为：51 30
．
3．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
1
27 45
，
2
的余角的大小是
．
【答案】
'
32 15
【知识点】求一个角的余角、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了余角的概念和度分秒的计算，关键是求出
EAC
的度数， 根据
60
BAC
，
'
1
27 45
，求出
EAC
的度数，再根据
2
的余角
90
2
EAC
，即可得出答案．
【详解】解：
60
BAC
，
1
27 45
，
'
'
60
27 45
32 15
EAC
，
2
的余角
'
90
2
32 15
EAC
，
故答案为：
'
32 15
．
题型2 求一个角的补角
【例3】已知1
43 30
，那么
1
的补角等于
．
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【答案】136 30
/136.5
【知识点】求一个角的补角
【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵1
43 30
，
∴
1
的补角等于180
43 30
136 30
，
故答案为：136 30
．
【例4】若
137 49
A
，则
A
的补角的余角为
．
【答案】47 49
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为180”即可求出
A
的补角，再由互余定
义“互余的两个角和为90”即可求出
A
的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键．
【详解】解：
137 49
A
，
A
的补角为180
180
137 49
42 11
A
，
则
A
的补角的余角为90
42 11
47 49
，
故答案为：47 49
．
【技巧归纳】
补角：两角和为180°。∠A 的补角为180°-∠A。锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角。
求时直接180°减已知角。若已知两个角互补，设x，另一个180°-x。用于平行线、四边形内角。注意0°<角
<180°才有补角。常用方程求解。与余角类似但和不同。
【变式1-1】已知点A 在点B 的南偏西30方向上，点C 在点B 的北偏西40方向上，则
ABC
的补角的度
数为
．
【答案】70
【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角
【分析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键．根据方向角的定义，画出图形得
到
ABC
即可求解．
【详解】如图所示，
所以
180
30
40
110
ABC
，
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所以
ABC
的补角为180
110
70
．
故答案为：70.
3．（24-25 七年级上·新疆吐鲁番·期末）若
55 17
A
，则
A
的余角等于
，补角等于
．
【答案】
34 43
124 43
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角和补角，根据余角和补角的定义即可求解，熟练掌握余角和补角的有关计算是解
题的关键．
【详解】解：∵
55 17
A
，
∴
A
的余角等于90
55 17
34 43
，
A
的补角等于180
55 17
124 43
，
故答案为：34 43
，124 43
．
题型3 利用一元一次方程求余角或补角
【例5】已知一个角的余角的4 倍与这个角的补角的和是180，求这个角的度数．
【答案】72
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的
关键．设这个角的度数为x ，根据这个角的余角的4 倍与这个角的补角的和是180，列方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数的度数为x ，
根据题意，得
4 90
180
180
x
x
，
解得
72
x
．
这个角的度数为72．
【例6】已知一个角的余角的2 倍比它的补角少50，求这个角的度数．
【答案】这个角的度数为50
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查与余补角有关的计算，设这个角的度数为x ，根据余补角的定义，结合题意，列出方程进
行求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x ，由题意，得：
2 90
180
50
x
x
，
解得：
50
x
；
故这个角的度数为50．
【技巧归纳】
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设未知角为x，根据“余角=90°-x”或“补角=180°-x”，列方程。如“一个角的补角比它的余角的3 倍多
20°”，则180-x=3(90-x)+20，解出x。注意未知数的范围（锐角）。解方程后检验是否满足题意。常结合
倍数、差条件。列出方程后按步骤求解。验证结果合理性。
【变式1-1】已知
1
与
2
互为邻补角，且
1
比
2
的3 倍少20，求
1
与
2
的度数．
【答案】
1
130
，
2
50
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查角的有关计算，考生需熟知互为邻补角的两个角的和是180，能够灵活应用方程求解是
解决此题的关键．
根据“
1
比
2
的3 倍少20”建立与的等量关系式1
3 2
20
；根据“
1
与
2
互为邻补角”可知
2
180
1
，计算即可．
【详解】解：由题可得：
2
180
1
，
∴
1
3 180
1
20
，
解得
1
130
，
∴
2
50
．
3．（24-25 七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的1
3 小20，求这个角的度
数．
【答案】75
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，熟记“余角的和等于90，补角的和等于180”是解
题的关键．设这个角的度数为x ，由一个角的余角比这个角的补角的1
3 小20建立方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x ，由题意得：
1
90
180
20
3
x
x
，
解得：
75
x
，
∴这个角的度数为75．
题型4 与余角、补角有关的计算
【例7】如图，O 为直线AB 上一点，OD 平分
AOC
，
90
DOE
．
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(1)若
50
AOC
，求
BOD
的度数；
(2)试判断BOE 和
COE
有怎样的数量关系，说说你的理由．
【答案】(1)155
(2)
BOE
COE
，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识．
（1）根据角平分线的定义得出
1
1
50
25
2
2
AOD
COD
AOC
，再根据补角的定义求解即可．
（2）根据角平分线的定义得出
AOD
COD
，再根据
90
DOE
，可得出
90
COD
COE
，
90
AOD
BOE
，进而可得出
BOE
COE
．
【详解】（1）解：∵OD 平分
AOC
，
∴
1
1
50
25
2
2
AOD
COD
AOC
，
∵
180
AOD
BOD
，
∴
180
180
25
155
BOD
AOD
；
（2）解：
BOE
COE
，理由如下：
∵OD 平分
AOC
，
∴
AOD
COD
，
∵
90
DOE
，
∴
90
COD
COE
，
90
AOD
BOE
，
∴
BOE
COE
．
【例8】如图，已知
AOD
和BOE 都是直角，它们有公共顶点O．
(1)若
60
DOE
，求
AOB
的度数．
(2)判断
AOE
和
BOD
的大小关系，并说明理由．
(3)猜想：
AOB
和
DOB
有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)120
(2)相等，理由见解析
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(3)
90
AOB
DOB
，理由见解析
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】（1）根据
AOD
和BOE 都是直角，
60
DOE
，可得
90
60
30
AOE
AOD
DOE
，进而可求
AOB
的度数；
（2）由
90
AOE
AOD
DOE
DOE
，
90
BOD
BOE
DOE
DOE
，可得
AOE
BOD
；
（3）由
90
AOB
AOD
DOB
DOB
，可得
90
90
AOB
DOB
DOB
DOB
．
本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义．
【详解】（1）解：∵
AOD
和BOE 都是直角，
60
DOE
，
∴
90
60
30
AOE
AOD
DOE
∴
30
90
120
AOB
AOE
BOE
答：
AOB
的度数为120．
（2）
AOE
和
BOD
的大小关系是相等，理由如下：
∵
AOD
和BOE 都是直角
∴
90
AOE
AOD
DOE
DOE
，
90
BOD
BOE
DOE
DOE
∴
AOE
BOD
．
（3）
90
AOB
DOB
．理由如下：
∵
90
AOB
AOD
DOB
DOB
，
∴
90
90
AOB
DOB
DOB
DOB
．
【技巧归纳】
利用余角、补角定义列等式。多个角关系：设中间角为x，用x 表示其他角。如∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C
互补，则∠A=90°-∠B，∠C=180°-∠B。常用方程思想。注意一个角的余角与补角之差为90°（补角-余角
=90°）。可由此快速求解。结合图形找等量关系。结果需在范围内。
【变式1-1】如图，直线AB 与CD 相交于点O，OE
AB
，OF
CD
．
(1)图中与
AOF
互余的角是 与
COE
互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来）
(2)如果
AOC
比
EOF
的1
5 小6，求
BOD
的度数．
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【答案】(1)
AOC
，
BOD
；
EOD
，
BOF
(2)
25
BOD
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角和补角；
（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；
（2）设
AOC
x
，则
90
EOC
AOF
x
，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：图中与
AOF
互余的角是
AOC
，
BOD
；
图中与
COE
互补的角是
EOD
，
BOF
；
（2）解：
OE
AB
，OF
CD
，
90
AOE
COF
，
设
AOC
x
，则
90
COE
x
，
90
90
180
EOF
COF
COE
x
x
，
1 180
6
5
x
x
，
解得
25
x
25
AOC
，
25
BOD
AOC
．
3．（24-25 六年级下·黑龙江大庆·期中）已知
120
AOB
，
COD
在
AOB
内部，
60
COD
．
(1)如图①，若
30
BOD
，求
AOC
的度数；
(2)如图②，若OE 平分
BOC
，请说明：
2
AOC
EOD
；
(3)如图③，分别作
AOP
，
BOQ
，其中
90
AOP
AOC
，
90
BOQ
BOD
，试探究
AOP
，
BOQ
，
COD
三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
30
AOC
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(2)见解析
(3)
180
AOP
BOQ
COD
，见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将
无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键．
（1）根据
60
BOD
AOC
AOB
COD
∠
∠
即可得出答案；
（2）设
DOE
，根据OE 平分
BOC
可得，
2
120
2
BOC
COE
，然后表示出
2
AOC
，
再进行求解即可；
（3）设
BOD
，则
60
AOC
，根据题意得
30
AOP
，
90
BOQ
，结合
60
COD
，即可得出
AOP
，
BOQ
，
COD
三者之间的数量关系．
【详解】（1）解：
COD
在
AOB
内部，
120
AOB
，
60
COD
60
BOD
AOC
AOB
COD
，
30
BOD
，
60
30
AOC
BOD
；
（2）解：设
BOD
，
60
60
AOC
BOD
，
60
BOC
COD
BOD
OE 平分
BOC
，
1
1
1
60
30
2
2
2
BOE
BOC
，
1
1
30
30
2
2
DOE
BOE
BOD
，
1
2
60
2
30
0
2
AOC
EOD
，
2
AOC
EOD
；
（3）解：
AOP
，
BOQ
，
COD
三者之间的数量关系是：
180
AOP
BOQ
COD
，理由如下：
设
BOD
，则
60
AOC
，
90
AOP
AOC
，
90
BOQ
BOD
90
90
60
30
AOP
AOC
，
90
90
BOQ
BOD
又
60
COD
，
30
90
60
180
AOP
BOQ
COD
．
题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用
【例9】如图，已知
1
2
90
2
3
90
，
．
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(1)
1
与
3
是什么关系？为什么？
(2)当
1
与
4
满足什么关系时，
2
与
4
相等？为什么？
【答案】(1)
1
3
，理由见解析
(2)
1
4
90
，理由见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90，则这两个角互余；若两个角的和等于
180，则这两个角互补．
（1）根据同角的余角相等解答；
（2）根据同角的余角相等解答即可．
【详解】（1）解：
1
3
，理由如下：
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴
1
90
2
3
90
2
，
，
∴
1
3
；
（2）解：
1
4
90
，理由如下：
∵
1
2
90
1
4
90
，
，
∴
2
4
．
【例10】如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合．
(1)若
40
ACE
，求
DCB
的度数；
(2)写出以C 为顶点的所有相等的角；
(3)请找出
ACB
与
DCE
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) 40
(2)
,
ACD
BCE
ACE
BCD
(3)
ACB
与
DCE
互补，理由见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角板中角度计算问题
【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实
质是两个角的重叠．
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（1）根据同角的余角相等作答即可；
（2）由图直接回答即可；
（3）由
90
90
180
ACB
DCE
BCE
ACE
DCE
可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，
BCE
ACD
，
DCB
DCE
ACE
DCE
，
40
DCB
ACE
；
（2）解：以C 为顶点的所有相等的角有；
,
ACD
BCE
ACE
BCD
；
（3）解：
ACB
与
DCE
互补，理由如下：
∵
90
90
180
ACB
DCE
BCE
ACE
DCE
，
∴
ACB
与
DCE
互补；
【技巧归纳】
同角（或等角）的余角相等，补角相等。用于等量代换：如∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。在几何
证明中，用于证明角相等。也可由相等推出余角或补角相等。注意分清“同角”和“等角”。应用时，先
找公共角或相等角，再利用此性质转移角度。简化计算。
【变式1-1】如图，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C 为顶点的所有相等的角_____________________________．
(2)若
148
ACB
，求
DCE
的度数．
(3)猜想：
ACB
与
DCE
之间的数量关系为___________．
【答案】(1)
,
ACD
BCE
ACE
BCD
(2)32
(3)
180
ACB
DCE
，理由见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等求解即可；
（2）由图得
90
DCE
ACE
，求
ACE
的度数即可；
（3）根据
ACB
DCE
BCE
ACE
DCE
，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得
90
ACD
BCE
，
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ACE
DCE
DCE
BCD
，
ACE
BCD
；
（2）解：
148 ,
90
ACB
BCE
Q
，
148
90
58
ACE
，
90
90
58
32
DCE
ACE
；
（3）解：
90
90
180
ACB
DCE
BCE
ACE
DCE
Q
，
180
ACB
DCE
．
3．（24-25 六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一
起，如图1．
(1)
32 48
BOD
，则
AOC
_____．
(2)写出图1 中相等的角；
(3)若
BOD
变大，
AOC
如何变化，说明原因；
(4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2 中利用直角三角尺画一个与
MON
相等的角．
【答案】(1)147.2
(2)
A
B
；
AOB
COD
；
AOD
BOC
(3)
AOC
变小，见解析
(4)
AOB
MON
，图形见解析
【知识点】三角板中角度计算问题、角度的四则运算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握角度的和差关系是解题关键．
（1）先求出
BOC
的度数，根据
AOC
AOB
BOC
即可求解；
（2）根据题意得
AOB
COD
，再利用
AOB
BOD
COD
BOD
，即可求解；
（3）根据
180
AOC
BOD
即可求解；
（4）根据同角的余角相等即可求解．
【详解】（1）解：
32 48
BOD
，
90
DOC
AOB
，
90
32 48
57 12
BOC
DOC
BOD
，
90
57 12
147.2
AOC
AOB
BOC
．
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故答案为:147.2．
（2）解：根据题意，可得：
AOB
COD
，
AOD
AOB
BOD
COD
BOD
BOC
，
AOD
BOC
．
故答案为：
A
B
；
AOB
COD
；
AOD
BOC
．
（3）解：由（1）得：
90
180
AOC
AOB
BOC
AOB
BOD
BOD
，
若
BOD
的度数变大，则
AOC
的度数变小．
（4）解：如图，
AOB
MON
，理由如下；
90
AOM
BON
，
AOB
AOM
BOM
，
MON
BON
BOM
，
AOB
MON
．
一、单选题
1．已知
70
A
，则它的余角是（ ）
A．20
B．110
C．30
D．40
【答案】A
【分析】两个角的和为 90，则这两个角互为余角．
【详解】解：∵
70
A
，
∴
A
的余角
90
70
20
．
2．已知一个角比它的余角的4 倍还多15，则这个角的补角的度数为（ ）
A． 15
B． 35
C． 75
D． 105
【答案】D
【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案．
【详解】解：设这个角的度数为x，
∵互余两角的和为90，
∴这个角的余角为
90
x
，
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由题意列方程得：
4 90
15
x
x
，
展开整理得5
375
x
，
解得
75
x
，
∵互补两角的和为180，
∴这个角的补角为180
75
105
．
3．如图，一副直角三角板如图摆放，若
55
，则
的度数是（ ）
A．15
B．25
C．35
D．45
【答案】C
【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上，
∴
90
，
∴
90
90
55
35
．
4．如图，点B，O，D 在同一条直线上，
90
COA
，直线DB 从与OA重合的位置开始绕点O 逆时针旋
转，形成
1
（小于45），
2
，
3
．当
3
增加15时，下列说法正确的是（ ）
A．
2
增加15
B．
2
减少15
C．
1
增加30
D．∠1 减少30
【答案】B
【分析】根据平角定义得出
2
与
3
的关系，根据直角定义得出
1
与
2
的关系，进而根据变化量进行
推导．
【详解】解：点B ，O ，D 在同一条直线上，
2
3
180
．
3
增加15，
2
减少15．
90
COA
，
1
2
90
．
2
减少15，
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1
增加15．
综上所述，
2
减少15，
1
增加15．
5．如图，在同一平面内，
90
AOB
COD
，
AOF
DOF
，点E 为OF 反向延长线上一点（图中所
有角均指小于180的角）．下列结论：①
COE
BOE
；②
180
AOD
BOC
；③
90
BOC
AOD
；④
180
COE
BOF
．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由
90
AOB
COD
，根据等角的余角相等得到
AOC
BOD
，结合
AOF
DOF
即可判
断①正确；由
AOC
AOD
D
AOD
B
A
O
OD
B
OC
，结合
90
AOB
COD
即可判断②正
确；由
90
COB
AOD
AOC
AOD
，而不能判断
AOD
AOC
，即可判断③不正确；由E、O、F
三点共线得
180
BOE
BOF
，而
COE
BOE
，从而可判断④正确．
【详解】解：∵
90
AOB
COD
，
∴
AOC
BOD
，
而
AOF
DOF
，
∴180
180
AOC
AOF
BOD
DOF
，
即
COE
BOE
，
∴①正确；
180
AOD
BOC
AOD
AOC
AOB
COD
AOB
，
∴②正确；
90
COB
AOD
AOC
AOD
，
而
AOC
AOD
，
∴③不正确；
∵E、O、F 三点共线，
∴
180
BOE
BOF
，
∵
COE
BOE
，
∴
180
COE
BOF
，
∴④正确．
∴正确的结论的个数有①②④共3 个．
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二、填空题
6．角26.5的补角为______．
【答案】
153.5
【分析】根据补角的定义求解即可．
【详解】解：180
26.5
153.5
．
7．已知
1
2
180
2
3
180
，
， 所以∠1 ________∠3，根据是______
【答案】
同角的补角相等
【分析】根据已知条件判断
1
和
3
都是
2
的补角． 再根据同角的补角相等即可得到答案．
【详解】解：∵
1
2
180
2
3
180
，
，
∴1
3
（同角的补角相等）．
8．已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍少20，则这个角等于 ________．
【答案】35
【分析】先设这个角的度数为x ，再根据题意结合余角补角的定义列出一元一次方程，解方程即可得到这个
角的度数．
【详解】解：设这个角为x ，则这个角的补角为
180
x
，余角为(
)
90
x
° -
，
根据题意得：
180
3 90
20
x
x
，
解得：
35
x
，
即这个角等于35．
9．如图，点O为直线AB 上一点，
46
AOC
，过点O作射线OD ，使得OD
OC
，则
BOD
的度数是______．
【答案】44或136
【分析】分两种情况：当OD
OC
，可得
90
COD
，再结合已知条件根据
180
BOD
AOC
COD
得出答案；
当OD
OC
，可得
90
COD
，再求出
AOD
COD
AOC
，然后根据补角定义解答．
【详解】解：∵OD
OC
，
∴
90
COD
．
∵
46
AOC
，
∴
180
180
46
90
44
BOD
AOC
COD
；
∵OD
OC
，
∴
90
COD
．
∵
46
AOC
，
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∴
90
46
44
AOD
COD
AOC
，
∴
180
44
136
BOD
．
所以
BOD
的度数为44或136．
10．如图：已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE
AB
，射线OF 在
BOC
内部，有如下结论：
①
AOC
的补角是
DOF
；
②若
70
DOE
，则
20
AOC
；
③若OF 平分
BOC
，则
AOF
DOF
；
④若
4
COE
BOD ，则
60
DOE
．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【分析】①根据补角定义进行判断；②利用OE
AB
得到
DOE
与
AOC
互余，代入数据计算验证；③
结合对顶角相等和角平分线定义，通过等式变形证明两角相等；④利用对顶角相等列方程求出
BOD
，再
结合直角求出
DOE
．
【详解】解：
180
AOC
DOF
，
AOC
的补角不是
DOF
，故①错误；
90
EOA
，
90
DOE
AOC
，
70
DOE
，
20
AOC
，故②正确；
OF 平分
BOC
，
BOF
COF
，
AOC
BOD
，
BOF
BOD
AOC
COF
，
AOF
DOF
，故③正确；
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4
COE
BOD ，
4
90
OA
O
C
B D
，
COA
BOD
，
3
90
BOD
，即
30
BOD
，
90
BOE
，即
90
BOD
DOE
，
60
DOE
，故④正确．
综上，正确的结论为②③④．
三、解答题
11．解答下列各题：
(1)一个角的余角比它的补角的
1
2少10，求这个角．
(2)如图，若OB 平分
AOC
，
78
AOD
，
20
BOC
，求
COD
的度数．
【答案】(1) 20
(2)38
【分析】（1）设这个角为x ，列出方程即可求解；
（2）由OB 平分
AOC
，可得
2
40
AOC
BOC
，再根据
COD
AOD
AOC
即可求解．
【详解】（1）解：设这个角为x ，
由题意得，
1 180
90
10
2
x
x
，
解得
20
x
，
∴这个角为20．
（2）解：∵OB 平分
AOC
，
20
BOC
，
∴
2
40
AOC
BOC
，
∴
78
40
38
COD
AOD
AOC
．
12．如图，点O 在直线AB 上，射线OC
OD
OE
、
、
都在直线AB 的上方，射线OF 在直线AB 的下
方．CO
DO
，垂足为点O，OE 在
COD
的内部，
35
COE
．
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(1)求证：
AOC
与
BOD
互为余角；
(2)若
25
AOC
，
COE
与
BOF
互为余角，求
DOF
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120
【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到
90
AOC
BOD
，即可得证；
（2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵CO
DO
，
∴
90
COD
．
则
180
90
90
AOC
BOD
．
∴
AOC
与
BOD
互为余角．
（2）解：∵
25
AOC
，由（1）可得，
65
BOD
．
∵
COE
与
BOF
互为余角，
35
COE
，
∴
90
35
55
BOF
．
∴
65
55
120
DOF
BOD
BOF
．
13．新定义：如果两个角的和为120，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知
15
45
AOB
，
AOB
与
AOC
互为“兄弟角”，
AOB
与
AOD
互余．如图，当点B 在
AOC
的内部，且点B ，点D 在OA的同
侧时．
(1)若
60
BOC
，则______．
(2)若
1
3
AOE
AOD
，射线OM 在
AOC
内部，且满足
3
COM
AOM
，求
EOM
的度数（用含的
式子表示）．
【答案】(1)30
(2)
1
12
EOM
．
【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得
120
AOC
，再根据角的和差可得
60
AOB
，然后得到方
程60
即可解答；
（2）由已知可得
90
AOD
，
1
30
3
AOE
，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
AOB
与
AOC
互为“兄弟角”，
15
45
AOB
，
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∴
120
AOB
AOC
，即
120
AOC
，
∵
AOC
BOC
AOB
，
∴
120
60
60
AOB
AOC
BOC
，
∵
15
45
AOB
，
∴60
，
∴
30
．
（2）解：∵
AOB
与
AOD
互余，
∴
90
90
AOD
AOB
，
∵
1
3
AOE
AOD
，
∴
1
30
3
AOE
，
∵
3
COM
AOM
，
120
AOC
，
∴
1
1
30
4
4
AOM
AOC
AOE
，
如图：
∴
AOM
AOE
EOM
，
120
AOC
，
1
30
3
AOE
，
∴
1
30
3
AOM
EOM
，
1
2
120
30
90
3
3
COM
EOM
EOM
，
∵
3
COM
AOM
，
∴
2
1
90
3 30
3
3
EOM
EOM
，
∴
1
12
EOM
．
14．如图，点O 在直线AB 上，
COD
与
EOF
互补，且
:
2:3
COD
EOF
．
(1)求
COD
、
EOF
的度数；
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(2)若2
36
BOF
BOD
，猜想
AOC
与
AOE
的数量关系并说明理由；
(3)在（2）的条件下，OC 平分
DOE
时，在
DOE
内部作射线OG ，使
:
4:1
EOG
COG
，求
AOG
的
度数．
【答案】(1)
72
COD
，
108
EOF
(2)
2
AOC
AOE
，理由见解析
(3)33.6或72
【分析】（1）由题意设
2 ,
3
COD
x
EOF
x
，再由
COD
与
EOF
互补，建立方程求解即可；
（2）根据平角的定义结合2
36
BOF
BOD
，以及
72
COD
，
108
EOF
求解即可；
（3）设
,
AOC
AOE
，则由（2）知
2
，由角平分线可得
72
COE
COD
，则由
COE
AOC
AOE
，得到
72
，解得
24
，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可．
【详解】（1）解：∵
:
2:3
COD
EOF
∴设
2 ,
3
COD
x
EOF
x
∵
COD
与
EOF
互补，
∴2
3
180
x
x
解得
36
x
∴
72
COD
，
108
EOF
；
（2）解：
2
AOC
AOE
，理由如下：
∵
180
AOC
COD
BOD
，2
36
BOF
BOD
，
72
COD
∴
6
18
4
2
3
2
0
72
1 4
BOF
BOF
AOC
∵
180
AOE
EOF
BOF
∴
180
108
72
AOE
BOF
BOF
∴
2
AOC
AOE
；
（3）解：设
,
AOC
AOE
，则由（2）知
2
∵OC 平分
DOE
，
∴
72
COE
COD
∵
COE
AOC
AOE
∴
72
∴2
72
解得
24
，
∴
48 ,
24
AOC
AOE
，
①当OG 在
EOC
内部时，
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∵
:
4:1
EOG
COG
∴
1
1
72
14.4
5
5
COG
EOC
∴
48
14.4
33.6
AOG
AOC
COG
；
②当OG 在
COD
内部时，
∵
:
4:1
EOG
COG
∴
1
1
72
24
3
3
COG
EOC
∴
48
24
72
AOG
AOC
COG
，
综上：
AOG
的度数为33.6或72．
15．如图，将一副直角三角板的直角顶点C 叠放在一起．
(1)试判断图（1）中
ACE
与
BCD
的大小关系，并说明理由；
(2)在图（1）中若
40
DCE
，求
ACB
的度数；
(3)在图（1）中猜想
ACB
与
DCE
的数量关系，并说明理由；
(4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由．
【答案】(1)
ACE
BCD
，理由见解析
(2)
140
ACB
(3)
180
ACB
DCE
，理由见解析
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(4)结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等；
（2）先求
ACE
，再通过角的和差计算
ACB
即可；
（3）用两个直角的和减去重叠角
DCE
，即可推导两角互补；
（4）利用周角360减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立．
【详解】（1）解：
ACE
BCD
，理由如下：
∵
90
ACD
BCE
，
∴
90
ACE
DCE
，
90
BCD
DCE
，
∴
ACE
BCD
；
（2）解：∵
40
DCE
，
90
ACD
，
∴
90
40
50
ACE
ACD
DCE
，
∵
90
BCE
，
∴
50
90
140
ACB
ACE
BCE
；
（3）解：
180
ACB
DCE
，理由如下：
∵
90
ACD
BCE
，
∴
180
ACB
ACD
BCE
DCE
DCE
，
∴
180
ACB
DCE
；
（4）解：结论仍然成立
∵
90
ACD
BCE
，
∴
180
ACD
BCE
，
又∵
360
ACB
DCE
ACD
BCE
，
∴
360
360
180
180
ACB
DCE
ACD
BCE
．
16．设
AOC
，
0
180 0
180
COB
，
，OD
OE
、
分别是
AOC
、
COB
的角平分线，
记
DOE
．如果，互补，或者，互补，则称
AOC
，
COB
是一对“分补角”．
(1)如图1，
130
AOB
，OC 在
AOB
内，
50
AOC
．分别作
AOC
，
COB
的角平分线OD
OE
、
，
则
DOE
______，
AOC
，
COB
______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，若
120
AOC
，
0
90
COB
，
AOC
，
COB
是一对“分补角”，且OB 在
AOC
的外部，求β 的值；
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(3)如图3，
160
AOB
．若
AOC
和
COB
是一对“分补角”，且OC 在
AOB
内部，请直接写出
AOC
的
所有可能值．
【答案】(1)65，不是
(2)80
(3)60或100
【分析】（1）利用角平分线的定义可求出
DOE
，再分别求出
AOC
DOE
与
COB
DOE
即可判断
AOC
，
COB
是否是“分补角”；
（2 ）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解；
（3）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，
∴
1
2
COD
AOC
，
1
2
COE
COB
，
∴
1
1
65
2
2
DOE
COD
COE
AOC
COB
AOB
，
∵
130
AOB
，
50
AOC
，
∴
130
50
80
COB
，
∴
50
65
115
AOC
DOE
，
80
65
145
COB
DOE
，
∴
AOC
，
COB
不是一对“分补角”；
（2）解：∵
120
AOC
，OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，
∴
1
60
2
COD
AOC
，
1
1
2
2
COE
COB
，
∴
1
60
2
DOE
COD
COE
，
∵
AOC
，
COB
是一对“分补角”，
∴
180
COB
DOE
，即
1
60
180
2
，
解得
80
；
（3）解：∵OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，且OC 在
AOB
内部，
∴
1
2
COD
AOC
，
1
2
COE
COB
，
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∴
1
1
80
2
2
DOE
COD
COE
AOC
COB
AOB
，
如图，当
180
COB
DOE
时，
则
180
80
100
COB
，
∴
160
100
60
AOC
AOB
COB
；
如图，当
180
AOC
DOE
时，
则
180
80
100
AOC
；
综上，
AOC
的可能值为60或100．
