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第20 讲 角的比较与运算
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 角的比较
题型2 角度的四则运算
题型3 三角板中角度计算问题
题型4 实际问题中角度计算问题
题型5 角平分线的有关计算
题型6 角n 等分线的有关计算
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
角的比较、叠合法、度
量法、角的和差、角平
分线、度分秒运算、类
比思想。
1. 掌握角的大小比较的两种方法：度量法和叠合法，能根据图形选择合适方
法比较角的大小。
2. 理解角的和、差运算，能从图形中识别并计算角的和差关系（如∠AOC=∠
AOB+∠BOC）。
3. 理解角平分线的概念，掌握其文字语言、图形语言与符号语言的表述，能
运用角平分线进行角度计算。
4. 会进行涉及度、分、秒的角度的加、减运算，体会类比思想（类比线段比
较与和差）。
学习重点：掌握角的大小比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念及数量关系，会进行角
的和差与角平分线的相关计算。
学习难点：从复杂图形中准确识别角的和差关系，以及进行含度、分、秒的角度的加、减运算（特别
是借位与进位）。
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知识点01 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB
＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【易错提醒】
角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的
大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。
勿仅凭视觉判断。
即时即练1．已知
1
76 24
，
2
76.24
，
3
76.4
，下列说法正确的是（ ）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】B
【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继
而可得出答案．
【详解】解：
1
76 24
，
2
76.24
76 14 24
，
3
76.4
76 24
，
∴
2
3
1
，
故选B．
知识点02 角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记作：∠1＝∠AOB-
∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
【易错提醒】
角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60 进1，不够借1 当60。乘法时度分秒分别乘，满60 进位；
除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如 \(1°=60'=3600''\)）。勿
用十进制直接加减。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部的一条射线，图中有三个角：
AOB
，
AOC
和
BOC
，当
其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC 为
AOB
的“巧分线”．如果
72
MPN
，PQ 是
MPN
的“巧
分线”，则
MPQ
的度数为
．
【答案】24或36或48
【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键．
分3 种情况，根据巧分线定义即可求解．
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【详解】解：∵
72
MPN
，PQ 是
MPN
的“巧分线”，
则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①
2
NPQ
MPQ
，此时
2
1
3
4
M
MPQ
PN
；
②
2
MPN
MPQ
，此时
3
1
2
6
M
MPQ
PN
；
③
2
MPQ
NPQ
，此时
4
2
3
8
M
MPQ
PN
；
∴
MPQ
的度数为24或36或48．
故答案为：24或36或48．
2．计算：
(1) 47 53 43
53 47 42
；
(2)92 56 3
46 57 54
．
【答案】(1)101 41 25
(2) 45 58 9
【知识点】角度的四则运算
【分析】本题主要考查了角的四则运算，注意1
60
，1
60
．掌握度、分、秒的计算方法和它们之间的
进率是解题的关键．
（1）先度分秒分别相加，再根据满60 进1的原则求出即可；
（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．
【详解】（1）解：47 53 43
53 47 42
100 100 85
101 41 25
；
（2）解：92 56 3
46 57 54
''
''
91 115 63
46 57 54
45 58 9
．
知识点03 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
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注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【易错提醒】
角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，
不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P 在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。
勿与中线混淆。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部任意的一条射线，OM 、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分
线．
(1)若
20 ,
30
AOM
BON
，求
MON
的度数；
(2)若
120
AOB
，则
MON
；若
AOB
，则
MON
．
【答案】(1)50
(2)60，1
2
【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可知
20
MOC
AOM
，
30
NOC
BON
，再根据
MON
MOC
NOC
计算，即得答案；
（2）根据角平分线定义可知
1
2
MOC
AOC
，
1
2
NOC
BOC
，，再根据
MON
MOC
NOC
计
算，即得答案．
【详解】（1）解：
OM
Q
、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线，
20
MOC
AOM
，
30
NOC
BON
，
20
30
50
MON
MOC
NOC
；
（2）解：
OM
Q
、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线，
1
2
MOC
AOC
，
1
2
NOC
BOC
，
1
1
1
2
2
2
MON
MOC
NOC
AOC
BOC
AOB
，
120
AOB
Q
，
1 120
60
2
MON
．
同理：
AOB
Q
，
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1
2
MON
．
题型1 角的比较
【例1】如图，用同样大小的三角板此较
A
和
B
的大小，下列判断正确的是（ ）
A．
A
B
B．
A
B
C．
A
B
D．没有量角器，无法确定
【答案】A
【知识点】角的比较
【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得
45
A
，
45
B
，利用中间
角比较角的大小是解题的关键．
【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形，
∴
45
A
，
45
B
，
∴
A
B
，
故选：A．
【例2】如图，下列各式中不一定正确的是（ ）
A．
BOD
COD
B．
1
2
AOC
C．
1
2
3
D．
1
2
AOD
BOD
【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题、角的比较
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【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可．
【详解】解：∵
COD
在
BOD
的内部，
∴
BOD
COD
，选项A 正确，不符合题意；
∵
1
2
AOC
，
∴选项B 正确，不符合题意；
根据题意，无法比较
1
2
和
3
的大小，选项C 不一定正确，符合题意；
∵
1
2
AOD
BOD
BOD
，
∴选项D 正确，不符合题意；
故选：C．
【技巧归纳】
角的比较：度量法（用量角器读数比较）、叠合法（将顶点和一边重合，比较另一边的位置）。注意角的
大小与边的长短无关。也可通过估算：锐角<直角<钝角。若用度数表示，直接比较数值。在复杂图形中，
利用已知角（如直角、平角）作参照。叠合法时注意边的方向。
【变式3-1】如图，已知OB 是
AOC
内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A．
2
AOC
BOC
B．
BOC
AOB
C．
AOC
可以用
O
表示
D．
1
与
AOB
表示同一个角
【答案】D
【知识点】角的比较、角的表示方法
【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵OB 是
AOC
内部的一条射线而不是角平分线，∴
2
AOC
BOC
，故本选项不符合题
意；
B．
BOC
可能大于
AOB
，也可能小于
AOB
，也有可能等于
AOB
，故本选项不符合题意；
C．
AOC
不可以用
O
表示，故本选项不符合题意；
D．
1
与
AOB
表示同一个角，故本选项符合题意．
故选：D．
3.（23-24 六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则
1
与
2
的大小关
系为（ ）
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A．
1
2
B．
1
2
C．
1
2
D．无法比较
【答案】A
【知识点】角的比较
【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将
1
平移，让
1
与
2
两个角的顶点
重合，即可解答．
【详解】解：将
1
平移，让
1
与
2
两个角的顶点重合，
如图：
可得：
1
在
2
的内部，
所以
1
2
．
故选：A．
题型2 角度的四则运算
【例3】计算：
(1)89 35
20 20
（结果用度、分、秒表示）；
(2)123 24
60 36
（结果用度表示）．
【答案】(1)109 55
(2)62.8
【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算
【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60 ，则转化为度；
（2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是
向前一位借数．
【详解】（1）解：89 35
20 20
109 55
；
（2）解：123 24
60 36
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123.4
60.6
62.8
．
【例4】计算：
(1) 40 26
30 30 30
6
；
(2)13 53
3
32 5 31
．
【答案】(1)45 31 5
(2)9 33 29
【知识点】角度的四则运算
【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键..
（1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法．
（2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法．
【详解】（1）解：40 26 30 30 30
6
40 26
5 5 5
45 31 5
+
（2）13 53
3
32 5 31
41 39
32 5 31
9 33 29
【技巧归纳】
角度运算：度分秒进制60。加减时度、分、秒分别计算，满60 进位，不够借1（1°=60′，1′=60″）。乘法
时分别乘后再进位。除法时从度开始除，余数换成分再除。如180°-36°45′，先减分：借1°化60′，得143°
15′。注意书写格式，结果可保留小数。常用计算器辅助。
【变式3-1】计算：
(1)180
18 15
6
；
(2)
90
78 36
13 10
4
．
【答案】(1)70 30
(2)14 41 30
【知识点】角度的四则运算
【分析】本题考查角度的四则运算，熟知度分秒的换算、掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
（1）利用度分秒之间的进率计算即可．
（2）利用度分秒之间的进率先算乘除法，再算加法即可．
【详解】（1）解：180
18 15
6
180
109 30
70 30
；
（2）解：
90
78 36
13 10
4
''
90
78 36
12 68 120
4
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90
78 36
3 17 30
90
75 18 30
14 41 30
．
3．（24-25 七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)153 29 42
26 40 32
；
(2) 42 15
5
；
(3)62 24 17
4
；
(4)
180
34 54
21 33
．
【答案】(1)180 10 14
(2)8 27
(3) 249 37 8
(4)123 33
【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算
【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60 ，则转化为度；
（2）首先将度转化为分，然后计算除法即可；
（3）根据角度的乘法运算法则求解即可；
（4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可．
【详解】（1）解：153 29 42
26 40 32
179 69 74
180 10 14
；
（2）解：42 15
5
42 60
15
5
2535
5
507
8 27
；
（3）解：62 24 17
4
248 96 68
249 37 8
；
（4）解：
180
34 54
21 33
180
56 27
123 33
．
题型3 三角板中角度计算问题
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【例5】如图，将一副三角尺的两个锐角（45角和60角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作
1
和
2
，若
1
23
，则
2
的度数为
．
【答案】38/38 度
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可
得
1
3
45
，
2
3
60
，则可得
3
22
，代入计算即可得．
【详解】解：如图，由题意得：
1
3
45
，
2
3
60
，
∵
1
23
，
∴
3
45
23
22
，
∴
2
60
3
60
22
38
，
故答案为：38．
【例6】如图，将一个直角三角板的30角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若
1
20 30
，则
EAB
．
【答案】80 30
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
根据
30
BAC
，
1
20 30
，可得
BAD
的度数，即可求解．
【详解】解：∵
30
BAC
，
1
20 30
，
∴
0
30
1
20 30
9 3
D
B C
BA
A
，
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∵
=90
DAE
，
∴
0
9
0
0
9 3
80 3
EA
A
B
B D
E
A
D
．
故答案为：80 30
【技巧归纳】
常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，
45-30=15）。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知
角减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。
【变式3-1】如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA 平分
BAC
，则
CAE
的度数是
．
【答案】60
【分析】本题考查角了角的和差和角平分线的相关计算．根据，可若DA 平分
BAC
计算出
CAD
的度数，
再由
90
EAD
，即可得出答案．
【详解】解：∵DA 平分
BAC
，
60
BAC
，
∴
1
30
2
BAD
CAD
CAB
∵
90
EAD
，
∴
90
30
60
CAE
EAD
CAD
，
故答案为：60
【变式3-2】一副三角板按如图方式摆放，点
,
,
B C D 在同一条直线上，
45 ,
30
A
E
．现将三角板DCE
绕点C 逆时针旋转一周，当AC 所在直线恰好平分
DCE
时，三角板DCE 转过的角度为
．
【答案】105或285
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【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作
答．
【详解】解：∵
45 ,
30
A
E
，
∴
60
45
ECD
ACB
,
，
∴
180
45
135
ACD
，
135
60
75
ACE
，
如图所示：
∵AC 平分
1
1
E CD
，
∴
1
1
1
1
1
30
2
2
ACD
E CD
ECD
,
∴
1
1
135
30
105
D CD
ACD
ACD
，
此时三角板DCE 转过的角度为105；
当AC 的延长线CG 平分
1
1
E CD
，如图所示：
∴
1
1
1
1
1
30
2
2
GCE
E CD
ECD
,
则
1
1
180
180
75
30
75
ECE
ACE
GCE
故360
75
285
，
此时三角板DCE 转过的角度为285；
故答案为：105或285．
题型4 实际问题中角度计算问题
【例7】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），
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则阳光与平面镜的夹角（
1
）为
【答案】30
【知识点】实际问题中角度计算问题
【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：补上反射光线如图：
由题意可知，
90
DOE
AOB
，
∴
30
90
120
BOC
，
∴
60
COD
，
∴
1
90
60
30
，
故答案为：30．
【例8】如图，甲从O 处出发沿北偏东15向走向A 处，乙从O 处出发沿南偏西55方向走到B 处，则
BOA
的度数是
．
【答案】140
【知识点】与方向角有关的计算题、实际问题中角度计算问题
【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用
1
2
3
BOA
进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意知
1
15
，
2
90
，
3
90
55
35
，
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1
2
3
15
90
35
140
BOA
，
故答案为：140．
【技巧归纳】
根据实际问题抽象出几何图形，找出已知角和未知角关系。常用公式：互余、互补、对顶角相等、角平分
线、平行线性质。设未知数列方程，如角度和为90°或180°。注意单位换算，画辅助线。如楼梯角度、阳光
影子。解后检验是否合理（如角度范围0~360°）。结合生活常识。
【变式3-1】如图所示，若入射光线与平面镜成25夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，
则入射光线与反射光线的夹角的度数为
．
【答案】130/130度
【知识点】实际问题中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键．
如图：由题意可得
25
BOC
AOD
，然后根据平角的定义列式计算即可．
【详解】解：∵
25
BOC
AOD
,
∴
180
180
25
25
130
AOB
AOD
BOC
，即入射光线与反射光线的夹角的度数为130．
故答案为：130．
3．（24-25 七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42 届菊花文化节于2024 年10 月
18 日至11 月18 日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与
妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B 点）在东门（A 点）的
北偏西）32 30
方向，爸爸（C 点）在小亮他们（B 点）的南偏西50.2方向，则
ABC
的度数为
．
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【答案】82 42
/82.7
【知识点】与方向角有关的计算题、实际问题中角度计算问题
【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得
'
1
3
32 30 ,
2
50.2
，由
1
2
ABC
即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意：
'
3
32 30 ,
2
50.2
，
则
'
1
3
32 30
，
∴
'
'
1
2
32 30
50.2
32.5
50.2
82.7
82 42
ABC
，
故答案为：
'
82 42
．
题型5 角平分线的有关计算
【例9】如图，点O 在直线AB 上，OC
OD
．
(1)若OC 平分
BOE
，
25
BOD
，则
AOE
________．
(2)若
BOD
为锐角，
2
AOE
BOD
，请说明OC 平分
BOE
．
【答案】(1)50
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据垂直的定义和
25
BOD
，可得
65
BOC
，再根据角平分线的定义求出
130
BOE
，最后
根据
180
AOE
BOE
，即可求解；
（2）由垂直的定义可得：
90
BOC
BOD
，由平角的定义可得
180
BOE
AOE
，结合
2
AOE
BOD
，即可证明．
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【详解】（1）解：OC
OD
，
90
COD
，
25
BOD
，
90
25
65
BOC
COD
BOD
Ð
=Ð
- Ð
=
° -
° =
° ，
OC 平分BOE ，
2
130
BOE
BOC
Ð
= Ð
=
° ，
180
180
130
50
AOE
BOE
，
故答案为：50；
（2）解：OC
OD
，
90
COD
，
COB
COD
BOD
，
90
BOC
BOD
，
BOE
AOB
AOE
，
180
BOE
AOE
，
2
AOE
BOD
，
(
)
180
2
2 90
2
BOE
BOD
BOD
BOC
Ð
=
° - Ð
=
° - Ð
= Ð
，
OC 平分BOE ．
【例10】如图，OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
130
AOB
．
(1)求
COE
的度数是多少？
(2)如果
20
COD
，求BOE 的度数．
【答案】(1)65
(2) 45
【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出
1
2
COD
AOD
，
1
2
EOD
BOD
，那么
1
65
2
COE
COD
EOD
AOB
；
（2）先根据
20
COD
求出
40
AOD
，然后求出
90
BOD
，根据角平分线的定义即可得出
45
BOE
结论．
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【详解】（1）解：∵OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
∴
1
2
COD
AOD
，
1
2
EOD
BOD
，
∴
COE
COD
EOD
1
1
2
2
AOD
BOD
1
1
2
2
AOD
BOD
AOB
，
∵
130
AOB
，
∴
1
1 130
65
2
2
COE
AOB
，
∴
COE
的度数为：65；
（2）∵OC 是
AOD
的平分线，
20
COD
，
∴
2
40
AOD
COD
，
∵
130
AOB
，
∴
130
40
90
BOD
AOB
AOD
，
∵OE 是
BOD
的平分线，
∴
1
1
90
45
2
2
BOE
BOD
，
∴
BOE
的度数为：45．
【技巧归纳】
角平分线将角分成两个相等角，OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关
系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。
注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x 表示部分角更简便。
【变式5-1】已知OC 是过点O 的一条射线，OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
．
(1)当射线OC 在
AOB
的内部时
①如图①，若
80
AOB
，则
DOE
_________；
②如图②，若
AOB
x
，求
DOE
的度数（用含x 的式子表示）；
(2)当射线OC 在
AOB
的外部时，
AOB
x
，请借助备用图探究
DOE
的度数是________（直接写出答
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案）
【答案】(1)①40；②1
2 x
(2) 1
2 x或
1
180
2 x
【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键．
（1）①由
1
2
AOB
AOC
BOC
DOE
AOB
，
，求角度即可；
②借助①的角的数量关系即可求得
DOE
的度数；
（2）分情况讨论射线OC 的位置，在（1）的基础上求
DOE
的度数即可．
【详解】（1）解：①
OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
，
1
1
2
2
COD
AOC
COE
BOC
，
，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
AOB
AOC
BOC
，
1
2
DOE
AOB
，
80
AOB
，
1
80
40
2
DOE
，
故答案为：40；
②由①知
1
2
DOE
AOB ，
AOB
x
Q
，
1
2
DOE
x
，
即
DOE
的度数为1
2 x；
（2）解：射线OC 在
AOB
的外部分两种情况，
如图③，
OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
，
1
1
2
2
COD
AOC
COE
BOC
，
，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
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AOB
AOC
BOC
，
1
2
DOE
AOB
，
AOB
x
Q
，
1
2
DOE
x
，
如图④，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
360
AOC
BOC
AOB
，
1 360
2
DOE
AOB
，
AOB
x
Q
，
1
1
360
180
2
2
DOE
x
x
，
即
DOE
的度数为1
2 x或
1
180
2 x
故答案为：1
2 x或
1
180
2 x
【变式5-2】【问题背景】已知OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
【问题再现】（1）如图1，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
．求
MON
的度数；
【问题推广】（2）如图2，
90
AOB
，从点O 出发在
BOC
内引射线OD，满足
BOC
AOC
COD
．若OM 平分
COD
．求
BOM
的度数；
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【拓展提升】（3）如图3，在
AOC
的内部作射线OP ，在
BOC
的内部作射线OQ ．若
1 2
COP
BOQ
：
= ：；求
AOP
和COQ 的数量关系．
【答案】（1）40；（2）45；（3）
2
COQ
AOP
【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可．
（2）根据角的平分线，角的和差计算即可．
（3）由
1 2
COP
BOQ
：
= ：，设
COP
，则
2
BOQ
，根据角的平分线，角的和差计算即可．
本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
3
AOB
AOC
，
120
AOB
，
1 120
40
3
AOC
．
又∵OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
，
1
1
,
2
2
AOM
AOC
AON
AOB
．
40
2
20
AOM
，
120
2
60
AON
60
20
40
MON
AON
AOM
；
（2）解：∵
3
AOB
AOC
，
90
AOB
，
1
90
30
3
AOC
．
故
90 -30
60
BOC
∠
，
∴
60
30
30
COD
BOC
AOC
=
-
=
-
=
，
又∵OM 平分
COD
，
1
1
30
15
2
2
COM
COD
．
60
15
45
BOM
BOC
COM
．
（3）解：由
1 2
COP
BOQ
：
= ：，
设
COP
，则
2
BOQ
∵
3
AOB
AOC
，
∴
3
AOC
AOB
BOC
AOC
BOC
=
-
=
-
．
∴2 AOC
BOC
．
∴
2
AOP
COP
COQ
BOQ
+
=
+
，
∴
2
2
AOP
COQ
＋
，
∴
2
COQ
AOP
．
题型6 角n 等分线的有关计算
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【例11】在
AOB
的内部作射线OC ，射线OC 把
AOB
分成两个角，分别为
AOC
和
BOC
，若
1
3
AOC
AOB
或
1
3
BOC
AOB
，则称射线OC 为
AOB
的三等分线．若
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线，则
AOC
的度数为（ ）
A．20
B．40
C．20或40
D．20或30
【答案】C
【知识点】角n 等分线的有关计算
【分析】根据题意得出
20
AOC
或
20
BOC
，再根据角之间的数量关系，得出
40
AOC
，综合即
可得出答案．
【详解】解：∵
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线．
∴
1
20
3
AOC
AOB
或
1
20
3
BOC
AOB
，
∴
60
20
40
AOC
AOB
BOC
，
∴
AOC
的度数为20或40．
故选：C．
【技巧归纳】
n 等分线将角分成n 个相等角。若射线OC 是∠AOB 的m 等分线（从OA 起第m 条），则∠AOC=m/n·∠
AOB。已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：
∠AOC=1/3∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。
【变式6-1】定义：从
AOB
的顶点出发，在角的内部引一条射线OC ，把
AOB
分成1: 2的两部分，射线
OC 叫做
AOB
的三等分线．若在
MON
中，射线OP 是
MON
的三等分线，射线OQ 是
MOP
的三等分
线，设
MOQ
x
，则
MON
用含x 的代数式表示为
．
【答案】9
4 x 或9
2 x 或9x
【知识点】角n 等分线的有关计算
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
【详解】如图，
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∵射线OP 是
MON
的三等分线，
∴OP 把
MON
分成1: 2的两部分，
∴
3
MON
MOP
或
3
2
MON
MOP
，
∵射线OQ 是
MOP
的三等分线，
∴OQ 把
MOP
分成1: 2的两部分，
∴
3
MOP
MOQ
或
3
2
MOP
MOQ
，
∵
MOQ
x
，
∴
3
3
MOP
MOQ
x
或
3
3
2
2
MOP
MOQ
x
，
当
3
MOP
x
时，
3
9
MON
MOP
x
或
3
9
2
2
MON
MOP
x
，
当
3
2
MOP
x
时，
9
3
2
MON
MOP
x
或
3
9
2
4
MON
MOP
x
，
故答案为：9
4 x 或9
2 x 或9x ．
一、单选题
1．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（ ）．
A．15
B．65
C．105
D．150
【答案】B
【分析】根据一副三角尺包含一个30、60、90三角板和一个45、45、90三角板，可用角度为30、
60、90与45、90进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度．
【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）：
加法：30
45
75
，30
60
90
，30
90
120
，45
60
105
，45
90
135
，
60
90
150
．
减法：45
30
15
，60
45
15
（结果为正且有效）．
A．15可由45
30
得到，符合；
B．65无法由30、45、60、90中任意两个角度的和或差得到，因此不符合．
C．105可由60
45
得到，符合；
D．150可由60
90
得到，符合．
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2．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，OM ，ON ，且ON 始终在OM 的右侧，若OM 平分
BOC
，
112
BOC
，
70
MON
，则
BON
的度数为（ ）
A．14
B．16
C．24
D．28
【答案】A
【分析】利用角平分线定义求出
BOM
，再通过角的和差计算
BON
即可．
【详解】解：∵
112
BOC
，OM 平分
BOC
，
∴
1
56
2
BOM
BOC
．
∵
70
MON
，
∴
14
BON
MON
BOM
．
3．如图，
120
AOB
，OC 是
AOB
内部任意一条射线，OD 、OE 分别是
AOC
、
BOC
的角平分线，
下列叙述正确的是（ ）
A．
DOE
的度数不能确定
B．2 AOD
EOC
C．
60
AOD
BOE
∠
∠
D．
2
BOE
COD
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系逐项判断即可．
【详解】解：A、
OD
、OE 分别是
AOC
、
BOC
的角平分线，
1
2
EOC
BOE
BOC
，
1
2
DOC
AOD
AOC
，
DOE
EOC
DOC
1
1
2
2
BOC
AOC
1
2
BOC
AOC
1
2
AOB
60
，故A 选项不正确，不符合题意；
B、由于
2
AOC
AOD
，
2
BOC
EOC
，无法判断2 AOD
EOC
，那么B 不一定正确，不符合题
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意；
C、
AOD
BOE
1
1
2
2
AOC
BOC
1
2
AOC
BOC
1
2
AOB
60
，故C 选项正确，符合题意；
D、由于
1
2
BOE
BOC
，2 COD
AOC
，无法判断
2
BOE
COD
，那么D 不一定正确，不符合题
意．
4．已知
110
AOC
，过点O 作射线OB ､OM ，使
20
AOB
，OM 是
BOC
的平分线，则
AOM
的度
数为（ ）
A．35
B．45或65
C．40
D．55或65
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可．
【详解】解：根据题意得：
如图所示，当射线OB 在
AOC
内部时，
110
AOC
，
20
AOB
，
90
BOC
AOC
AOB
，
OM 是
BOC
的平分线，
1
45
2
COM
BOC
，
65
AOM
AOC
COM
；
如图所示，当射线OB 在
AOC
外部时，
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110
AOC
，
20
AOB
，
130
BOC
AOC
AOB
，
OM 是
BOC
的平分线，
1
65
2
BOM
BOC
，
45
AOM
BOM
AOB
∠
∠
∠
，
综上，
65
AOM
或45．
5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O 附近有A，B，C，D，E，F，6 座海轮，其中F 到灯塔的距
离为10km ，海轮F 在灯塔和海轮D 的中点处．且
42 30
AOD
，
78.5
DOE
AOC
．则下列说法正
确的是（ ）
①若海轮F 的速度为30km / h ，则海轮F 抵达灯塔最少需要20 分钟；
②
43
EOC
；
③
59
BOE
；
④C 在灯塔的北偏东11 30
的方向上．
A．①④
B．①②
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断
①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可．
【详解】解：海轮F 到灯塔的距离为10km ，速度为30km / h ，
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抵达灯塔需要的时间为10
1
30
3
小时
20
分钟，
故①正确；
42 30
42.5
AOD
，
78.5
AOC
78.5
42.5
36
COD
AOC
AOD
78.5
DOE
78.5
36
42.5
43
EOC
DOE
COD
故②错误；
42.5
AOD
、
78.5
DOE
42.5
78.5
121
AOE
AOD
DOE
A
，O ，B 在同一直线上，
180
180
121
59
BOE
AOE
故③正确；
0
78.5
78 3
AOC
，正北方向与OA夹角为90，
90
90
78 30
11 30
AOC
C
在灯塔的北偏东11 30
的方向上，
故④正确；
综上所述，说法正确的是①③④．
二、填空题
6．计算：71
34 40
__________，24 17
5
__________．
【答案】
105 40
121 25
【分析】根据度分的四则运算法则计算即可得出结果．
【详解】解：
71
34 40
71
34
40
71
34
40
105
40
105 40
，
24 17
5
24
5 17
5
120
85
120
60
25
120
1
25
121 25
．
7．如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，1
26 50 28
，则
2
的度数是
__________．
【答案】56 50 28
【分析】根据角的和差关系和角度制进行计算即可.
【详解】解：由题意
''
''
60
1
60
26 50 28
33 9 32
CAE
，
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∴
''
'
''
2
90
90
33 9 32
56 50 28
CAE
.
8．已知点O 为直线AB 上一点，将直角三角板MON 如图所示放置，且直角顶点在O 处，在
MON
内部作
射线OC ，且OC 恰好平分
MOB
．若
2
BON
NOC
，则
AOM
的度数为__________．
【答案】45/45 度
【分析】根据角平分线的定义得到
MOC
BOC
，结合
2
BON
NOC
用
NOC
表示出
MOC
，利用
90
MON
建立等式求出
NOC
的度数，进而求出
BON
的度数，最后利用平角的定义计算
AOM
的度
数．
【详解】解：
OC
平分
MOB
，
MOC
BOC
，
BOC
BON
NOC
，
2
BON
NOC
，
3
MOC
BOC
NOC
，
90
MON
，
90
MOC
NOC
，
3
90
NOC
NOC
，
4
90
NOC
，
22.5
NOC
，
2
45
BON
NOC
，
点O 为直线AB 上一点，
180
AOB
，
180
180
90
45
45
AOM
MON
BON
．
9．在
AOB
的内部引一条射线OC ，则图中共有三个角，分别是
AOB
、
AOC
、
BOC
．若其中有一个
角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“好好线”．若
30
AOC
，且射线OC 是
AOB
的“好好线”，则
AOB
的度数有下列情况：
45 ,
60 ,
90 ,
120
①
②
③
④
，其中正确的是______（填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查新定义的理解与角的和差运算，解题的关键是运用分类讨论思想，对给出的各个角度逐
一验证，结合新定义判断即可.
【详解】解：由题意，在
AOB
内部引射线OC ，则
30 ,
AOC
BOC
AOB
30三个角分别为
30
30
AOB
AOC
BOC
AOB
、
、
，“好好线”要求其中一个角是另一个角的两倍，分情况讨论：
①当
45
AOB
时，
45
30
15
BOC
，
30
2 15
2
AOC
BOC
，
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符合“好好线”定义；
②当
60
AOB
时，
60
30
30
BOC
∠
，
60
2 30
2
AOB
AOC
，
符合“好好线”定义；
③当
90
AOB
时，
90
30
60
BOC
，
60
2 30
2
BOC
AOC
，
符合“好好线”定义；
④当
120
AOB
时，
120
30
90
BOC
，
检验：120
2 30
60
，120
2 90
180
，90
2 30
60
，不存在两倍关系，
不符合定义．
故答案为：①②③．
10．如图1，点A，O，B 依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O 沿顺时针方向以每秒4的速度转动，同
时射线OB 绕点O沿逆时针方向以每秒6的速度转动，直线MN 保持不动，如图2，设转动时间为t（0
60
t
，
单位：秒）当
3
t
时，
AOB
的度数是________；在转动过程中，当t ________时
80
AOB
．
【答案】
150°
10 或26 或46
【分析】由题意得
4 ,
6
AOM
t
BON
t
，当
3
t
时求出
12 ,
18
AOM
BON
，再根据
180
AOB
AOM
BON
得出答案；
然后分三种情况：当OA在OB 左侧时，根据
180
AOM
AOB
BON
求出解；
当OA在OB 右侧时，根据
180
AOM
BON
AOB
解答；
当OA和OB 在MN 两侧时，根据
180
360
AOM
BON
AOB
求出解即可．
【详解】解：由题意，得
4 ,
6
AOM
t
BON
t
，
当
3
t
时，
12 ,
18
AOM
BON
，
∴
180
150
AOB
AOM
BON
；
当OA在OB 左侧时，此时
180
AOM
AOB
BON
，
即80
4
6
180
t
t
，
解得
10
t
；
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当OA在OB 右侧时，此时
180
AOM
BON
AOB
，
即4
6
80
180
t
t
，
解得
26
t
；
当OA和OB 在MN 两侧时，此时
180
360
AOM
BON
AOB
，
即4
6
180
80
360
t
t
，
解得
46
t
，
在转动过程中，当
10
t
或26,或46 时，
80
AOB
．
三、解答题
11．计算：
(1)67 39
48 41
；
(2)90
39 9 50
2
．
【答案】(1)116 20
(2)11 40 20
【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键．
（1）度与度相加，分与分相加，再根据1 度等于60 分计算即可；
（2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为60 化简，再计算减法即可．
【详解】（1）解：67 39
48 41
115 80
116 20
（2）解：90
39 9 50
2
90
78 18 100
90
78 19 40
11 40 20
．
12．如图 1，点O 在直线AB 上，
90
COD
OE
，
平分
BOC
．
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(1)若
50
AOC
，求
DOE
的度数；小杨的解题过程如下：
解：∵
50
AOC
180
130
BOC
AOC
．
OE
平分
BOC
，
COE
= °．
90
DOE
COD
COE
(2)将
COD
按图 2 所示的位置进行放置，请猜想
AOC
与
DOE
间的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)
BOE
；65；65；25
(2)
1
2
DOE
AOC
，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差补全过程即可；
（2）根据角平分线的定义，角的和差证明即可
【详解】（1）解：∵
50
AOC
180
130
BOC
AOC
．
OE
平分
BOC
，
65
COE
BOE
．
90
65
25
DOE
COD
COE
．
（2）证明：
1
2
DOE
AOC
，理由如下：
∵O 是直线AB 上一点，
∴
180
AOC
BOC
，
∴
180
BOC
AOC
．
∵OE 平分
BOC
，
∴
1
1 180
2
2
COE
BOC
AOC
∵
90
COD
，
DOE
COD
COE
，
∴
1
1
90
180
2
2
DOE
AOC
AOC
．
13．如图所示，将一副三角板的直角顶点O 重合叠放在一起．
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(1)如图1 若
50
BOD
，求
AOC
的度数；若
135
AOC
，求
BOD
的度数；
(2)如图2 若
145
AOC
，求
BOD
的度数；
(3)猜想
AOC
与
BOD
的数量关系，并结合图1 说明理由．
【答案】(1)
130
AOC
，
45
BOD
(2)35
(3)
180
AOC
BOD
，理由见解析
【分析】（1）利用角的和差进行求解；
（2）利用角的和差进行求解；
（3）利用角的和差进行证明．
【详解】（1）解：
90
COD
，
90
BOA
，
50
BOD
，
90
90
50
130
AOC
COB
BOA
BOD
；
135
AOC
，
90
90
135
45
BOD
COD
BOA
AOC
；
（2）解：
145
AOC
，
360
D
A
AO
C
BOD
B
O
OC
360
90
90
145
35
；
（3）解：
180
AOC
BOD
，理由如下，
AOC
COD
BOA
BOD
90
90
BOD
180
BOD
，
180
AOC
BOD
．
14．已知，OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
(1)如图1 所示，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
，求
MON
的度数；
(2)如图2 所示，
AOB
x
，射线OP ，射线OQ 分别从OC OB
，
出发，并分别以每秒1和每秒2的速度绕
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着点O 逆时针旋转，OP 和OQ 分别只在
AOC
和
BOC
内部旋转，运动时间为t 秒．
①直接写出
AOP
和
COQ
的数量关系；
②若
150
AOB
，当
2
3
POQ
BOP
，求t 的值．
【答案】(1) 40
(2)①
2
COQ
AOP
；②
20
t
【分析】（1）根据
3
AOB
AOC
，可得
1 120
40
3
AOC
，根据角平分线的定义可得
1
2
AOM
AOC
，
1
2
AON
AOB
，再根据角的和差关系求解；
（2）①用含t 的式子表示出
AOP
和
COQ
，即可求解；②根据角的和差关系，用含t 的式子表示出
POQ
和
BOP
，根据
2
3
POQ
BOP
列方程求出t 的值即可．
【详解】（1）解：∵
3
AOB
AOC
，
120
AOB
，
∴
1 120
40
3
AOC
，
∵OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
，
∴
1
20
2
AOM
AOC
，
1
60
2
AON
AOB
，
∴
60
20
40
MON
AON
AOM
；
（2）解：①
2
COQ
AOP
；理由如下：
∵
3
AOB
AOC
AOB
x
，
，
∴
1
3
AOC
x
，
∴
2
3
BOC
x
，
由题意得：
1
COP
t
t
，
2
2
BOQ
t
t
，
∴
1
3
AOP
AOC
COP
x
t
，
2
1
2
2
3
3
COQ
BOC
BOQ
x
t
x
t
，
∴
2
COQ
AOP
；
②由①知
COP
t
，
2
2
3
COQ
x
t
，
∵
POQ
COQ
COP
BOP
BOC
COP
，
，
∴
2
3
POQ
x
t
，
2
3
BOP
x
t
，
∵
2
3
POQ
BOP
，
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∴2
2 2
3
3
3
x
x
t
t
，
把
150
x
代入得：
2
100
100
3
t
t
，
解得
20
t
．
15．已知直角三角板ABC 中，
60
BAC
，
90
ABC
，将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
，旋转
角记为
．
(1)当旋转方向为逆时针方向，且
75
时（如图1），求
'B AC
和
'
BAC
的大小；
(2)当旋转方向为逆时针方向，且
90
时，在图2 中，画出旋转得到的
'
'
AB C
；
(3)当
0
90 时．
①若
'
'
3
BAC
BAB
，求
的度数．
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D 为BC 上一点，
'
1
3
CAD
C AC
，在旋转过程中，若
'
C AD
与
BAD
始终满足
'
m C AD
BAD
为定值，求常数m 的值．
【答案】(1)
'
135
BAC
，
'
15
B AC
；
(2)见解析；
(3)①15或30；②
1
4
．
【分析】（1）由旋转的性质可得，
'
75
BAB
，
'
'
60
B AC
BAC
，进而根据角的和差关系即可
求解；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得
'
'
C AC
B AB
，即得
'
1
1
3
3
CAD
C AC
，进而可得
1
60
3
BAD
CAB
CAD
，
'
'
4
3
C AD
C AC
CAD
，即得到
4
1
60
3
3
m C AD
BAD
m
，即可得4
1
0
3
3
m
，求
出m 的值即可求解．
【详解】（1）解：∵将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
'
'
AB C
，
'
75
BAB
，
'
'
60
B AC
BAC
，
'
'
15
B AC
BAB
BAC
，
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'
'
'
'
135
BAC
BAB
B AC
；
（2）解：如图，把AB
AC
，
绕点A 逆时针旋转90，得到
'
AB 和
'
AC ，
连接
'
'
B C ，得到
'
'
AB C
，
'
'
AB C
即为所求作；
（3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，
'
60
BAC
，
'
BAB
，
'
'
3
BAC
BAB
，
60
3
，
解得
30
；
当旋转方向为顺时针方向时，
'
60
BAC
，
'
BAB
，
'
'
3
BAC
BAB
，
60
3
，
解得
15
；
综上，
的度数为15或30；
②由旋转性质可得，
'
'
C AC
B AB
，
'
1
1
3
3
CAD
C AC
，
60
CAB
，
1
60
3
BAD
CAB
CAD
，
'
'
1
4
3
3
C AD
C AC
CAD
，
4
1
4
1
60
60
3
3
3
3
m C AD
BAD
m
m
，
'
C AD
与
BAD
始终满足
'
m C AD
BAD
为定值，
36 / 36
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4
1
0
3
3
m
，
解得
1
4
m
，
常数m 的值为
1 .
4
