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4.1.1 立体图形与平面图形
1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等.能用自己的语
言描述它们的某些特征
2.了解多面体可由平面图形围成,进一步认识立体图形与平面图形之间的关系3.通过丰富
的实例,认识点、线、面、体,初步感受它们之间的关系.逐步由感性认识上升到对抽象的数
学图形的认识,从而提高空间想象能力和几何直观能力
知识点一 立体图形的认识
1.图形
几何图形是从实物中抽象出的各种图形，分为立体图形和平面图形
2.体形
有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形合并同类项解方程
的方法与步骤
几种常见的立体图形如下表:
名称 图例 特征
底面是大小相
圆柱 同的圆侧面是
曲面
有两个面(底
柱体
面)互相平行
底面是多边形,
棱柱 侧面是长方形
或正方形
只有一个圆形
椎体 圆锥 底面,侧面是曲 有一个顶点
面只有一个圆形
各侧面有一个
棱锥 底面,侧面是曲
公共顶点
面
底面是大小不
圆台 相同的圆,侧面
是曲面
有两个面(底
台体
面)互相平行
底面是多边形,
棱台
侧面是梯形
球 表面是曲面
即学即练（2022上·广东河源·七年级校考期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以
圆柱的形象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆柱体上下表面都是圆的特征即可解题.
【详解】解：A．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意；
B．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意；
C．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意；
D．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆柱体的识别，属于简单题，熟悉立体图形的定义是解题关键.
知识点二 平面图形
1.平面图形有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
2.几种常见的平面图形
名称 图形 名称 图形
直线 射线
线段 三角形
长方形 正方形
梯形 平行四边形
圆 扇形
一些简单的平面图形可以组合成许多优美的图案,如某些国家的国旗、各种
银行标志、由各种形状的地砖铺成的漂亮的地面等。
即学即练（2023上·山东济南·七年级校考阶段练习）下列平面图形中，是棱柱的展开图的
是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据棱柱的特点即可得出答案．
【详解】解：B是四棱柱的展开图，故该选项符合题意；
A、C、D选项都不是棱柱的展开图，故都不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是棱柱的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键．知识点三 从不同方向看物体
1.从不同方向看物体
一般地，从立体图形的正面、左面、上面三个角度观察立体图形,往往会得到不
同形状的平面图形
看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.从不同方向看同一物体，所看
到的平面图形可能不同,也可能相同。
2. 分别从正面左面和上面看几种常见几何体得到的平面图形
从不同方
向看
几何体
从正面看
从左面看
从上面看
即学即练（2023上·山东青岛·七年级统考期中）如图所示的几何体是由5个大小相同的小
正方体搭成的，从上面看到的几何体的形状图是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看该几何体，底层左边是一个小正
方形，上层是三个小正方形即可得到答案，考查了空间想象能力．
【详解】解：从上面看该几何体，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，如图，
，
故选：B．
知识点四 立体图形的展开图
1.立体图形的展图
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平
面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
2.几种常见立体图形的展开图
名称 正方体 长方体 五棱柱 圆柱 圆锥 三棱锥
立体图形
展 开 图
（举例）
3.正方体的展开图
对于同一个立体图形，展开图不是唯一的,按不同的方式展开，可以得到不同的平面图
形,如正方体的展开图就有以下11种情况,可分为四类:
（1）“二二二”型 （2）“三三”型（3）“一三二”型
（4）“一四一”型
注意：
不能作为正方体展开图的有以下几种常见情况:
（1）“五子连”型,四个以上的正方形排成一排,如 或 等。
（2）“7”字型，四个正方形排成一排,另两个在这一排同侧，如 等。
（3）“田”字型，如 等。
（4）“凹”字型，如 等。
即学即练（2023上·广东深圳·七年级校考期中）下列各图形中，能折叠成圆锥的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A【分析】此题主要考查了圆锥的展开图，解题的关键是根据圆锥的展开图判断，需要一定
空间想象力．
【详解】解：圆锥的展开图是一个扇形一个圆，即为：
故选：A．
题型1 几何体的识别
例1（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图所示的几何体中属于柱体的是（ ）
A．①④ B．③④⑥ C．①④⑥ D．④⑥
【答案】B
【分析】本题考查认识立体图形，根据各个几何体形体特征，得出这些几何体的名称，进
而进行分类即可．
【详解】解：这些几何体的名称：①四棱锥，②球，③圆柱体，④四棱柱，⑤圆锥体，⑥
三棱柱，
因此柱体有：③圆柱体，④四棱柱，⑥三棱柱，
故选：B．
举一反三1（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）在我们生活的现实世界中，有各种各样
的立体图形．如图所示的纸箱可以抽象成的几何体是（ ）A．球 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
【答案】B
【分析】根据常见的几何体进行判断，即可得到答案．
【详解】解：如图所示的纸箱可以抽象成的几何体是长方体，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的识别，熟练掌握常见的几何体是解题关键．
举一反三2（2023上·广西桂林·七年级统考期末）下列立体图形中，是圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据常见的几何体以及圆锥的概念和特性判定．
【详解】解：A、是圆柱，故不合题意；
B、是圆锥，故符合题意；
C、是三棱锥，故不合题意；
D、是球体，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了认识立体图形，掌握圆锥的概念和特性是关键．
题型2 平面图形形状的识别问题
例2（2021上·湖北宜昌·七年级统考期末）在下列所给的几何图形中，属于平面图形的是
（ ）．
A．三棱柱 B．圆 C．圆锥 D．长方体
【答案】B【分析】根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可．
【详解】解：三棱柱、圆锥和长方体都属于立体图形，圆属于平面图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何图形的分类，熟悉常见几何图形中的平面图形和立体图形是解答
本题的关键．
举一反三1（2022上·山西阳泉·七年级统考期末）围成下列这些立体图形的各个面中，都
是平的面为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面图形的各点在同一平面上即可判断．
【详解】解：A、球面不是平面，故本选项不符合题意；
B、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
C、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
D、每个面都是平面，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查平面图形的概念，难度不大，注意掌握平面图形的特点是解答的关键．
举一反三2（2022上·湖南邵阳·七年级统考期末）下面几种几何图形中，属于立体图形的
是（ ）
①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆 ⑤圆柱
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．③⑤
【答案】D【分析】根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可．
【详解】解：①三角形 ， ②长方形 ，④圆，是平面图形； ③正方体，⑤圆柱，是立体
图形．
综上，正确的有③⑤ ．
故选：D．
【点睛】解答本题的关键是熟悉“常见几何图形中的平面图形和立体图形”．
题型3 组合几何体的构成
例3（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列几何体由5个平面围成的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可．
【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意；
B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意；
C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题
意；
D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键．
举一反三1（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块
搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择．（填序号即可）
【答案】①④/④①
【分析】根据组合后的几何体是长方体且有6个小正方体构成直接判断即可．
【详解】由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小立方块搭成，所以，应选择①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了立体图形的拼搭，根据题意发挥空间想象能力是解题的关键．
举一反三2（2022上·湖南张家界·七年级张家界市民族中学校考开学考试）把4个棱长为
2分米的正方体拼成长方体，拼成的长方体的表面积可能是 平方分米，也可能是
平方分米．
【答案】 72 64
【分析】由4个棱长2分米的小正方体拼成的长方体，可以有两种拼法，可以拼成长、宽、
高分别是8分米、2分米、2分米的长方体，也可以拼成长、宽、高分别是4分米、2分米、
4分米的长方体，根据长、宽、高求出表面积即可．
【详解】解：8×2×4+2×2×2，
=64+8，
=72（平方分米），
4×2×4+4×4×2，
=32+32，
=64（平方分米）；
答：拼成的长方体的表面积可能是72平方分米，也可能是64平方分米．
故答案为：72，64．
【点睛】此题主要考查简单的立方体拼接问题以及长方体表面积的求法，注意分两种情况
讨论．
题型4 立体图形的分类例4（2023上·湖北随州·七年级统考期末）下列几何体中，含有曲面的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用曲面和平面的定义区分即可．
【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，
都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形．
∴含有曲面的有2个．
故选B．
【点睛】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键．
举一反三1（2022上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样
大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直棱
柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据柱体，锥体的定义及组成，即可求解．
【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱，∴柱体的两个底面一样大，故该说法正确；
②圆柱、圆锥的底面都是圆，故该说法正确；
③棱柱的底面可以是任意多边形，故该说法错误；
④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，故该说法正确；
⑤直棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是正方形，故该说法错误，
综上所述，正确的为：①②④，共有3个．
故选：B
【点睛】本题考查了认识立体图形，注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底
面可以是全等的多边形，侧面是四边形是解题的关键．
举一反三2（2022上·河北石家庄·七年级校考期末）如图所示的立体图形中，不是柱体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据柱体的定义逐一判断，可得答案．
【详解】解：A．正方体是柱体，故本选项不符合题意；
B．直三棱柱是柱体，故本选项不符合题意；
C．直四棱柱是柱体，故本选项不符合题意；
D．此立方体不符合柱体的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了认识柱体，柱体是一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的
每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱．
题型5 几何体中的点、棱、面
例5（2022上·陕西榆林·七年级校考期末）若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是
，则每条侧棱的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一个棱柱有10个顶点，该棱柱是五棱柱共有五条侧棱，且都相等，所以它的每条
侧棱长=所有侧棱长度之和 ．
【详解】解：∵一个棱柱有10个顶点，
∴该棱柱是五棱柱，∴它的每条侧棱长是 ．
故选：A
【点睛】本题考查了五棱柱的特征．熟记五棱柱的特征，是解决此类问题的关键，本题属
于基础题型．
举一反三1（2023上·河北邢台·七年级统考期末）下列几何体中，面数最少的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】弄清每个几何体的面数即可．
【详解】解：球有1个面，圆柱有3个面，圆锥有2个面，正方体有6个面，面数最少的
是球．
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的组成，几何体是由面围成的，而面又分为平面和曲面．能准确
区分平面和曲面是解题的关键．
举一反三2（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）一个棱柱有7个面，则它的顶点数是
．
【答案】10
【分析】根据棱柱的特点，n棱柱有 个顶点， 条棱， 个面，进行计算即可；
【详解】一个棱柱的面数为7，则这个棱柱是五棱柱，五棱柱的顶点数为10
故答案为：10
【点睛】本题考查了棱柱的特征，掌握n棱柱有 个顶点， 条棱， 个面是解决问题的关键．
题型6 从不同方向看几何体
例6（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，这是一个由5个大小相同的小立方块搭
成的几何体，则从它的左面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】从左面看几何体由三层两列，确定每列正方体的个数，即可得到答案．
【详解】解：从它的左面看到该几何体的形状图是：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断简单组合体的三视图，考查学生的空间想象能力，难度不大．
举一反三1（2021上·山西晋中·七年级统考期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________ ；
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【答案】(1)26
(2)见解析
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是：
（1）利用三视图面积和的2倍计算即可；
（2）从正面看，有3列，每列分别有3个，1个，1个；从左面看，有2列，每列分别有2
个，1个；从上面看，有3列，每列分别有3个，1个，1个，据此画图．
【详解】（1）解： ，
故答案为：26；
（2）如图所示：
举一反三2（2023上·福建宁德·七年级校考期末）用相同的小立方体搭一个几何体，从正
面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置
上小立方体的个数，请回答下列问题：(1)填空： _________， _________；
(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；
(3)当 ， 时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．
【答案】(1)3；1
(2)11
(3)见解析
【分析】（1）由该组合体的从正面、上面看到的形状图可知，a列有3个小正方体，b列
有1个小正方体，从而判定；
（2）当 时，最多；
（3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可.
【详解】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知，
，
故答案为：3；1；
（2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可
知，
需要最多小立方体时， ，
此时需要的个数为： （个），
答：这个几何体最多由11个小立方体搭成；
（3）解：当 ， 时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：【点睛】本题考查了从三个方向看，熟练掌握不同方向看的形状图的特点是解题的关键.
题型7 几何体展开图的认识
例7（2023上·湖南永州·七年级统考期末）某立体图形如图所示，则下列选项中是其展开
图的是( )
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】根据几何体为三棱锥，进行判断即可．
【详解】解：∵立体图形的四个面均为三角形，
∴展开图中没有四边形，
只有A选项符合题意；
故选A．【点睛】本题考查立方体的展开图．解题的关键是熟记常见图形的展开图．
举一反三1（2023上·山西太原·七年级统考期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几
何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有七个面，两个五边形的底面，五个长方形的侧面，
因此该几何体是五棱柱，
故选：D．
【点睛】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
举一反三2（2023上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）一个无盖的长方体
盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式 ， ， ，4，且该盒子的相对两个
面上的整式的和相等，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为 ，即可得到底面的周长；
（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为 ，
底面的长为 ，
底面的周长为 ，
故答案为： ；
（2）解： ①，②，③，④四个面上分别标有整式 ， ， ，4，且该盒子的相
对两个面上的整式的和相等，
，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体
的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解
决此类问题的关键．
题型8 由展开图计算几何体的表面积
例8（2023下·山东临沂·七年级统考期末）若一个正方体纸盒的表面积为 ，则该正
方体的棱长为 ．
【答案】
【分析】根据正方体的表面积为6个正方形的面积之和进行求解即可．
【详解】解：设正方体的棱长为 ，由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方体的表面积．熟练掌握正方体的表面积为6个面的面积之和，是解
题的关键．
举一反三1（2023上·湖南怀化·七年级统考期末）如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为 ．
(1)求 的值．
(2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽
至少要多少 ？
【答案】(1)50
(2)长至少 ，宽至少
【分析】（1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可．
【详解】（1）解：∵展开图阴影部分的面积为 ，
∴ ，
解得： ．
（2）解： ，
，
答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少
，宽至少 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是根
据图形面积列出方程．
举一反三2（2023上·陕西西安·七年级校考期末）将若干个棱长为a的小立方块摆成如图
所示的几何体．(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图；
(2)求该几何体的表面积；
(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)该几何体的表面积为 ；
(3)该几何体的表面积为 ．
【分析】（1）画出从上、下、左三个方向看到的图形即可；
（2）每个方向上均有6个等面积的小正方形；
（3）每个方向上均有 个等面积的小正方形．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解： ，
故该几何体的表面积为 ；（3）解： ，
故该几何体的表面积为 ．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，关键是要注意立体图形的各个面，及每个面的正方
形的个数．
举一反三3（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）某种包装盒的形状是长方体，长 比
高 的三倍多2，宽 的长度为3分米，它的展开图如图所示．（不考虑包装盒的黏合
处）
(1)设该包装盒的高 为 ，则该长方体的长 为_______分米，边 的长度为_______
分米；（用含 的式子表示）
(2)若 的长为12分米，现对包装盒外表面涂色，每平方分米涂料的价格是6元，求为每
个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
【答案】(1) ，
(2)为每个包装盒涂色的费用是276元
【分析】（1）根据该包装盒的长 比高 的三倍多2，即可得出该长方体的长，再根
据该长方体的展开示意图即可得出 的长；
（2）由（1）得 ，从而可求出 ，即可求得 ，从而可求出表
面积为46平方分米，再乘以每平方分米涂料的价格是6元，即可得到答案．
【详解】（1）解：设该包装盒的高 为 ，
长 比高 的三倍多2，
该长方体的长 为 分米，
（分米），故答案为： ， ；
（2）解：由（1）得 ，
，
解得 ，
，
表面积为： （平方分米）
费用为： （元）
答：为每个包装盒涂色的费用是276元．
【点睛】本题考查了列代数式、长方体的表面积公式，读懂题意，列出代数式是解题的关
键．
题型9 由展开图计算几何体的体积
例9（2023上·河南郑州·七年级统考期末）如图是一张边长为 的正方形纸片，将其四
个角都减去一个边长为xcm的正方形，沿虚线折成一个无盖的长方体盒子，这个盒子的体
积(单位： ) 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据展开图得出长方体的长宽高，然后计算出体积即可．
【详解】解：由题意知，这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ，
这个盒子的体积为 ，
故选： ．【点睛】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
举一反三1（2023上·河南安阳·七年级校考期末）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所
示（单位： ），则其容积为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
【详解】解：由题意可得，
该长方体的高为： ，该长方体的宽为： ，
∴长方体的长为： ，
∴其容积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．
举一反三2（2023上·广东韶关·七年级统考期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准
备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺
少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为 ，长方形的长为 ，宽为 ，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)拼图存在问题，多了，作图见解析
(2)
【分析】（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
【详解】（1）解：拼图存在问题，多了，如图：
（2）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为 ， ， ，
∴体积为： ．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握几何体特征，利用平面图形的长和宽或边长得到
立体图形的长宽高是求解本题的关键．
题型10 正方体几种展开图的识
例10（2023上·福建福州·七年级统考期末）下列图中，经过折叠后不能围成正方体的是（
）
A． B． C．
D．【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：A、每个面都有对面，可以围成一个正方体，故不符合题意；
B、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以也不能折叠成一个正方体，故符合题意；
C、每个面都有对面，可以围成一个正方体，故不符合题意；
D、每个面都有对面，可以围成一个正方体，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何题，每个面都有一个对面是折叠成正方体的关键．
举一反三1（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保
小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体
纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________．
【答案】(1)C
(2)环
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，
再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，
选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．
故答案为：C；
（2）解：根据正方体展开图的特征可知，“小”字相对的面为“环”，答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；
故答案为：环．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关
键．
举一反三2（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）【综合与实践】我们在
《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课
后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样
大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方
形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．
【问题解决】现有一块长为 ，宽为 的长方形纸张，请探究：
(1)若 ，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为 ，做成一个无盖的正方体纸盒，
你发现 与 之间存在的数量关系为_________．
(2)若 ，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现 与 之间存在的数
量关系为_________．
(3)在（2）的条件下，若 ，求有盖正方体纸盒的表面积．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）分析得出做成的无盖正方体纸盒的棱长是 ，进而可得 ；
（2）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得 ， ，化简得到 ，
（3）然后求出 时 的值，再根据正方体的表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，做成的无盖正方体纸盒的棱长是c，
故可得： ，
故答案为： ；
（2）如图所示
由图形可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）∵ ，
∴当 时， ，
∴此时有盖正方体纸盒的表面积为： ．
【点睛】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图，熟练掌握并灵活
运用相关性质，找到图中边长的数量关系是解答的关键．
题型11 正方体相对两面上的字的问题
例11（2023上·云南红河·七年级统考期末）如图，是正方体的一种展开图，表面上的语句
为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面中与
“来”相对的是（ ）A．一 B．起 C．！ D．向
【答案】D
【分析】根据正方体展开图相对面的特征即可解答．
【详解】解：在正方体的表面中与“来”相对的是“向”，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的相对面，解题的关键是掌握正方体展开图相对面
的特征“间隔一个或z字端”．
举一反三1（2023上·江苏常州·七年级统考期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，
其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“您”相对的字为 ．
【答案】年
【分析】根据正方体平面图形的折叠和正方体的平面展开图进行判断即可．
【详解】解：和“您”相对的字是“年”，
故答案为：年．
【点睛】本题考查正方体的平面展开图，掌握正方体的表面展开图，相对的面之间一定相
隔一个正方形是解题的关键．
举一反三2（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图
折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则 的值为 ．【答案】
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“ ”与面“2”相对，
面“ ”与面“4”相对，“ ”与面“1”相对．
， ， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解
答问题．
题型12 含图案的正方体的展开图
例12（2023下·云南昭通·七年级校联考期末）在下列四个正方体中，只有一个是用左图所
示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可．【详解】∵ 、 的正方体展开后，黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边，
与所给纸片不符，
∴排除 和 ；
对于 ，小圆圈的右边是空白，同样与所给纸片不符合，也可排除；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正方体侧面展开图，解题的关键是动手折叠一下，空间想象力的培养．
举一反三1（2023上·河南商丘·七年级统考期末）如图，下面的图是正方体的展开图的是
（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】将展开图逐一还原，得到与原正方体相同的展开图，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
的展开图是
故选：C．【点睛】本题主要考查了含图案的正方体的展开图，有较好的空间想象能力是解题的关键．
举一反三2（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为( )
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
“＜”与“等号”不是相对的面，故选项B不合题意；
“当“圆圈”在前面时，“等号”在右面时，上面的“不等号”的方向与题意不一致，故
选项C不合题意；
“等号”方向与“圆圈”与题意不一致，故选项D不合题意；
通过折叠可得，选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
题型13 求展开图上两点折叠后的距离
例13（2022上·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形
组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从 点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将图①折成正方体，然后判断出 、 的在正方体中的位置，从而可得到 之
间的距离．
【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点 、 的在正方体中的位置，
蜗牛是从 点沿该正方体的棱爬行到 点
，
故选：C．
【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出 、 的在正方体中的位置是解题的关键．
举一反三1（2023上·陕西西安·七年级校考期末）如图是一个正方体的表面展开图，若
，则该正方体上 两点间的距离为 ．
【答案】3
【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求
出结果．
【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体， 刚好是同一个面的对角线，
因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是 ，
即正方体上 两点间的距离为：3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，
难点在于确定A、B两点折叠后的位置．
举一反三2（2020上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个
小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点 在
围成的正方体上的距离是 ．
【答案】2
【分析】将图1折成正方体，然后判断出 在正方体中的位置关系，从而可得到 之
间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出 ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解
题的关键．
题型14 补一个面使图形围成正方体
例14（2023上·山东济宁·七年级统考期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正
方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方
体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）．【答案】③
【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．
正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、
拐角邻面知．
举一反三1（2023上·江西赣州·七年级统考期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，
折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面．
【答案】见解析
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体，
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展
开图都不是正方体的表面展开图．
举一反三2（2022上·吉林长春·七年级校考期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网
格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构
成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【答案】画图见解析
【分析】正方体的展开图一共有 种，其中 型有 种， 型有 种， 型有 种，
型有 种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关
键．
题型15 用七巧板拼图形
例15（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的
两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为 ，则“一帆风
顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中
所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式．
举一反三1（2023下·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）若用如图①这样一副七
巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为 ，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设①中小正方形的边长为 ，由已知条件可得 ，用 表示出②中阴影部分的
面积，即可求出面积的值．
【详解】解：设①中小正方形的边长为 ，
则大正方形的面积为 ，
，
②中阴影部分的面积为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解答本题的关键是用一个字母来表示面积．
举一反三2（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，
由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被
称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧
板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．【答案】 /
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的 ，平行四边
形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为 的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积 ，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各
部分面积之间的关系是解题的关键．
一、单选题
1．（2021上·天津滨海新·七年级统考期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况
进行判断也可．
【详解】解：A、不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
B、不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
C、可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意；
D、不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正
方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，
不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
2．（2022上·湖北宜昌·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠
成正方体后，“美”字一面相对面上的字是（ ）．
A．五 B．美 C．设 D．峰
【答案】A
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“美”与“五”是相对面，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正确记忆正方体的空间图形，从相对面入手是解题关键．
3．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）将如图所示的平面图折叠成一个正方体，则与
“思”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．是 B．量 C．维 D．力
【答案】B
【分析】根据正方形的相对面的确定方法，同行隔一个，异行隔一列，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：与“思”字所在的面相对的面上的字是量；
故选B．
【点睛】本题考查正方体展开图的相对面．熟练掌握相对面的确定方法，是解题的关键．
4．（2022上·甘肃兰州·七年级校考期末）图是从三个不同方向看到的由几个相同的小立方
块搭成的几何体的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】利用从上面看到的形状图写出小正方体的个数可得结论．
【详解】解：如图，这个几何体的小正方体的个数为 个，
故选B．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解三个方向看几何体的方法，属
于中考常考题型．
5．（2015上·江苏盐城·七年级统考期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】根据棱柱的特点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、可以围成四棱柱，不符合题意；
B、上下两个底面是三角形，但是有4个侧面，无法围成棱柱，符合题意；
C、可以围成五棱柱，不符合题意；
D、能围成三棱柱，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了棱柱的折叠与展开，熟练掌握棱柱的侧面数等于底面的边数是解题的
关键．
二、填空题
6．（2018上·江苏无锡·七年级校联考期末）一个无盖的长方体的包装盒展开后如图所示
（单位： ）该长方体的体积为 ．【答案】96 /96立方厘米
【分析】先用 减去 求出高为 ，再用 减去 求出宽为 ，
再用 减去 求出长为 ，再根据长方体的体积公式计算即可求解；
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．
7．（2022上·河南郑州·七年级校考期末）下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这
些几何体的名称：图1 ；图2 ；图3 ．
【答案】 正方体 四棱锥 三棱柱
【分析】利用立体图形的展开图特征求解即可．
【详解】解：由立体图形的特征可得图 1为正方体，图 2为正四棱锥，图3为三棱柱，
故答案为：正方体，四棱锥，三棱柱．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合
立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
8．（2022上·湖北咸宁·七年级统考期末）在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，从
正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形一定完全相同的几何体有
（填编号）．
【答案】①②③【分析】分别从正面和从左面观察体图形得到主视图和左视图，进行逐一判定即可求解．
【详解】解：①从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相
同的三角形，故符合题意；
②从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的长方形，
故符合题意；
③从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的圆，故符
合题意；
④从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是长方形，但边长
不一定相同，即不一定是相同的长方形，故不符合题意；
故答案：①②③．
【点睛】本题考查了左视图和主视图的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2021上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方
体后，“个”字一面的相对面上的字是 ．
【答案】少
【分析】根据立体几何展开图中找相对面的方法“同行：隔一行为相对面；同列：隔一列
为相对面．”或“ ”字首位为相对面，由此即可求解．
【详解】解：根据“ ”字首位为相对面的方法可得，“个”字一面的相对面上的字是
“少”
故答案为：少．
【点睛】本题主要考查立体几何图形张开图中相对面的知识，掌握“同行：隔一行为相对
面；同列：隔一列为相对面．”或“ ”字首位为相对面的知识是解题的关键．
10．（2022上·北京海淀·七年级校联考期末）把正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，
6，现将上述四个完全一样的正方体排成一个如图水平放置的长方体那么长方体的下底面的
所有数字之和为 ．
【答案】12【分析】根据题意得图中四个小正方体的上面可以看到数字，则求长方体的下底面的数字
之和就是求上面已知的四个数字的对面数字之和；由于最右边的小正方体各面的已知数字
看到的最多，结合左面两个小正方体的已知数字中都有3，则可知3的四个相邻面的数字，
则3的对面数字即可推出；继而可知1的四个相邻面的数字，其对面数字可知，则剩余一
对对面数字即可得出；按得出的三对相对面的数字即可求出上面已知的四个数字的对面数
字，计算出和即可．
【详解】解：因为观察3的相邻面有2，4，1，6，
所以3的对面为5，
因为1的相邻面有2，6，3，5，
所以1的对面是4，
所以6 的对面是2．
所以长方体下底面数字之和为 ．
故答案为：12．
【点睛】本题考查立体图形中正方体的展开与折叠，正确判断出“对面”是解决问题的关
键．
三、解答题
11．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）创新作图：如图，在无阴影的
方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的
不同展开图（填出三种互相不同的答案）
【答案】见解析
【分析】根据正方体11种展开图的特点进行设计即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，熟记正方体的表面展开图的模型是解题的关键．
正方体的表面展开图用口诀：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角
邻面知．
12．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图是由几个小立方块搭成的几何体从上面看
到的图形，小正方形的数字表示该位置小立方块的个数，请在左面的方格表中用阴影分别
画出从正面和左面看到的图形．
【答案】见解析
【分析】根据已知图形得出实际摆放情况，进而利用从正面和左面观察得出图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了画从正面和左面看到的图形，解题的关键是理解俯视图中数字特
点，充分发挥空间想象力．
13．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，分别画出从正面、左面和上面观察该几
何体看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】根据从正面看是从前往后看，从上面看是从上往下看，从左面看是从左往右看，画出相应的图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了从三个方向看几何体的形状．解题的关键是画几何体的从三个方向看
到的形状时应注意小正方形的数目及位置．
