1立体几何初步知识点题型归纳合集(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_立体几何初步PDF_PDF

立体几何初步
知识点+题型归纳全集
8.1 基本立体图形.......................................................................................................................................................8
模块一：基础知识..............................................................................................................................................8
考点一：空间几何体的相关概念..............................................................................................................8
考点二：棱柱..............................................................................................................................................8
考点三：棱锥..............................................................................................................................................8
考点四：棱台..............................................................................................................................................9
考点五：圆柱..............................................................................................................................................9
考点六：圆锥..............................................................................................................................................9
考点七：圆台............................................................................................................................................10
模块二：题型分类............................................................................................................................................10
题型一：简单几何体的识别....................................................................................................................10
题型二：棱柱的几何特征........................................................................................................................11
题型二：棱锥和棱台的几何特征............................................................................................................12
题型三：旋转体的几何特征....................................................................................................................13
题型四：简单的组合体问题....................................................................................................................15
题型五：展开图及最短路径问题............................................................................................................17
题型六：几何体的截面问题....................................................................................................................20
模块三：综合巩固............................................................................................................................................22
8.2 立体图形的直观图.............................................................................................................................................25
模块一：基础知识............................................................................................................................................25
考点一：空间几何体的直观图的概念....................................................................................................25
考点二：立体图形的直观图的画法........................................................................................................25
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系................................................................................... 25
模块二：题型分类............................................................................................................................................25
题型一：斜二测画法的辨析....................................................................................................................25
题型二：斜二测画法画平面直观图........................................................................................................27
题型三：画空间几何体的直观图............................................................................................................27
题型四：由直观图还原几何图形............................................................................................................27
题型五：斜二测画法中长度的计算........................................................................................................29
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系........................................................................... 30
模块三：综合巩固............................................................................................................................................32
8.3 简单几何体的表面积和体积............................................................................................................................ 36
模块一：基础知识............................................................................................................................................36
考点一：多面体的表面积、侧面积........................................................................................................36
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积........................................................................................................36
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积....................................................................................................36
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积........................................................................................................37
考点五：球的表面积和体积....................................................................................................................37
考点六：球的截面的性质........................................................................................................................37
模块二：题型分类............................................................................................................................................37
题型一：棱柱的表面积和体积计算........................................................................................................37
题型二：棱锥的表面积和体积计算........................................................................................................40
题型三：棱台的表面积和体积计算........................................................................................................43
题型四：圆柱的表面积和体积................................................................................................................44
题型五：圆锥的表面积和体积................................................................................................................45
题型六：圆台的表面积和体积................................................................................................................47
题型七：球的表面积和体积....................................................................................................................48
题型八：球的截面问题............................................................................................................................50
题型九：几何体与球的切、接问题........................................................................................................51
题型十：组合体的表面积和体积............................................................................................................52
模块三：综合巩固............................................................................................................................................54
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系........................................................................................................... 61
模块一：基础知识............................................................................................................................................61
考点一：平面的基本概念........................................................................................................................61
考点二：三个基本公理及其推论............................................................................................................61
考点三：点、线、面的位置关系的表示............................................................................................... 62
考点四：空间中直线与直线之间的位置关系....................................................................................... 62
考点五：平面与平面之间的位置关系....................................................................................................63
模块二：题型分类............................................................................................................................................64
题型一：空间符号的正确使用................................................................................................................64
题型二：基本事实与推论的理解............................................................................................................64
题型三：点共面与线共面的问题............................................................................................................65
题型四：线共点与点共线问题................................................................................................................66
题型五：直线与直线的位置关系............................................................................................................68
题型六：异面直线所成角........................................................................................................................69
题型七：直线与平面的位置关系............................................................................................................71
题型八：平面与平面的位置关系............................................................................................................72
题型九：平面分空间的区域数量............................................................................................................72
模块三：综合巩固............................................................................................................................................73
8.5 空间直线﹑平面的平行.....................................................................................................................................78
模块一：基础知识............................................................................................................................................78
考点一：基本事实4.................................................................................................................................78
考点二：等角定理....................................................................................................................................78
考点三：空间四边形................................................................................................................................78
考点四：线线平行的证明方法................................................................................................................78
考点五：空间直线与平面的位置关系有以下三种............................................................................... 78
考点六：直线与平面平行的判定定理....................................................................................................78
考点七：直线与平面平行的性质定理....................................................................................................79
考点八：平面与平面平行的判定定理....................................................................................................79
考点九：平面与平面平行的性质定理....................................................................................................79
考点十：利用判定定理证明两平面平行的步骤................................................................................... 79
模块二：题型分类............................................................................................................................................80
题型一：基本事实4 概念辨析................................................................................................................80
题型二：证明线线平行............................................................................................................................80
题型三：等角定理....................................................................................................................................82
题型四：直线与平面平行的性质............................................................................................................83
题型五：直线与平面平行的判定............................................................................................................84
题型六：平行交线定理证明线线平行....................................................................................................87
题型七：平面与平面平行的判定............................................................................................................89
题型八：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置............................................................... 91
题型九：由线面平行求线段长度............................................................................................................92
题型十：面面平行性质定理的应用........................................................................................................95
模块三：综合巩固............................................................................................................................................97
8.6 空间中线线垂直和线面垂直.......................................................................................................................... 102
模块一：基础知识..........................................................................................................................................102
考点一：两条直线所成的角..................................................................................................................102
考点二：求两异面直线所成的角的步骤............................................................................................. 102
考点三：证明异面直线垂直的步骤..................................................................................................... 102
考点四：直线与平面垂直的定义..........................................................................................................102
考点五：直线与平面垂直的判定定理................................................................................................. 103
考点六：直线和平面所成的角..............................................................................................................103
考点七：直线与平面垂直的性质定理................................................................................................. 103
考点八：三心问题结论..........................................................................................................................104
模块二：题型分类..........................................................................................................................................104
题型一：异面直线的辨别......................................................................................................................104
题型二：求异面直线所成角..................................................................................................................105
题型三：直线与直线垂直......................................................................................................................107
题型四：线面垂直判定理解..................................................................................................................109
题型五：线面垂直证明..........................................................................................................................110
题型六：直线与平面所成的角..............................................................................................................113
题型七：线面垂直证明线线平行..........................................................................................................115
题型八：线面垂直证明线线垂直..........................................................................................................116
题型九：平面内的射影问题..................................................................................................................119
题型十：空间中三种距离问题..............................................................................................................120
题型十一：线面垂直的动点问题..........................................................................................................121
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................124
8.7 二面角和面面垂直..........................................................................................................................................133
模块一：基础知识..........................................................................................................................................133
考点一：二面角的概念..........................................................................................................................133
考点二：平面与平面垂直概念..............................................................................................................133
考点三：平面与平面垂直的判定定理................................................................................................. 133
考点四：平面与平面垂直的性质定理................................................................................................. 133
考点五：平面与平面垂直的其他性质................................................................................................. 134
模块二：题型分类..........................................................................................................................................134
题型一：二面角的求法（小题）..........................................................................................................134
题型二：二面角的求法（大题）..........................................................................................................136
题型三：面面垂直的判定与性质..........................................................................................................138
题型四：面面垂直的证明......................................................................................................................138
题型五：面面垂直性质的应用..............................................................................................................144
题型六：折叠与垂直问题......................................................................................................................147
题型七：动点问题在面面垂直中的探究............................................................................................. 149
题型八：由二面角大小求线段长度或距离......................................................................................... 150
题型九：空间垂直的转化思想..............................................................................................................151
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................153
专题1：立体几何展开图与最短路径问题..........................................................................................................163
模块一：基础知识..........................................................................................................................................163
考点一：展开图......................................................................................................................................163
考点二：弧长与扇形面积公式..............................................................................................................163
考点三：最短路径问题解题思路..........................................................................................................163
考点四：长方体最短路径结论..............................................................................................................163
模块二：题型分类..........................................................................................................................................164
题型一：展开图问题..............................................................................................................................164
题型二：长方体最短路径......................................................................................................................165
题型三：其他棱柱最短路径..................................................................................................................165
题型四：圆锥最短路径..........................................................................................................................166
题型五：棱锥最短路径..........................................................................................................................166
题型六：圆柱最短路径..........................................................................................................................167
题型七：台体中最短路径问题..............................................................................................................168
题型八：周长最小问题..........................................................................................................................169
题型九：线段和最小问题......................................................................................................................169
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................170
专题2：立体几何截面问题.................................................................................................................................. 175
模块一：基础知识..........................................................................................................................................175
考点一：有关截面的概念......................................................................................................................175
考点二：截面的的画法..........................................................................................................................175
考点三：正方体中的基本截面类型..................................................................................................... 175
考点四：圆柱体的基本截面..................................................................................................................176
考点五：做截面练习..............................................................................................................................176
模块二：题型分类..........................................................................................................................................177
题型一：作截面图形..............................................................................................................................177
题型二：截面形状的判断......................................................................................................................178
题型三：平行关系确定截面..................................................................................................................179
题型四：垂直关系确定的截面..............................................................................................................180
题型五：截面周长问题..........................................................................................................................180
题型六：截面面积问题..........................................................................................................................182
题型七：球截面问题..............................................................................................................................183
题型八：截面分体积..............................................................................................................................183
题型九：曲线形截面..............................................................................................................................186
题型十：截面最值..................................................................................................................................187
题型十一：截面类综合问题..................................................................................................................188
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................190
专题3：立体几何外接球问题.............................................................................................................................. 193
模块一：基础知识..........................................................................................................................................193
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式................................................................................. 193
考点二：常见几何体的外接球..............................................................................................................193
考点三：多边形外接圆半径..................................................................................................................193
模块二：题型分类..........................................................................................................................................194
题型一：长方体的外接球......................................................................................................................194
题型二：直棱柱的外接球......................................................................................................................194
题型三：圆柱的外接球..........................................................................................................................195
题型四：正棱锥的外接球......................................................................................................................196
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球......................................................................................... 197
题型六：圆锥的外接球..........................................................................................................................197
题型七：台体的外接球..........................................................................................................................198
题型八：侧面垂直于底面外接球..........................................................................................................199
题型九：多面体外接球..........................................................................................................................199
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................201
专题4：外接球模型汇总...................................................................................................................................... 204
模块一：基础知识..........................................................................................................................................204
考点一：墙角模型..................................................................................................................................204
考点二：对棱相等模型......................................................................................................................... 204
考点三：汉堡模型................................................................................................................................. 204
考点四：垂面模型..................................................................................................................................205
考点五：切瓜模型..................................................................................................................................206
考点六：斗笠模型..................................................................................................................................206
考点七：鳄鱼模型..................................................................................................................................206
考点八：矩形模型..................................................................................................................................207
考点九：折叠模型..................................................................................................................................207
模块二：题型分类..........................................................................................................................................208
题型一：墙角模型..................................................................................................................................208
题型二：对棱相等模型..........................................................................................................................209
题型三：汉堡模型..................................................................................................................................209
题型五：切瓜模型..................................................................................................................................210
题型六：斗笠模型..................................................................................................................................211
题型七：鳄鱼模型..................................................................................................................................212
题型八：矩形模型..................................................................................................................................212
题型九：折叠模型..................................................................................................................................213
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................213
专题5：几何体内切球问题.................................................................................................................................. 216
模块一：基础知识..........................................................................................................................................216
考点一：正方体的内切球......................................................................................................................216
考点二：直棱柱的内切球......................................................................................................................216
考点三：多面体的内切球半径..............................................................................................................216
考点四：轴截面法求内切圆半径..........................................................................................................216
考点五：旋转体内切球问题..................................................................................................................216
模块二：题型分类..........................................................................................................................................217
题型一：棱柱的内切球..........................................................................................................................217
题型二：棱锥的内切球..........................................................................................................................217
题型三：圆柱的内切球..........................................................................................................................219
题型四：圆锥的内切球..........................................................................................................................220
题型五：台体的内切球..........................................................................................................................221
题型六：球与球的相切..........................................................................................................................222
题型七：其他组合体内切球..................................................................................................................222
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................223
专题6：线线角、线面角、面面角...................................................................................................................... 226
模块一：基础知识..........................................................................................................................................226
考点一：线与线的夹角..........................................................................................................................226
考点二：线与面的夹角..........................................................................................................................226
考点三：二面角......................................................................................................................................227
模块二：题型分类..........................................................................................................................................228
题型一：平行四边形平移法求线线角................................................................................................. 228
题型二：中位线平移法求线线角..........................................................................................................229
题型三：补形平移法求线线角..............................................................................................................230
题型四：异面直线证明异面直线垂直................................................................................................. 231
题型五：由异面直线所成的角求其它量............................................................................................. 232
题型六：垂线法求线面角......................................................................................................................233
题型七：等体积法求线面角..................................................................................................................234
题型八：由线面角的大小求长度..........................................................................................................236
题型九：定义法求二面角......................................................................................................................237
题型十：三垂线法求二面角..................................................................................................................238
题型十一：垂面法求二面角..................................................................................................................240
题型十二：补形法求二面角..................................................................................................................241
题型十三：射影面积法求二面角..........................................................................................................242
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................244
专题7：空间中的距离及体积问题...................................................................................................................... 254
模块一：基础知识..........................................................................................................................................254
考点一：距离定义..................................................................................................................................254
考点二：点线距......................................................................................................................................254
考点三：点面距......................................................................................................................................254
考点四：线线距......................................................................................................................................254
考点五：线面距......................................................................................................................................255
考点六：面面距......................................................................................................................................255
考点七：公式法求体积..........................................................................................................................255
考点八：等体积法求三棱锥体积..........................................................................................................255
考点九：多面体割补法求体积..............................................................................................................255
考点十：两部分体积比例法..................................................................................................................255
模块二：题型分类..........................................................................................................................................256
题型一：两点之间的距离......................................................................................................................256
题型二：点到直线的距离......................................................................................................................256
题型三：直线到直线的距离..................................................................................................................257
题型四：点到平面的距离......................................................................................................................259
题型五：直线到平面的距离..................................................................................................................262
题型六：平面到平面的距离..................................................................................................................263
题型七：直接法求体积..........................................................................................................................264
题型八：等体积法求体积......................................................................................................................265
题型九：割补法求体积..........................................................................................................................266
题型十：体积比例法求体积..................................................................................................................267
题型十一：体积的最值问题..................................................................................................................268
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................269
专题8：空间中的平行于垂直综合...................................................................................................................... 274
题型一：空间中的平行及证明..............................................................................................................274
题型二：空间中的垂直及证明..............................................................................................................282
高一数学必修二
立体几何初步知识点+题型归纳全集
8.1 基本立体图形
模块一：基础知识
考点一：空间几何体的相关概念
1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物
体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体
如长方体、正方体等。
2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；
（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
考点二：棱柱
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
【注意】
（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组
对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。
（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止
位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面
2、棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
考点三：棱锥
1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面
体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
2、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥……
考点四：棱台
1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四
棱台、五棱台……
考点五：圆柱
1.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
2.圆柱的简单性质：
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．
(4)过任意两条母线的截面是矩形．
考点六：圆锥
1.定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
2.圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆．
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．
考点七：圆台
1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成
的面所围成的旋转体。
3.圆台的简单性质：
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．
(2)平行于底面的截面是圆．
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．
考点八：球体
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，
简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
考点九：组合体的定义
现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有
大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。
组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。
模块二：题型分类
题型一：简单几何体的识别
1.下列几何体不属于棱柱的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
3.下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.关于如下图所示的4 个几何体，说法正确的是（
）
A．只有②是棱柱
B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱
D．只有①②④是棱柱
5．观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（
）
A．
几何体是棱台
B．
几何体是圆台
C．
几何体是棱锥
D．
几何体不是棱柱
6．下列说法正确的是
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面均为平行四边形
7．下列关于棱柱的说法正确的是(
)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．棱柱至少有五个面
D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
8．关于平行六面体，下列结论正确的是（
）
A．平行六面体有12 个顶点
B．正方体不是平行六面体
C．平行六面体有12 条棱
D．平行六面体的每个面都是矩形
题型二：棱柱的几何特征
1.以下各几何体中，是棱柱的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（
）
A．底面是矩形
B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形
D．相邻两个侧面是矩形
3.下列命题正确的是（
）
A．棱柱的每个面都是平行四边形
B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行
D．长方体是正四棱柱
题型二：棱锥和棱台的几何特征
1.下列几何体中是棱锥的有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2.下列说法中，正确的个数为（
）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0
3.下面四个几何体中，是棱台的是（
）
A．
B．
C．
D．
4.下列关于棱台的说法中错误的是（
）
A．所有的侧棱所在直线交于一点
B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等
D．所有的侧面不存在两个面互相平行
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（
）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
6.下面图形中，为棱锥的是（
）
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
7.给出下列关于棱锥的说法：①四棱锥共有四条棱；②五棱锥共有五个面；③六棱锥的顶点有六个；④任
何棱锥都只有一个底面．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8.下列说法中正确的个数为（
）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．4
B．3
C．2
D．1
9.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
10.下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（
）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
题型三：旋转体的几何特征
1.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（
）
A．圆柱
B．圆台
C．圆锥
D．棱柱
2.有下列四个说法，其中正确的是（
）
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
3.如图所示的图形中有
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
4.（多选）下列说法中，正确的是（
）
A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
5.下列命题中正确的是（
）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．
A．①②③
B．②③④
C．②③⑤
D．①④⑤
6.下列关于圆柱的说法中，不正确的是（
）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180而形成的曲面所围成的几何体是
圆柱
7.有下列命题，其中错误命题个数是（
）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转
轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥
顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其
中正确的命题是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
9.下列说法中正确的是（
）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
10.下列叙述中，正确的个数是（
）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0
B．1
C．2
D．3
11．一个长方形的两边长分别为2 和3 ，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底
面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线l ）旋转而成，这个图形是（
）
A．
B．
C．
D．
题型四：简单的组合体问题
1.指出下列空间图形分别由哪些简单空间图形构成.
2.指出图中三个空间图形的构成.
3.如图的组合体是由（
）组合而成.
A．两个棱柱
B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台
D．圆锥和棱柱
4.描述下列几何体的结构特征．
5.如图是由哪个平面图形旋转得到的（
）
A．
B．
C．
D．
6.如图所示的简单组合体的组成是（
）
A．棱柱、棱台
B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台
D．棱柱、棱柱
7.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（
）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱
B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱
D．一个六棱柱中挖去一个圆台
8.指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
9.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（
）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
10．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几
何体，则下列结论不正确的是（
）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12 个面
C．该几何体恰有24 条棱
D．该几何体恰有12 个顶点
题型五：展开图及最短路径问题
1.如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4 的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E，
则蚂蚁爬行的最短距离为（
）
A．
2
2 4π
1

B．2 5
C．
2
2 π
1

D．
2
π
1

2.长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
2
AB 
，
4
BC 
，
1
1
AA ，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到
1
C 点的
最短距离是___________．
3.在正三棱锥S
ABC

中，
1
SA
SB
SC


，
30
ASB
ASC
BSC




，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱
锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
4.如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为8m 的正ABC

，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃
粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
5.如图所示，圆台母线AB 长为20cm ，上、下底面半径分别为5cm 和10cm ，从母线AB 的中点M 拉条绳子
绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．
6.如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A 出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达
1A 的最短路线
长为（
）
A．25
B．24
C．31
D．28
7.如图，在正三棱锥

P
ABC 中，
30
APB
BPC
CPA




，
2 2
PA
PB
PC



，一只虫子从A 点
出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是（
）
A．4
B．3 2
C．4 2
D．3 3
8.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座
山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为40 15 km，B 是山坡SA 上一点，且
40
AB 
km．为了发展旅游业，要建设一条从A 到B 的环山观光公路，这条公路从A 出发后先上坡，后下
坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（
）
A．60km
B．12 6 km
C．72km
D．12 15 km
9.如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB


，则在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路
径的长度为_______.
10.如图所示，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2，M 是
1
CB 上的一个动点，则
1
BM
D M

的最小值是
________.
11.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中,
4
AB 
,
3
BC 
,
1
5
BB 
.
(1)一只蚂蚁从长方体表面上一点A 出发,沿表面爬行到另外一点
1
B ,求蚂蚁爬行的最短路程;
(2)一只蚂蚁从长方体表面上一点A 出发,沿表面经过线段
1
1
A B 上一点爬行到另外一点
1
C ,求蚂蚁爬行的最
短路程;
(3)一只蚂蚁从点A 出发,沿表面爬行到点
1
C ,求蚂蚁爬行的最短路程.
题型六：几何体的截面问题
1.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截
面？
A．
B．
C．
D．
2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(
)
A．一定通过正方体的中心
B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点
D．一定构成正多边形
3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合
体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．①⑤
4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（
）
A．
B．
C．
D．
5.一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高
之比是_____.
6.（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7.圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴
截面面积为______.
8.从一个底面半径和高均为R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一
个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d 的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
9.如图所示，正四棱锥S
ABCD

的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱
,
SA SC 作截面SAC ，求截面的面
积.
模块三：综合巩固
1.给出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是
．
2.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
3．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH 为正三棱锥P-ABC 的一个截面，若截面
为平行四边形，则四边形EFGH 面积的最大值为（
）
A．
2
2
B．
3
2
C．3
2
D．
3
4
4．若棱锥底面面积为150cm 2 ，平行于底面的截面面积是54 cm 2 ，底面和这个截面的距离是10cm，则棱
锥的高为（
）
A．15
B．20
C．25
D．30
5.如图，正三棱锥A
BCD

中，
20
BAD


，侧棱长为2 ，过点C 的平面与侧棱
,
AB AD 相交于
1
1
,
B D ，则
△
1
1
CB D 的周长的最小值为（
）
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2
6.如图所示，在所有棱长均为1 的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点
A1，则爬行的最短路线长为
．
7.如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
3
AB 
，
1
4
AA 
，M 为
1
AA 的中点，P 是BC 上的一点，
且由P 沿棱柱侧面经过棱
1
CC 到M 的最短路线为
29 .设这条最短路线与
1
CC 的交点为N ，求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC 和NC 的长.
8．如图，在正四棱锥O
ABCD

中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30
E
F
，，
分别是线段
,
OB OC
上的一点，则AE
EF
FD


的最小值为_______．
9．如上2 图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD 平面ABE，已知
4
AB 
，
2 3
AE
BE


，
且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为2 2 .若M ，N 分别是线段DE ，CE 上
的动点，则AM
MN
NB


的最小值为______．
10．如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，
2
AB 
，
1
2 3
AA 
，
D ，F 分别是棱AB ，
1
AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF

的周长的最小值为______.
11．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
3
AA 
，
1
AB
BC

，
2
AC 
，E 是棱
1
BB 上的一点，则
1ACE
△
的周
长的最小值为（
）
A．11
3

B．11
2 3

C．11
13

D．11
14

12．如图，棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，P 为正方体表面
1
1
BCC B 上的一个动点，,
E F 分别为
1
BD
的三等分点，则|
|
|
|
PE
PF

的最小值为（
）
A．11
B．5 2
2
C．1
6

D．
11
3
13．在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，棱长为4，E 为BC 的中点，点P 在平面
1
1
BDD B 内运动，则
1
PE
PC

的
最小值为（
）
A．6
B．4 3
C．6 2
D．10
8.2 立体图形的直观图
模块一：基础知识
考点一：空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有
立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
考点二：立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的���平面内与�轴垂直的线段，在直观图中均与�'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于�'轴或�'轴的线段长度不变；
平行于�'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的�轴和�轴，两轴相交于�点，
画直观图时，把他们弧长对应的�'轴和�'轴，两轴相交于�'，
且使∠�'�'�' = 45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与�轴和�轴的线段，
在直观图中分别画出平行与�'轴或�'轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于�轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于�轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与�轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。
“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与�轴和�轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。
考点三：直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为�原，它的直观图的面积为�直，则有�直=
2
4 �原，�原= 2 2�直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为�，高为ℎ，
则其面积为�直=
1
2 �ℎ，
在直观图中，�' = �，ℎ' =
1
2 ℎ���45° =
2
4 ℎ，
在直观图中，�直=
1
2 �'ℎ' =
1
2 ∙�∙
2
4 ℎ=
2
4 �原
模块二：题型分类
题型一：斜二测画法的辨析
1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的
直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（
）
A．①②
B．①
C．③④
D．①②③④
2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（
）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
3.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（
）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90的角的直观图会变为45的角
C．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
4.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
5.（多选）画水平放置的圆的直观图时，下列说法中正确的有（
）
A．每条直径的大小都发生了改变
B．必有两条直径相等
C．每条直径都比实际的短
D．直观图的面积比原图形的面积小
6.对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（
）
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
7.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x O y
平面上，则圆柱的高应画成（
）
A．平行于z轴且大小为10cm
B．平行于z轴且大小为5cm
C．与z轴成45且大小为10cm
D．与z轴成45且大小为5cm
8.下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（
）
A．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
1
2
C．画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同
9.（多选）下列说法中正确的有（
）
A．画直观图时与x 轴、y 轴对应的x轴、y轴之间的夹角应为45或135
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10.（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（
）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
题型二：斜二测画法画平面直观图
1．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm 的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
2．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
3．用斜二测画法画出图中四边形OBCD 的直观图．
4．用斜二测法画出如图边长为2 的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
5.一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1 的等腰梯形．求原四边形的面积．
题型三：画空间几何体的直观图
1．画长、宽、高分别为4cm ，3cm ，2cm 的长方体的直观图．
2．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观
图．
3．画出底面边长为4cm、高为5cm 的正四棱锥的直观图.
4.画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3 的正六边形，高为5．
题型四：由直观图还原几何图形
1.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1 的正方形，则原图形的形状是（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，A B C


是ABC

的直观图，其中
1
B O
C O





，
3
2
A O

，那么ABC

是一个（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．无法确定
3.如图所示，矩形O A B C
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
3
O A

，
1
O C
，则原图形是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
4.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，
A O B


是用斜二测画法画出的
AOB

直观图，则
AOB

是（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．无法判断
6.如图，A B C


是水平放置的ABC

的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B





，则下列结论正确的是（
）
A．ABC

是等腰直角三角形
B．ABC

是锐角三角形
C．ABC

是钝角三角形
D．ABC

是等边三角形
7.如图，A B C


是斜二测画法画出的水平放置的ABC

的直观图，D¢ 是B C

的中点，且


A D // y 轴，


B C // x 轴，
2
A D

，
2
B C

，那么（
）
A．AD 的长度大于AC 的长度
B．BC 的长度等于AD 的长度
C．ABC

的面积为4
D．ABC

的面积为2
题型五：斜二测画法中长度的计算
1.某几何体底面的四边形OABC 直观图为如图矩形
1
1
1
1
O A B C ，其中
1
1
6
O A 
，
1
1
2
O C 
，则该几何体底面对
角线AC 的实际长度为（
）
A．6
B．4 6
C．4 2
D．2 10
2.如图，水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系下点B 的坐标为(2,1) ，则用斜二测画法画出的矩形的直观
图中，顶点B到x轴的距离为（
）
A．
2
4
B．
1
2
C．1
D．2
3.已知水平放置的ABC

的直观图如图所示，
3
AC


，
2
B C

，则边AB 上的中线的实际长度为（
）
A．5
B．13
C．5
2
D．
13
2
4．如图，
O A B

△
是水平放置的OAB

的直观图，
6,
2
AO
B O






，则线段AB 的长度为（
）
A．2 10
B．4 10
C．2 13
D．4 13
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D
是边长为2 的菱形，且
2
O D

，则原平面图形的周
长为（
）
A．4 2
4

B．4 6
4

C．8 2
D．8
6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C
，且
/ /
O A
B C

，
2
4
2
O A
B C
A B







，
，则该平面图形的高为（
）
A．2 2
B．2
C．4 2
D．
2
题型六：平面图形的面积与其直观图的面积的关系
1.如图，
A B C


是水平放置的斜二测直观图，其中
2
A B

，
3
B C

，则原图形
ABC

的面积是
_____________．
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2
的正方形，则原平面图形的面积为（
）
A．
2
B．4 2
C．8
D．8 2
3.在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC 如图所示．已知O 为坐标原点，

2 2,0
A
，

2 2,2
B
，


0,6
C
．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O A B C
的面积为（
）
A．4
B．4 2
C．8
D．8 2
4.如图，平行四边形O A B C
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
4
O A


，
2
O C


，
30
A O C



，
则原图形的面积是（
）
A．4
B．4 2
C．8 2
D．16
5．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2 的等腰
梯形，则原四边形的面积为（
）
A．6
2 6

B．8
4 2

C．12
4 2
2 6


D．16
4 2
4 6


模块三：综合巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（
）
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形
D．平行的线段在直观图中仍然平行
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（
）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
3．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（
）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
4．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（
）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
5．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变；
②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的1
2 ；
③画与直角坐标系xOy 对应的x O y
时，
x O y


必须是45；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
6.利用斜二测画法画出边长为3cm 的正方形的直观图，正确的是图中的(
)
A．
B．
C．
D．
7.画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
8.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
9.下列空间图形画法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
10.用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影
是正六边形的中心O（尺寸自定）．
11．画底面半径为1cm，母线长为3cm 的圆柱的直观图。
12.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（
）
A．2 2
B．2
C．
2
D．
2
4
13.水平放置的ABC

的斜二测直观图如图所示，已知
4
B C

，
3
AC


，
/ /


B C
y 轴，则ABC

中BC 边
上的中线的长度为（
）
A．5
B．5
2
C．
73
D．
73
2
14.如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形ABCD）为（
）
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
15.如图，A B C


是水平放置的ABC

的斜二测直观图，其中
2
O C
O A
O B





，则下列结论正确的是
（
）
A．ABC

是等腰直角三角形
B．ABC

是锐角三角形
C．ABC

是钝角三角形
D．ABC

是等边三角形
16.如图所示，梯形
1
1
1
1
D
C
B
A
是一平面图形ABCD的直观图．若
1
1
A D
O x

，
1
1
1
1
//
A B
C D ，
1
1
1
1
2
2
3
A B
C D


，
1
1
1
1
A D
O D


．试画出原四边形．
17.一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
18．如图所示，A B C


是ABC

的直观图，其中A C
A B



，那么ABC

是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
19．水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图是直角梯形A B C D
，如图所示．其中
1
B C
A B



，则原
平面图形的面积为（
）
A．3 2
8
B．3 2
4
C．3 2
D．6 2
20．如图所示，A B C


是水平放置的ABC

的斜二测直观图，其中
2
2
O C
O A
O B






，则以下说法正
确的是（
）
A．ABC

是钝角三角形
B．ABC

的面积是A B C


的面积的2 倍
C．ABC

是等腰直角三角形
D．ABC

的周长是4
4 2

21．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是（
）
A．梯形的直观图仍旧是梯形
B．若ABC

的直观图是边长为2 的等边三角形，那么ABC

的面积为
6
C．ABC

的直观图如图所示，A B
在x轴
2
A B

，B C

与x轴垂直，且
2
B C

，则ABC

的面积为4
D．菱形的直观图可以是正方形
8.3 简单几何体的表面积和体积
模块一：基础知识
考点一：多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，
表面积是侧面积与底面面积之和．
1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
（1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
（2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
（3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。
2、棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）棱柱的表面积：�棱柱= �侧+ 2�底；
（2）棱锥的表面积：�棱锥= �侧+ �底；
（3）棱台的表面积：�棱台= �侧+ �上底+ �下底
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
1、棱柱的高和体积
（1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂
线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。
（2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积�底和高ℎ的乘积，即�棱柱= �底× ℎ.
2、棱锥的高和体积
（1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，
顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。
（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积�底和高ℎ的乘积的
1
3，即�棱锥=
1
3 �底× ℎ
3、棱台的体积：V＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
1、侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，
求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图．
（2）依次求出各个平面图形的面积．
（3）将各平面图形的面积相加．
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（1）圆柱的体积公式：�圆柱= �底× ℎ
（2）圆锥的体积公式：�圆锥=
1
3 �底× ℎ
（3）圆台的体积公式：V＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
考点五：球的表面积和体积
1、球的体积公式：�=
4
3 ��3
2、球的表面积公式：�= 4��2
考点六：球的截面的性质
1、球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，
因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
2、用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
（1）球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 满足关系d＝R
2－r
2.
模块二：题型分类
题型一：棱柱的表面积和体积计算
1.已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17 ，则该长方体的表面积为（
）
A．32
B．20
C．16
D．12
2.如图，棱长为5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1 的正方形孔，则这个有孔正方体
的表面积（含孔内各面）是（
）
A．258
B．234
C．222
D．210
3．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m ，
底面外接圆的半径是0.46m ，制造这个滚筒需要
2
m 铁板（精确到
2
0.1m ）.
4.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱
1
AA 的中点．若截面
1
BC D

是面积为6 的直角三角形，求此
三棱柱的表面积．
5.已知正四棱柱的侧棱长为5cm ，它的体对角线长为43cm，则这个正四棱柱的侧面积为（
）
A．
2
15 2cm
B．
2
60cm
C．
2
78cm
D．
2
60 2cm
6.正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2 5 ，则它的表面积为（）
A．4(3 3
4)

B．12( 3
2)

C．12(2 3
1)

D．3( 3
8)

7.如图，已知正方体的棱长为a ，沿图1 中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2 的四棱柱，则该四棱
柱的全面积为（
）
A．

2
8
2 2 a

B．

2
2
4 2 a

C．

2
4
2 2 a

D．

2
6
4 2 a

8.所有棱长都为2 的直三棱柱的体积为（
）
A．2 3
3
B．2 3
C．6
D．6
2 3

9.已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（
）
A．30
B．15
C．10
D．60
10.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，
A1C1，B1C1的三等分点处，
1
3
CE
CA 
，当底面ABC 水平放置时，液面高为（
）
A．64
9
B．8
9
C．6
D．9
4
11.已知正六棱柱最长的一条对角线长为13 厘米，侧面积为180 平方厘米，则这个棱柱的体积为______．
12.设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是（
）
A．4
B．8
C．112
27
D．4 或112
27
13.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，底面ABCD是正方形，
1A A 底面ABCD，
1
4,
1
A A
AB

，那么
该四棱柱的体积为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
14.斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面BB1C1C 的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C 的距离为a，则该斜三棱柱
的体积为（
）
A．1
6 Sa
B．1
3 Sa
C．1
2 Sa
D．Sa
题型二：棱锥的表面积和体积计算
1.若正三棱锥的底面边长等于a ，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（
）
A．
2
3
4 a
B．
2
3
4 a
C．
2
3
2 a
D．
2
3a
2.已知正四棱锥的高为3，底面边长为
2 ，则该棱锥的体积为（
）
A．6
B．3 2
C．2
D．
2
3.正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是______.
4.已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（
）
A．4 3
B．6 3
C．8 3
D．12 3
5.如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C 的表面积与正方体的表面积的比为（）
A．1∶1
B．1∶
2
C．1∶
3
D．1∶2
6.已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为
5 ，则这
个三棱锥的表面积为（
）
A．4
3 3
15


B．4
3
2 15


C．4
3
15


D．4
2 3
15


7.一个正四棱锥的底面边长为2 ，高为
3 ，则该正四棱锥的表面积为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
（
）
A.
5
1
4

B.
5
1
2

C.
5
1
4

D.
5
1
2

9.在正四棱锥P
ABCD

中，
1
AB ，
2
PA 
，则该四棱锥的体积是______．
10.已知正四棱锥S
ABCD

，底面边长是2 ，体积是4 3
3
，那么这个四棱锥的侧棱长为（
）
A．
3
B．2
C．5
D．2 2
11.已知三棱锥O
ABC

的体积为1，
1A 、
1
B 、
1
C 分别为OA、OB、OC 的中点，则三棱锥
1
1
1
O
A B C

的体积
为___.
12.如图，在体积为16 的斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为棱
1
AA 上一点，三棱锥P-ABC 的体积为4，则三棱
锥
1
1
1
P
A B C

的体积为（
）
A．4
3
B．2
C．3
D．4
13.“堑堵”“阳马”和“整臑”是我国古代对一些特殊几何休的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，
斜解堑堵，其一为阳马，其一为整臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图
2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为
整臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和整臑的体积分别为
1
2
3
,
,
V V V ，
则下列选项正确的是（
）
A．
1
2
3
3
2
V
V
V
V



B．
1
2
2
V
V

C．
2
3
3
V
V

D．
3
1
6
V
V

14.距今5000 年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1 所示，该茅屋主体是一个正四
棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截
取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2 是该茅屋主体的
直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，BC
EF
∥
，
2 2m
AB
AC


，AB
AC

，点D 在正四棱锥的斜
高PH 上，AD 平面ABC 且
3 2m
AD 
.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（
）
A．
3
286 2 m
3
B．
3
292 2 m
3
C．
3
284 2 m
3
D．
3
280 2 m
3
15.六氟化硫，化学式为
6
SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如
图所示，硫原子位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的6 个顶点．若相邻两个氟原子之间
的距离为
3
2 3，则以六氟化硫分子中6 个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（
）．（氟原子的大小可
以忽略不计）
A．4 2
3
B．8 2
3
C．4 2
D．8 2
16.将边长为24、20、16 的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.
17 在三棱锥

P
ABC 中，已知
2 5,
13,
5
PA
BC
PB
AC
PC
AB






，则该三棱锥的体积为
___________.
题型三：棱台的表面积和体积计算
1.已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积．
2．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面
的边长分别为40cm,20cm ，高为24cm ），则四羊方尊的容积约为（
）
A．
3
22400cm
B．
3
32400cm
C．
3
44800cm
D．
3
67200cm
3.已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8 的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（
）
A．148
B．168
C．193
D．88
4.已知某正六棱台的上、下底面边长为1 和3，高为1，则其侧面积为（
）
A．12
B．12 2
C．24
D．12 5
5.“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边
长为6dm 的正方形，下底面是边长为2dm 的正方形，高为4dm．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”
的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（
）
A．8 5
B．16
C．2 5
D．4
6.已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1: 3 : 3 ，若侧棱长为
5 ，则该棱台的侧面积为（
）
A．16
B．10
C．13
3
3
D．30
7.已知三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，三棱锥
1
1
1
A
A B C

的体积为4，三棱锥
1A
ABC

的体积为8，则四面体
1
1
A
B CC

的体积为（
）
A．3 3
B．4 2
C．4 3
D．4 7
8.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1 所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm ，24cm 的
正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（
）
A．
3
148 cm
3
B．
3
74cm
C．
3
148cm
D．
3
298cm
9.正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（
）
A．20 12 3

B．56
3
C．28 2
3
D．56 2
10.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1
1
4,
2
AB
A B
AA



，则该四棱台的体积为（
）
A．28 3
3
B．28 2
3
C．8 2
D．8 3
11.正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
题型四：圆柱的表面积和体积
1.以边长为2 的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（
）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
2.如图，四边形
1
1
BCC B 是圆柱的轴截面，
1
AA 是圆柱的一条母线，已知
4
AB 
，
2 2
AC 
，
1
3
AA 
，求
该圆柱的侧面积与表面积．
3.设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为
1
2
,
S S ，体积为
1
2
,
V V ，若它们的侧面积相等且
1
2
16
9
S
S 
，则
1
2
V
V 的值是
（
）
A．2
3
B．3
2
C．4
3
D．9
4
4.用一个宽2 厘米、长3 厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（
）平方厘米.
A．5
B．6
C．8
D．12
5.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π ，那么圆柱的体积等于（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
D．2π
6.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打
一个半径为rcm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为
（
）
A．
10
B．15
C．4
D．5
7.如图，一个底面半径为3 的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3 和5，则该几
何体的体积为（
）
A．15
B．26
C．30
D．36
题型五：圆锥的表面积和体积
1.已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（
）
A．
B．2
3

C．4
3

D．5
3
π
2.若一个圆锥的轴截面是边长为3 的正三角形，则这个圆锥的表面积为（
）
A．27
4 
B．9
2
C．3
D．9
4 
3.一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（
）
A．60
B．90
C．120
D．180
4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π ，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲
和V乙．若
=2
S
S
甲
乙
，则
=
V
V
甲
乙
（
）
A．
5
B．2 2
C．10
D．5 10
4
5.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建
筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为2
3
的扇形，则该屋顶的体积约为
（
）
A．12 2
B．16π
C．18π
D．18 2
6.如图，将底面半径为2 的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面
内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2 周，则（
）
A．圆锥的母线长为8
B．圆锥的表面积为8
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为π
2
D．圆锥的体积为8
3π
3
7.如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为6cm（忽略杯
子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为
2
9 10 cm

，红酒的高度比杯子的高度低1cm，则红酒的体积为
（
）
A．
3
256
cm
9

B．
3
512
cm
27

C．
3
27 cm

D．
3
108 cm

8.（多选）如图所示，圆锥SO 的底面半径
3
r 
，高
1
SO ，AB 是底面圆周的一条直径，M 为底面圆周
上与B 不重合的一点，则下列命题正确的是（
）
A．圆锥SO 的体积为
B．圆锥SO 的表面积为(2 3
3)

C．SBM

的面积的最大值是
3
D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为3
9．（多选）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l 甲和l 乙，底面半径分别为r 甲和
r 乙，高分别为h 甲和h 乙，表面积分别为S 甲和S 乙，若
3
2
l
l

甲
乙
，则（
）
A．
 
3
2
r
r

甲
乙
B．
 
S
S

甲
乙
C．
 
h
h

甲
乙
D．
 
 
9
4
l
r

甲
甲
题型六：圆台的表面积和体积
1.圆台的上、下底面半径和高的长度之比为1:4:4，侧面积为100π，则圆台的母线长是（
）
A．20
B．2
C．10 2
D．10
2.某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半
径之比为1
2 ，则该圆台的侧面积为（
）
A．1
2
B．
2
2
C．3
4
D．7
8
3.已知圆台的上、下底面的面积分别为、4，侧面积是9，则这个圆台的体积是（
）
A．
2
3

B．14
3

C．14 2
3

D．3

4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上
周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一
丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（
）
A．
2
5 1
4



B．
2
5 1
4
4



C．
2
5 1
2



D．
2
5 1
4
2



5.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下
底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1
3 ，则圆台的侧面积为（
）
A．8π
3
B．
35π
2
C．16π
3
D．8π
6.已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为16π
3 ，母线长为2，则该圆台的高为（
）
A．2
B．2 5
3
C．4
3
D．1
7.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为7，圆台的侧面积为84，则该圆台全
面积为________.
8.木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、
下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（
）
A．
3
1636πcm
B．
3
2312πcm
C．
3
2792πcm
D．
3
3272πcm
题型七：球的表面积和体积
1.（多选）已知某球的表面积为16π ，则下列说法中正确的是（
）
A．球的半径为2
B．球的体积为10π
C．球的体积为32 π
3
D．球的半径为1
2.把一个铁制的底面半径为4 ，侧面积为16
3 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（
）
A．3
2
B．
3
C．2
D．
6
3.若球的表面积扩大为原来的n 倍，则它的半径比原来增加的倍数为（
）
A．
1
n 
B．
1
n 
C．
2
n 
D．
n
4.已知三个球的体积之比为1:27:64，则它们的表面积之比为（
）
A．1:3: 4
B．1:9:16
C．2 :3: 4
D．1:27:64
5.如图，在圆柱
1
2
O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱
1
2
O O 的体积为
1
V ，
球O 的体积为
2
V ，则
1
2
V
V 的值是
.
6.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的表面积为10，
则它的体积为（
）
A．35
6 
B．10
3 
C．13
3 
D．16
3 
7.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰
好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（
）
A．3cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
8.一平面截一球得到直径为2 5cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则该球的体积是（
）
A．
3
12 cm

B．
3
36 cm

C．
3
64 6 cm

D．
3
108 cm

9.等体积的球和正方体的表面积分别为
1S 与
2
S 的大小关系是（
）
A．
2
1
S
S

B．
2
1
S
S

C．
2
1

S
S
D．无法确定
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的个数是
（
）
①圆柱的侧面积为
2
2 R

；
②圆锥的侧面积为
2
2 R

；
③圆柱的侧面积与球面面积相等；
④圆锥的表面积最小.
A．1
B．2
C．3
D．4
11.已知A，B，C 为球O 球面上的三个点，且
ABC

是面积为3 的等腰直角三角形，球心O 到平面ABC 的
距离为1，则球O 的体积为_________．
12.已知△ABC 是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16 ，则O
到平面ABC 的距离为
A．
3
B．3
2
C．1
D．
3
2
13.已知
, ,
A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙
1
O 为
ABC
△
的外接圆，若⊙
1
O 的面积为4π，
1
AB
BC
AC
OO



，则球O 的表面积为
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
14.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______．
题型八：球的截面问题
1.用一个平面截半径为3 的球，截面面积为4，则球心到截面的距离为（
）
A．1
B．2
C．
5
D．7
2．若两球的体积之和是12π ，经过两球球心的截面圆周长之和为6π ，则两球的半径之差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．用与球心O 距离为2 的平面截球，所得截面与球心O 构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（
）
A．13π
B．52π
C．20π
D．36π
4.两平行平面截半径为13 的球，若截面面积分别为25和144，则这两个平面间的距离是______
5.设地球O的半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°线上，且
3
AOB



，A 在东经20°，则B 的经度为______．
6.已知球O 的半径为5，平面、截球O 所得的截面圆
1
O 、
2
O 的半径均为4，若
1
2
2 6
O O 
，则平面
与的夹角的余弦值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
7．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π
3 ，两个圆锥的高之比为1:3 ，
则这两个圆锥的侧面积之和为
．
题型九：几何体与球的切、接问题
1．正四面体ABCD的棱长为2，则其棱切球的体积为（
）
A．2 6π
B．6π
C．
2 π
3
D．
6 π
27
2．已知正三棱锥
-
A BCD 的侧棱长为
3 ，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为
2 ，则此正三棱锥
的棱切球的表面积为（
）
A．π
B．3π
2
C．3π
D．6π
3．过球O外一点A 作球O的切线，若切线长为5，且
6
AO 
，则球O的体积为
.
4．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如
图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为
．
题型十：组合体的表面积和体积
1.如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球
的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200 克，则共需
胶（
）克.
A．56π
B．66π
C．76π
D．86π
2.在一个底面圆直径和高都是2 的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是
圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（
）
A．(5
5)

B．(4
3)

C．5
D．(6
5)

3.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为13
3 ，
则它的表面积为（
）
A．35
6 
B．10
3 
C．10
D．16
3 
4. 高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的
圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5 10a ，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为
13a，则该篮球的表面积为（
）
5.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径
16
AB 
米，母
线长
4

AD
米，圆锥的高
6
PQ 
米，则该蒙古包的侧面积约为（
）
A．336π平方米
B．272π平方米
C．208π平方米
D．144π平方米
6.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2 ，圆柱的底面半径为1，高
为3，则该几何体的表面积为（
）
A．18
B．20
C．22 3

D．26
7.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1 所示，其浮雕临摹了国画､漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.
它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2 所示.
已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为
2
14
3
R

，设酒杯上部分（圆柱）的体积为
1V ，下部分（半球）的体
积为
2
V ，则
2
1
V
V ___________.
8.在如图所示平面图形中，弧CD 为四分之一圆弧，
90
DAB


，
135
ADC


，
5
AB 
，
2 2
CD 
，
2
AD 
．求将此平面图形绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．
9．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信
息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300 米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环
境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86 米的高度，创造了海拔9032 米的大气科学观
测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45 米，高16 米，若将它近似看作一个
半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2 所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（
）
A．2540π
B．449π
C．562π
D．561π
10．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，
柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部
分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2 所示．已知球的半径为R，圆柱的高近
似于半球的半径，则此鼎的容积约为（
）
A．
3
8
3 R
π
B．
3
7 π
3 R
C．
3
2πR
D．
3
5 π
3 R
模块三：综合巩固
1.如图，
1
1
1
1
ABCD
ABC D

是棱长都为2 的直平行六面体，且
60
DAB


，则这个直平行六面体的表面积
为（
）
A．16
B．4
2 3

C．16
2 3

D．16
4 3

2.正方体的棱长扩大到原来的6 倍，则其表面积扩大到原来的（
）
A．2 倍
B．12 倍
C．18 倍
D．36 倍
3.已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1 的正方形，则这
个直四棱柱的表面积为（
）
A．10
B．8
4 2

C．16
4 2

D．16
4 3

4.已知铜质的五棱柱的底面积为16，高为4，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，如果不计损耗，那么
铸成铜块的棱长为______．
5.设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
6.若斜三棱柱的高为4 3 ，侧棱与底面所成角为60，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等
于______.
7.正六棱柱高5，最长的对角线为13，则它的侧面积是______.
8.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，
如图2，这是水面恰好是中截面，则图1 中容器水面的高度是______．
9.我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、
悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面
坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近
似地看作直三棱柱（如图2），其高为10m ，
1
CC 到平面
1
1
ABB A 的距离为1.5m ，AB 为4m ，则可估算硬山式
屋顶的体积约为（
）
A．
3
15m
B．
3
30m
C．
3
45m
D．
3
60m
10.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6 的正六边形硬纸片，如图所示，裁
掉阴影部分，然后按虚线处折成高为
3 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______．
11.已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三
角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为______．
12.在正六棱锥P
ABCDEF

中，底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，求正六棱锥P
ABCDEF

的侧面积和
表面积.
13.如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为__________．
14.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为
,
,
,
E F G H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，
则T
S 等于（
）
A．1
9
B．4
9
C．1
4
D．1
3
15.已知正三棱锥

P
ABC 的底面边长为2 3 ，体积为3 5 ，则底面ABC

的中心O 到侧面PAB 的距离是
______.
16.如图，在三棱锥S
ABC

中，
,
AS
AC SB
BC


，且
1
1
2
AC
BC
SC



，则三棱锥S
ABC

体积的最
大值为（
）
A．1
4
B．3
4
C．1
3
D．
3
3
17.如图，在上、下底面对应边的比为1: 2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱
1
CC 的平面
1
1
A B EF ，
这个平面分三棱台成两部分，则
1 1 1
1
1
－
－
FEC
A B C
BEB
AFA
V
V
∶
＝________.
18.如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO和较小的棱
锥PO.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO 的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
19.若正三棱台的上､下底面的面积分别是
3 和4 3 ，体积为7 5
3
，则其侧棱长为___________.
20.已知正三棱台两底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的体积为（
）
A．8 2
3
B．8 3
3
C．3 2
D．14 2
3
21.已知正六棱台的上､下底面边长分别为2 和4，高为2，则其体积为（
）
A．32 3
B．28 3
C．24 3
D．20 3
22.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点M 为侧棱
1
BB 上一点，且
1
1
2
3
B M
B B



，平面
1A DM 将该正方体分成两
部分，其体积分别为


1
2
1
2
,
,
V V
V
V

，则
1
2
V
V __________.
23.将边长是1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一圈，所得几何体的表面积为______．
24.如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积V ．
25．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为9 3π ，则该圆锥的表面积为（
）
A．27π
B．20 3π
C．18 2π
D．16π
26．已知圆锥的表面积为
2
12πm ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（
）
A．
3
6 2πm
B．
3
8 3 πm
3
C．
3
2 3 πm
3
D．
3
4 3 m
9
27．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2
倍．给出下列结论：
①设圆柱与圆锥的体积分别为
1V 、
2
V ，则
1
2
3
2
V
V 
；
②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为
1S 、
2
S ，则
1
2
1
2
S
S 
；
③设圆柱与圆锥的侧面积分别为
3
S 、
4
S ，则
3
4
4
17
S
S 
；
④设圆柱与圆锥表面积分别为
5S 、
6
S ，则
5
6
6
1
17
S
S 

.
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①
B．②③
C．①③④
D．①②③④
28．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”
漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而
成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高
是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
29.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积
为（
）
A．64π
B．68π
C．72π
D．76π
30.圆台的上、下底面半径分别是10 和20，体积是7000
3
3
，则圆台的母线长为______.
31.已知球O 的表面积为12，则它的体积为（
）
A．4 3
B．4 3
C．8 3
D．8 3
32.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________．
33．已矨
,
,
A B C 均在球O的球面上运动，且满足
π
3
AOB


，若三棱锥O
ABC

体积的最大值为6，则球O
的体积为（
）
A．12π
B．48π
C．32 3π
D．64 3π
34．已知两个球的表面积之比为1:9 ，则这两个球的体积之比为（
）
A．1:3
B．1:9
C．1: 27
D．1: 81
35．如图所示，在ABC

中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边BC
上，半圆与BC 相交于N，与AC 相切于点C，与AB 相切于点M），则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周
所得旋转体的体积为（
）
A．22
81

B．5 3
27

C．2 3
9

D．23 3
27

36．如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体，将圆锥外的包装纸展开发现，它是
一张半径为6 的半圆形纸片，则这个冰激凌的体积为（
）
A．27
B．18
9 3



C．36
9 3



D．54
37．如图所示的雕塑组合：下面是棱长为2 米的正方体基座，基座上面中心位置安放着一个大球，阳光从
A 面正前方照射下时，基座在B 面正前方地面的影长是4.8 米，此时大球影子最远点伸到距B 面8.8 米处，
则大球体积是
．
38．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知
圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5
1
和3，则此组合体的外接球的体积是
．
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
模块一：基础知识
考点一：平面的基本概念
①平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象
的概念
②平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的
2 倍，如图1 所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如
图2 所示
③平面的表示方法：
1.用一个希腊字母α，β，γ等来表示，如上图1 中的平面记为平面α
2.用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1 中平面记为平面AC
或平面BD
3.用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1 中的平面记为平面
ABC 或平面BCD 等
4.用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形顶点)来表示，如上图1 中的平面可记为平面ABCD
5.点与直线（平面）、直线与平面的位置关系
（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，
（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
考点二：三个基本公理及其推论
公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
文字语言
过不共线的三点，有且只有一个平面
图形
语言
符号语言
A，B，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
作用
确定平面
证明点共面
公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
图形
语言
符号语言
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
作用
判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线
图形语言
符号语言
P∈α∩β⇒α∩β＝l 且P∈l
作用
(1)
判定平面相交
(2)
证明点共线
(3)
证明线共点
考点三：点、线、面的位置关系的表示
A 是点，l，m 是直线，α，β是平面.
文字语言
符号语言
图形语言
A 在l 上
A∈l
A 在l 外
A∉l
A 在α内
A∈α
A 在α外
A∉α
l 在α内
l⊂α
l 在α外
l⊄α
或
l，m 相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
考点四：空间中直线与直线之间的位置关系
①异面直线
1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
2.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来
衬托．
②空间两条直线的位置关系
1.相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点．
2.平行直线——同一平面内，没有公共点．
3.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
③两条异面直线所成的角(夹角)
1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O 作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直
角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
考点五：平面与平面之间的位置关系
①空间中直线与平面的位置关系
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
4.画法：直线l 在平面α内，如图a 所示；直线l 与平面α相交于点M，如图b 所示；直线l 与平面α平行，
如图c 所示．
②两个平面之间的位置关系
1.两个平面平行——没有公共点；
2.两个平面相交——有一条公共直线．
3.符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l．
4.画法：两个平面α、β平行，如图a 所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b 所示．
模块二：题型分类
题型一：空间符号的正确使用
1.如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．
m



，n ，m
n
A


B．
m
n
m
n
A








，
，
C．
m
n
A
m
A
n








，
，
，
D．
m
n
A
m
A
n








，
，
，
2.若点A 在直线b 上，b 在平面上，则点A ，直线b ，平面之间的关系可以记作（
）
A．A
b


B．A
b



C．A
b



D．A
b



3.下面表述与结论都正确的是（
）
A．
A



，B


，
AB



B．
a



，a


，
a





C．
A
a


，a


，
A



D．
A
a


，a


，
A



题型二：基本事实与推论的理解
1.下列条件不能确定一个平面的是（
）
A．不共线三点
B．直线和直线上一点
C．两条平行直线
D．两条相交直线
2.已知直线l 和平面，若l

∥
，P


，则过点P 且平行于l 的直线（
）．
A．只有一条，不在平面内
B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内
D．有无数条，不一定在平面内
3.（多选）下列结论中正确的是（
）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点A 既在平面内，又在平面内，则与相交于b ，且点A 在b 上
D．任意两条直线不能确定一个平面
4.已知、为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理中错误的是（
）
A．A
a

，A


，B
a

，B


，则a


B．M


，M


，N


，N


，则直线MN


，直线MN


C．A


，A


，则

I
A
D．A 、B 、M


，A 、B 、M


，且A 、B 、M 不共线，则、重合
5.下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB 的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
6.用符号语言表示下列语句，正确的个数是（
）
（1）点A 在平面内，但不在平面内：A


，A


．
（2）直线a 经过平面外的点A，且a 不在平面内：A
a

，A

Ï
，a


．
（3）平面与平面相交于直线l，且l 经过点P：
l



，P
l
．
A．1
B．2
C．3
D．0
题型三：点共面与线共面的问题
1.在正方体中，E 、F 、G 、H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E 、F 、G 、H 四点共面的是
（
）
A．
B．
C．
D．
2.（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（
）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点
, ,
,
A B C D 共面，点, , ,
A B C E 共面，则, , ,
,
A B C D E 共面
C．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
3.如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，O为DB 的中点，直线
1AC 交平面
1
C BD 于点M ，则下列结论
正确的是（
）
A．
1
C ，M ，O三点共线
B．
1
C ，M ，O，C 四点共面
C．
1
C ，O，A ，M 四点共面
D．
1
D ，D ，O，M 四点共面
4.已知A 、B 、C 、D 、E 是空间五个点，且线段CE 、AC 和BD两两相交，求证：A 、B 、C 、D 、E
这五个点在同一平面上．
5.如图所示，1
2
l
l
A


，2
3
l
l
B


，1
3
l
l
C


．求证：直线1l ，2l ，3l 在同一平面内．
6.已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.(多选)如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F.G 分别是BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，
A1B1C1D1的中心，则（）
A．A，C，O1，D1四点共面
B．D，E，C，F 四点共面
C．A，E，F，D1四点共面
D．E，G，O1，O2四点共面
8.如图，1
2
//
l
l ，3l 与1l 、2l 分别交于A 、B 两点，4l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，E
AD

．求证：A 、B 、
C 、D 、E 五点共面．
题型四：线共点与点共线问题
1.在三棱锥A
BCD

的边AB
BD
AC
CD
、
、
、
上分别取E、F、G、H 四点，如果EF
HG
P


，则点P（
）
A．一定在直线AD 上
B．一定在直线BC 上
C．在直线AD 或BC 上
D．不在直线AD 上，也不在直线BC 上
2.如图所示，ABC

在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R 三点．求证：P、Q、R 三点
在同一直线上．
3.在空间四边形ABCD的各边AB
BC
CD
DA
、
、
、
上的依次取点E
F
G
H
、、、
，若EH
FG
、
所在直线相交
于点P ，则
A．点P 必在直线AC 上
B．点P 必在直线BD 上
C．点P 必在平面DBC 外
D．点P 必在平面ABC 内
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，点M
N
E
F
，，，
分别是棱
1
1
CD
AB
DD
AA
，
，
，
上的点，若MN 与EF
交于点Q，求证：D
A
Q
，，
三点共线.
5.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C 与截面DBC1交于O 点，AC，BD 交于M 点，求证：C1，O，M 三点
共线．
6.如图，已知平面,
，且
l



，设在梯形ABCD中，AD
BC
∕∕
，且
,
AB
CD




.求证：
,
,
AB CD l
共点．
题型五：直线与直线的位置关系
1.若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．异面
D．平行或异面
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，与对角线AC 成异面直线的棱有（
）
A．3 条
B．4 条
C．6 条
D．8 条
3．下列命题中，真命题的个数是（
）
①分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若
90
BAC


，
1
AB
AC
AA


，则异面直线
1
BA 与
1
AC 所成的角等于（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
5.已知a 与b 相交，且b 与c 是异面直线，那么a 与c 的位置关系是（
）
A．异面
B．相交
C．平行
D．都有可能
6. ,a b为异面直线，且
,
a
b




.若
l



，则直线l 必定（
）
A．与a，b 都相交
B．与a，b 都不相交
C．至少与a，b 之一相交
D．至多与a，b 之一相交
7.如图，已知直线a 、b 是异面直线，直线c、d 分别与a 、b 都相交，则关于直线c、d 的位置关系说法
正确的是（
）
A．可能是平行直线
B．一定是异面直线
C．可能是相交直线
D．平行、相交、异面都有可能
8．若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a 与b 的位置关系是（
）
A．a∥b
B．a⊥b
C．a，b 异面
D．a∥b 或a 与b 异面
9．已知直线a，b 和平面，a ，b


，则“
//
a
”是“ //
a b ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10.在底面半径为1 的圆柱
1
OO 中，过旋转轴
1
OO 作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E 是弧BC 的中
点，F 是AB 的中点，则（
）
A．AE=CF，AC 与EF 是共面直线
B．AE
CF

，AC 与EF 是共面直线
C．AE=CF，AC 与EF 是异面直线
D．AE
CF

，AC 与EF 是异面直线
题型六：异面直线所成角
1.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
3
AA 
，
2
AB 
，则异面直线
1A B 与
1B C 所成角的余弦值为（
）
A．5
13
B．7
13
C．9
13
D．12
13
2.在正四面体ABCD 中，点E，F，G 分别为棱BC，CD，AC 的中点，则异面直线AE，FG 所成角的余弦
值为（
）
A．1
2
B．
3
5
C．
3
3
D．
6
3
3.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
AB
BC

，
1
3
AA 
，则异面直线
1
AD 与
1
DB 所成角的余弦值为
A．1
5
B．
5
6
C．
5
5
D．
2
2
4.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
120
ABC


，
2
AB 
，
1
1
BC
CC

，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所
成角的余弦值为
A．
3
2
B．
15
5
C．
10
5
D．
3
3
5.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I 平面ABCD=m,


平面AB B1A1=n,则m、
n 所成角的正弦值为
(A)
3
2
(B)
2
2
(C)
3
3
(D) 1
3
6.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，P 为
1
1
B D 的中点，则直线PB 与
1
AD 所成的角为（
）
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
7.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，异面直线
1
BC 与
1
1
B D 所成的角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
8．若直线l 与平面α所成的角为3
，直线a 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值
范围是（
）
A．(0，2
3
]
B．[ 3
，2
3
]
C．[ 2
，2
3
]
D．[ 3
，2
]
9．如图所示，在三棱锥A
BCD

中，
,
,
,
AB
CD AB
CD E F


分别为
,
BC AD 的中点，求EF 与AB 所成的
角．
题型七：直线与平面的位置关系
1．已知直线a 与平面满足
/ /
a
，直线b


，下列结论正确的是（
）
A．a 与b 无公点
B．a 与b 异面
C．
/ /
a
b
D．a
b



2．已知,
是空间中两个不同的平面，
,
m n 是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（
）
A．若
,m





，则
/ /
m

B．若
/ / ,
/ / ,
/ /
m
n


，则
//
m
n
C．若
,
/ / ,
m
m
n n




，则


D．若
,
/ / ,
m
n





，则m
n

3.下列说法中，正确的个数是（
）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0
B．1
C．2
D．3
4.若直线l 与平面有两个公共点，则l 与的位置关系是（
）
A．l 
B．//
l 
C．l 与相交
D．l


5.如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线
1
1
B D 与长方体的六个面之间的位置关系如何？
6．已知、表示两个不同的平面，m 是一条直线且m


，则m


是


的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（多选）设直线l 不在平面内，直线m 在平面内，则下列说法不正确的是（
）
A．直线l 与直线m 没有公共点
B．直线l 与直线m 异面
C．直线/与直线m 至多一个公共点
D．直线l 与直线m 不垂直
8．已知直线a ，b 和平面，且a
b

r
r ，a


，则b 与的位置关系是
．
题型八：平面与平面的位置关系
1．若三个不同的平面
,
,
满足
,
,





则,
之间的位置关系是（
）
A．
/ /


B．


C．
/ /

或


D．
/ /

或与相交
2.可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有（
）
A．三个点
B．1 个点和一条直线
C．无数个点
D．两条平行直线
3.命题“如果两个平面有无数多个公共点，那么这两个平面重合”是______．（填“真命题”或“假命题”）
4.如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P 三点确定的平面
记为γ，则β∩γ是（
）
A．直线MP
B．直线NP
C．直线PR
D．直线MR
5.若A面，B面，C 面，则平面ABC 与平面的位置关系_________.
6.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线
1
AB 与直线
1
1
DC 所成角的大小为
；平面ABCD与平面
1
ACB 夹
角的余弦值为
．
题型九：平面分空间的区域数量
1．三个不互相重合的平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．一个平面把空间分为
部分；两个平面把空间分为
部分；三个平面把空间分为
部分．
3．正方体的6 个面无限延展后把空间分成
个部分
4．空间两个平面最多将空间分成
部分.（填数字）
模块三：综合巩固
1.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A 在平面内，点B 在平面外；
（2）直线a 经过平面外的一点M．
2.若点Q 在直线b 上，b 在平面内，则Q ，b ，之间的关系可记作（
）
A．Q
b


B．Q
b


C．Q
b



D．Q
b



3.下列关于点、线和面的关系表示错误的是（
）
A．点A平面
B．直线l 平面
A

C．直线l 平面
D．平面平面
m

4.下列命题正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
5.（多选）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
6.下列推断中，错误的是（
）
A．若M


，M


，
l



，则M
l

B．A


，A


，B


，B
AB







C．l


，A
l
A 


D．
, ,
A B C


，
,
,
A B C


，且
,
,
A B C 不共线
,


重合
7.已知A，B，C 表示不同的点，l 表示直线，,
表示不同的平面，则下列推理中错误的是（
）
A．
,
,
,
A
l A
B
l B
l








B．
,
,
,
A
A
B
B
AB













C．
,
l
A
l
A





D．
,
A
A
l


，l


l 
A

8．
,
,
,
E F G H 分别是空间四边形ABCD的边
,
,
,
AB BC CD DA的中点，则
,
EG FH 的位置关系是（
）
A．异面
B．平行
C．相交
D．重合
9．设平面与平面相交于直线l ,直线a


，直线b


, a
b
M


,则M
l （用符号表示）．
10.如图，已知A，B，C，D 是空间四点，且点A，B，C 在同一直线l 上，点D 不在直线l 上．求证：直线
AD，BD，CD 在同一平面内．
11.如图，已知直线a
b
c
∥∥，l
a
A


，l
b
B


，l
c
C

．求证：a，b，c，l 共面．
12.如图，在四面体A
BCD

中作截面PQR ，若
,
PQ CB 的延长线交于点
,
,
M RQ DB 的延长线交于点N ，
,
RP DC 的延长线交于点K ．则
,
,
M N K 三点的位置关系是_______．
13.如图，在三棱锥A
BCD

中，E
G
，
分别是EC
AB
，
的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有
:
:
2:3
DF FC
DH HA


.试判定直线EF
GH
BD
，
，
的位置关系.
14.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
2
B P
PA

，
1
1
2
C Q
QA

．求证：直线
1
AA ，BP，CQ 相交于一点．
15．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 为棱
1
1
D C 的靠近
1
D 上的三等分点.设AE 与平面
1
1
BB D D 的交点
为O，则（
）
A．三点
1,
,
D O B 共线，且
1
2
OB
OD

B．三点
1,
,
D O B 共线，且
1
3
OB
OD

C．三点
1,
,
D O B 不共线，且
1
2
OB
OD

D．三点
1,
,
D O B 不共线，且
1
3
OB
OD

16．如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，,
E F 分别为
1
,
AB AA 上的点且
1
D F
CE
M


．求证：点
,
,
D A M
三点共线．
17．如图所示，ABC

在平面外，三边AB，AC，BC 所在直线分别交平面于P，Q，R 三点．求证：P，
Q，R 三点在同一直线上．
18.异面直线是指（
）
A．不同在任何一个平面内的两条直线
B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线
D．空间中两条不相交的直线
19.若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
20．长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
3,
4
AB
BC
AA



，则异面直线
1
AB 与
1A D 所成角的余弦值为（
）
A．16
25
B．
16
25

C．9
25
D．3
5
21．如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F 分别是AB，AD 的中点，则异面直线
1B C 与EF 所成
的角的大小为（
）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
22．空间四边形ABCD 的两对边
3
AB
CD


，E、F 分别是AD、BC 上的点，且
7
EF 
，
:
:
AE ED
BF FC


1: 2，则AB 与CD 所成角大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
23．如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（
）
A．BM 与ED 平行
B．CN 与BM 成60°角
C．CN 与BE 是异面直线
D．DM 与BN 是异面直线
24.如果直线a 平面，直线b 平面，
,
,
,
M
a N
b M
l N
l



，则（
）
A．l 
B．l


C．l
M



D．l
N



25.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（
）
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
26.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是
什么？
（1）AM 所在的直线与平面ABCD；
（2）CN 所在的直线与平面ABCD；
（3）AM 所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN 所在的直线与平面A1B1C1D1.
27.如图，已知a


，b


，a
b
A


，P
b
，
//
PQ a ；求证：PQ


.
28.平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．相交或平行
29.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条或3 条
30.平面与平面相交于直线l，点A、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线AB 与直
线l 相交于点D．设A、B、C 三点确定的平面为，则与的交线是（
）
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
31.已知点
,
A B 是平面外的两点,则过点
,
A B 与平行的平面有______个.
32.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F 分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF 相交.
8.5 空间直线﹑平面的平行
模块一：基础知识
考点一：基本事实4
1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
2、符号表述：
a∥b
b∥c
⇒a∥c.
3、作用：证明两条直线平行
考点二：等角定理
1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2、符号语言：


OA O A ,


OB O B 



AOB
A O B 或
180





AOB
A O B
3、等角定理的两个推论
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4、作用：判断和证明两个角相等或互补。
考点三：空间四边形
顺次连接不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形．
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
考点四：线线平行的证明方法
1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
3、利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
考点五：空间直线与平面的位置关系有以下三种
1、直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a
⊂α.
2、直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A
叫做直线a 与平面α的交点．
3、直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
考点六：直线与平面平行的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
3、图形：
考点七：直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和
交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
考点八：平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行⇒面面平行”)
2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
考点九：平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3、图形：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
考点十：利用判定定理证明两平面平行的步骤
1、在一个平面内找出两条相交直线；
2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；
3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。
模块二：题型分类
题型一：基本事实4 概念辨析
1.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
E F 分别是
1
1
1
1
,
B C D C 的中点，则下列结论正解的是（
）
A．EF
BD

B．EF
BD
∥
C．EF 与BD相交
D．EF 与
1
1
B D 相交
2.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a 与d 的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
3.如图所示，在长方体AC1中，E，F 分别是B1O 和C1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有（
）
A．3 条
B．4 条
C．5 条
D．6 条
4.如图，在三棱锥P
ABC

中，,
,
,
, ,
E F G H I J 分别为线段
,
,
,
,
,
PA PB PC AB BC CA的中点，则下列说法正确
的是
A．
||
PH BG
B．
||
IE CP
C．
||
FH GJ
D．
||
GI JH
题型二：证明线线平行
1．已知三条不同的直线l，m，n，且l
m

，则“ m
n
∥
”是“l
n
∥
”的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若
1
1
1
AOB
AO B


，且
1
1
OA
O A
∥
，OA 与
1
1
O A 方向相同，则下列结论正确的有（
）
A．
1
1
OB
O B
∥
且方向相同
B．
1
1
OB
O B
∥
，方向可能不同
C．OB 与
1
1
O B 不平行
D．OB 与
1
1
O B 不一定平行
3.（多选）若三个不同的平面
,
,
两两相交，且
1
2
3
,
,
l
l
l












，则交线1
2
3
, ,
l l l 的位置关系
可能是（
）
A．重合
B．相交于一点
C．两两平行
D．恰有两条交线平行
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，E，F 分别是AB，AC 上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF 与B1C1
的位置关系是
.
5．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H 分别是棱的中点，则EF 与GH 在原正方体中的位置关系为
.
6．如图，空间四边形ABCD，E、H 分别是AB、AD 的中点，F、G 分别是BC、CD 上的点，且CF
CG
CB
CD

，
求证：直线EH 与直线FG 平行．
7．如图，四边形ABCD和四边形ABEF 都是梯形，且
//
BC AD ，
//
BE FA且
1
2
BC
AD

，
1
2
BE
FA

，
,
G H
分别为
,
FA FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形．
(2)
,
,
,
C D F E 四点是否共面？为什么？
8．如图所示，ABC

和A B C


的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且
2
3
AO
BO
CO
A O
B O
C O






.
（1）证明:
//
AB A B
，
//
AC A C
，
//
BC B C
.
（2）求
ABC
A B C
S
S



的值.
9.已知棱长为a 的正方体ABCD
A B C D

中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点．求证：四边形MNA C
是
梯形．
题型三：等角定理
1.两等角的一组对应边平行，则（
）
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直
D．以上都不对
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F，G 分别是棱
1
CC ，
1
BB ，
1
DD 的中点．求证：
（1）
1
GB
D F
∥
；
（2）
1
BGC
FD E


．
3.给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4.已知
/ /
AB
PQ ，
/ /
BC
QR，
60
ABC


，则与
ABC

两边方向相同的
PQR

等于（
）
A．60°
B．60°或120°
C．120°
D．以上结论都不对
5.（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真
命题，在空间中仍然成立的有（
）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
6.已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M ，N ，P 分别为
1
AA ，
1
BB ，
1
CC 的中点.求证：
1
MC N
APB


.
题型四：直线与平面平行的性质
1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（
）
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交
D．无数条直线不相交
2.已知平面，直线m ，n 满足m


，n


，则“m ∥n ”是“m ∥”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平
行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正
确命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．0
4.平面与平面平行的充分条件是（
）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线a


，直线b


，且
,
a
b


∥
∥
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线
,
a
a


∥
∥
，且直线a 不在内，也不在内
5.下列命题中正确的是（
）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面内有不共线的三个点A，B，C 到平面的距离相等，则

∥
C．b

P
，

∥
，则b

∥
D．a

P
，a
b

，b


，则b

P
6.下列四个正方体图形中，, ,
,
,
A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB // 平面MNP 的
图形是（
）
A．
B．
C．
D．
题型五：直线与平面平行的判定
1.已知m，n 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（
）
A．若m//，m//n，则n//
B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//n
D．若m//，m，＝n，则m//n
2.已知a，b，c 为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（
）
①//
a c ，//
//
b c
a b

；
②a 
// ，//
//
b
a b

；
③//
a c ，//
//
c
a



；
④a 
// ，//
//
a 


；
⑤a


，b


，//
//
a b
a 

．
A．①⑤
B．①②
C．②④
D．③⑤
3．如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是菱形，PD 平面
,
1
ABCD PD
AD

，点
,
E F 分别为
,
AB PD
的中点．求证：直线
/ /
AF
平面PEC ．
4．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC

，
1
2
AB
BC
BB



，M，N，P 分别为
1
1
A B ，AC，BC
的中点．
(1)求证：
/ /
MN
平面
1
1
BCC B ；
(2)求三棱锥B
PMN

的体积．
5．如图，在四棱锥PABCD 中，E 是棱PC 上一点，底面ABCD 是正方形，平面ABE 与棱PD 交于点F，
平面PCD 与平面PAB 交于直线l.求证：l∥EF.
6．已知如图所示，P 是正方形ABCD外一点，PB 平面
,
ABCD O 为AP 中点，
2
PB
AB


.
(1)求证：
/ /
PC
平面BOD ；
(2)三棱锥O
ABD

的体积.
7．如图，在四棱锥P
ABCD

中，平面PCD 平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且
1
1
2
AB
CD

，
PCD

为等边三角形，平面PAB 平面

PCD
直线l ．证明：/ /
l
平面ABCD.
8．直三棱柱ABC
A B C


中，
90
BAC


，
2
AB
AC


，
1
AA，点M 、N 分别为A B
和B C

的中点.
(1)证明：
/ /
MN
平面A ACC

；
(2)求三棱锥A
MNC

的体积.
题型六：平行交线定理证明线线平行
1.如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O，M 是PC 的中点，在DM
上取一点G，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH，求证：AP∥GH.
2.如图所示，在多面体
1
1
1
A B D DCBA 中，四边形
1
1
AA B B，
1
1
ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为
1
1
B D 的中点，过
1A ，D，E 的平面交
1
CD 于F．证明：
1
/ /
EF
B C .
3.如图，E、F 分别是空间四边形ABCD中边BC 和AD 的中点，过EF 平行于AB 的平面与AC 交于点G ．求
证：G 是AC 中点．
4.已知正方体
1
AC 的棱长为1，点P 是平面
1
1
AA D D的中心，点Q 是平面
1
1
1
1
D
C
B
A
的对角线
1
1
B D 上一点，且
PQ∥平面
1
1
AA B B ，则线段PQ的长为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
2
D．
3
2
5.如图，四棱锥P
ABCD

的底面为正方形，且PD 平面ABCD，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，
证明：//
l BC .
题型七：平面与平面平行的判定
1．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 为
1
DD 的中点．
(1)求证：
1 / /
BD
平面AEC ；
(2)
1
CC 上是否存在一点F ，使得平面
/ /
AEC
平面
1
BFD ，若存在，请说明理由．
2．如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，,
D E 分别是棱
1
,
BC AA 的中点．在棱
1
BB 上找一点F ，使得平面
//
DEF
平面
1
1
A B C ，并证明你的结论.
3．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD均为梯形.已知点
,
,
,
B C E F 四点共面，且
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
.证明：平面ABC∥平面DEF .
4.如图，在四棱锥P
ABCD

中，
90
ABC
ACD



，
60
BAC
CAD



，PA 平面ABCD，
2
PA 
，
1
AB .设M，N 分别为PD ，AD 的中点.
(1)求证：平面
/ /
CMN
平面PAB ；
(2)求三棱锥C
PAB

的体积.
5．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
2
AC
BC
CC



，
90
ABC


，D，E，F 分别是棱
1
1
AC ，BC ，
AC 的中点．证明：平面
/ /
ABD
平面
1
FEC ；
6．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别为
1
1
A D ，
1
1
C D 中点，G，H 分别为AB ，BC 中点，O
为平面ABCD中心．证明：平面OEF ‖平面
1
C GH ；
7．如图，几何体
1
1
1
ABCD
AC D

为直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

截去一个角所得，四边形ABCD是正方形，
2
AB 
，
1
3
DD 
，P 为BC 的中点．证明：平面
1
1 / /
A BC
平面
1
ACD ；
题型八：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
1.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，点E ，F 分别是棱
1
CC ，
1
BB 上的点，点M 是棱AC 上的动点，
2
2
EC
FB


，当点M 在什么位置时，MB∥平面AEF ？
2．如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，PD 底面ABCD，PD
CD


，点E
在棱PC 上，
//
PA 平面EBD .
(1)试确定点E 的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥E
BPD

体积为2
3 .
3．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
,
2
AC
BC AC


，且
1
1
BC
CC

，点D 在线段
1
BC （含端点）上
运动，设
1
BD
BC

．当
//
AB 平面
1ACD 时，求实数的值.
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
,
,
E F G 分别是
1
,
,
AB CC AD 的中点.
（1）证明：
//
EG 平面
1
1
D B C ；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使
//
AT
平面
1
B EF ？若存在，求出DT
DC 的值；若不存在，请说明理由.
题型九：由线面平行求线段长度
1．如图，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，过A1B 且与AC1 平行的平面交B1C1 于点P，则PC1
＝（
）
A．2
B．
3
C．
2
D．1
2．A 是
BCD
△
所在平面外一点，M 是ABC

的重心，N 是ACD

的中线AF 上的点，并且
/ /
MN
平面BCD，
当
4
3
MN 
时，BD 
．
3．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
2
AB 
，E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若
//
EF
平面
1
AB C ，
则EF 
.
4．如图所示，直线a∥平面，点A平面，并且直线a 和点A 位于平面两侧，点B，C，D
a

，AB，
AC，AD 分别交平面于点E，F，G，若
4
BD 
，
4
CF 
，
5
AF 
，则EG=
.
5．在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC 上的点P
（如图），且与平面
1
1
B CD 平行，已知
1
10cm
AA 
，
6cm
AP 
，则截面面积等于
2
cm .
6．如图所示，在四面体ABCD中，M
N
P
Q
、、、
分别是四面体的棱AD
DC
CB
AB
、
、
、
上的点，且M 、
N
P
Q
、、
在同一个平面上，已知四边形MNPQ 平行于四面体的一组对棱AC 和BD ，若AC
BD
p


，求
四边形MNPQ 的周长．
7．如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH 是一个平行四边形．
(1)求证：
/ /
CD
平面EFGH
(2)若AB
CD

且
8,
6
AB
CD


，EFGH 为其所在棱的中点，求四边形EFGH 面积.
8．如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4 的正方形，E，F 分
别是侧棱
1
1
,
AA CC 上的动点，点P 在棱
1
AA 上，且
1
AP ，若
/ /
EF
平面PBD，求EF 的长.
9．如图所示，直线//
a
平面，点A 在另一侧，点B，C，D
a

，线段AB，AC，AD 分别交于点E，
F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG 的长．
10．图1：平行四边形ABCD中，
,
1
AC
BC AC
BC



，现将
ADC
△
沿AC 折起，得到三棱锥D
ABC

（如
图2），且DA
BC

，点M 为侧棱DC 的中点.
（1）求证：AM
BD

（2）N 为
ACB

的角平分线上一点，若
//
DN
平面ABM ，求线段DN 的长.
题型十：面面平行性质定理的应用
1．如图所示正四棱锥S
ABCD

，
2,
2
SA
SB
SC
SD
AB





，P 为侧棱SD 上的点．且
3
SP
PD

，求：
(1)正四棱锥S
ABCD

的表面积；
(2)侧棱SC 上是否存在一点E，使得
/ /
BE
平面PAC ．若存在，求SE
EC 的值；若不存在，试说明理由．
2．如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，四边形ABCD为梯形，AB ∥CD ，
6
AB 
，
1
2
AD
CD
DD



，
60
BAD


，点E 在线段AB 上，且
2
AE 
，F 为线段BC 的中点．
求证：
1
C E ∥平面
1
1
ADD A .
3．在矩形ABCD 中，
4
AB 
，
2
AD 
．点E，F 分别在AB，CD 上，点
,
E F 分别在
,
AB CD 上，且
2
AE 
，
1
CF ．沿EF 将四边形AEFD 翻折至四边形A EFD

，点A平面BCFE．
(1)求证：
/ /
CD
平面A BE

；
(2)求证：A D
与BC 是异面直线；
4.如图所示，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
,
N K 分别为
,
PC PA的中点，平面PBC 平
面APD
l
．
（1）求证：//
l BC ；
（2）直线PB 上是否存在点H ，使得平面
//
KNH
平面ABCD ，并加以证明.
5.如图所示，在四棱锥P
ABCD

中，
/ /
BC
平面PAD，
1
2
BC
AD

，E 是PD 的中点．
（1）求证：
/ /
BC
AD ；
（2）线段AD 上是否存在点N，使平面
/ /
CEN
平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
模块三：综合巩固
1.已知三条不同的直线l，m，n，且l
m

，则“ m
n
∥”是“l
n
∥
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.若
/ /
a
，//
b ，则直线a ，b 的位置关系是（
）
A．平行或异面
B．平行或相交
C．相交或异面
D．平行、相交或异面
3.如图，E，F 分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C 的中点．求证：四边形B1EDF 为平行四边形．
4.如图，在正方体ABCD
A B C D

中，E，F，E，F分别是棱AB、AD、B C

、C D

的中点．求证：四
边形EFF E
为平行四边形．
5.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，P ，Q 分别为
1
CC ，
1
AA 的中点，求证：
1
//
BP DQ ．
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分别是AB，BB1，BC 的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
7. E ，F ，G 分别是AB ，
1
BB ，BC 的中点，求证：
1
1
EFG
C DA


∽
．
8.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，求证：
（1）
1
1
1
ABC
A B C


；
（2）
1
1
1
1
A D A
B C B


.
9.下列能保证直线a 与平面平行的条件是（
）
A．b


，a
b

B．a


，b


，a
b

C．b


､A ，B
a

，C ，D
b
，且AC
BD
∥
D．b


，c∥，a
b

，a
c
P
10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个
正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
11.下面四个选项中一定能得出平面
/ /

平面的是（
）
A．存在一条直线a，
/ /
a
，
/ /
a

B．存在一条直线a，a


，
/ /
a

C．存在两条平行直线a，b，a


，b


，
/ /
a
，
/ /
b

D．存在两条异面直线a，b，a


，b


，
/ /
a
，
/ /
b

12.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，则BF 等于多少时，
//
EF
平面
1
1
AC D
（
）
A．1
B．1
2
C．1
3
D．1
4
13.在三棱锥A
BCD

中，点E，F 分别在
,
AB CB 上．若
:
:
2: 5
AE EB
CF FB


，则直线AC 与平面DEF
的位置关系为（
）
A．平行
B．相交
C．AC 平面DEF
D．不能确定
14.已知直线a、b 和平面，下面说法正确的是(
)
A．若a
b
∥，b

∥
，则a

∥
B．若a
b
∥，b


，则a

∥
C．若a
b
∥，b


，a


，则a

∥
D．若a

∥
，b

∥
，则a
b
∥
15.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D 为BC 的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
16.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
,
,
D E F 分别是棱
1
1
,
,
AB BC AC 的中点，求证：
/ /
EF
平面
1ACD ．
17.已知正方形ABCD，如图1，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将
ADE
V
沿DE 折起，如图2 所示，求证：
//
BF
平面ADE .
18.如图E、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB，AD 的中点，平面过EH 分别交BC、CD 于F、G，求证：EH//FG.
19.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
在圆柱中，等腰直角三角形
1
1
1
A B C ，ABC 分别为上、下底面的内接三角形，
点D ，E 分别在棱
1
BB 和AC 上，
1
AB
BC
AA


，
3
AC
AE

，
//
BE
平面
1ACD ，求
1
1
B D
BB 的值
20.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，M 、N 、E 、F 分别是相应棱的中点，证明：平面
/ /
AMN
平面EFDB ．
21.如图
/ / ,
AB
CD



，
,
,
M N P 分别为线段
,
,
AC CB BD 中点，且
,
,
M N P 三点不共线.求证：平面MNP//
平面α
22.如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
2
2
B B
AB


，点E 为棱
1B B 上的点，且满足
1
2
B E
EB

．
（1）求异面直线
1
1
AC 与EC 所成角的余弦值；
（2）棱
1
D D 上是否存在一点F ，使得
1B F ∥平面ACE ，若存在，求出
1
D F
FD 的值，若不存在，请说明理由．
23.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点M 是线段
1
1
B D 上的一个动点,
,
E F 分别是
,
BC CM 的中点.
（1）求证：EF // 平面
1
1
BDD B ；
（2）在棱CD 上是否存在一点G ，使得平面GEF // 平面
1
1
BDD B ？若存在，求出CG
GD 的值；若不存在，请
说明理由.
24.如图，在直棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，点E，F 分别为
1
1
A B ，BC 的中点，点G 是线段AF 上的动点．确定点G
的位置，使得平面
1
/ /
AC E
平面
1
B CG ，并给予证明
8.6 空间中线线垂直和线面垂直
模块一：基础知识
考点一：两条直线所成的角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号
语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l 是异面直线(如图)．
考点二：求两异面直线所成的角的步骤
1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
考点三：证明异面直线垂直的步骤
1、作出两异面直线所成的角；
2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系；
3、得出结论，
考点四：直线与平面垂直的定义
1、文字语言：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直
2、符号语言：l⊥α
3、有关概念：直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
4、图形语言：
5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6、空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂
线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直
线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相
等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
考点五：直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
3、图形语言：
4、作用：证明线面垂直
考点六：直线和平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α上的射影为AO
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
3、取值范围：[0°，90°]
考点七：直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言：
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
考点八：三心问题结论
设P 是三角形ABC 所在平面α外一点，O 是P 在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O 为△ABC 的外心．
特别地当∠C＝90°时，O 为斜边AB 的中点．
（2）若PA、PB、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的垂心．
（3）若P 到△ABC 三边距离相等，则O 为△ABC 的内心．
模块二：题型分类
题型一：异面直线的辨别
1、（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，M 为
1
DD 的中点，则下列直线
中与直线BM 是异面直线的有（
）
A．
1
AA
B．
1
BB
C．
1
CC
D．
1
DD
2、（2023 春·全国·高一专题练习）如图为正六棱柱ABCDEF
A B C D E F


.其6个侧面的12条面对角
线所在直线中，与直线A B
异面的共有______条.
3、（2021 秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线
1A B 与直线AC 的位置关
系为（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
4、（2021 春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，,
E F 分
别是线段
1
,
BC CD 的中点，则直线
1
AD 与直线EF 的位置关系是（
）
A．相交
B．垂直
C．平行
D．异面
5、（2023 春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的9 条棱所在直线中，与直线
1A B 是异
面直线的共有___________条.
6、（2022·高一课时练习）如图，已知点P 在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，
那么P 与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8 条直线中，异面直线共有
______对．
题型二：求异面直线所成角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F，G，H 分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF 与
GH 所成的角等于_________．
2.已知空间四边形ABCD，连接AC 和BD ，且
1
AB
AC
AD
BC
CD
BD





，点N 是线段AD 的中点，
则异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值是______．
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC 和DD1所成的角是________；
（2）AC 和D1C1所成的角是________；
（3）AC 和B1D1所成的角是________；
（4）AC 和A1B 所成的角是________.
4.如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB 是底面圆O的直径，点D 在
AB 上，且
2
AOD
BOD

∠
∠
，
则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为______．
5.如图，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是AB，CD 的中点，若EF＝
3 ，求异面直线AD，
BC 所成角的大小.
6．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2π
3
BAC


，
1
2
2
AA
AC
AB



，O为四边形
1
1
AAC C 的中心，则异面
直线
1
OB 与
1A B 夹角的余弦值为（
）
A．
5
10
B．
5
15
C．
5
20
D．
5
25
7．已知三棱锥S
ABC

中，
2 3,
2
SC
AB


，E，F 分别是SA，BC 的中点，
1
EF ，则EF 与AB 所成
的角大小为（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
8.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC

为等腰直角三角形，且
1
2
1
2
AB
AC
AA



，则异面直线
1
AB
与
1AC 所成角的正弦值为（
）
A．2
3
B．
5
3
C．
3
3

D．
3
3
题型三：直线与直线垂直
1.如图，在长方体ABCD
A B C D

的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB 垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB 异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB 和A D
都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB 和A D
都垂直且相交的直线是直线__________．
2.在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（
）条．
A．2
B．4
C．6
D．8
3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D 是AB 的中点，则在所有的棱中与直线CD 和AA1都垂直的直线有______．
4.设a，b，c 是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a 和b（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
①
1
DA 与
1
BC 平行；
②
1
DD 与
1
BC 垂直；
③
1
1
A B 与
1
BC 垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③
D．①②③
6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E，F 分别是AB，CD 的中点，EF=
2 ．求证：AD⊥BC．
7.空间四边形ABCD ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG 
，
5
GE 
，
3
EF .求证：AC
BD

.
8.如图，在正三棱柱ABC
A B C


中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB


.求证：BE
AC

.
题型四：线面垂直判定理解
1.已知，是两个不同的平面，l，m，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l


的是（
）
A．l
m

，l
n

，m


，n


B．l
m

，
/ /
m

C．


，//
l 
D．//
l m ，m


2.若一条直线a 与平面垂直，下列平面中的两条直线与a 垂直，可以保证直线与平面垂直的是（
）
①四边形的两边
②正六边形的两边
③圆的两条直径
④三角形的两边
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
3.下列命题中正确的有（
）
A．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直
B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面
C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面
D．过点A 且垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内
4.已知m 、n 是两条不同的直线，是一个平面，则（
）
A．若
//
m n ，n ，则
/ /
m

B．若m
n

，n ，则m


C．若m
n

，//
n ，则m


D．若m


，//
n ，则m
n

题型五：线面垂直证明
1.如图所示，M 是菱形ABCD 所在平面外一点，MA
MC

．求证：AC 垂直于平面BDM．
2. 在三棱锥V
ABC

中，VA
VC

，AB
BC

，点D 为AC 的中点，求证：AC 平面VBD ．
3.如图，在三棱锥

P
ABC 中，D E
，分别为AB
PB
，
的中点，EB
EA

，且PA
AC

，PC
BC

．求证：
BC 平面PAC ．
4.如图,在三棱锥

P
ABC 中,
,
PB
PC AB
AC


,D,E 分别是
,
BC PB 的中点．
（1）求证：
/ /
DE
平面PAC ;
（2）求证：BC 平面PAD ．
5．如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，且CB
BP
CD
DP


，
，
2
PA 
，点
E
F
，
分别为PB
PD
，
的中点.
(1)求证：PA 平面ABCD；
(2)求点P 到平面AEF 的距离.
6.如图，已知PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A，B 的任意一点，过点A
作AE
PC

，垂足为E．
（1）求证：BC 平面PAC ；
（2）求证：

AE
平面PBC ．
7.如图所示，在正方体ABCD-
1
1
1
1
D
C
B
A
中，M 为
1
CC 的中点，AC 与BD 交于点O，求证：1AO⊥平面MBD .
8.如图，在圆柱
1
OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面
O

的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的
点．求证：CD 平面ABD．
9.如图，已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，各棱长都为a ，底面ABCD是正方形，顶点
1A 在平面ABCD上
的射影是正方形ABCD的中心，求证：
1AC 平面
1
1
BDD B ．
题型六：直线与平面所成的角
1.已知在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
AB
AD

，
1
2
AA 
，那么直线
1AC 与平面
1
1
AA D D所成角的正弦值
为（
）
A．
6
6
B．
35
6
C．
3
3
D．
6
3
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（
）
A．
3
6
B．
3
4
C．
2
2
D．
3
2
3.如图，在四棱锥P
ABCD

中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且PD
AB
a
=
=
，G 为△ABC 的重
心，则PG 与底面ABCD 所成的角的正弦值等于（
）
A．3
4
B．
17
17
C．3 17
17
D．2 34
17
4.正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（
）
A．1
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
3
2
5．如图，在矩形ABCD中，
3,
1
AB
BC

，沿对角线BD 把
BCD
△
折起，使C 移到C，且C在面ABC
内的射影O恰好落在AB 上.
(1)求证：AD
C B


；(2)求AB 与平面C BD

所成的角的正弦值.
6．如图，圆的直径为AB 4，直线PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的任意一点.
(1)证明BC⊥面PAC；
(2)若
2 2,
2,
PA
AC


求PB 与面PAC 的夹角.
7．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，已知
1
2,
3
AB
BC
AA


．
(1)若点P 是棱
1
1
A D 上的动点，求三棱锥C
PAD

的体积；
(2)求直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 的夹角正弦值大小．
8.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P
ABCD

为阳马，侧棱PA 底面ABCD，PA
AB
AD


，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值
为_______.
题型七：线面垂直证明线线平行
1.如图，正方体
1
1
1
1
A B C D
ABCD
－
中，EF 与异面直线AC 、
1A D 都垂直相交．
求证：
1
//
EF BD .
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD ，则有（
）
A．
1
BB
l

B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD，则有（
）
A．
1
BB
l

B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
4.在空间中，下列说法正确的是（
）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5.圆柱OP 如图所示，AC 为下底面圆的直径，DE 为上底面圆的直径，BD 底面ABC ，证明：
//
BP
面AEC
6.如图，已知多面体ABCDE ，

AE
平面
,

ABC DC
平面ABC ，且
2
AE
DC


，证明：
/ /
AC
平面BED .
7.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在
AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
题型八：线面垂直证明线线垂直
1.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1AC
BC

，
1
AC
CC

．
(1)记平面
1A BC 与平面
1
1
1
A B C 的交线为l，求证：/ /
l
平面
1
1
BCC B ；
(2)求证：
1
1
AC
AB

．
2.如图，
1
AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段
1AC 的中点．已
知
1
4
AA
AC


，
3
BC .
（1）求圆柱的体积；
（2）求证：
.
BC
AM

3.如图，已知PA 平面PBC，PB
PC

，M 是BC 的中点，求证：BC
AM

．
4.如图，四棱锥S
ABCD

中，
,
,
AB
DC CD
SD SM
CM


∥
，平面SCD 平面SBC ．
(1)求证：DM
BC

；
(2)设
,
9,
6,
12
BC
AB AB
BC
CD
SB





，点N 在棱AB 上，
2 13
DN 
，求多面体DSAN 的体积．
5.在三棱锥

P
ABC 中，ABC

为等边三角形，PA 平面ABC，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋转至PAD 位
置（如图），且二面角D
PA
B


的大小为90°．
(1)证明：A，B，C，D 四点共面，且AD
PB

；
6.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为菱形，
60
ABC


，又PA 底面
,
ABCD E 为BC 的中点．
(1)求证：AD
PE

；
(2)设F 是PD 的中点，求证：CF 平面PAE ．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
CAB


，
1
1
2 2
AB
AC
A B
AC




，
1
2
AA 
，点M，F 分别为
BC，
1
1
A B 的中点，点E 为AM 的中点．
(1)证明：
1
AA
BC

；
(2)证明：
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ；
8.如图，四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，
8
4 3
AB
AD


，
，侧面PAD 为等边三角形，并且与
底面所成二面角为60．
(1)求四棱锥P
ABCD

的体积；
(2)证明：PA
BD

．
题型九：平面内的射影问题
1．在各棱长都为2 的正四棱锥V
ABCD

中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（
）
A．2 6
3
B．2 3
3
C．
3
D．2
2．在三棱锥PABC 中，若PA＝PB＝PC，则顶点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
3．2022 年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国
家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某
“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥A
BCD

如图所示，顶点A 在底面的射影落
在△BCD 内，它的体积为
3
729 3 cm
2
，其中△BCD 和△ABC 都是边长为18cm 的正三角形，则该“鞠”的表
面积为（
）
A．
2
234πcm
B．
2
468πcm
C．
2
189πcm
D．
2
756πcm
4．l 是平面内的一条直线，m 是平面的一条斜线，且m 在平面内的射影为m.若l 与m 的夹角为60，
l 与m的夹角为45，则m 与平面所成角的大小为（
）
A．135
B．30
C．45
D．150
5．如图，在三棱锥M
ABC

中，MA 平面ABC ，ABC

是边长为2 的正三角形，直线MC 与平面ABC 所
成夹角为60，F 是侧棱MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．13
3
D．5
8
6．如图，在三棱锥B
ACD

中，AB
BC

，DA
AC

，G 为点B 在平面ACD上的射影，M 为BC 的中点．证
明：
/ /
MG
平面ABD .
题型十：空间中三种距离问题
1.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点M 为棱
1
CC 的中点，则点B 到平面
1
1
A B M 的距离为（
）
A．5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．4 5
5
2.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，O 是
1
1
AC 的中点，则点O 到平面
1
1
ABC D 的距离为______．
3.如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面边长为2，
1
60
B AB


，E 为
1
DD 的中点，则
1
1
AC 到平面EAC
的距离为________．
4.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：
（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
（2）点D1到直线AC 的距离.
（3）直线AB 与面A1DCB1的距离.
5.如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点E 是
1
1
DC 的中点，F 是侧面
1
1
ADD A 的中心，则F 到平
面
1
EB C 的距离为（
）
A．2 6
3
B．10
2
C．3
2
D．
3
6.若四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的所有棱长均为2，且
1
1
60
A AB
A AD
BAD




，则
1A 到平面ABCD 的
距离为（
）
A．
6
3
B．
6
2
C．2 6
3
D．
3
7.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D 的距离为______.
题型十一：线面垂直的动点问题
1.如图，三棱锥P-ABC 中，PA 平面ABC，
1
PA ，
1
AB ，
2
AC 
，
60
BAC


．
（1）求三棱锥A-PBC 的体积；
（2）在线段PC 上是否存在一点M，使得BM
AC

?若存在，求MC
PM 的值，若不存在，请说明理由．
2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C＝2
5 ，AB＝2，∠BAC＝60°.
（1）求三棱锥A1－ABC 的表面积；
（2）证明：在线段A1C 上存在点M，使得AC⊥BM，并求
1A M
MC 的值.
3.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为棱C1D1的中点，F 为棱BC 的中点．
（1）求证：直线AE⊥直线A1D;
（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．
4.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M 为PC 的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD 内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
5.如图，平面PAC 平面ABC ，ABC

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，
AC 的中点，
16
AC 
，
10
PA
PC


.
（1）设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；
（2）证明：在ABO

内存在一点M ，使FM 平面BOE ，并求点M 到OA，OB 的距离.
6.如图，在四棱锥V
ABCD

中，VA
VD

，BA
BD

．
（1）证明：AD
VB

；
（2）在棱VC 上是否存在一点P，使得VC 平面PAD？若存在，指出点P 的位置；若不存在，说明理由．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧面
1
1
BCC B 是平行四边形，
1
1
BC
CC

，
1
1
BC
A C
^
，且E 、F 分别是BC 、
1
1
A B 的中点.
（1）求证：
//
EF
平面
1
1
AC CA；
（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得
1
BC 平面EFP ？若存在，求出AP
AB 的值；若不存在，请说明理由.
模块三：综合巩固
1.已知三条直线1l ，2l ，3l 满足1
2
l
l
∥
且2
3
l
l

，则1l 与3l （
）
A．平行
B．垂直
C．共面
D．异面
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，与对角线AC 成异面直线的棱有（
）
A．3 条
B．4 条
C．6 条
D．8 条
3.如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1,
2,
3
AB
AD
AA



，P 是线段
1
1
AC 上的动点，则下列直线中，
始终与直线BP 异面的是（
）
A．
1
DD
B．
1
B C
C．
1
D C
D．AC
4.（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（
）
A．直线CD 与直线GH 共面
B．直线CD 与直线EF 异面
C．直线AB 与直线EF 共面
D．直线GH 与直线EF 异面
5.在正方体
1
AC 中，E 、F 分别是面
1
1
1
1
D
C
B
A
和
1
1
AA D D的中心，则EF 和CD 所成的角是______________．
6.空间四边形ABCD的两对边
3
AB
CD


，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且
7
EF 
，
:
:
1: 2
AE ED
BF FC


，则AB 与CD 所成角大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7.如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长都相等，D 为棱AB 的中点，则CD 与
1
AC 所成角的正弦值为
（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．
2
4
D．
3
4
8．如图，在正方体ABCD
EFGH

中，若
,
M N 分别是
,
BF CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39.2，求AM
和BN 所成的角．
9．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，已知AB＝AA1＝2 cm，AD＝1 cm，求异面直线A1C1 与BD1 所成
角的余弦值．
10．如图，在正方体ABCD
EFGH

中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所
成的角．
11.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F 分别是BD1和AD 的中点，求证：CD1⊥EF.
12.已知直线l 和平面，则“l 垂直于内任意直线”是“l


”的（
）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
13.已知直线l ，m 与平面，其中m


，则“l
m

”是“l


”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14.如果直线l，m 与平面，，满足：l


=
Ç
，l

∥
，m


和m


，那么必有（
）
A．l
m

B．m

∥
C．m


D．l
m
∥
15.如图，在多面体DABCE 中，ABC

是等边三角形，
2,
2
AB
AD
DB
DC
EB
EC






.
(1)求证：BC
AE

；
(2)求三棱锥B
ACD

的体积.
16.如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EA / / FC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD 都是正三角形，
证明：CF 平面ABCD .
17.如图，在长方形ABCD中，
2 2
AB 
，
2
AD 
，M 为DC 的中点.将
ADM
△
沿AM 折起得到四棱锥
D
ABCM

，且
6
BD 
.
(1)证明：AD
BM

；
(2)若E 是线段DB 上的动点，三棱锥E
ADM

的体积与四棱锥D
ABCM

的体积之比为1：2，求DE
BD 的
值.
18．如图，AB 是圆O 的直径，点P 在圆O 所在平面上的射影恰是圆O 上的点C，且
2
AC
BC

，点D 是
PA 的中点，PO与BD 交于点E，点F 为PC 的中点，且
2
PC
AB


.
(1)求证：BC
PA

；
(2)求三棱锥P
BEF

的体积.
19.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线l 是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线
1AC 与直线l 所成
的角为，则sin的最小值是（
）
A．
3
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
6
3
20.如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

，AB
a
=
，
1
BC
BB
b


，a
b

，P 是棱AB 上的一个动点，若点P 运动
到棱AB 靠近A 的一个三等分点时，恰有
1
PC
PD

，求此时
1
PC 与平面ABCD所成的角__________．
21．若a 、b 是空间中两条不同的直线，则a
b
∥的充分条件是（
）
A．直线a 、b 都垂直于直线l
B．直线a 、b 都垂直于平面
C．直线a 、b 都与直线l 成30角
D．直线a 、b 都与平面成60角
22.（多选）已知，是两个不同的平面，m，n，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（
）
A．若


，m


，n


，则m
n

B．若m


，n


，则m
n
∥
C．若
l



，m

∥
，m

∥
，则m
l
∥
D．若
l



，m


，m
l
，则m


23．在梯形ABCD 中，AB
CD

，
2
AB 
，
4
CD 
，
3
AD
BC


，BD 与AE 交于点G.如图所示沿梯形
的两条高AE，BF 所在直线翻折，使得
90
DEF
CFE



.
(1)求证：AD
BC
∥
；
(2)求三棱锥C
BDG

的体积.
24.已知空间几何体ABCDE 中，ABC

，ECD

是全等的正三角形，平面ABC 平面BCD，平面ECD 平
面BCD.
(1)若
2
2 2
BD
BC


，求证：BC
ED

；
(2)证明：
/ /
AE
BD .
25.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，如图所示，
1A A
AB
a


，G，E，F 分别是
1
1
AC ，AB，BC 的中点，求证：
直线EF 直线GB．
26.在四棱锥P
ABCD

中，PD 底面ABCD ，
//
CD AB ，
1
AD
CD
BC


,
2
AB 
，
3
PD 
．证明：
BD
PA

.
27．如图，在四棱锥
．．．P
ABCD

中，PA 底面ABCD，底面ABCD为正方形，
2
AB
PA


．
(1)求证：AB
PD

；
(2)求三棱锥C
PBD

的体积．
28．如图，在四棱锥P
ABCD

中，PAD

为正三角形，
60
BAD
CDA



，且
2
2
3
CD
AD
AB


，M
为PC 的中点，
(1)平面PAB 平面PCD
l
，求证：l
AD

.
(2)求证：BM // 平面PAD．
29．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，①
1
1
//
AB
A D ；②直线
1
AB 与
1
D D 的夹角为45；③
1
1
AB
CD

；
④直线
1A D 与
1
BD 的夹角为90，其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
30．如图，S是ABC

所在平面外一点，
2
AB
BC


，
120
ABC


，且SA 面ABC ，
3
SA 
，则SA与
平面SBC 的夹角为（
）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．5π
6
31.如图在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC


，
2
BC 
，
1
4
CC 
，E 是
1
BB 上的一点，且
1
1
EB ，D、
F、G 分别是
1
CC 、
1
1
B C 、
1
1
AC 的中点，EF 与
1
B D 相交于H ．
（1）求证：
1
B D 平面ABD ；
（2）求平面EGF 与平面ABD的距离．
32.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC

是等边三角形，
1
4
AB
AA


，D 是棱AB 的中点.求点
1
B 到
平面
1ACD 的距离等于_______
33.如图所示，在棱长为1 的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．试确定
点F 的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
34.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC


，
1
AB
BC

，
1
3
AA 
，M 为棱AC 上靠近A 的三
等分点，N 为棱
1
1
A B 上靠近
1A 的三等分点.
（1）证明：
/ /
MN
平面
1
1
BB C C ；
（2）在棱
1
BB 上是否存在点D，使得
1
C D 面
1
B MN ?若存在，求出
1
B D 的大小并证明；若不存在，说明理
由.
8.7 二面角和面面垂直
模块一：基础知识
考点一：二面角的概念
1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3、画法：
4、记法：二面角
l



或
AB




或P
l
Q

或P
AB
Q


.
5、如上3 图，二面角的平面角：若有①O
l
；②OA


，OB


；
③OA
l

，OB
l

，则二面角
l



的平面角是
AOB

．
考点二：平面与平面垂直概念
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、图形语言：
3、符号语言：α⊥β.
考点三：平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
,
l
l








考点四：平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
l
a
a
a
l


















4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
考点五：平面与平面垂直的其他性质
1.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
,
,
A
A
b b
b











，
2.如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即
,








∥
；
3.如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即
,b
b
b









∥或
；
4. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即
,
,
l
l











；
5.三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即
,
,
,
,
,
,
,
l
m
n
l
m m
n l
n





















6.垂直问题转化关系如下所示
模块二：题型分类
题型一：二面角的求法（小题）
1.如图，已知PA


，PB


，垂足为A 、B ，若
60
APB


，则二面角
l



的大小是______．
2.如图，大小为120的二面角
l



的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面
内，并且都垂直于棱l.若
2
MN 
，
3
PM 
，
4
NQ 
，则PQ _____________.
3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
4.三棱锥

P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A






所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC

的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5．（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
E F 分别是
1
1
,
BC A D 的中点，下列说法正确的是（
）
A．四边形
1B EDF 是菱形
B．直线AC 与
1
BC 所成的角为4

C．直线
1
AC 与平面ABCD所成角的正弦值是
3
3
D．平面
1A BD 与平面ABCD所成角的余弦值是
6
3
6.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7

B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
7.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD

与三棱锥
1
B
ACD

体积相等
题型二：二面角的求法（大题）
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C


的大小.
2.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA



，
45
ABC


.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B


的正切值.
3.在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC




，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC

的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB


.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B


的正弦值.
4.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B


的大小．
5.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB

，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB

；
(2)若
1
1
1
AA
A B

，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
题型三：面面垂直的判定与性质
1.已知直线l 、m 与平面、，l ，m


，则下列命题中正确的是（
）
A．若//
l m ，则必有
//

B．若l
m

，则必有


C．若l


，则必有


D．若


，则必有m


2.已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（
）
A．若
/ / ,
,
m
n



则
//
m
n
B．若
,
,
/ / ,
n m
m
n






则


C．若
,
,





则
/ /


D．若
,
,
m m






则


3.m，n 表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，
③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，
其中正确的结论个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.已知，是两个不同的平面，“存在直线l ，l


，l


”是“

∥
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5.设
,
m n 是两条不同的直线，,
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若
,
,
m
n






∥
，则m
n
∥
B．若
,
,
m
n





∥
∥
，则m
n

C．若
,
,
m
n m
n



∥
∥
，则


D．若
,
,
m
n m
n




∥
，则

∥
题型四：面面垂直的证明
1.如图，在几何体P
ABCD

中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
π
2



ABC
BAD
，
2
AD 
，
1
AB
BC

．求证：平面PCD 平面PAC ；
2.如图，V 是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB 是底面圆的一条直径，且点C 是弧AB 的中点，点D 是AC
的中点，
2
AB 
，
2
VA=
．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：平面VAC 平面VOD ．
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
1
1
2
AC
BC
AA


，D 是棱AA1的中点.
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
4.如图所示，在四棱锥S
ABCD

中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC 平面ABCD，E 为SA的中点，
求证：平面EBD 平面ABCD.
5.已知AB 平面BCE ，
//
CD AB ，BCE

是正三角形，
2
AB
BC
CD


.求证：平面ADE 平面ABE ；
6.如图，四棱锥P
ABCD

中，PA 平面ABCD，
π
2
BAD
BCD



，
1,
2
AB
BC
PA
BD




．过点C 作
直线AB 的平行线交AD 于
,
F G 为线段PD 上一点．
(1)求证：平面PAD 平面CFG ；
7.如图，四棱锥P
ABCD

的底面是菱形，PA 平面ABCD，点E ，F 分别为棱
,
AB PD 的中点.
(1)求证：平面PBD 面PAC ；
(2)求证：
//
AF
平面PCE .
8.图1 是直角梯形
,
,
90 ,
2,
3,
3,
2
ABCD AB
DC
D
AB
DC
AD
CE
ED









∥
，以BE 为折痕将BCE 折起，
使点C 到达
1
C 的位置，且
1
6
AC 
，如图2．
(1)求证：平面
1
BC E 平面ABED ；
(2)已知点P 为线段
1
DC 上一点，且
1
2
PC
PD

，求三棱锥
1
B
PEC

体积．
9.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是矩形，O是BC 的中点，
3
PB
PC


，
2
2
PD
BC
AB



.
(1)求证：平面PBC 平面ABCD；
(2)求点A 到平面PCD的距离.
10.如图所示，圆锥的高
2
PO 
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R

，分别过点A，
C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．
(1)证明：平面PDE 平面POD ；
11.如图，已知在四棱锥S
ABCD

中，
1
2
AB
AD

，
90
BAD
ADC



，
2
tan
3
BCD


，平面SAC ⊥平面
ABCD
．
(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；
(2)若直线BD 平面
，直线SC 平面
O

，直线
//
SA
平面，求SC
SO 的值．
题型五：面面垂直性质的应用
1.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为正方形，平面PAD 平面ABCD，Q 为棱PD 的中点，
2
PA
AD
PA
AB



，
．求证：PA 平面ABCD；
2.如图，四棱锥P
ABCD

中，四边形ABCD为梯形，其中
//
,
2
2
4,
60
AB DC AB
BC
CD
BCD





，平
面PBD 平面ABCD.证明：PB
AD

；
3.如图，在四棱锥P
ABCD

中，平面PAD 底面ABCD，CD
AB
∥
，
2
PA
PD
AD
DC




，
=4
AB
，
60
DAB


．证明：BD
PA

4.如图，四棱锥B
AEDC

中，平面AEDC 平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且
/ /
AE
DC ，
=90
ACD

，
2
DC
AC
AB
AE



．证明：EP 平面BCD
5．如图，在三棱锥A
BCD

中，
1,
2
AD
CD
AB
BC
AC





，平面ACD 平面ABC ，则三棱锥
A
BCD

外接球的表面积为（
）
A．3π
B．8 π
3
C．7 π
3
D．2π
6．将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），
1
BC ，将其沿BD 折起，使得而ABD⊥面BCD．若
三棱锥A-BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（
）
A．2π
B．7π
3
C．8π
3
D．3π
7．已知A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝
2 ，等边三角形ADB 以AB 为轴运
动，则当平面ADB⊥平面ABC 时，CD＝
．
8．如图，在面内有线段
1
AB 和
2
BC 
，且
,
AB
BC CD

面，
3
CD 
，则A D
､
之间的距离
为
．
9．如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ABB A 平面
1
1
1
1
1
π
,
,
4,
2,
2
AB C BB
AB AB
AA
AB
BAC






.
(1)证明：AC 平面
1
1
ABB A ；
(2)若直线BC 与
1
1
B C 距离为3，求平面
1
1
ABB A 与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值.
10．已知三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
AAC C 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
1
AA
B C

，若
1
1
1
1
1
60
1
2.
AC C
AC
CC
B C






,
,
(1)求证：
1
1
B C
AC

；
(2)求
1
AB 与平面
1
1
B C CB所成角的正弦值.
题型六：折叠与垂直问题
1.如图，在等腰梯形ABCD，
//
AB CD ，
2
2
2
AB
CD
AD



，
60
ABC


.将ACD

沿着AC 翻折，使得
点D 到点P ，且

AP
BC .
（1）求证：平面APC 平面ABC ；
（2）求点C 到平面APB 的距离.
2.如图1，在直角梯形ABCD中，
/ /
AB
CD ，AB
AD

，且
1
1
2
AB
AD
CD


，现以AD 为一边向梯形外
作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ED
DC

，M 为ED 的中点，如图2．
（1）求证：
/ /
AM
平面BEC ；
（2）求证：平面BCE 平面BDE ；
3.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E，F 分别为线段AD，BC 上的点，且满足AB
CD
EF
∥
∥
，
2
4
4
AB
EF
CD


，AB
BC

，
45
A

．将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C，D 分别到
1
C ，
1
D 的位置，
并且
1
3
BC 
，如图乙．
（1）求证：
1
1
ED
BC

；
（2）求点E 到平面
1
1
ABC D 的距离．
4.（多选）菱形ABCD 中，
2
AB 
，
60
BAD


，将
ABD
△
沿对角线BD 翻折到
PBD
△
位置，连结PC，
得到三棱锥P
BCD

，则（
）
A．PC
BD

B．存在某个位置，使PB
CD

C．三棱锥P
BCD

的体积最大值为3
D．存在某个位置，使PC 平面BCD
5.（多选）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM

沿直线AM 翻折成
1
AB M

，连结
1
B D ，N 为
1
B D
的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（
）
A．存在某个位置，使得
1
CN
AB

B．翻折过程中，CN 的长是定值
C．若AB
BM

，则
1
AM
B D

D．若
1
AB
BM

，当三棱锥
1B
AMD

的体积最大时，三棱锥
1B
AMD

的外接球的表面积是4π
题型七：动点问题在面面垂直中的探究
1.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
被平面
1
1
A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，
1
BB 平面ABC ，
90
ABC


，
1
BC
BB

，E 为棱
1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交
1AC 于点F ．
（1）求证：AB 平面
1B BC ；
（2）求证：
//
EF AB ；
（3）试问是否存在点E ，使得平面ABE 平面
1
1
A B C ？并说明理由．
2.如图：
2
AD 
，
4
AB 
的长方形ABCD所在平面与正PAD

所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD
的中点．
（1）求证：
/ /
PA
平面MBD ；
（2）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并
证明你的结论；若不存在，请说明理由．
3.如图示，边长为4 的正方形ABCD与正三角形ADP 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．
（1）求证：
/ /
PA
面BDM ；
（2）求多面体P
ABCD

的体积；
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面PCN 面PQB ？若存在，指出N 的位置，若不存在，请
说明理由．
4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为AB 和DD1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD1；
（2）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面MEF⊥平面BCD1？若存在，求出
1
1
C M
D M 的值；若不存在，请说明
理由．
5.如图，已知在四棱锥S
ABCD

中，底面ABCD是平行四边形，AC
BC

，
60
ABC


，
=4
SA
SB
SC


，
90
ASB


.
（1）求SC 与平面SAB 所成的角的正弦值；
（2）棱SC 上是否存在点M ，使得平面MAB 平面SCD ？若存在，求SM 的值；若不存在，请说明理由．
题型八：由二面角大小求线段长度或距离
1．已知正方形ABCD的边长为1，现将ACD

沿对角线AC 向上翻折，使得二面角D
AC
B


的夹角为π
3 ，
则点D 到平面ABC 的距离为（
）
A．
2
2
B．
6
4
C．
2
4
D．1
4
2．已知菱形ABCD的边长为2，
60
ABC


.将菱形沿对角线AC 折叠成大小为60°的二面角B
AC
D


.
设E 为B C

的中点，F 为三棱锥B
ACD

表面上动点，且总满足AC
EF

，则点F 轨迹的长度为（
）
A．3 3
2
B．
3
2
C．3 3
D．
3
3．已知二面角
l



为60°，点A


，AC
l
，C 为垂足，点B


，BD
l
，D 为垂足，且
3
AC 
，
1
CD ，
2
DB 则线段AB 的长度为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
4．已知二面角
l



为60，点P 、Q 分别在、内且PQ
l
，P 到的距离为3 ，Q 到的距离
为
3
2
, 则PQ 两点之间的距离为（
）
A．
3
B．1
C．2
D．
2
5．在45的二面角的一个面上有一点P ，它到棱的距离等于
2 ，则点P 到另一个平面的距离为
．
6．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直
道向上100 米后，升高了
米．
题型九：空间垂直的转化思想
1．如图，在四面体SABC 中，已知SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，求：
(1)BC 与平面SAB 所成的角；
(2)SC 与平面ABC 所成角的正弦值．
2．如图，在四面体PACD 中，平面PAC 平面ADC，
90 ,
4,
60
APC
ADC
AC
DAC







，
45 ,
,
PAC
E F



分别为
,
AP CP 的中点，
1
4
CG
CD

，
1
4
AH
AD

.
(1)求证：点H 在平面EFG 内；
(2)求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．
3．如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为a 的正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
2
2
PA
PD
a


，设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．
(1)证明：直线
//
EF
平面PAD ；
(2)求直线PB 与平面ABCD所成的角的正切值．
4．如图，已知四棱锥P
ABCD

的底面ABCD是菱形，
60
BCD


，PBC

是边长为2 的正三角形，平
面PBC 平面ABCD，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，
3
AP
AF

.
(1)证明：PC∥平面BEF ；
(2)求三棱锥C
BEF

的体积.
5．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长是2，D 是侧棱
1
CC 的中点，直线AD 与侧面
1
1
BB C C 所成
的角为45.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C 的正切值.
模块三：综合巩固
1.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，二面角
1A
BC
A


的余弦值为（
）
A．
1
2
B．2
3
C．
2
2
D．
3
2
2.过正方形ABCD的顶点A 作AP 平面ABCD，且AP
AB

，则二面角P
CD
A


的大小是（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.设二面角
l



的大小为45°，A 为棱上一点，AB 在内与l 成45°角，则AB 与平面所成角的大
小为_____．
4.如图，若PA 平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，PA
AB

，则二面角P
BC
A


的大小为______.
5.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
6．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B


的平面角，并说明理由.
7．如图，正三棱锥S
ABC

中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A


的大小；
(3)正三棱锥S
ABC

的体积．
8．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
2
1
AB
AF


，
，M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM // 平面BDE；
(2)求证：

AM
平面BDF；
(3)求二面角A
DF
B


的大小．
9．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱
1
CC
上的点，且
1
2
CN
C N

．
(1)求二面角
1B
AM
N


的平面角的余弦值；
(2)求点
1
B 到平面AMN 的距离．
10．如图，四棱锥S
ABCD

的底面是边长为1 的正方形，SD 垂直于底面
,
3
ABCD SB 
．
(1)求证：BC
SC

；
(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM 与SB 所成的角的大小．
11.设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
12.设m，n 是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（
）
A．若m

∥
且m


，则


B．若m


，n


，


，则直线m 与n 相交或异面
C．若m


，n

∥
，


，则直线m 与n 一定垂直
D．若m


，n


，

∥
，则m 与n 异面或平行
13.已知直线m
n
，与平面


，，，则能使


成立的一个充分条件是（
）
A．





，
B．
,
,
m n
m n







C．
,
,
m
n m
n





D．m ∥，m


14.l ，m 是空间两条直线，，是空间两个平面，则（
）
A．//
l
m ，l ，m


，则
/ /


B．l
m

，l ，m


，则


C．


，//
l ，
/ /
m
，则l
m

D．l


，//
l
m ，m


，则


15.在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC



，
60
BAC


，F 为棱PC 上一点，满足
AF
PC

于F．求证：平面ABF 平面PBC ；
16.如图所示，圆锥的高
2
PO 
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R

，分别过点A，C
作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．证明：平面PDE 平面POD ；
17.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD//QA ，
1
2
QA
AB
PD


．证明：平面PQC 
平面DCQ ．
18.如图，在正四棱锥P
ABCD

中，侧棱长为
3 ，底面边长为2，点E，F 分别为CD，CB 中点．求证：
（1）PA
EF

；
（2）平面PAD 平面PBC．
19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
π
3
BAD


，
2
2
BD
DE
BF



，DE
AC

，
BF
DE

．
(1)求证：平面ACF 平面BDEF ；
(2)当BF
CD
⊥
时，求三棱锥D
ACF

的体积．
20．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD
＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD.当C′D＝
2 时，求证：平
面C′AB⊥平面DAB.
21．如图所示，在矩形ABCD中，已知
1
2
AB
AD

，E 是AD 的中点，沿BE 将ABE

折起至A BE


的位置，
使AC
A D



.求证：平面A BE

平面BCDE .
22．如图几何体中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，

AE
平面ABC ，若
/ /
/ /
AE
CD
BF ，
5
AE ，
4
CD 
，
3
BF 
．
(1)求证：平面DEF 平面AEFB ；
(2)求该几何体的体积．
23．如图，在多面体ABCDE 中，A，B，E，D 四点共面，DA
ABC
平面
，
2
AB
AC


，
2
2
DA 
，
3
EB 
，
BE
DE

，F 为BC 的中点．
(1)求证：平面ADF 平面BCE；
(2)求点E 到平面ABC 的距离．
24．如图，在平行四边形ABCM 中，
3
AB
AC


，
90
ACM


，以AC 为折痕将
ACM
△
折起，使点M
到达点D 的位置，且AB
DA

．
(1)证明：平面ACD 平面ABC；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且
2
3
BP
DQ
DA


，求三棱锥Q
ABP

．
25．如图，在平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，
,
/ /
PA
AB CD

AB ，且
2
4
PA
CD
AB



.将此平
面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P
DC
B


，连接
,
,
PA PB BD .证明：平面PBD 平面PBC .
26．如图在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
1
2
PA
PD
BD


，设
,
E F 分别为
,
PC BD 的中点．
(1)求证：平面PAB 平面PDC ；
(2)求直线EF 与平面ABCD所成角的大小．
27．如图，在三棱锥A
BCD

中，AB 平面BCD，平面ABC 平面ABD ，AC
AD

，AB
BD

．
(1)证明：BC
BD

；
(2)求二面角A
CD
B


的正切值．
28．如图，在棱长均为6 的三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D、
1
D 分别是BC 和
1
1
B C 的中点．
(1)求证：
1
1 / /
A D
平面
1
AB D ；
(2)若平面ABC 平面
1
1
BCC B ，
1
60
B BC


，求三棱锥
1
B
ABC

的体积．
29．在三棱锥A
BCD

中，
,
,
AB
AD CB
CD O


为BD 的中点.
(1)证明：BD ⊥平面OAC .
(2)若
2
AB
BC
BD



，平面ABD 平面BCD，求点B 到平面ACD 的距离.
30.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平
面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
31.在如图1 所示的等腰梯形CDEF 中，
2,
2
2 2
DE
CD
EF




，将它沿着两条高
,
AD BC 折叠成如图2
所示的四棱锥E
ABCD

（
,
E F 重合），点
,
M N 分别为线段
,
AB DE 的中点.
（1）证明：MN∥平面BEC ；
（2）求证：平面BEC 平面DEA.
32.点D 是Rt ABC

斜边AB 上一动点，
3
AC 
，
4
BC 
，将BCD

沿着CD 翻折，翻折后的三角形为
B CD

△
，
且平面B DC

平面ADC ，则翻折后AB的最小值是（
）
A．
21
B．13
C．2 2
D．
7
33.如图，在三棱台ABC­DEF 中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE 上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G 点的
位置；若不存在，请说明理由．
34.如图，在四棱锥S
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，
SAD
△
为等腰直角三角形，
2 2
SA
SD


，
=2
AB
，
F 是BC 的中点．
（1）在AD 上是否存在点E，使得平面SEF 平面ABCD，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明
理由．
（2）
SBC
△
为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值．
35．已知菱形ABCD边长为1，
DAB
60


，将这个菱形沿AC 折成60的二面角，则
,
B D 两点的距离
为
.
36．如图，三棱锥

P
ABC 中，PA 底面ABC，AB
BC

，
2
AC 
，
1
BC ，点M 满足


0
1
PM
PB







，
N 是PC 的中点．
(1)请写出一个的值使得
/ /
BC
平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角P
BC
A


大小为45°，且
2
3

，求点M 到平面PAC 的距离．
37．如图所示，在五棱锥E
ABCDF

中，侧面AEF 底面ABC ，
AEF
△
是边长为2 的正三角形，四边形
ABDF 为正方形，BC
CD

，且BC
CD

，G 是
AEF
△
的重心，O是正方形ABDF 的中心.
(1)求证：
//
OG
平面BCE ；
(2)求二面角B
AE
D


的余弦值.
图8
专题1：立体几何展开图与最短路径问题
模块一：基础知识
考点一：展开图
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
考点二：弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，
)
2
0
(





或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长
180
r
n
l


r
l


扇形的面积
360
2
r
n
S


2
2
1
2
1
r
lr
S



考点三：最短路径问题解题思路
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直
线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。
考点四：长方体最短路径结论
在长方体的长、宽、高中，最长的棱作为一条直角边，较短的两条棱之和作为另一条直角边，所得的
斜边长即为“斜对顶点”的表面最短路线长.
证明：已知，如图8，是一个长方体，其长、宽、高分别为x 、y 、z ，并记：
2
2
2
2
2
1
(
)
2
l
x
y
z
x
y
z
yz







；
2
2
2
2
2
2
(
)
2
l
y
x
z
x
y
z
xz







；
2
2
2
2
2
3
(
)
2
l
z
x
y
x
y
z
xy







.
若
0
x
y


，
0
x
z


，则有xz
yz

，xy
yz

，从而1
2
l
l

，1
3
l
l

；
若
0
y
x


，
0
y
z


，则有xy
xz

，yz
xz

，从而2
1
l
l

，2
3
l
l

；
若
0
z
x


，
0
z
y


，则有xz
xy

，zy
xy

，从而3
2
l
l

，3
1
l
l

．
由此，我们得到了长方体中两个
．．．．．．“．斜对顶点
．．．．”．的表面最短路线长问题的求解公式
．．．．．．．．．．．．．．．：
如果用a、b、c 分别表示经过长方体同一个顶点的三条棱长，且
,
a
b a
c


，那么“斜对顶点”的表
面最短路线长
2
2
(
)
l
a
b
c



．
特别的，当a
b
c


，即图形是正方体时，根据上述求解公式我们还可以得到：
推论：如果一个正方体的棱长为a ，那么它的两个“斜对顶点”的表面最短路线长
5
l
a

．
模块二：题型分类
题型一：展开图问题
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（
）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
2.如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1 格、第2 格、第3 格、
第4 格、第5 格，这时小正方体朝上面的字是__________．
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是_______.
①�与�
②�与�
③�与�
④�与�
4.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（
）
A．
B．
C．
D．
题型二：长方体最短路径
1.正方体的棱长为5，一只蚂蚁要从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C1 处，请你求出蚂蚁需要
爬行的最短路程的长．
2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（
）．
A．5 21
B．25
C．10 5
5

D．35
3.已知长方体����−�1�1�1�1中，��= 5，��1 = 4，��= 3，从点A 出发沿着表面运动到�1的最短路
线长是______．
题型三：其他棱柱最短路径
1.如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB 
，
1
2
AA 
，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱
1
AA )到达顶点
1
C ，与
1
AA 的交点记为M ，则从点B 经点M 到
1
C 的最短路线长为（
）
A．2 2
B．2 5
C．4
D．4 5
A
5
20
10
C
B
5
20
15
10
C
A
B
2.已知正六棱柱
1
1
1
1
1
1
ABCDEF
A B C D E F

的底面边长为
3 ，侧棱长为1，则动点从A 沿侧面移到点
1
D 时的
最短的路程是多长？
3.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为2，高为5，从点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
1A 点
的最短路线长度为______.
题型四：圆锥最短路径
1.如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的
中点C，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．2 5
B．2 3
C．4 2
D．2 3
2.已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发
点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．
3.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬
行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3 ，则这个圆锥的体积为（
）
A．128 2π
81
B．32 35π
27
C．15π
3
D．8 3
3
题型五：棱锥最短路径
1.如图，在正三棱锥

P
ABC 中，
30
APB
BPC
CPA




，
4
PA
PB
PC



，一只虫子从A 点出发，
绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.
2.已知正四棱锥P
ABCD

的侧棱长为4，且
30
APB


，若一只蚂蚁从点A 出发沿着该四棱锥的侧面爬
行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为____.
3.如图，正三棱锥V
ABC

中，
2,
2
AB
BC
AC
VA
VB
VC






，点
,
M N 分别为
,
VA BC 的中点，一
只蚂蚁从点M 出发，沿三棱锥侧面爬行到点N ，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
4.空间四边形����的各边与两条对角线的长都为1，点�在边��上移动，点�在边��上移动，则点�，�
的最短距离为______．
5.在正四棱锥�−����中，��= ��= 4，�为��的中点，�为��的中点，则从点�沿着四棱锥的表面到
点�的最短路径的长度为（
）
A．2 7
B．2 6
C．4
D．3
题型六：圆柱最短路径
1.如图，已知圆柱底面圆的半径为2
，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线.若一只小虫
从A 点出发，从侧面爬行到C 点则小虫爬行路线的最短长度是（
）.
A．2
B．2 2
C．3
D．3 3
2.如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB


，则在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路
径的长度为_______.
3.在①
6
AD 
；②四边形ABCD 的面积为24；③四边形ABCD的周长为20；这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并作答，
如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，
4
AB 
，且__________．
（1）求该圆柱的体积：
（2）若用一细绳从点A 绕圆柱一周后到达D 处（如图），求细绳的最短长度．
题型七：台体中最短路径问题
1.（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为�上= 1，�下= 2，母线��长为2，点�
为��的中点，则（
）
A．圆台的体积为
7 3
3 π
B．圆台的侧面积为12π
C．圆台母线��与底面所成角为60°
D．在圆台的侧面上，从点�到点�的最短路径长为4
2.如图，在直角梯形ABCD中，AB CD ，AB BC ，
2
2
AB
CD


，
3
AD 
，以BC 边所在的直线为
轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点A ，求蚂蚁爬行的最短距离．
3.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1
1
r ，2
2
r 
，母线AB 长为2，E 为AB 的中点．
（1）求圆台的体积与侧面积之比；．
（2）在圆台的侧面上，求从点C 到点E 的最短路径长．
题型八：周长最小问题
1.在直三棱柱���−�1�1�1中，��1 = 3，��= ��= 1，��=
2，E 是棱��1上的一点，则△�1��的周
长的最小值为（
）
A．11 + 3
B．11 + 2 3
C．11 +
13
D．11 +
14
2.如图，棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段B1C
上动点，则△PEQ 周长的最小值为（
）
A．2 2 B．10 C．11 D．2 3
3.如图，在正三棱柱�1�1�1 −���中，AB＝2，��1＝2 3，D，F 分别是棱AB，��1的中点，E 为棱AC 上
的动点，则△DEF 周长的最小值为_____．
题型九：线段和最小问题
1.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为（
）
A．3
B．2 3 C．3 2 D．5
2.如图，在棱长为1 的正方体中����−�1�1�1�1，若点�, �分别为线段��1，��1上的动点，点�为底面
����上的动点，则��+ ��的最小值为（
）
A．
2
3B．
2
2
C．
3+1
3
D．1
3.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为________
4.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��1 ⊥底面���，∠���= 90°，��= 6, ��= ��1 =
2, �是��1上一动
点，则��+ ��1的最小值是_______．
模块三：综合巩固
1.如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？
2.将3 个6cm×6cm 的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所
示，将这6 个部分接入一个边长为3 2cm 的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边
折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______cm3.
3.长方体����−�1�1�1�1中，��= 2，��= 4，��1 = 1，则一只小虫从�点沿长方体的表面爬到�1点
的最短距离是___________．
4.如图，正三棱柱���−�1�1�1的底面是边长为3 的正三角形，侧棱��1 = 4，一小虫从点A 途经三个侧
面爬到点�1，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．4
B．5
C．97 D．153
5.如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点
M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离__（用x 表示）．
6.如图，在三棱锥�−���中，��⊥平面���, ��= 4 米，��= 3 米，��与底面���所成角的正切值为2.
已知蚂蚁从点�出发，沿着侧面���走到��上的一点，再沿着侧面���继续走到棱��上，则这只蚂蚁从点
�出发到达棱��的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与��的交点到底面���的距离为______米.
7.已知圆柱底面圆的半径为1，高为3，矩形ABCD 为圆柱的轴截面，一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行一
圈半到达C 点，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
8.有一根高为3，底面半径为1 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个端点落
在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
9.如图圆台
1
2
O O ，在轴截面ABCD中，
1
AB
AD
BC


，且
2
CD
AB

．
（1）求圆台的体积；
（2）求沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离；
10.如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径
1
4cm
O A 
，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半
径为2cm ，这个平面与母线OA交于点B ，线段AB 的长为8cm .
（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始沿着侧面绕一圈到点A ，求这根绳最短时的长度.
11.如图，����−�'�'�'�'为正方体，任作平面�与对角线��'垂直，使得�与正方体的每个面都有公共点，
记这样得到的截面多边形的面积为�，周长为�，则（
）
A．�为定值，�不为定值
B．�不为定值，�为定值
C．�与�均为定值
D．�与�均不为定值
12.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.
现有阳马�−����，��⊥平面����，��= 1，��= 3，��=
3，��上有一点E，使截面���的周长最
短，则��与��所成角的余弦值等于（
）
A．−
2
4
B．−
2
5
C．
2
5D．
2
4
13.如图，在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，�, �分别为棱�1�1, �1�1的中点，若点�, �, �分别为
线段��1, ��, ��1上的动点，则��+ ��的最小值为_____．
14.已知，如图，正方体����−�1�1�1�1棱长为1，�为�1�上的动点，则��+ ��1的最小值为__________.
15.在长方体����−�1�1�1�1中，棱��= 6，��= ��1 =
2，点�是线段��1上的一动点，则��+ ��1
的最小值是___________
专题2：立体几何截面问题
模块一：基础知识
考点一：有关截面的概念
在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），
此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
考点二：截面的的画法
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．
（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
考点三：正方体中的基本截面类型
考点四：圆柱体的基本截面
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
考点五：做截面练习
如下图E、F 是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：
1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；
2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，
只要在棱上就可以。
方法一：相交法，做法如图
方法二：平行线法。做法如图
模块二：题型分类
题型一：作截面图形
1.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的棱长为6，M 是
1
1
A B 的中点，点N 在棱
1
CC 上，且
1
2
CN
NC

.作出过点
D，M，N 的平面截正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

所得的截面，写出作法；
2.已知四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为直角梯形，PA 平面ABCD，AD
BC
∥
，AB
AD

，
4
PA
AD


，
2
BA
BC


，M 为PA 中点，过C，D，M 的平面截四棱锥P
ABCD

所得的截面为．若与棱PB交于点
F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F 的位置；
3.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F，G 分别为
1
1
1
1
1
,
,
A B BB C D 的中点.过BG 作该正方
体的截面，使得该截面与平面
1
C EF 平行，写出作法，并说明理由；
4.如图所示，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，底面ABCD 是等腰梯形，AB
CD
∥
，
2
AB
CD

，
60
BAD


，
四边形
1
1
CDD C 是正方形．指出棱
1
CC 与平面
1
ADB 的交点E 的位置（无需证明），并在图中将平面
1
ADB
截
该四棱柱所得的截面补充完整；
题型二：截面形状的判断
1.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，
且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，正四棱锥P
ABCD

的高为12，
6 2
AB 
，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的
截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD
为主视图方向，则几何体
CDAB
FME

的俯视图为（
）
A．
B．
C．
D．
3.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
, ,
P Q E F 分别是
1
1
1
1
,
,
,
AB AD B C C D 的中点，则正方体的过
,
, ,
P Q E F 的截面
图形的形状是（
）
A．正方形
B．平行四边形
C．正五边形
D．正六边形
4.（多选）用一个平面去截正方体，则截面可能是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．正方形
D．正六边形
5.（多选）用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（
）
A．长方体
B．圆台
C．四棱台
D．正四面体
6.在正方体
1
AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段
1
CC 上一动点（不含C）过M、N、P 与正方体
的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P 为
1
CC 中点时，截面为六边形；②当
1
1
2
CP
CC 
时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
题型三：平行关系确定截面
1.在三棱锥A
BCD

中，AB
CD
a


，截面MNPQ与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（
）
A．2a
B．4a
C．a
D．无法确定
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．4 条
4.如图是一个以A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，
CC1=3.在边AB 上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
题型四：垂直关系确定的截面
1.已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)
1
1
1
ABC
A B C

的体积为6 3 ，
2 3
AB 
，D 是
1
1
B C 的中点，点P
是线段
1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面与AP 交于点E ，则三棱锥P
BCE

的体积的最小值为
A．
3
2
B．3
2
C．2
D．5
2
2.如图，ABCD
A B C D


为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，
记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（
）
A．S 为定值，l 不为定值
B．S 不为定值，l 为定值
C．S 与l 均为定值
D．S 与l 均不为定值
3.(多选)正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

，的棱长为4，已知
1
AC 平面α，
1
AC


，则关于α､β截此正方体所得截
面的判断正确的是（
）
A．α截得的截面形状可能为正三角形
B．
1
AA 与截面α所成角的余弦值为
6
3
C．α截得的截面形状可能为正六边形
D．β截得的截面形状可能为正方形
4.(多选)已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2，M 为
1
AA 的中点，平面过点
1
D 且与CM 垂直，则（
）
A．CM
BD

B．
//
BD 平面
C．平面
1
//
C BD
平面
D．平面截正方体所得的截面面积为9
2
题型五：截面周长问题
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F 分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F 作一截
面，则截面的周长为（
）
A．2+2
5
B．
2
2 5
13
3

C．2 5
13

D．
13
2 5
2

2.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的棱长为2，E 是侧棱
1
AA 的中点，则平面
1
B CE 截正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

所得的截面图形的周长是________.
3.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
4
AB 
，E 为棱BC 的中点，F 为棱
1
1
A D 的四等分点（靠近点
1
D ），
过点
,
,
A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
4.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

，中，点E 为CD 的中点，则过点C 且与
1B E 垂直的平面
被正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

截得的截面周长为_________．
5.在棱长为1的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E ，F 分别为棱AB ，
1
1
C D 的中点，G 为棱
1
CC 靠近C 点的三
等分点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则截面图形的周长为
A．13
2 2
3

B．10
2 2
3

C．13
2 2
6

D．14
3
6.（多选）在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，M 为底面ABCD 的中心，
1
1
1
D Q
D A




，


0,1

，
N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的是（
）
A．CN 与QM 共面
B．三棱锥A
DMN

的体积跟的取值有关
C．当
1
3

时，过A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为4 2
2 13
3

D．
1
4

时，AM
QM

题型六：截面面积问题
1.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2，E 是棱
1
DD 的中点，则平面
1
AC E 截该正方体所得的截面面积为
（
）
A．5
B．2 5
C．4 6
D．2 6
2.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E 是棱
1
1
B C 的中点，则过B、E、
1
D 三点的平面截正方体所得
的截面图形的面积为（
）
A．5
B．
6
C．2 6
D．4 6
3.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
1
2
4
BE
BB


，
1
4
3
AB
AA

，则该四棱柱被过点
1A ，C，E 的平面截
得的截面面积为______.
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，棱长为3，E 为棱
1
BB 上靠近
1
B 的三等分点，则平面
1
AED 截正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的截面面积为（
）
A．2 11
B．4 11
C．2 22
D．4 22
5.已知正四棱锥S
ABCD

的底面边长为2，侧棱长为2 2 ，SC 的中点为E，过点E 做与SC 垂直的平面，
则平面截正四棱锥S
ABCD

所得的截面面积为（
）
A．4 3
3
B．4 6
3
C．4 2
3
D．8
3
6.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，底面边长是2，高是1，过底面一边AB 作与底面ABC 成60角的截面，则
其面积是___________.
7.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，PA⊥底面ABCD，
3
PA 
.过点A 作与棱PC 垂
直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD 截平面α所得截面的面积为___________.
题型七：球截面问题
1.三棱锥A-BCD 的四个顶点都在表面积为16的球O 上，点A 在平面BCD 的射影是线段BC 的中点，
2 3
AB
BC


，则平面BCD 被球O 截得的截面面积为（
）
A．2 3
B．3
C．4
D．3 3
2.（多选）已知正四面体ABCD的棱长为2 6 ．点E，F 满足
,
BC
BE BD
BF







，用过A，E，F 三点的
平面截正四面体ABCD的外接球O，当
[1,3]

时，截面的面积可能为（
）
A．6π
B．7π
C．8π
D．9π
3.已知球O 是正三棱锥A
BCD

（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，
6
BC 
，
4 3
AB 
，点E 在线段BD 上，且
3
BD
BE

.过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（
）
A．3
B．4
C．8
D．9
4.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

的各棱长均为2，D 为棱AB 的中点，则过点D 的平面截该三棱柱外接球所得
截面面积的取值范围为___________.
5.在正四棱锥P
ABCD

中，
4,
2 6
AB
PA


，则平面PAB 截四棱锥P
ABCD

外接球的截面面积是
__________.
题型八：截面分体积
1.已知正四棱柱中
1
1
AC 、
1
1
B D 的交点为
1
O ，AC、BD 的交点为
2
O ，连接
1
2
O O ，点O 为
1
2
O O 的中点.过点O 且
与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1 和10 ，则正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的体积为______________.
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别是棱
1
1
B C ，
1
1
C D 的中点，则正方体被截面BEFD 分成两部分的体积
之比为___________.
3.如图所示，在长方体ABCD
A B C D


中，用截面截下一个棱锥C
A DD




则棱锥C
A DD




的体积与剩
余部分的体积之比为（
）
A．1：5
B．1：4
C．1：3
D．1：2
4.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 底面ABC，
1
AB
BC
CA
AA



，点D 是棱
1
AA 上的点，
1
1
4
AD
AA

，
若截面
1
BDC 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（
）
A．1:2
B．4:5
C．4:9
D．5:7
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的一个截面经过顶点
,
A C 及棱
1
1
A B 上一点K ，截面将正方体分成体积比为
2:1的两部分，则
1
1
A K
KB 的值为（
）
A．2
3
B．
5
1
2

C．
5
1
2

D．3
5
2
-
6.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 是棱
1
CC 的中点，过
1
,
,
A D E 三点的截面把正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（
）
A．17
7
B．13
7
C．7
3
D．7
4
7.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F 分别为棱BC，
1
CC 的中点，过点A，E，F 作一截面，该截面
将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（
）
A．2
B．15
7
C．17
7
D．19
7
8.矩形ABCD 中，
3,
1
AB
AD

（如图1），将
DAC
△
沿AC 折到
1
D AC

的位置，点
1
D 在平面ABC 上的射
影E 在AB 边上，连结
1
D B （如图2）.
（1）证明：
1
AD
BC

；
（2）过
1
D E 的平面与BC 平行，作出该平面截三棱锥
1
D
ABC

所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱
锥所得两部分的体积分别为
1
2
1
2
,
,
V V V
V

，求
1
2
V
V .
题型九：曲线形截面
1.如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为

0
90




的平面所截，截面是一个椭圆，当
为30°时，这个椭圆的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．1
3
D．
3
3
2.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面
截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.
图②，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中
点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，
则该曲线为____________，
,
M N 是该曲线上的两点且
//
MN
CD ，若MN 经过点F ，则MN __________.
3.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆
锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点
1F ，
2
F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个
球相切于点
,
M N .由球和圆的几何性质可知，
1
PN
PF

，
2
PM
PF

.已知两球半径分为别1和3 ，椭圆的离
心率为
2
2
，则两球的球心距离为_______________.
4.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过
研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个
大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任
取一点A，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，
于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲
线是以E，F 为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知
1
2
A A
是椭圆的长轴，
1
PA 垂直于桌面且与球相切，
1
5
PA 
，则椭圆的离心率为__________．
题型十：截面最值
1.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
2
BB
AB
BC


，点E 在线段
1
CC 上，


1
0
1
EC
CC





，平面过线
段
1
AA 的中点以及点
1,
B E ，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（
）
A．

0,1
B．1 1
,
4 2






C．1 2
,
2 3






D．1 ,1
2






2.在如图所示的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
4
AA 
，AB
AC

，过点
1A 作平面分别交棱AB ，AC 于点D ，
E ，且AF
DE

，
1
60
AA F


°，则截面
1A DE
△
面积的最小值为（
）
A．16 3
B．32 3
C．36 3
D．48 3
3.如图所示，在长方
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
3,
4,
5
AB
AD
AA



，点E 是棱
1
CC 上的一个动点，若平面
1
BED
交棱
1
AA 于点F，则四棱锥
1
1
B
BED F

的体积为___________，截面四边形
1
BED F 的周长的最小值为
___________.
题型十一：截面类综合问题
1.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2 ，设P 为BC 中点，Q 为线段
1
CC 上的动点，
(0
2)
CQ
t
t


，过点A ，
P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为.S 以下结论正确的有___________.(填上所有正确的说法的序号)
①S不可能是菱形；
②S可能是五边形；
③ 
1
t 时，S的面积为9
2 ；
④
3
2
t 
时，S将棱
1
1
C D 截成长度比为2:1的两部分.
2.（多选）正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1 的中点.则（
）
A．直线D1D 与直线AF 垂直
B．直线A1G 与平面AEF 平行
C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
D．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等
3.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2（如图所示），点M 为线段
1
CC （含端点）上的动点，
由点A，
1
D ，M 确定的平面为，则下列说法正确的是（
）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M 运动过程中，三棱锥
1
1
A
AD M

的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为4 2
D．三棱锥
1
1
A
AD M

的外接球表面积的取值范围为41π,12π
4






4.（多选）在正方体ABCD—
1
1
1
1
D
C
B
A
中，
1
2
AA 
，点P 在线段
1
BC 上运动，点Q 在线段
1
AA 上运动，则
下列说法中正确的有(
)
A．当P 为
1
BC 中点时，三棱锥P-
1
ABB 的外接球半径为
2
B．线段PQ 长度的最小值为2
C．三棱锥
1
D -APC 的体积为定值
D．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
模块三：综合巩固
1.如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P
ABCD

中，平面MNGH 与直线PB和直线AC 平行，点E 为PD
的中点，点F 在CD 上，且
:
1: 2
DF FC 
.
（1）求证：四边形MNGH 是平行四边形；
（2）求作过EF 作四棱锥P
ABCD

的截面，使PB 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定
义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
2.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F，G 分别为
1
1
A B ，
1
BB ，
1
1
C D 的中点.过BG 作该正
方体的截面，使得该截面与平面
1
C EF 平行，写出作法，并说明理由；
3.（多选）用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（
）
A．直角三角形
B．直角梯形
C．正五边形
D．正六边形
4.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
M N 分别为
1
1
A D ，
1
1
A B 的中点，过直线BD 的平面//平
面AMN ，则平面截该正方体所得截面为（
）
A．三角形
B．五边形
C．平行四边形
D．等腰梯形
5.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2，点P 在线段
1
CB 上，且
1
2
B P
PC

，平面经过点
1
, ,
A P C ，则
正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

被平面截得的截面为___________，其面积为___________.
6.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，点P 是线段
1
AD 上的动点，给出以下四个结论：
①
1
1
PC
B C

；
②三棱锥
1
1
B
PBC

体积为定值；
③当
1
1
2
AP
PD

时，过P，D，C 三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q 是对角线
1
AC 上一点，则PQ＋QC 长度的最小值为4
3 ．
其中正确的序号是______．
7.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1
2
AB
A B

，
1
2 3
AA 
，M 为棱
1
1
B C 的中点，当正四棱台的体积最大
时，平面MBD 截该正四棱台的截面面积是__________.
8.如图，空间四边形ABCD的边AD ，BC 成60的角，且AD
a

，BC
b

，平行于AD 与BC 的截面分别
交AB ，AC ，CD ，BD于
,
,
,
E F G H ，则截面EHGF 面积的最大值为______.
9.已知三棱锥A
BCD

的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面经过棱AB ，AC ，AD 的中
点，若平面截三棱锥A
BCD

和球O 所得的截面面积分别为
1S ，
2
S ，则
1
2
S
S （
）
A．3 3
8
B．3 3
16
C．3
8
D．
3
64
10.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3 的球O 上，
当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（
）
A．
B．4
C．8
D．9
11.已知球O 是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB= 2 3 ，
点E 在线段BD 上，且BD=3BE．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
12.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
1
2
AA 
，D 为AC 上的点，过
1A ，
1
B ，D 的截面交BC 于E
（1）证明：
/ /
DE
AB ；
（2）若二面角
1B
DE
B


的大小为60，求几何体
1
1
1
CDE
A B C

的体积.
13.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点P 是棱AB 上的动点，过
1
1
A
C
，
，P 三点作正方体的
截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25 的两部分，则该截面的周长为（
）
A．3
5 2
2

B．
3 2
3
2

C．
3 2
5
2

D．
5 2
5
2

专题3：立体几何外接球问题
模块一：基础知识
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式
1、空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
2、空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
3、球的表面积：S＝4πR
2
4、球的体积：V＝4
3
πR
3
考点二：常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a
2＋b
2＋c
2
2、正方体的外接球：正方体的棱长为�，外接球半径为R，则2�=
3�
长方体的外接球
正方体的外接球
3.直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
直棱柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R








，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径�=
6
4 �.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为�，外接球半径�=
2
2 �
（3）侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（
2
2
2
2
r
PA
R








，其中r 为底面外接圆的半径，PA 为棱锥垂直
于底面的棱）
5、圆柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R








，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）
考点三：多边形外接圆半径
1、正（长）方形：半径等于对角线的一半
2、等边三角形：半径等于三分之二高
3、直角三角形：半径等于斜边的一半
4、一般的三角形：正弦定理
2 (
sin
a
r
A 
通用）
模块二：题型分类
题型一：长方体的外接球
1.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（
）
A．
3 π
2
B．3π
4
C．3π
D．12π
2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（
）
A．9π
2
B．3 3π
C．9
D．27π
3.已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4 则球O的表面
积是__________
4.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2, 3, 6 ，这个长方体外接球的面积是（
）
A．6π
B．4π
C．12π
D．24π
5.已知球
1
O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球
2
O ，则球
1
O 与球
2
O 的表面积之比为（
）
A．2：3
B．3：2
C．
2 :
3
D．3 :
2
6.已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.
题型二：直棱柱的外接球
1．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
90
AB
BC
AA
ABC





，则此直三棱柱的外接球的体积是
___________.
2.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
4,
3,
12,
90
AC
AB
AA
BAC





，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积是（
）
A．125π
B．144π
C．169π
D．244π
3.设直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且
1,
120
AB
AC
AA
BAC




，
则该直三棱柱的体积是（
）
A．4 6
B．4 6
3
C．2 6
D．2 6
3
4.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB 
，
2 3
AC 
，
2 6
BC 
，
1
4
AA 
，则该直三棱柱的外接球的表面
积为_________ .
5.一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为10 ，则球O的体积为
（
）
A．16π
B．32π
3
C．10
D．28π
3
6.如图，在矩形ABCD中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，
2
BC 
，
1
AF
FG
BG


，现分别沿EF ，GH 将
矩形折叠使得AD 与BC 重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．
题型三：圆柱的外接球
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π
B．3π
4
C．π
2
D．π
4
2.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发
现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面
和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的2
3 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的2
3 ，则该圆柱
的体积与它的外接球的体积之比为___________.
3.已知圆柱的高为2，侧面积为4π ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为
（
）
A．8 2π
3
B．8 3π
3
C．4 2π
D．4 3π
4.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．
5.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
题型四：正棱锥的外接球
1.已知正三棱锥

P
ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，其侧棱长为2 2 ，底面边长为4，则球O 的表面
积是（
）
A．32π
B．32 2π
C．24 2π
D．24π
2.已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为
3 ，高为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的
表面积为__________________．
3.已知正四棱锥P
ABCD

的底面是边长为2 的正方形，其内切球的体积为π
6 ，则该正四棱锥的高为
___________，外接球的表面积为___________.
4.已知正三棱锥A
BCD

，各棱长均为
3 ，则其外接球的体积为（
）
A．9 3 π
8
B．81 2 π
16
C．9 2 π
8
D．9 3 π
16
5.已知正四面体S
ABC

的外接球表面积为6π ，则正四面体S
ABC

的棱长为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
6.如图所示，在正六棱锥S
ABCDEF

中，O 为底面中心，
8
SO 
，
4
OB 
．
（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球M 的表面上，求球M 的表面积和体积．
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球
1．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，
PA 底面ABC ，AC
BC

，且
3
PA ，
2
BC 
，
3
AC 
，则该四面体的外接球的表面积为__________．
2.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC

为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，
则球O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
3.已知在三棱锥P－ABC 中，PA＝4，
2 6
BC 
，PB＝PC＝3，PA 平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接
球的表面积是（
）
A．40π
B．43π
C．45π
D．48π
4.三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，ABC

为直角三角形，AB
BC

，
1
AB
BC

，
2
PA 
，则三棱
锥

P
ABC 的外接球的表面积为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
5．如图，在四棱锥P
ABCD

中，PD 平面ABCD，AB
DC

，AD
AB

，
2
DC 
，
1
AD
AB

，直
线PA 与平面ABCD成45角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O，则球的体积为__________.
题型六：圆锥的外接球
1.一个圆锥母线长为
6 ，侧面积3 2，则这个圆锥的外接球体积为______________．
2.已知圆锥的底面半径为R，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为3
4 R ，该圆柱的全面积为（
）
A．
2
2 R

B．
2
9
4
R

C．
2
8
3 R

D．
2
5
2
R

3.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2 3 ，高为6，则球O的表面积为
（
）
A．32
B．48
C．64π
D．80
4.已知圆锥SO的母线长为2 6 ，侧面展开图的圆心角为2 3
3
，则该圆锥外接球的表面积为（
）
A．12 2
B．24
C．36
D．48
5.已知球O内有一圆锥，圆锥的顶点及底面圆周在球面上，且球的半径与圆锥底面圆的半径的比值为2 3
3
，
则球的体积与圆锥的体积的比值为（
）．
A．32
3
B．32
9
C．32
9 或32
3
D．16
9 或32
9e
题型七：台体的外接球
1.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（
）
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
2.已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100，则此圆台的体积为（
）
A．84
B．86
C．259
3 
D．262
3 
3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10 的球面上，其上、下底面的半径分别为4 和5，则该圆台的体
积为（
）
A．61π
B．62π
C．63π
D．64π
4.已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是60，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆
台外接球的表面积为（
）
A．40π
B．48π
C．128π
D．208π
5.某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为
2
2cm ，
2
8cm ，若该模型的体积为
3
14cm ，则该模型的
外接球的表面积为（
）
A．
2
20πcm
B．
2
10πcm
C．
2
5πcm
D．
2
5π cm
2
6. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为__________．
题型八：侧面垂直于底面外接球
1.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD 平面CBD ，则空间四边形ABCD
外接球的表面积为______.
2.矩形ABCD中，
4
AB 
，
3
BC ，沿AC 将ABCD矩形折起，使面BAC 面DAC ，则四面体A
BCD

的
外接球的体积为（
）
A．125
6 
B．125
9 
C．125
12 
D．125
3 
3.已知在三棱锥中，S
ABC

中，BA
BC

，
2
BA
BC


，
2 2
SA
SC


，二面角B
AC
S


的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC

的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
4.在三棱锥A
BCD

中，平面

ABC
平面BCD，ABC

与
BCD
△
都是边长为6 的正三角形，则该三棱锥
的外接球的体积为________.
题型九：多面体外接球
1.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.
二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和
六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（
）
A．该二十四等边体的外接球的表面积为16
B．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式
2
V
F
E



C．直线AH 与PN 的夹角为60°
D．QH 平面ABE
2.(多选)如图，已知正方体的棱长为1，
1
O ，
2
O 分别为正方体中上、下底面的中心，
3
O ，
4
O ，
5
O ，
6
O 分
别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（
）
A．直线
1
3
OO 与直线
2
4
O O 所成角为60
B．二面角
1
3
4
5
O
O O
O


的正切值为
3
C．这个八面体的表面积为
3
D．这个八面体外接球的体积为π
6
3.（多选）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小
棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1
的截角四面体，则（
）
A．DE 平面ABC
B．直线DE 与GH 所成的角为60°
C．该截角四面体的表面积为7 3
D．该截角四面体的外接球半径为
22
4
4．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD是正方形，EF 平面
,
4
ABCD EF 
，其余棱长都为2，则
这个几何体的外接球的体积为（
）
A．8 2π
3
B．16π
3
C．4 3π
D．32π
3
5．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两
平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛
四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图
乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（
）
A．勒洛四面体ABCD被平面ABC 截得的截面面积是

8 π
3

B．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4
6

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π
2 3

D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
6
2
2

模块三：综合巩固
1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（
）
A．9
B．18
C．36
D．48
2.一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3 ，底面周长为3，那么这个球的体积是
_____．
3．若三棱柱
1
1
1
ABC A B C
﹣
的底面是以AB 为斜边的直角三角形，
1
AA ⊥平面ABC ，
2 2
AB 
，
1
4
AA 
，
则三棱锥
1A
ABC

的外接球的表面积为_____．.
4．已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
6
BB
BC
BAC





，则该三棱柱外接球的体积为__________.
6.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
7.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，底面
1
1
1
1
A B C D 是边长为4 的正方形，其余各棱长均为2，设直线
1
AA 与
直线
1
BB 的交点为P，则四棱锥P
ABCD

的外接球的体积为___________.
8.已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为
3 ，其各顶点都在
同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．
9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．81
4

B．16
C．9
D．27
4

10.正四面体S
ABC

内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
11.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，
且3
3 3
l

，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A．
81
18, 4






B．27 81
,
4
4






C．27 64
,
4
3






D．[18,27]
12．在三棱锥A
BCD

中，BD 平面ADC ，
2
BD ，
2 2
AB 
，
2 2
AC
BC


，则三棱锥A
BCD

的
外接球的体积为__________．
13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC

是正三角形，AD 平面ABC ，
2
AD 
，
3
AB ，
则该球的表面积为______.
14.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32
3
，两个圆锥的高之比为1:3，
则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．3
B．4
C．9
D．12
15.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为
1
2
,
S S ，且
1
2
2
S
S 
，对应圆锥外接球体积分别为
1
2
,
V V ，
则
1
2
V
V （
）
A．8
B．4 2
C．2 2
D．2
16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P
ABCD

底面为矩形，且
3
AB ，
7
BC 
，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1 的刍
童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（
）．
A．16π
B．18π
C．20π
D．25π
17．在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1
2
4
A B
AB


，
1
2
AA 
，则该棱台外接球的半径为（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．3 2
18．正四棱台高为2，上下底边长分别为2 2 和4 2 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
19.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3 的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为
1 和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．
20．（多选）如图，在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，AB
BC

，
2
PA
AB
BC



，AM
PC

，M
为垂足，则下列命题正确的是（
）
A．三棱锥M
ABC

的外接球的表面积为8.
B．三棱锥M
ABC

的外接球的体积为4 2π
C．三棱锥P
MAB

的外接球的体积为4 3
D．三棱锥P
MAB

的外接球的表面积为16
专题4：外接球模型汇总
模块一：基础知识
考点一：墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外
接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2
4
．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
考点二：对棱相等模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（
CD
AB 
，
BC
AD 
，
BD
AC 
）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为
c
b
a
,
,
，
x
BC
AD


，
y
CD
AB


，
z
BD
AC


，列方程组，











2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
a
c
y
c
b
x
b
a

2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R






，
补充：
abc
abc
abc
V
BCD
A
3
1
4
6
1





第三步：根据墙角模型，
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
c
b
a
R






，
8
2
2
2
2
z
y
x
R



，
8
2
2
2
z
y
x
R



，求出R .
考点三：汉堡模型
【方法总结】
汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面
的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或
代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由
对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O1 与△A1B1C1 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1
＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r



．
考点四：垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .
第二步：
1
O 为ABC 的外心，所以
1
OO 平面ABC ，
算出小圆
1
O 的半径
1
O D
r

(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理sin
a
A
1
1
2
,
sin
sin
2
b
c
r
OO
PA
B
C






.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）
2
2
2
(2 )
(2 )
2
R
PA
r
R



2
2
(2 )
PA
r


；
（2）
2
2
2
2
2
1
1
R
r
OO
R
r
OO





.
公式：
2
2
2
4
h
R
r


垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD
的外心O1 与△AB2D2 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1＝r，OO1＝2
h ，
2
2
2
4
h
R
r



．
考点五：切瓜模型
切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平
面BCD，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角
形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在
平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O1
作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD 的高为h，外接球的半径为R，
球心为O．△BCD 的外心为O1，O1 到BD 的距离为d，O 与O1 的距离为m，则
R2＝r2＋m2，
R2＝d2＋h－m 2，
解得
R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－l2
4(其中r1、r2 为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)
考点六：斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心
10 ，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根
据勾股定理
2
2
2
2
2
( -
)
2
r
h
R
h R
r
R
h





公式：
2
2
2
r
h
R
h


考点七：鳄鱼模型
适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥
方法：找两面外接圆圆心到交线的距离
,
m n ，找二面角，找面面交线长度l
推导过程：取二面角两平面的外心分别为
1
O ,
2
O 并过两外心作这两个面的垂线，
两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，
则
1
2
,
, ,
O O E O 四点共圆，由正弦定理得：
1
2
2
sin
OO
OE
r



①
在
1
2
OO E

中，由余弦定理得：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
OO
OE
O E
OE O E




②
由勾股定理得：
2
2
2
1
1
OD
OO
O D


③
由①②③整理得：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
sin
2
cos
sin
2
cos
sin
OD
O O
O D
OE
O E
O D
O O
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O D
O E
O E
O E O E
O E
O B





























记
1
2
,
,
,
O E
m O E
n AB
l



则
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R











公式：
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
m
n
mn
l
R











考点八：矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形PAB

和QAB

，其中
90
APB
AQB



，求外接圆半径
取斜边AB 的中点O ，连接
,
OP OQ ，则
1
2
OP
AB
OA
OB
OQ




所以O 点即为球心，然后在POQ

中解出半径R
公式：
2
2
2
l
R






（l 为斜边长度）
考点九：折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角
,
A EC




CE
A E
h



.
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
1
H 和
2
H 分别为
,
BCD
A BD



外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O
1
1
1
,
,
(
) tan
2sin
2
BD
CH
r
EH
h
r OH
h
r
BCD








由勾股定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
) tan
2
R
OC
OH
CH
r
h
r







.
公式：
2
2
2
2
(
) tan
2
R
r
h
r




模块二：题型分类
题型一：墙角模型
1.已知三棱锥A－BCD 的四个顶点A，B，C，D 都在球O 的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝
3，BC＝2，CD＝5，则球O 的表面积为(
)
A．12π
B．7π
C．9π
D．8π
2.若三棱锥
ABC
S 
的三条侧棱两两垂直，且
2

SA
，
4

SC
SB
，则该三棱锥的外接球半径为(
)．
A．3
B．6
C．36
D．9
3.三棱锥A-BCD 中，AD 平面BCD，DC
BD

，2
2
AD
BD
DC



，则该三棱锥的外接球表面积为（
）
A．3π
2
B．9π
2
C．9π
D．36π
4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A
BCD

中，满足AB 
平面BCD，且
5
AB
BD


，
3
BC ，
4
CD 
，则此鳖臑外接球的表面积为（
）
A．25π
B．50π
C．100π
D．200π
5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底
面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P
ABCD

是阳马，PA
ABCD
平面
，
5
PA 
，
3
AB ，
4
BC 
．则该阳马的外接球的表面积为（
）
A．125 2π
3
B．50π
C．100π
D．500π
3
题型二：对棱相等模型
1.正四面体的各条棱长都为
2 ，则该正面体外接球的体积为________．
2.在三棱锥A－BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥
BCD
A
外接球的表面积为
________．
3.已知三棱锥S
ABC

的四个顶点都在球O的球面上，且
2
SA
BC


，
7
SB
AC


，
5
SC
AB


，
则球O的体积是（
）
A．8 π
3
B．32 2 π
3
C．4 2 π
3
D．8 2 π
3
4.在△ABC 中，
3
2
cos
4
AB
AC
A



，
，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得
2
AD 
，如图所示，
则三棱锥D
ABC

外接球的体积为_____________．
5.如图，在ABC

中，
2 5,
2 10,
2 13
AB
BC
AC



，D，E，F 分别为三边中点，将
,
,
BDE
ADF
CEF



分别沿
,
,
DE EF DF 向上折起，使A，B，C 重合为点P，则三棱锥P
DEF

的外接球表面积为（
）
A．7
2
B．7 14
3

C．14
D．56
题型三：汉堡模型
1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1 的6 个顶点都在球O 的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则
球O 的半径为(
)．
A．3 17
2
B．2 10
C．13
2
D．3 10
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(
)．
A．
2
a

B．
2
7
3
a

C．
2
11
3
a

D．
2
3
7
a

3.直三棱柱ABC－A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面
积等于(
)．
A．10π
B．20π
C．30π
D．40π
4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积
等于(
)
A．4π
B．16π
3
C．32π
3
D．16π
题型四：垂面模型
1.已知在三棱锥S－ABC 中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2 3，SA＝1．则该三棱锥的外
接球的体积为(
)
A．13
8
13π
B．13π
C．13
6 π
D．13 13
6
π
2.三棱锥P－ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC 的外
接球的表面积为(
)
A．23π
B．23
4 π
C．64π
D．64
3 π
3.在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，
6
PA 
，
3
BC ，
π
6
CAB


，则三棱锥

P
ABC 的外接球半
径为（
）
A．3
B．2 3
C．3 2
D．6
4.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，
ABC

为等边三角形且边长为3，AD 平面ABC，
2
AD 
，则球O
的表面积为（
）
A．4
B．8π
C．16π
D．32π
5.在三棱锥

P
ABC 中，
2,
3,
AP
AB
PA


面ABC ，且在ABC

中，
60
C 
，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A．20
3

B．8
C．10
D．12
题型五：切瓜模型
1.已知在三棱锥P－ABC 中，VP-ABC＝4 3
3 ，∠APC＝π
4，∠BPC＝π
3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平
面PBC，那么三棱锥P－ABC 外接球的体积为________．
2.如图，已知平面四边形ABCD 满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD 沿对角线BD 翻折，使
平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD 外接球的体积为________．
3.在三棱锥A
BCD

中，已知
,
2,
6
AC
BC AC
BC
AD
BD





，且平面ABD 平面ABC，则三棱锥
A
BCD

的外接球表面积为（
）
A．8π
B．9π
C．10π
D．12π
4.三棱锥A
BCD

的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD 平面BCD，
6
AB
AD


，AB
AD

，
2
60
BDC
DBC




，则球O 的体积为（
）
A．4 3
B．32
3

C．49
3

D．32 3
5.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC

，
1
4
AB
BC
AA



，点P 为
1
1
B C 的中点，则四面体PABC 的外接
球的体积为（
）
A．. 41 41 π
6
B．41 41 π
3
C．41 41 π
2
D．41 41π
题型六：斗笠模型
1.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60，若该圆锥的侧面积为3 3，则该圆锥外接球的表面积为
________．
2.已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1 为△ABC 的外接圆．若⊙O1 的面积为4π，AB＝BC＝AC
＝OO1，则球O 的表面积为(
)
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
3.正四面体S
ABC

内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
4.已知正四棱锥P
ABCD

（底面四边形ABCD是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心）的各顶点
都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ，若该正四棱锥的体积为50
3 ，则此球的体积为（
）
A．18π
B．8 6π
C．36π
D．32 3π
5.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1 的球，则该四
棱锥的表面积最小值是（
）
A．16
B．8
C．32
D．24
题型七：鳄鱼模型
1.在三棱锥A
BCD

中，ABD

和CBD

均为边长为2 的等边三角形，且二面角A
BD
C


的平面角为60，
则三棱锥的外接球的表面积为________．
2.在等腰直角
ABC

中，
2
AB 
，
90
BAC


，AD 为斜边BC 的高，将
ABC

沿AD 折叠，使二面角
B
AD
C


为60，则三棱锥A
BCD

的外接球的表面积为________．
3.已知在三棱锥S
ABC

中，AB
BC

，
2
AB
BC


，
2 2
SA
SC


，二面角B
AC
S


的大小为2
3
，
则三棱锥S
ABC

的外接球的表面积为（
）
A．124
9

B．105
4

C．105
9

D．104
9

4.如图，在三棱锥

P
ABC ，
PAC
△
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且
2 2
CB 
，
6
AB
AC


，
二面角P
AC
B


的大小为120，则三棱锥

P
ABC 的外接球表面积为（
）
A．5 10
3

B．10
C．9
D．

4
2 3 

5.在三棱锥A
BCD

中，
,
,
2
2
4
AB
BC BC
CD CD
AB
BC





，二面角A
BC
D


为60，则三棱锥
A
BCD

外接球的表面积为（
）
A．16π
B．24π
C．18π
D．20π
题型八：矩形模型
1.已知三棱锥A-BCD 中，
2 2
CD 
，
2
BC
AC
BD
AD




，则此几何体外接球的表面积为（
）
A．
2
3

B．2
C．8 2
3

D．8
2.在矩形ABCD中，
6,
8
AB
BC


，现将ABC

沿对角线AC 翻折，得到四面体DABC ，则该四面体外接
球的体积为（
）
A．196
3 
B．1000
3

C．400
3 
D．500
3 
3.矩形ABCD中，
4,
3
AB
BC


，沿AC 将三角形ABC 折起，得到的四面体A
BCD

的体积的最大时，
则此四面体外接球的表面积值为（
）
A．25π
B．30π
C．36π
D．100π
4.在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B-ACD 的外接球的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．100π
D．与二面角B-AC-D 的大小有关
题型九：折叠模型
1.已知等边ABC

的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C
AB
C


为60，则三棱
锥C
ABC

外接球的半径为
2.已知菱形ABCD的边长为3，
60
ABC


，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，
则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（
）．
A．5 15 π
2
B．6π
C．5 15π
D．12π
3.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而
“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点
,
,
,
A B C D
满足
4 3
3
AB
BC
CD
DA
DB





cm ，
2 3
AC 
cm ，则该“鞠”的表面积为_______
2
cm .
4.在三棱锥S
ABC

中，
2,
1
SA
SB
AC
BC
SC




，二面角S
AB
C


的大小为60，则三棱锥S
ABC

的外接球的表面积为____________.
5.已知在三棱锥中，S
ABC

中，BA
BC

，
2
BA
BC


，
2 2
SA
SC


，二面角B
AC
S


的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC

的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
模块三：综合巩固
1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A
BCD

中，AB 平面BCD，
CD
AD

，
2
AB
BD


，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10 ，
则该棱锥的外接球的体积为______.
2.已知四棱锥P
ABCD

的外接球O 的表面积为64π ，PA 平面ABCD，且底面ABCD 为矩形，
4
PA 
，设点
M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M
ABCD

体积的最大值为______.
3.在三棱锥

P
ABC 中，已知
2 13,
41,
61
PA
BC
AC
BP
CP
AB






，则三棱锥

P
ABC 外接球
的表面积为（
）
A．77π
B．64π
C．108π
D．72π
4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边
三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
5.若一个圆柱的表面积为12，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为(
)
A．(12 5
12)

B．12 3
C．(12 3
3)

D．16
6.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC

为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，则球
O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
7.在四棱锥P
ABCD

中，PA 平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，
2
BC 
，PC 与平面PAB 所成的角为
o
30 ，
则该四棱锥外接球的体积为（
）
A．4 3 π
3
B．4 3π
C．8 2 π
3
D．8 3 π
3
8.四棱锥P
ABCD

的顶点都在球O的表面上，PAD

是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD 平
面ABCD，若
2
AB 
，
3
BC ，则球O的表面积为（
）
A．12
B．16
C．20
D．32
9.在四棱锥P
ABCD

中，平面PAD 平面ABCD，且ABCD为矩形，
π
2
DPA


，
2 3
AD 
，
2
AB 
，
PA
PD

，则四棱锥P
ABCD

的外接球的体积为（
）
A．16 π
3
B．32 π
3
C．64
3 π
D．16π
10.在四棱锥P
ABCD

中，ABCD 是边长为2 的正方形，
10
AP
PD


，平面PAD 平面ABCD，则四棱
锥P
ABCD

外接球的表面积为（
）
A．4π
B．8π
C．136π
9
D．68π
3
11.在三棱锥

P
ABC 中，侧棱
10
PA
PB
PC



，
4
BAC



，
2 2
BC 
，则此三棱锥外接球的表面
积为_______．
12.如图1，四边形ABCD中，
2
AB
AD


，
2
CB
CD


，AB
AD

，将
ABD
△
沿BD翻折至
PBD
△
，
使二面角P
BD
C


的正切值等于
2 ，如图2，四面体PBCD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表
面积为（
）
A．4π
B．6π
C．8π
D．9π
13.在平面四边形ABCD中，
3
AD
CD


，
90
ADC
ACB



，
60
ABC


，现将
ADC
△
沿着AC 折
起，得到三棱锥D
ABC

，若二面角D
AC
B


的平面角为135°，则三棱锥D
ABC

的外接球表面积为
__________.
14.在三棱锥

P
ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，
2
AB
AC


，△PAC 为正三角形，且二面角P
AC
B


的平面角为π
6 ，则三棱锥

P
ABC 的外接球表面积为________．
专题5：几何体内切球问题
模块一：基础知识
考点一：正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为�的正方体，其内切球半径为�=
�
2.
考点二：直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径�等于底面三角形内切圆半径�，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为�，
故仅有满足ℎ= 2�的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
考点三：多面体的内切球半径
例如：在四棱锥P
ABCD

中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：
P ABCD
O ABCD
O PBC
O PCD
O PAD
O PAB
V
V
V
V
V
V











即：
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
P ABCD
ABCD
PBC
PCD
PAD
PAB
V
S
r
S
r
S
r
S
r
S
r







，可求出r .所以�=
3�
�
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
考点四：轴截面法求内切圆半径
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内
切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设�、�分别为棱��、��的中点，
则∆���的内切圆即为该正四棱锥�−����的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：�= �=
2�∆���
�∆���（等面积法可得）
考点五：旋转体内切球问题
1.独立轴截面法+等面积法求半径
等腰ABC

绕中线AF 旋转一周形成圆锥，其内切球为球O ，其轴截面如图，则内切球半径r 可用等面积
法求解：
1 (
)
2
ABC
S
AB
AC
BC r




.
2.圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径�满足ℎ= 2�，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径�.
3.圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为�，高为ℎ，
则�∆���=
1
2 × 2�× ℎ= �ℎ，�∆���= 2�+ 2 ℎ2 + �2，
所以�=
2�∆���
�∆���=
�ℎ
�+ ℎ2+�2
模块二：题型分类
题型一：棱柱的内切球
1.正方体的内切球和外接球的体积之比为（
）
A．1:3 3
B．1:9
C．1:3
D．1: 3
2.记一正三棱柱的内切球体积为
1V ，外接球体积为
2
V ，则
1
2
V
V ____________．
3.长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，棱
1
AD ，且其外接球的体积为36π ，则此长方体体积的最大值为（
）
A．35
6
B．35
2
C．8
D．4
4.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32
3 ，则该正方体的表面积为（
）
A．16
B．36
C．96
D．216
5.正方体的外接球体积与内切球体积的比为（
）
A．3
B．3 3
C．
3
D．2
6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为32
3 ，那么这个三棱柱的
侧面积为________，体积为______．
题型二：棱锥的内切球
1.我们知道，在ABC

中，
,
,
AB
c AC
b BC
a



，若I 为内切圆的圆心，则由
IAB
IBC
ICA
ABC
S
S
S
S







得
到，ABC

内切圆的半径
2
ABC
S
r
a
b
c



△
.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥D
ABC

中，
ABC
D
S
S


，
,
,
BCD
A
CDA
B
DAB
C
S
S
S
S
S
S






，则三棱锥D
ABC

内切球的半径R ___________.
2.与棱长为2 的正四面体的所有棱都相切的球的直径为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2 2
D．3 2
3.已知正四棱锥的侧棱长为5 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（
）
A．4 3
3
B．4 3π
27
C．4π
3
D．4 3
4.已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱
长分别为a，b，c，则该四面体的体积计算公式为




2
2
2
2
2
2
1
3
V
u
a
u
b
u
c




，其中


2
2
2
2
1
2
u
a
b
c



，
在等腰四面体A
BCD

中，
4
AB 
，
5
BC 
，
1
cos
8
ABC


，则该四面体的体积为___________；该四面
体的内切球表面积为___________.
5.2022 年2 月，女足亚洲杯决赛在印度打响，中国女足在落后两球的不利局面下，连入三球，以3: 2 的比
分击败韩国队第9 次捧起亚洲版冠军奖杯.同年10 月，在澳大利亚举行的女篮世界杯上，中国姑娘们表现
神勇，在半决赛中一举击溃东道主澳大利亚队获得银牌，追平了28 年前的历史最佳战绩.已知一个足球的
直径约为20cm，一个篮球的直径约为22cm ，现将3 个足球放在地面上彼此相切，再将一个篮球放在它
们的上方，此时这个模型的最高点离地面的距离是______cm.
6.在四棱锥P
ABCD

中，四边形ABCD为正方形，PA 平面ABCD，且
6,
8
PA
AB


，则四棱锥P
ABCD

的外接球与内切球的表面积之比为（
）
A．
41
2
B．41
4
C．3
D．11
2
7.正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为2 6 ，正三棱锥内有
一个球与其四个面相切，则此球表面积是________.
8.在正四棱锥P
ABCD

中，
=5
PA
，
=6
AB
，则该四棱锥内切球的表面积是________．
9.在正四棱锥P
ABCD

中，
5,
6
PA
AB


，则该四棱锥内切球的表面积是（
）
A．4π
7
B．24π
7
C．36π
7
D．72π
7
10.已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的体积等于
6π，则下列结论错误的是（
）
A．四面体ABCD 的棱长均为2
B．异面直线AC 与BD 的距离为
2
C．异面直线AC 与BD 所成角为60
D．四面体ABCD 的内切球的体积等于
6π
27
11.三棱锥A
BCD

中，AB 平面BCD，BC
CD

，且
4
AB
CD


，
3
BC ，则该三棱锥内切球的表面
积为（
）
A．9 π
16
B．9 π
4
C．16 π
9
D．4 π
3
题型三：圆柱的内切球
1.圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π ，则球O的体积为
（
）
A．32π
3
B．64π
3
C．16π
D．12π
2.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上
一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1 的圆柱
1
2
O O 内的球O 与圆柱
1
2
O O 的上、下底面及母线
均相切，设A，B 分别为圆柱
1
2
O O 的上、下底面圆周上一点，且
1
O A与
2
O B 所成的角为90，则AB 与圆柱
1
2
O O 的底面所成角的正切值为__________；直线AB 与球O 的球面交于两点M，N，则MN 的值为_______.
3.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个
圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的
内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（
）．
A．1
2
B．1
3
C．3
4
D．2
3
4.阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，
他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”
是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该
球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为12，
则圆柱的体积为（
）
A．8
B．12
C．18
D．24
题型四：圆锥的内切球
1.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥
体积与其内切球体积比为（
）
A．8：3
B．6：1 C．3：1 D．2：1
2.如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大
的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
3.在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为π 的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的
表面积的最大值为__________.
4.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与
圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（
）
A．8 3
27 
B．8 3
9 
C．16 3
27 
D．32 3
27 
5.已知某圆锥的内切球的体积为32π
3 ，则该圆锥的表面积的最小值为__________．
6.已知圆锥的底面圆半径为r ，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若
5
6
2
r


，
则圆锥体积的取值范围是（
）
A．8
24
,
3
5








B．25
,16
6








C．8
25
,
3
6








D．

16 ,25


7.已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（
）
A．圆锥的体积为2 2
3 
B．圆锥的表面积为2 2
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为
2的扇形D．圆锥的内切球表面积为(24 16 2)

8.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（
）
A．2:3
B．3: 2
C．1: 2
D．3: 4
9.（多选）如图，已知圆锥顶点为
P ，其轴截面
PAB
△
是边长为6 的为正三角形，
1
O
为底面的圆
心，EF 为圆
1
O
的一条直径，球O 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q 是球O 与
圆锥侧面的交线上一动点，则（
）
A．圆锥的表面积是45π
B．球O的体积是4 3π
C．四棱锥Q
AEBF

体积的最大值为9 3
D．QE
QF

的最大值为6 2
题型五：台体的内切球
1.已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为16π ，则该圆台的体积为（
）
A．25π
B．64π
3
C．28π
D．36π
2.已知圆台
1
2
O O 的下底面半径是上底面半径的2 倍，其内切球的半径为
2 ，则该圆台的体积为（
）
A．7 2π
3
B．14 2
3
π
C．24 2π
3
D．25 2π
3
3.如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
4
AB 
，
1
1
2
A B 
，若半径为r 的球O与该正四棱台的各个面均
相切，该球的表面积S （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
4.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为
1S ，
2
S ，
体积分别为
1V ，
2
V ，若
1
2
4
7
S
S 
，则
1
2
V
V ____．
5.已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为8 2 ，若将一个铁球放入该容器
中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（
）
A．32π
B．36π
C．48π
D．50π
题型六：球与球的相切
1.半球内放三个半径为
3 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的
半径是（
）
A．1
3

B．3
5

C．
5
7

D．3
7

2.水平桌面上放置了三个半径为6 的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小球
与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．
3.如图，已知圆锥PO 的底面半径OA 的长度为1，母线PA 的长度为2，半径为
1R 的球
1
O 与的圆锥侧面相切，
并与底面相切于点O，若球
2
O 与球
1
O 、圆锥的底面和侧面均相切，则球
2
O 的表面积为______．
4.四个半径为2 的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球
的表面积为（
）
A．(168
48 6)

B．(168
42 6)

C．(188
48 6)

D．(168
32 6)

题型七：其他组合体内切球
1.六氟化硫，化学式为
6
SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电
器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），
如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________．
2．在ABC

中，
3
AB
AC


，
30
ABC


，现以BC 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的
内切球的体积为（
）
A．27 3π
16
B．27 3π
48
C．27π
16
D．27π
48
3.连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面
积之比为__________.
4.已知ABC

中，
4
AB 
，
3
BC ，
5
AC 
，以AC 为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球
的表面积为（
）
A．49
36 
B．576
49 
C．576
25 
D．345
25 
模块三：综合巩固
1.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（
）
A．2:1
B．3: 2
C．7:3
D．7: 4
2．已知正三棱锥V
ABC

中，侧面与底面所成角的正切值为
2 ，
6
AB 
，这个三棱锥的内切球和外接球
的半径之比为（
）
A．

2
3
1
3

B．
3
1
3

C．2
3
D．1
3
3．在封闭的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
内，有一体积为V 的球，若
1
,
3,
4,
5
AB
BC AB
BC
AA




，当球的体
积V 取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为___________．
4．在四棱锥P
ABCD

中，平面PAB 平面ABCD，PAB

为边长为1 的等边三角形，底面ABCD为矩形.
若四棱锥P
ABCD

存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这
个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（
）
A．4π
B．π
C．4π
3
D．π
3
5.已知正三棱锥S
ABC

的底面是边长为8 3 的等边三角形，若一个半径为4
3 的球与此三棱锥所有面都相
切，则该三棱锥的侧面积为_____.
6．正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（
）
A．1：3
B．1：

3
3

C．

3
1 3

：
D．

3
1 3

：
7.正四棱锥P
ABCD

的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
8.球O 是棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的内切球，球
1
O 与面ABCD、面
1
1
AA B B 、面
1
1
AA D D、球O 都
相切，则球
1
O 的表面积是_______________．
9.已知三棱锥A
BCD

中，
2
AB
CD


，
3
AD
AC
BC
BD




，则该三棱锥内切球的表面积为
____________．
10.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB 平
面BCD，
1
AB
BC
CD


，BC
CD

，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（
）
A．3
B．(3
2 2)

C．12
D．(3
2 2)

11.（多选）已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2 2 的菱形，B，
C 分别为AE，FD 的中点，
2 2
BD 
，则在该四面体中（
）
A．BE
CD

B．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为
210
15
C．四面体ABCD 的内切球半径为
105
30
D．四面体ABCD 的外接球表面积为9
12.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的
体积为__________．
专题6：线线角、线面角、面面角
模块一：基础知识
考点一：线与线的夹角
1、空间中直线间的关系
（1）位置关系的分类：








点
一个平面内，没有公共
异面直线：不同在任何
相交直线
平行直线
共面直线
（2）异面直线所成的角
①定义：设a
b
，是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a
a
b
b


∥，∥，把a与b所成的锐角（或
直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．
②范围：(0
]
2

，
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0, 2







，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
考点二：线与面的夹角
1.定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
2.范围：[0
]
2

，
3.求法：
常规法：过平面外一点B 做

BB
平面，交平面于点
'
B ；连接

AB ，则

BAB 即为直线AB 与平
面的夹角．接下来在
△

Rt
ABB 中解三角形．即sin
斜线长





BB
h
BAB
AB
（其中h 即点B 到面的距离，
可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；
4.求解线面角其他方法：
（1）等体积法
对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度
h，斜线长l，则sinθ=h/l.
（2）转化法
垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面
进行转化或者按比例进行转化.
（3）投影法
斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解
三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定.
（4）角度互余
利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角.
（5）补体法
把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角.
考点三：二面角
1.二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两
个平面称为二面角的面．（二面角
l



或者是二面角A
CD
B


）
2.二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0
]

，
．
3.二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角
l



的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和
OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点A ，作AO


于O ，过A 作AB
c

于B ，则BO 为斜线AB 在面内
的射影，
ABO

为二面角
c




的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A ，作AO


于O ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB
c

于B ，连接BO ；
③计算：
ABO

为二面角
c




的平面角，在Rt
ABO
△
中解三角形．
图1
图2
图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式（
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S



射
斜
，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点A 作AB


于B ，作AC


于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则
BOC

就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
模块二：题型分类
题型一：平行四边形平移法求线线角
1.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA 
，
1
1
60
A AD
A AB



o ，
则异面直线AC 与
1
DC 直线所成角的正弦值为（
）
A．
14
7
B．
70
14
C．11 14
14
D．3 14
14
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 是BC 的中点，则异面直线
1
BC 和
1
D E 所成角的大小为______．
3.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，P 为
1
1
B C 的中点，那么直线CP 与
1
1
B D 所成角的余弦值是（
）
A．
3
2
B．10
10
C．3
5
D．4
5
4.如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
2
AA
AB


，
1
AD ，点E，F，G 分别是
1
DD ，AB ，
1
CC 的
中点，则异面直线
1A E 与GF 所成的角是_____.
5.在正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
1
A B ，
1
1
B C 的中点，且
1
1
1
2
2
B C
BC
BB


，则异面直线AE
与BF 所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
题型二：中位线平移法求线线角
1.已知PC 是圆锥PO的一条母线，AB 是底面圆O的一条直径，PAB

为正三角形，
30
ABC


，则PC 与
AB 所成角的余弦值为（
）
A．1
4
B．1
3
C．
1
2
D．7
8
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中,
,
E F 分别为
,
AB AD 的中点,则异面直线
1B C 与EF 所成角的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
,
,
E F G H
分别为
1
1
1
,
,
,
AB A D BC CC 的中点，则直线EF 与GH 夹角的余
弦值为（
）
A．
3
3
B．
2
3
C．
2
2
D．
3
2
4.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱AB 的中点，
1
BC 与
1
B C 交于点E，若
1
AB
AA

，则CD 与
1A E 所成角
的余弦值为___．
5.如图，


，
l



，A


，B


，点
,
A B 在棱l 上的射影分别是
1
1
,
A B ，若
1
1
2
AA
BB


，
4
AB 
，
则异面直线
1
AB 与
1A B 所成角的余弦值为（
）
A．4
5
B．3
5
C．2
3
D．1
3
题型三：补形平移法求线线角
1.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
2
AD
DC


，
1
2 3
AA 
，则异面直线
1
BC 与
1
DB 所成角的正弦值为
（
）
A．1
5
B．2 5
5
C．
5
5
D．
2
2
2.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

（平面
1
1
1
1
D
C
B
A
为下底面）中，
1
2
3
6
AA
AD


，
4
AB 
，点F 为线段
1
1
C D 的
中点，则异面直线
1A D 与BF 所成角的余弦值为___________.
3.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
2,
3
AB
AA
AD


，点E 为棱AB 的中点，则异面直线
1
1
,
A E B C 所成
角的余弦值为__________.
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 为
1
1
A D 的中点，平面
1
1
AC B与平面
1
CEC 的交线为l，则l 与AB 所成角
的余弦值为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
3
3
D．
6
3
5. 已知体积为6 的四面体ABCD满足AB
BC

，BC
CD

，
2 3
AB
BC
CD



，则异面直线AD 与BC
所成的角的大小为______．
题型四：异面直线证明异面直线垂直
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，点P 在侧面
1
1
BCC B 及边界上运动并保持
1
AP
BD

，在图中画出点P
的运动轨迹．
2.如图，ABC

是等腰直角三角形，
90 ,
BAC
EA FC



､
都垂直于平面ABC ，且
2
2
2.
FC
EA
AC
D



为
线段FB 的中点．证明：ED
BC

.
3.空间四边形ABCD，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG 
，
5
GE 
，
3
EF .求证：AC
BD

.
4.如图，在正三棱柱ABC
A B C


中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB


.求证：BE
AC

.
5.《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个
平行四边形）､两个不平行对面是三角形的五面体.如图，羡除ABCDEF 中，ABCD是边长为1 的正方形，
且EAD

，FBC

均为正三角形，棱EF 平行于平面ABCD，
2
EF
AB

.
(1)求证：AE
CF

；
(2)求三棱锥B
CDE

的体积.
题型五：由异面直线所成的角求其它量
1.在空间四边形ABCD中，
,
,
AB
CD E F

分别为
,
BC AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为30，则EF 与AB
所成角的大小为（
）
A．15
B．75
C．15或75
D．以上都不正确
2.（多选）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AA 
，
1
AB
BC

，
90
ABC


，点E 是侧棱
1
BB 上的
一个动点，则下列判断正确的是(
)
A．AE
BC

B．
1
AE
EC

的最小值为5
1

C．直线
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正弦值为
6
6
D．存在点E ，使得异面直线
1
1
AC 与AE 所成角为30°
3.（多选）三棱锥D
ABC

中，
4
AD
BC


，且AD 与BC 所成角为60，E，F 分别是棱DC，AB 的中点，
则线段EF 的长可能等于（
）
A．2
B．2
3

C．2 3
D．3
4.如图所示，在三棱锥A-BCD 中，AB＝CD，E、F 分别为BC、AD 的中点．
(1)若AB⊥CD，求EF 与AB 所成的角的大小；
(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°，求线段EF 的长．
题型六：垂线法求线面角
1.如图，MA 平面ABC ，在直角三角形BMC 中，
=90
BCM

，
60
MBC


，
5
BM 
，
3
MA 
，求MC
与平面ABC 所成角的正弦值.
2.已知ABC

为等腰直角三角形，P 为空间一点，且
5 2
AC
BC
PC
AC



，
，
5,
PC
BC
PC
AB


，
的
中点为M ，连接PM
CM
，
，则PM 与平面ABC 所成的角的大小为_________.
3.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
2
AB
BC


，
1A D 与
1
BC 所成的角为π
2 ，则
1
BC 与平面
1
1
BB D D 所
成角的正弦值为________
4.如图，在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，平面PAB 平面PBC ，
2
PA 
，
1
BC .
（1）求证：BC 平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值的最大值.
题型七：等体积法求线面角
1.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA 平面ABCD．若PA
a

，则直线
PB 与平面PCD所成的角的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
2.某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB 为上底面的直径，点P
是上底面圆周上一点，且AP
BP

，PC 是该圆台的一条母线，且
2 5
PC 
，则PC 与平面ABC 所成的角
的正弦值为（
）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
3.三棱锥A
BCD

的各面展开图如图所示，其中
BCD
△
是边长为1的等边三角形，
2
AB
AD
AC



．P
是棱BC 上的动点，记直线DP 与平面ABC 所成角为，则sin的取值范围是（
）
A．
55
55
,
15
10






B．
55 2 55
,
10
15






C．
165
55
,
15
5






D．
165 2 55
,
15
15






4.在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC



，
60
BAC


，F 为棱PC 上一点，满足AF
PC

于F．
（1）求证：平面ABF 平面PBC ；
（2）求PB 与平面ABF 所成角的正弦值．
5.在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面ABCD，E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，
2
BAD
ABC





.
（1）求证：平面PAC 平面AEF；
（2）求直线PA 与平面AEF 所成角的正弦值.
题型八：由线面角的大小求长度
1.在三棱锥A
BCD

中，
2
AB
AD
BD



，
2
BC
DC


，
2
AC 
．
(1)求证：BD
AC

；
(2)若点P 在棱AC 上，当直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值为3
3
7
时，求
:
AP PC 的值．
2.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
,
PA
a AC
BD
O



，PA 底面ABCD．
(1)证明：平面PBD 平面PAC ；
(2)设平面PBC 平面PAD 于直线l，证明：
/ /
BC
l ；
(3)若
1
3
PE
PD

uuur
uuur
，在线段BC 上是否存在点F，使得
/ /
EF
平面PAB ，若存在点F，则a 为何值时，直线
EF 与底面ABCD所成角为45．
题型九：定义法求二面角
1.假设P 是ABC

所在平面外一点，而PBC

和ABC

都是边长为2 的正三角形，
6
PA 
，那么二面角
P
BC
A


的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，求二面角
1
1
1
B
AC
B


的正切值．
3.如图所示，PA 平面ABC ，AC
BC

，
1
PA
AC

，
2
BC 
，则二面角A
PC
B


的余弦值大小为
________.
4.如图在三棱锥S
ABC

中，SA⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D、E，
又SA
AB

，BS
BC

，则以BD为棱，平面BDE 与平面BDC 的二面角的大小为______．
5.四边形ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA
AB

．求：
(1)二面角A
PD
C


的平面角的度数；
(2)二面角B
PA
D


的平面角的度数；
(3)二面角B
PA
C


的平面角的度数．
6.如图，在四棱锥
-
P ABCD 中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，
60
ADC


，
4
PA
AD


，E
为AD 的中点．
(1)求证：平面PCE 平面PAD ；
(2)求二面角A
PD
C


的平面角的正弦值．
7.如图，在直角梯形ABCD 中，BC
AD
∥
，AD
CD

，
2
BC 
，
3
AD 
，
3
CD 
，边AD 上一点E 满足
1
DE ，现将ABE

沿BE 折起到
1A BE

的位置，使平面
1A BE 平面BCDE，如图所示.
(1)在棱
1AC 上是否存在点F，使直线
/ /
DF
平面
1A BE ，若存在，求出
1
1
A F
AC ，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角
1A
BC
D


的平面角的正切值.
题型十：三垂线法求二面角
1.已知三棱锥

P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 3 的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三
棱锥

P
ABC 外接球的表面积为18π ，球心在三棱锥

P
ABC 内，则二面角P
AB
C
-
-
的平面角的余弦值
为（
）
A．1
2
B．1
3
C．
2
2
D．
3
3
2.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm
的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底而的
中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（
）
A．2 2
3
B．2
3
C．2 5
5
D．2
5
3.如图，ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，AC 与BD 相交于O 点，P 是平面ABCD 外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M
是PC 的中点，则二面角M-BD-C 的正切值为_________．
4.如图，菱形ABCD 的边长为2，
60
ABC


，E 为AC 的中点，将ACD

沿AC 翻折使点D 至点D¢ .
（1）求证：平面BD E

平面ABC；
（2）若三棱锥D
ABC

的体积为2 2
3
，求二面角D
AB
C


的余弦值.
5.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
AAC C 为菱形，
1
60
A AC


，且
1
AB
AA

，
1
1
BC
A C
^
．
（1）证明：平面ABC⊥平面
1
1
A ACC ；
（2）若AB
AC

，求二面角
1A
BC
A


的余弦值．
6.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
AA ，
1
2
AC 
，
6
BAC



，E ，F 为线段
1AC 的三等分点，点D 在线
段EF 上（包括端点）运动，则二面角D
AB
C


的正弦值的取值范围为（
）
A．1 2 19
,
4
19






B．1 2
,
4 3






C．1 4 19
,
2
19






D．1 2
,
2 3






7.如图，四边形ABCD 是正方形，PA 平面ABCD ，且
2
PA
AB 
＝
求二面角B
PD
A


的大小的正弦值．
题型十一：垂面法求二面角
1.如图，已知PA


，PB


，垂足为A 、B ，若
60
APB


，则二面角
l



的大小是______．
2.如图，已知二面角
AB




，且
AB



，PC


，PD


，C，D 是垂足，平面PCD 与AB 交于
点H．
（1）求证：AB⊥平面PCD；
（2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角
AB




的大小．
3.已知二面角
l



，若直线a


，直线b


，且直线,a b 所成角的大小为60，则二面角
l



的
大小为_________.
4.已知P 是二面角
l



内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB



，则二面角
l



的大小为__．
5.已知P 是二面角
l



内的一点，PA 垂直于于
,
A PB 垂直于于
,
8 3,
8
B AB
PA
PB



，则二面角
l



的大小为__．
6.如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC 且分别交AC，SC 于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C 的大小．
题型十二：补形法求二面角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
2.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A


为直二面角．
2
BP
CP


，
BP
CP

，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
3.如图，在四棱锥P
OABC

中，已知
1
OA
OP

，
2
CP 
，
4
AB 
，
π
3
CPO


，
π
6
ABC


，
π
2
AOC


，
E 为PB中点，F 为AB 中点.
（1）证明：平面
/ /
CEF
平面PAO ；
（2）若
3
PA 
，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1
AA ，P 是棱AB 上任一点，若平面
1B DP 和平面
1
1
AA D D 所成的
角为，则tan的最小值为________．
5.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为正方形，二面角P
BC
A


为直二面角．
2
BP
CP


，
BP
CP

，M，N 分别为AP，AC 的中点．求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值.
题型十三：射影面积法求二面角
1.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
2.如图ABC

与
BCD
△
所在平面垂直，且AB
BC
BD


，
120
ABC
DBC



o，则二面角A
BD
C


的
余弦值为_______.
3.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB 
，母线长
8
PA 
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC


．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A


的正弦值．
4.（多选）如图所示，
1
1
1
1
ABCD
ABC D

为正方体，以下四个结论中正确的有（
）
A．
1
AC 平面
1
1
CB D
B．直线
1BC 与BD 所成的角为60°
C．二面角
1
1
1
C
B D
C


的正切值是
3
D．
1
AC 与底面ABCD 所成角的正切值是
2
5.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值．
6.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点.求二面角P-BC-A 的平面角的大小.
模块三：综合巩固
1.如图，在正方体ABCD
EFGH

中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所成
的角．
2.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M ，N 分别在上、下底面圆上，

2
NB
AN

，

2
CM
DM

，
2
AB 
，
3
BC ，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（
）
A．3 30
10
B．3 30
20
C．
3
5
D．
3
4
3.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
BC
AC
AA



，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所成角的余弦值等于（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
4.如图，MA 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA
AB
a


，试求：
(1)点M 到BD 的距离；
(2)求异面直线MB 与AC 所成的角.
5.《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平
行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF 的底面ABCD 是边长为1 的正方形，
且△EAD、△FBC 均为正三角形，棱EF 平行于底面ABCD，EF＝2．
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求三棱锥A-BCE 的体积．
6.如图，在四面体PABC 中，PC
AB

，PA
BC

，点D，E，F，G 分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点.
(1)求证：DE ∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG 为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q 的位置（不需要论证）.
7．如图，在正三棱柱ABC
A B C


中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB


.求证：BE
AC

.
8.如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，
60
ABC


，FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，
M 是BC 的中点，且
3
3
FA
DE


.
(1)求证AM
EF

；
(2)求三棱锥E
ACF

的体积.
9.（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，异面直线a 和b 分别在上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
和下底面ABCD上运动，a
与b 的夹角为，且
3 10
sin
10

，当
1
BC 与b 所成角为60时，则a 与侧面
1
1
BCC B 所成角的正切值可能为
（
）
A．2
B．3
C．1
2
D．1
3
10.已知两平行平面、间的距离为
3 ，点A
B


、
，点C
D


、
，且
4,
3
AB
CD


，若异面直线AB
与CD 所成角为60，则四面体ABCD的体积为
．
11.如图，四棱锥P
ABCD

的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PA
PB
PC
PD



，点E 和F 分别
为棱BC 和PD 的中点．若过A 、E 、F 三点的平面与侧面PCD的交线线段长为7 ，且异面直线AB 与PD
所成角的余弦值为
2
4
，则该四棱锥的外接球的表面积为
．
12.已知四棱锥P
ABCD

，底面ABCD为菱形，PD 平面ABCD，
2
PD
AD
CD



，
π
3
BAD


，E 为
PC 上一点．
(1)平面PAD 平面PBC
l
，证明：
/ /
BC
l ．
(2)当直线BE 与平面BCD的夹角为π
6 时，求三棱锥P
BDE

的体积．
13.如图，已知PA


，PB


，垂足为A 、B ，若
60
APB


，则二面角
l



的大小是______．
14.如图，大小为120的二面角
l



的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个
面内，并且都垂直于棱l.若
2
MN 
，
3
PM 
，
4
NQ 
，则PQ _____________.
15.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
16.三棱锥

P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A






所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC

的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
17.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7

B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
18.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD

与三棱锥
1
B
ACD

体积相等
19.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C


的大小.
20.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA



，
45
ABC


.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B


的正切值.
21.在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC




，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC

的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB


.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B


的正弦值.
22.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B


的大小．
23.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB

，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB

；
(2)若
1
1
1
AA
A B

，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
24．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B


的平面角，并说明理由.
25．如图，正三棱锥S
ABC

中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A


的大小；
(3)正三棱锥S
ABC

的体积．
26.如图，在三棱柱ABC
A B C


中，已知CB 平面
,
2
ABB A AB



，且
,
AB
BB A C
AB





.
(1)求AA的长；
(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角A
B C
D


的余弦值.
27.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面
1
1
BB C C 为菱形，
1
1
60 ,
2,
2
CBB
AB
BC
AC
AB







.
(1)证明：平面
1
ACB 平面
1
1
BB C C ；
(2)求二面角
1
1
1
A
AC
B


的余弦值.
28.如图，将边长为
2 的正方形ABCD沿对角线AC 折起，使得点D 到点D的位置，连接BD，O为AC 的
中点.
(1)若平面D AC

平面ABC ，求点O到平面D BC

的距离；
(2)不考虑点D与点B 重合的位置，若二面角A
BD
C


的余弦值为
2
3

，求BD的长度.
29.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，底面ABCD和侧面
1
1
ABB A 均是边长为2 的正方形.
(1)证明：
1
1
BD
B C

.
(2)若
1
120
B BC


，求二面角
1
A
BC
D


的余弦值.
30.在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A
的正切值。
31.如图，在圆锥PO 中，已知
2
PO 
，
O

的直径
2
AB 
，点C 在
AB 上，且
30
CAB


，点D 为AC
的中点．
(1)证明：AC 平面POD
(2)求二面角P
AC
O


的正弦值．
32.在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D 的大小。
33.如图所示，已知圆柱
1
OO 的底面直径
6
AB 
，母线长
8
PA 
，且C 为圆柱底面圆周上的一点，
30
ABC


．求：
（1）圆柱
1
OO 的体积和侧面积；
（2）二面角P
BC
A


的正弦值．
专题7：空间中的距离及体积问题
模块一：基础知识
考点一：距离定义
1.点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P"，则线段PP"的长度就是点到平面的距离.
2.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的
距离．求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，
注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；
②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；
③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离
④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离
3.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上的任意一点到这个平面的距离叫做这条直线
到这个平面的距离.
4.平面与平面的距离
两个平行平面的公垂线、公垂线线段的定义：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公
垂线，其中夹在这两个平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
两个平行平面的距离：两个平行平面的共垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
空间距离包括空间内任意两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两个
平行平面的距离，其中两点间距离和点到直线的距离可以用两点间距离公式处理；点到平面的距离、直线
到平面的距离以及两个平行平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
考点二：点线距
1、点在直线上的射影
自点A 向直线l 引垂线，垂足
1A 叫做点A 在直线l 上的射影．
点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．
2、点线距的求法：
点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。
考点三：点面距
1、点到平面的距离：
已知点P 是平面外的任意一点，过点P 作PA


，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面
的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
奎屯
王新敞
新疆（转化为点到点的距离）
结论：连结平面外一点P 与内一点所得的线段中，垂线段PA 最短
奎屯
王新敞
新疆
2、点面距的求解问题，主要有三个方法：
（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
考点四：线线距
1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线
间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
考点五：线面距
直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离
(转化为点面距离).如果一条直线l 平行与平面,则直线l 上的各点到平面的垂线段相等,即各点到的
距离相等；垂线段小于或等于l 上任意一点与平面内任一点间的距离；
考点六：面面距
1、两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段.
（3）两个平行平面的公垂线段都相等.
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长.
2.两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
考点七：公式法求体积
直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接
找到
考点八：等体积法求三棱锥体积
1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。
【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。
考点九：多面体割补法求体积
1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，
再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；
【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；
常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；
（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；
（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；
（4）将台体补成锥体等等。
【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。
考点十：两部分体积比例法
利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。
【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。
模块二：题型分类
题型一：两点之间的距离
1.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5 的圆台，其两底面之间的距离为（
）
A．4
B．3 2 C．2 3 D．2 6
2.如图，线段AB，BD 在平面�内，��⊥��，��⊥�，且��= 4，��= 3，��= 12，则C，D 两点间的
距离为（
）
A．19
B．17
C．15
D．13
3.在矩形ABCD 中，��= 15，��= 20，现将△CBD 沿对角线BD 翻折，使得平面ABD 与平面CBD 垂直，此
时A、C 两点之间的距离为_____________
4.如图，直三棱柱���−�1�1�1中，∠���=
π
2 ，��= ��1 = 1，��= 2，点�是��的中点，点�是线段
�1�上一动点，点�在平面���1上移动，则�，�两点之间距离的最小值为（
）
A．
3
3
B
．
1
2
C．
2
3
D．1
5.�为矩形����所在平面外一点，且��⊥平面ABCD，P 到B、C、D 三点的距离分别为5、17、13，则�
点到�点的距离为______.
题型二：点到直线的距离
1.如图，正三角形ABC 的边长为2，P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA 平面ABC，且
1
PA ，则P 到
BC 的距离为___________.
2.在棱长为2 的正方体����−�'�'�'�'中，点�为棱��'的中点，则点�'到直线��的距离为（
）
A．3
B．2 2
C．
6 5
5
D．
2 5
5
3.在长方体����−�1�1�1�1中，如果��= ��= 1，��1 = 2，那么A 到直线�1�的距离为（
）
A．
3 6
3
B．
3 6
2
C．
2 6
3
D．
2 3
3
4.【等面积法】古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平
面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的
体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即�= ��（V 表示平面图形绕旋转轴旋
转的体积，S 表示平面图形的面积，�表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt△ACB 中，��⊥��, ��=
2, ��= 4，则△ACB 的重心G 到AC 的距离为（
）
A．
4
3B．
2
3C．1
D．2
5. P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA
PB
PC
a



，则P 到AB 的距离为_____.
6.在菱形ABCD中，
6
AB 
，
30
B


，P 为菱形ABCD所在平面外一点，PA


，
4
PA 
，P 到直线
BC 距离为_________．
7.如图，S 为矩形ABCD 所在平面外一点，且SC


，S 到D，A，B 的距离分别是
5 ，17 ，13 ，则
SC ______；S 到BD 的距离是______.
题型三：直线到直线的距离
1.已知矩形ABCD 中，
2,
1
AB
BC

，折叠使点A，C 重合，折痕为MN ，打开平面ADMN ，使二面角
A
MN
C


的大小为3
，则直线MN 与直线AC 的距离为（
）
A．
3
2
B．
15
4
C．1
D．3 2
2
2.已知矩形����中，��= 2, ��= 1，折叠使点A，C 重合，折痕为��，打开平面����，使二面角�−��−
�的大小为
�
3，则直线��与直线��的距离为（
）
A．
3
2
B．
15
4
C．1
D．
3 2
2
3.已知菱形����中，∠���=
π
3 ，沿对角线��折起，使二面角�−��−�的平面角为�，若异面直线��
与��的距离是菱形边长的
3
4，则�=（
）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
4.如图，在空间四边形ABCD 中，
2
AB
BD
AD



，
7
2
BC
CD


，
3
2
AC 
，延长BC 到E ，使BC
CE

，
取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和它们所成的角．
5.（多选）在长方体����−�1�1�1�1中，��= ��1 = 2��= 2 ，则（
）
A．��1与��1是异面直线
B．��1与��1是异面直线
C．异面直线�1�1与��的距离为1
D．异面直线��1与��的距离为
2 5
5
6.如图，已知四棱锥P
ABCD

中，ABCD 为矩形，PB 平面
,
3,
5
ABCD BC
PC


，
4 2
PA 
，异面直
线BC 与PD 之间的距离为___________.
7.空间四边形ABCD中，
2
AB
BD
AD



，
3
BC
CD


，延长BC 到E ，使得BC
CE

，F 为BD 中点，
则异面直线AF 和DE 的距离为______．
8.（多选）如图，在棱长为4 的正方体����−�1�1�1�1中，E，F，G 分别为棱��，��，��的中点，点
P 为线段�1�上的动点，则（
）
A．两条异面直线�1�和��1所成的角为45°
B．存在点P，使得�1�//平面���
C．对任意点P，平面���1 ⊥平面���
D．点�1到直线�1�的距离为4
题型四：点到平面的距离
1.如图，P 为矩形ABCD所在平面外一点，PA 平面ABCD，若已知
3,
4,
1
AB
AD
PA



，求点P 到BD
的距离.
2. ABC

的三边长分别为3、4、5，P 为平面ABC 外一点，它到三边的距离都等于2，则P 到平面ABC 的
距离是________．
3.如图，圆柱��1的上、下底面圆心分别为�1，O，底面圆直径��= 2，圆柱高为3，C 是下底面圆周上
一动点，连接��1，过��1作圆柱的截面，当截面与圆柱的下底面所成的角最小时，点O 到截面的距离为
（
）．
A．
3
2
B．
2
2
C．1
D．与动点C 的位置有关
4.在直四棱柱����−�1�1�1�1中，四边形����为平行四边形，平面�1��⊥平面�1��．
(1)求证：��⊥��；
(2)若��1 = 2��= 2��= 4，�，�分别为��1，��1的中点，求�到平面BDF 的距离．
5.如图，PA 是三棱锥

P
ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB
AC

，
2
AB
AC
PA



.
（1）证明：BC 平面PAM ；
（2）求A 到平面PBC 的距离.
6.已知四棱柱����−�1�1�1�1的底面是正方形，��= 2，��1 = 2 2，点�1在底面ABCD 的射影为BC 中
点H，则点�1到平面ABCD 的距离为(
)
A．6
B．7
C．2 2 D．3
7.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD，��= ��= 2，点E，F 分别是PC，
PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（
）
A．
2
2
B．2
C．
3
2
D．2
8.如图，正方形����所在平面外一点�满足��⊥平面����，且��= 3，��= 4．求点�到平面���的距
离.
9.如图，在四棱锥�−����中，四边形����是菱形，∠���= 60°，��= ��，�是棱��上的一点，且2��Ԧ
ሬሬሬሬ=
3��Ԧ
ሬሬሬሬ．
(1)证明：��⊥平面���．
(2)若��= 2，��= ��=
6，求点�到平面���的距离．
10.如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
60
ABC


，EA 平面ABCD ，
//
EA BF ，
2
2
AB
AE
BF



.
（1）证明：平面EAC 平面EFC ；
（2）求点B 到平面CEF 的距离.
11.在三棱锥

P
ABC 中，底面ABC 是边长为2 的等边三角形，点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O，
且PB 与底面ABC 所成角为π
3 ，点M 为线段PO 上一动点.
（1）证明：BC
AM

；
（2）若
1
2
PM
MO 
，求点M 到平面PAB 的距离.
12.已知三棱锥�−���的四个顶点均在球�的球面上，��= ��= 2，��= ��=
5，��= ��=
3，�
为球�的球面上一动点，则点�到平面���的最大距离为（
）
A．
6
2 +
22
11
B．
6
2 +
66
22
C．6 +
22
11
D．6 +
66
22
题型五：直线到平面的距离
1.设正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长是2，求棱
1
AA 和平面
1
1
BB D D 的距离．
2.若正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面边长为1，
1
AB 与底面ABCD成60角，则
1
1
AC 到底面ABCD的距离
为__________.
3.已知直线m、n 及平面�，其中�//�，那么在平面�内到两条直线m、n 距离相等的点的集合可能是：①
一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①④D．②④
4.设正方体����−�1�1�1�1的棱长是2，求棱��1和平面��1�1�的距离．
5.如图，在正四棱锥P－ABCD 中，��= ��= 3 2，点M，N 分别在PA，BD 上，且
��
��=
��
��=
1
3．
(1)求证：��⊥��；
(2)求证：��//平面PBC，并求直线MN 到平面PBC 的距离．
6.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
4,
2 2
AB
CC


，E 为
1
CC 的中点，则直线
1
AC 与平面BED 的距离
为________．
7.如图，在五面体ABCDEF 中，AB // DC ，
2
BAD



，
3
CD
AD


，四边形ABFE 为平行四边形，FA 
平面ABCD ，
5
FC 
，则直线AB 到平面EFCD 距离为_________．
题型六：平面到平面的距离
1.如图（1）平行六面体容器
1
1
1
1
ABCD
A B C D

盛有高度为h 的水，
1
2
AB AD AA


，
1A AB


1
60
A AD
BAD



.固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，
1
B ，
1
C ，
D 四点，则h 的值为（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．2 3
3
D．2 6
3
2.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为4 ，则平
面
1
1
AB D 与平面
1
BC D 间的距离为（
）
A．
3
B．
6
3
C．4 3
3
D．2 3
3.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，有一过AD 且与平面
1
1
A D CB 平行的平面，棱
1
5
AA 
，
12
AB 
，则平
面与平面
1
1
A D CB 的距离是_________．
4.我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某
城楼中抽象出一几何体ABCD－EFGH，其中ABCD 是边长为4 的正方形，EFGH 为矩形，上、下底面与左、右
两侧面均垂直，��= 4，��= 2，��= ��= ��= ��，且平面ABCD 与平面EFGH 的距离为4，则异面直
线BG 与CH 所成角的余弦值为______．
5.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别为
1
1
A D ，
1
1
B C 的中点.
（1）求证：平面
1 //
AB E
平面
1
BD F ；
（2）求平面
1
AB E 与平面
1
BD F 之间的距离.
题型七：直接法求体积
1.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M 为棱
1
AA 的中点，N 为棱
1
CC 上靠近点C 的一个三等分点，若记正
三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为V，则四棱锥B
AMNC

的体积为（
）
A．5
12V
B．5
18V
C．5
24V
D．5
36V
2.如图，在四棱锥P
ABCD

中，PA ⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2 ，
4
PA 
，设E 为侧棱PC 的
中点.求四棱锥E
ABCD

的体积V ；
3.如图，三棱锥S
ABC

的底面ABC 的侧面SAB 都是边长为2 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 的
中点，SD
CD

．
（1）证明：BC ∥平面SDE ；
（2）求三棱锥S
ABC

的体积．
题型八：等体积法求体积
1.三棱锥

P
ABC 的侧棱
,
,
PA PB PC上分别有三点E，F，G，且
1
1
1,
,
2
3
PE
PF
PG
EA
FB
GC



，则三棱锥

P
ABC
与P
EFG

的体积之比是（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
2.如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，
60
ABC


，FA 底面ABCD，
/ /
DE
AF ，
M 是BC 的中点，且
3
3
FA
DE


.
（1）求证AM
EF

；
（2）求三棱锥E
ACF

的体积.
3.已知直棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的底面ABCD 为菱形，且
2
AB
AD
BD



，
1
3
AA 
，点E 为
1
1
B D 的中点．
（1）证明：
/ /
AE
平面
1
BDC ；
（2）求三棱锥
1
E
BDC

的体积．
题型九：割补法求体积
1.如图，在几何体ABCFED 中，
8
AB 
，
10
BC 
，
6
AC 
，侧棱AE，CF，BD 均垂直于底面ABC，
3
BD 
，
4
FC 
，
5
AE ，则该几何体的体积为__________．
2.如图所示，空间几何体ADE
BCF
-
中，四边形ABCD 是直角梯形，AD
DC

，四边形CDEF 是矩形，且AD 
平面CDEF，
2
AB
AD
DE



，
4
EF 
，则空间几何体ADE
BCF
-
的体积为___________.
3.设三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为1，则四棱锥
1
1
1
A
BCC B

的体积为___________
4.刍（chu）甍（meng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍
者，下有袤有广，而上有袤无广。刍，草也。甍，屋盖也。求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又
以高乘之，六而一。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草
屋顶。……”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，
//
EF
平面ABCD，
ADE
V
和
BCF
△
是全
等的等边三角形.
（1）求证：
//
EF DC ；
（2）若已知
2
2
4
AB
BC
EF



，求该五面体ABCDEF 的体积.
题型十：体积比例法求体积
1.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的棱长为1，P 是线段
1
1
B D 上的动点，则三棱锥
1
P
A BD

的体积为（
）
A．1
8
B．1
6
C．1
5
D．1
4
2.如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，AB＝1，E 为CD 的中点，则四棱锥
1
1
E
ABC D

的体积为______．
3.如图，在正四棱锥P
ABCD

中，
2,
4,
AB
PA
M


是PB 上的点且
2
,
PM
MB N

是PD 的中点．求：
（1）四棱锥P
ABCD

的表面积；
（2）三棱锥N
MCD

的体积．
4.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为平行四边形，
120
ABC


，
1
AB ，
5
PA 
，PD
CD

，
PB
BD

，点N 在棱PC 上，平面PBD 平面ABCD.
（1）证明：AB
PB

；
（2）若
//
PA 平面BDN ，求三棱锥N
PAD

的体积.
5.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E 分别为A1B1、AA1的中点，点F 在棱AB 上，且AF= 1
4 AB．
（1）求证：EF∥平面BDC1；
（2）在棱AC 上是否存在一个点G，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，
指出点G 的位置；若不存在，说明理由．
题型十一：体积的最值问题
1.三棱锥A
BCD

中，AC 平面BCD，BD
CD

.若
4
AB 
，
2
BD ，则该三棱锥体积的最大值为（
）
A．16
3
B．4
C．8
3
D．2
2.在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面
的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
2


AC
BC AA
，
鳖臑
1
1
1
B
AC B

的外接球的体积为8 2 π
3
，则阳马
1
1
B
ACC A

体积的最大值为（
）
A．2
3
B．4
3
C．8
3
D．4
3.如图，在三棱锥A
BCD

中，
2
BC
DC
AB
AD




，
2 2
BD 
，平面ABD 平面
,
BCD O 为BD 中点，
点
,
P Q 分别为线段
,
AO BC 上的动点（不含端点），且AP
CQ

，则三棱锥P
QCO

体积的最大值为
___________.
4.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，
3
PA ，
2
2
AD
AB


，
120
BAD


，
C 是
BD 上的一个动点.
（1）求圆柱的表面积S圆柱；
（2）求四棱锥P
ABCD

的体积
P ABCD
V 
的最大值.
模块三：综合巩固
1.设��⊥Rt △���所在的平面�，∠���= 90°，PB、PC 分别与�成45°和30°角，��= 2，点P 到BC
的距离是_________________．
2.如图，在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，�为��的中点，点�在线段�1�上，点�到直线��1的
距离的最小值为___________．
3.如图，已知四棱锥�−����中，����为矩形，��⊥平面����, ��= 3, ��= 5，��= 4 2，异面直线
��与��之间的距离为___________.
4.正方体����−�1�1�1�1，棱长为�，则棱�1�1所在直线与直线��1间的距离为______.
5.在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，直线AC 与直线�1�1的距离是______．
6.在棱长为�的正方体����−�1�1�1�1中，点�为等边三角形�1��中线�1�上一点，记�到平面�1�1��、
平面�1�1��以及平面����的距离的平方和为�，则�的最小值为______．
7.已知正方体����−�1�1�1�1的棱长为1，O 是�1�1的中点，则点O 到平面���1�1的距离为______．
8.如图，��是三棱锥�−���的高，线段��的中点为�，且��⊥��，��= ��= ��= 2.
(1)证明：��⊥平面���；
(2)求�到平面���的距离.
9.如图，在四棱锥�−����中，��⊥面����，��⊥��, ��//��，点�, �分别为��, ��的中点，��=
2, ��= 2 2.
(1)证明：直线��//平面���；
(2)求点�到平面���的距离.
10.如图，在四棱锥�−����中，底面ABCD 为正方形，二面角�−��−�为直二面角．��= ��=
2，��⊥
��，M，N 分别为AP，AC 的中点．
(1)求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值；
(2)若平面���∩平面���= �，求点A 到直线l 的距离．
11.（多选）长方体����−�1�1�1�1中，��= 3，��= 2，��1 = 1，则（
）
A．�到平面�1��的距离为
6
7
B．�到平面�1��的距离为
4
7
C．沿长方体的表面从�到�1的最短距离为3 2
D．沿长方体的表面从�到�1的最短距离为2 5
12.如图，在正四棱锥P－ABCD 中，AB＝2，侧面PAD 与底面ABCD 的夹角为
π
3 .
(1)求正四棱锥P－ABCD 的体积；
(2)若点M 是正四棱锥P－ABCD 内任意一点，点M 到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA
的距离分别为�1，�2，�3，�4，�5，证明：2�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = 2 3；
13.如图，在三棱柱���−�1�1�1中，��1 ⊥平面�1�1�1，��= ��，F 是�1�1的中点，点E 在棱��1上．
(1)证明：�1�⊥�1�；
(2)若∠���= 120°，��1 = 2��= 2，且点�1到平面�1��的距离为
21
7 ，求��: ��1的值．
14.如图1，在直角梯形ABCD 中，��∥��，∠���= 90°，��= ��=
1
2 ��，将△���沿AC 折起（如图
2）．在图2 所示的几何体�−���中：
(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
(2)设P 为BD 的中点，记P 到平面ACD 的距离为ℎ1，P 到平面ABC 的距离为ℎ2，求证：
ℎ1
ℎ2为定值，并求
出此定值．
15.四面体����中，��= ��= 13，��= ��= 14，��= ��= 15，则异面直线��与��的距离为______．
16.如图，三棱柱���−�1�1�1的底面是边长为2 的正三角形，侧棱��1垂直于底面ABC，��1 =
3，D 是
CB 延长线上一点，且��= ��．
(1)证明：直线��1∥平面��1�；
(2)直线��1到平面��1�的距离．
17.长方体中����−�1�1�1�1，��= 5，��= 4，��1 = 3，则�1�1到平面���1�1的距离为______．
18.如图，在四棱锥�−����中，底面����是菱形，∠���= 60∘，平面���⊥平面����，��⊥��，��=
��= 2，PD 的中点为F.
(1)求证：��//平面���；
(2)求直线��到面���的距离.
19.如图，平面PCBM 平面ABC ，
90
PCB


，
//
PM BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60，又
1
AC ，
2
2
BC
PM


，
90
ACB


．
（1）求证：AC
BM

；
（2）求多面体PMABC 的体积．
20.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD
DC

，
E 是PC 的中点，作EF
PB

交PB 于点F .求三棱锥A
BDE

的体积；
21.如图，在四棱锥P
ABCD

中，
/ /
AB
CD ，
2
CD
AB

，过AB 的平面分别交PD，PC 于点E，F，且
2
PE
ED

，
记四棱锥P
ABFE

的体积为
1V ，几何体ABCDEF 的体积为
2
V ，则
1
2
V
V ___________.
22.如图，在三棱锥

P
ABC 中，PA 平面ABC ，AB
BC

，AD
BP

，PA
AC

，若三棱锥

P
ABC 外
接球的表面积为8，则三棱锥P
ACD

体积的最大值为（
）
A．
2
3
B．
1
2
C．
3
4
D．
2
4
专题8：空间中的平行于垂直综合
题型一：空间中的平行及证明
1．若m ，n 是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（
）
A．若
/ /m

，
/ /m

，那么
/ /


B．若
/ /
m
，n ，那么
//
m
n
C．若
//
m
n，
/ /
n
，那么
/ /
m

D．若
/ /

，m


，那么
/ /
m

2．（多选）下列说法中正确的是（
）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
3．（多选）如图，空间四边形ABCD中，
,
E F 分别是边AB ，BC 的中点，
,
G H 分别在线段
,
DC DA 上，且
满足DG
DC


，DH
DA


，


,
0,1

，则下列说法正确的是（
）
A．当
1
2
λ
μ


时，四边形EFGH 是矩形
B．当
2
3




时，四边形EFGH 是梯形
C．当


时，四边形EFGH 是空间四边形
D．当


时，直线
,
,
EH FG BD 相交于一点
4．已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的棱长为3，点M 满足
1
3
CC
CM



．若在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
内有一动点P 满
足
/ /
BP
平面
1
AMD ，则动点P 的轨迹长为（
）
A．3
B．10
C．13
D．3 2
5．如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，点E 是棱
1
CC 上的一个动点，若平面
1
BED 与棱
1
AA 交于点F ，
给出下列命题：
①四棱锥
1
1
B
BED F

的体积恒为定值；
②四边形
1
BED F 是平行四边形；
③当截面四边形
1
BED F 的周长取得最小值时，满足条件的点E 至少有两个；
④直线
1
D E 与直线DC 交于点P ，直线
1
D F 与直线DA 交于点Q ，
则P 、B 、Q 三点共线.
其中真命题是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
6．（多选）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点P 在线段
1
BC 上运动，则下列判断中正确的
是（
）
A．
1
/ /
A P
平面
1
ACD
B．三棱锥
1
C
APD

的体积不变
C．以D 为球心，5 为半径的球面与侧面
1
1
BB C C 的交线长为π
D．异面直线
1A P 与
1
AD 所成的角的范围是π π
,
3 2






7.点P 是
ABCD
Y
所在平面外一点，M 是PC 中点，在DM 上任取点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于
GH ．证明：AP
GH
∥
．
8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，M 是PA 上的点，
ABD
△
为正三角形，CB
CD

，PA
BD

．若
120
BCD


，
/ /
DM
平面BPC，求证：点M 为线段PA 的中点．
9.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M 为AB 的中点，求证：BC1 // 平面MA1C．
10.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC∥AD，E 为侧棱PD 的中点，且BC=2，AD=4，求证:CE
∥平面PAB．
11.正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面正三角形的边长为2 ，D 为BC 的中点，
1
3
AA 
.证明：1
/ /
A B
平面
1
ADC .
12.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA 
，E
F
、
分别为AB ，1AC
的中点. 证明:
//
EF
平面
1
1
AA D D；
13.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
D D 分别为棱
1
1
,
AC AC 的中点.求证：平面
1
1
AB D / / 平面
1
BC D.
14.如图：已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为BC 边上一点，
1
D 为
1
1
B C 中点，且
1A B ∥平面
1
ADC ．证明：平
面
1
1//
A BD
平面
1
ADC ．
15.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 为
1
BB 中点，
1
1
B C 与平面
1
AD E 交于点F ．
（1）求证：
1 / /
BC
面
1
AD E ；
（2）求证：F 为
1
1
B C 的中点．
16.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
（1）求证：QN∥平面PAD；
（2）记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
17.如图，某组合体是由正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

与正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D

组成，且
1
3
2
PA
AB

．
（1）若该组合体的表面积为


36 5
2

，求其体积；
（2）证明：
1A B∥平面
1
D AC
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，N，M，Q 分别为PB，PD，PC 的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN 与底面ABCD 的交线为l，试判断直线l 与平面PBD 的位置关系，并证明．
19．如图所求，四棱锥P
ABCD

，底面ABCD为平行四边形，F 为PA 的中点，E 为PB 中点.
(1)求证：PC 平面BFD ；
(2)已知M 点在PD 上满足EC 平面BFM ，求PM
MD 的值.
20.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为平行四边形，E 为棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点
F．
（1）求证：
/ /
PA
平面BDE ；
（2）求证：F 为PD 的中点；
21.如图：在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中
2
AB 
，M 为
1
DD 的中点.
（1）求三棱锥M
ABC

的体积；
（2）求证：
1 / /
BD
平面AMC ；
（3）若N 为
1
CC 的中点，求证：平面
/ /
AMC
平面
1
BND .
22.如图，在棱长为a 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q 分别是被DD1，AB 的中点．
（1）若平面PQC 与直线
1
AA 交于R 点，求
1
AR
A R 的值；
（2）若M 为棱
1
CC 上一点且
1
CM
CC
＝
，若
//
BM
平面PQC ，求的值．
23.已知点P 为正方形ABCD所在平面外一点，
13
PA
PB
PC
PD
AB





，M 、N 分别为PA 、BD 上
的点，且
5
8
PM
BN
MA
ND


.
（1）求证：
//
MN
平面PBC ；
（2）求线段MN 的长.
24.在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，FB 平面ABCD.
（1）求证：AE ∥平面BFC ；
（2）若
1
AD
DE

，
2
AB 
，
3
DB 
，求三棱锥F
AEC

的体积.
25.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，S是
1
1
B D 的中点，
,
,
E F G 分别是
,
,
BC DC SC 的中点，求证：
（1）
/ /
EG
平面
1
1
BDD B ；
（2）平面
/ /
EFG
平面
1
1
BDD B .
26.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M 是线段B1D1上的一个动点，E，F 分别是BC，CM 的中点．
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
（2）设G 为棱CD 上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．
27.如图，已知在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，
过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH .
（1）求证：
//
BC
平面PAD ；
（2）求证：
//
AP 平面BDM ；
（3）求证：
//
AP GH .
28.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F 分别为AD，AB 的中点，点G 在上底面A'B'C'D'（含边界）
上运动．请补充一个恰当条件，当点G 满足__条件时，有BC′∥平面EFG．
题型二：空间中的垂直及证明
1．如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1
1
2,
1
AA
A B
AD


，O 是
1
1
B D 的中点，直线
1AC 交平面
1
1
AB D
于点M，则下列结论错误的是（
）
A．A，M，O 三点共线
B．
1A M 的长度为1
C．直线AO 与平面
1
1
BCC B 所成角的正切值为
5
4
D．
1A MO
△
的面积为
5
6
2.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

，E，F 分别为AB，BC 的中点，则（
）
A．
1
1
AC
B D

B．
1
1
A F
AB

C．
1
BD 平面
1B EF
D．
1
/ /
D F
平面
1A DE
3.如图，在三棱锥A
BCD

中，
90
BCD



，AB
AC
AD


．
（1）证明：平面ABD 平面BCD；
（2）设
2
BC
CD


，E 为AC 的中点，
90
BED



，求点B 到平面ACD 的距离．
4.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是直角梯形，
90
ABC


，
//
AB
CD ，PA 平面ABCD，
2
AB 
，
1
PA
AD
DC


.证明：BC 平面PAC；
5.（多选）如图：在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面为正三角形，且
1
1
45 ,
1
A AB
A AC
AB






，则下列
说法正确的是（
）
A．直线
1A A与底面
1
1
1
A B C 所成角的余弦值为
6
3
B．设BC 中点为P ，则线段
1
PA 的长度的最小值为1
2
C．平面
1
1
A B BA与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值为
2
2
D．直线
1A A与平面
1
1
C AB 所成角的余弦值的最大值为
3
2
6.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧棱与底面垂直，
90
ABC


，
1
2
AB
BC
BB



，M，N 分别是AB ，
1AC 的
中点．求证：MN 平面
1
1
A B C ；
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P
ABCD

中，
/ /
,
90 ,
AD
BC
ABC
PA



平面ABCD，
2
,
6
4,
,
2 3
AD
A
B
PA
B
C




．求证：BD 平面PAC .
8.在平行四边形ABCD中，
6
AB 
，
4
BC 
，
60
BAD


，过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，
连接EB 交AD 于点F ，如图①；将
ADE
V
沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图②．证明：直线AD 
平面BFP ；
9．如图，在四棱锥P
ABCD

中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
4
PA
AB


，G 为PD 中
点，E 点在AB 上，平面PEC 平面PDC ．
(1)求证：AG 平面PCD；
(2)求证：AG∥平面PEC ；
(3)求直线AC 与平面PCD所成角．
10.如图，已知三棱锥S－ABC 中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
11．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E 是棱
1
DD 的中点．
(1)试判断直线
1
BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线
1
BD 平面
1
AB C
(3)若正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

的棱长为2，求点B 到平面
1
AB C 的距离
12.如图，四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB

，点E 是PB 的中点.求证：
（1）BC 平面PAB；
（2）平面AEC 平面PBC.
13.如图在四棱锥P
ABCD

中，四边形ABCD为平行四边形，AB
AC

，O为BC 的中点，且
2
AO
AC
AP



，PA 底面ABCD，M 为PC 的中点.
（1）证明：平面OAM 平面PCD；
（2）求四棱锥P
ABCD

的体积.
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，
又知BA1⊥AC1
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A﹣A1B﹣C 的余弦值的大小．
15.如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别是棱
1
AA ，
1
CC 上的点，CM // 平面BEF ，且M 是AB 的中
点．
（1）证明：平面BEF 平面
1
1
ABB A ；
（2）若
2
AC
AE


，求四面体C
BEF

的体积．
16.如图，四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，PA
AB

，点E 是PB 的中点.
求证：
（1）BC 平面PAB ；
（2）AE
PC

.
17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
60 ,
ABC
FA




平面
,
ABCD FA
ED
∥
，且
2
2
AB
FA
ED



.
（1）求证：BD
FC

；
（2）求点A 到平面FBD 的距离.
18.如图，矩形ABCD中，
,
E F 分别在线段BC 和AD 上，EF
AB
∥
，将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩
形为MNEF ，且平面MNEF 平面ECDF .
（1）求证：CD
MD

；
（2）若EF
EC

，求证：平面NFC 平面NED .
19.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
AB
BC AA
AB


，G 是棱
1
1
AC 的中点．
（1）证明：
1
BC
AB

；
（2）证明：平面
1
AB G 平面
1A BC ．
20.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
3
AB
AD


，
1
4
AA 
，
1
AM
A B

交
1
BB 于M ．
（1）求证：
1
BD 平面MAC ；
（2）设
1
BD 与平面MAC 的交点为O，求证：O为
MAC
△
的垂心．
21.如图，在四棱锥P
ABCD

中，PA 底面ABCD，AB
AD

，AC
CD

，
60
ABC


，PA＝AB＝BC，E
是PC 的中点．求证：
（1）CD
AE

；
（2）PD 平面ABE．
22.如图，四棱锥P
ABCD

的底面ABCD 是平行四边形，平面PAD 平面ABCD，
60
BAD


，
2

AD
AB，
PA
PD

.O，E 分别是AD，BC 中点.
（1）证明：BD 平面POE；
（2）
2
AB 
，
2 2
PA 
，求点E 到平面PCD 的距离.
23.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
1
AC
B C

，
1
1
1
1
AC
B C

，
1
1
1
1
2
A A
A B

，M 为棱
1
1
A B 的中点.
（1）求证：AM 平面
1
BC M ；
（2）若
1
1
2
AC 
，求三棱锥
1
A
BC M

的体积.
24.如图，四棱锥P
ABCD

中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1
2
2
AB
BC
AD



，
90
BAD
ABC



，O是AD 的中点.
（1）求证：平面PAC 平面POB ；
（2）点M 在棱PC 上，满足


0
1
PM
PC





且三棱锥P
ABM

的体积为
3
3
，求的值.
25.如图，在三棱锥

P
ABC 中，H 为ABC

的内心，直线AH 与BC 交于M，PAB
PAC


，PCA
PCB


.
（1）证明：平面PAM 平面ABC；
（2）若AB
BC

，
3
PA
AB


，
4
BC 
，求三棱锥M
PAC

的体积.
26.如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，△SAD 为正三角形．侧面
SAD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AD，SB 的中点．
（1）求证：AF∥平面SEC；
（2）求证：平面ASB⊥平面CSB；
（3）在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求
BM
BS 的值；若不存在，请说明理由．