文档内容
拔高点突破 01 立体几何中的截面、交线问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：截面作图................................................................................................................................2
题型二：截面图形的形状、面积及周长问题....................................................................................4
题型三：截面切割几何体的体积问题................................................................................................5
题型四：球与截面问题........................................................................................................................6
题型五：截面图形的个数问题............................................................................................................6
题型六：平面截圆锥问题....................................................................................................................7
题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题............................................................8
题型八：截面有关的空间角问题......................................................................................................10
题型九：交线问题..............................................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................11解决立体几何截面问题的解题策略．
1、坐标法
所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问
题增添了一种代数计算方法．
2、基底法
所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其
理论依据是：若四点E、F、G、H共面， 为空间任意点，则有：
结论1：若 与 不共线，那么 ；
结论2： ．
3、几何法
从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面
几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而
得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．
题型一：截面作图
【典例1-1】（2024·河南·三模）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，
分别为 的中点.
在答题卡的图中作出平面 截四棱锥 所得的截面，写出作法（不需说明理由）；【典例1-2】如图所示，已知正方体 ，过点 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截
面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面．
【变式1-1】如图，已知正方体 的棱长为1， 分别是线段 上靠近 的三等
分点．过点 作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．
【变式1-2】如图，正四面体ABCD中，P是AB上一点， ， ， ，R为CD中
点，截面PRQ与CB交于点S．确定S的位置．题型二：截面图形的形状、面积及周长问题
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 中，点 是线段 上靠近 的三等分
点，点 是线段 上靠近 的三等分点，则平面AEF截正方体 形成的截面图形为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块 的棱长为4，点 在棱 上，
且 .现过 三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体 中， ，点 ， ，
分别在棱 ， 和 上，且 ， ， ，则平面 截长方体所得的截面形
状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体 中， ， 分别为棱 ，
的中点， 为线段 的中点，球 的表面与线段 相切于点 ，则球 被正四面体 表面截
得的截面周长为 ．题型三：截面切割几何体的体积问题
【典例3-1】（2024·河北·模拟预测）过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部
分圆锥与下部分圆台体积比为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
，点D是棱 上的点， ，若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分
的体积比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【变式3-1】（2024·贵州贵阳·一模）在三棱柱 中， 底面 ， ，
点 是棱 上的点， ，若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·河北衡水·一模）已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交于线段
，若截面 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则 （ ）
A． B． C． D．题型四：球与截面问题
【典例4-1】（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱 中， ， ，过
作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
【典例4-2】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球 所得截面圆的半径为2，且球心 到截面圆所在平
面的距离为1，则该球的体积为 ．
【变式4-1】已知球 的体积为 ，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面 截球 和圆锥所得
的截面面积分别为 ，若 ，则
【变式4-2】（2024·陕西西安·三模）如图，已知球 的半径为 ， 在球 的表面上， ，连接
球心 与 ，沿半径 旋转 使得点 旋转到球面上的点 处，若此时 ，且球心
到 所在截面圆的距离为 ，则球 的表面积为 ．
题型五：截面图形的个数问题
【典例5-1】过正四面体 的顶点P作平面 ，若 与直线 ， ， 所成角都相等，则这样的
平面的个数为（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例5-2】（2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体 的顶点 作平面 ，
使得正方体的各棱与平面 所成的角都相等，则满足条件的平面 的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】设四棱锥 的底面不是平行四边形,用平面 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四
边形,则这样的平面
A．有无数多个 B．恰有 个 C．只有 个 D．不存在
【变式5-2】（2024·浙江·模拟预测）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截
面与底面BCD所成的角为 ，这样的截面有（ ）A．6个 B．12个 C．16个 D．18个
题型六：平面截圆锥问题
【典例6-1】用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用
一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶
角为 ，截口曲线形状与 有如下关系：当 时，截口曲线为椭圆；当 时，截口曲线为抛物线：
当 时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中 ，现有一定线段 ，其与平面 所成角
（如图2）， 为斜足， 上一动点 满足 ，设 点在 的运动轨迹是 ，则（ ）
A．当 时， 是抛物线 B．当 时， 是双曲线
C．当 时， 是圆 D．当 时， 是椭圆
【典例6-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上
一点A作平面 ，若 截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式6-1】如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进
行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两
个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于 、 ，在截口曲线上
任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球切于 、 ，由球和圆的几何性质，可以知道， ，
，于是 ，由 、 的产生方法可知，它们之间的距离 是定值，由椭
圆定义可知，截口曲线是以 、 为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点
光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知 是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切， ，则
椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·上海虹口·模拟预测）在圆锥 中，已知高 ，底面圆的半径为4，M为母线
的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四
个命题，正确的个数为（ ）
①圆的面积为 ；
②椭圆的长轴长为 ；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为 ；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题
【典例7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知 分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中
点.过 的平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则正确的选项是（ ）
①截面多边形 可能是三角形或四边形.
②截面多边形 周长的取值范围是 .
③截面多边形 面积的取值范围是 .
④当截面多边形 是一个面积为 的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【典例7-2】（2024·四川·一模）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该正方
体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
【变式7-1】若圆锥的轴截面是一个顶角为 ，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，
截面面积的最大值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【变式7-2】（多选题）（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，点
E，F分别是 和 的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面 与平面ACE垂直，当 与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
【变式7-3】正方体 中作一截面与 垂直，且和正方体所有面相交，如图所示．记截面
多边形面积为 ，周长为 ，则（ ）
A． 为定值， 不为定值 B． 不为定值， 为定值C． 和 均为定值 D． 和 均不为定值
题型八：截面有关的空间角问题
【典例8-1】（2024·四川成都·高三校联考期末）在正方体 中， 为线段 的中点，设平
面 与平面 的交线为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】在正方体 中，E为线段AD的中点，设平面 与平面 的交线为 ，则
直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体 中， 为 中点，
过 的截面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型九：交线问题
【典例9-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在正方体 中，E是棱 的中点，记平面
与平面ABCD的交线 ，平面 与平面 的交线 ，若直线AB与 所成角为 ，直线AB与
所成角为 ，则 的值是 ．
【典例9-2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱柱 中， ， ，点 为 的
中点，点 为 的中点，平面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【变式9-1】（2024·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体 中， 为棱 （不含端点）上的动点，
过点 的平面 与平面 平行．若平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值的最大值为 ．
【变式9-2】（2024·山东·二模）三棱锥 中， 和 均为边长为2的等边三角形， 分
别在棱 上，且 平面 平面 ，若 ，则平面 与三棱锥 的交
线围成的面积最大值为 ．
【变式9-3】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面
与平面 的交线为 ，平面 与平面 的交线为 ，若直线 分别与 所成的角为
，则 ， .
1．已知球O是正三棱锥 （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ，
，点E为线段 的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正三棱锥 的外接球是球 ，正三棱锥底边 ，侧棱 ，点 在线段 上，且
，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为 ，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面 被球
O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥 的外接球是球 ，正三棱锥底边 ，侧棱
，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）A． B． C． D．
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体 中， ，点 是线段 上靠
近 的四等分点，点 是线段 的中点，则平面 截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2024·四川成都·二模）在正方体 中， 、 分别是棱 、 靠近下底面的三等分
点，平面 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 过点
B．
C．过点 的截面是三角形
D．过点 的截面是四边形
7．（2024·安徽安庆·三模）在正方体 中，点 分别为棱 的中点，过点
三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱 的交点是棱 的一个三等分点
C． 平面
D．平面 平面
8．（多选题）（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形， 为
的中点． ，过 作平面 的垂线，垂足为 ，连 ， ，设 ，
的交点为 ，在 中过 作直线 交 ， 于 ， 两点， ， ，过
作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为9．（多选题）（2024·福建福州·模拟预测）在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点， 是线段 上的动点（不含端点），则（ ）
A．存在点 ，使 平面
B．存在点 ，点 到直线 的距离等于
C．过 四点的球的体积为
D．过 三点的平面截正方体 所得截面为六边形
10．（2024·山西吕梁·二模）已知圆台 的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为
3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为 .
11．现要将一边长为101的正方体 ，分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体
各棱 ， ， ， 于点P，Q，R，S（可与顶点重合）；（2）线段 ， ， ， 的长度
均为非负整数，且线段 ， ， ， 的每一组取值对应一种分割方式，则有 种不同的分割方
式.（用数字作答）
12．（2024·河南·模拟预测）在三棱柱 中， 底面 ， ，点P是
棱 上的点， ，若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .
13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过正三棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 ，
若三棱锥 与三棱台 的表面积之比为 ，则直线 与底面 所成角的正切值为
.
14．（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面
的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的
直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如
图1，一个球面的半径为 ，球冠的高是 ，球冠的表面积公式是 ，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知 是以 为直径的圆上的两点， ，则
扇形 绕直线 旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .
15．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为 ，设圆锥顶点为P，
平面 为经过圆锥顶点的平面，且与直线 所成角为 ，设平面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为
， ，则 .
16．（2024·河南·三模）在正四棱柱 中， ， ，点P为侧棱 上一点，过
A，C两点作垂直于BP的截面，以此截面为底面，以B为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值
范围是 ．
17．（2024·重庆·三模）在三棱锥 中， 为正三角形， 为等腰直角三角形，
且 ， ，则三棱锥 的外接球 的体积为 ；若点 满足 ，过点 作球 的
截面，当截面圆面积最小时，其半径为 .
18．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂
直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
19．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正四棱锥 的所有棱长都为2，点 在侧棱 上，过点
且垂直于 的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 .
20．（2024·重庆·模拟预测）已知正四棱锥 的底面边长为2，过棱 上点 作平行于底面的截
面 若截面边长为1， 则截得的四棱锥 的体积为 ．
21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体 的外接球的表面积为 ，点 ， 分别是， 的中点，过 ， ， 的截面最长边长为 ，最短边长为 ，则 .
22．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，则球的
表面积是 ．
23．（2024·河南·模拟预测）在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，过点 的平面
截正方体 的外接球的截面面积的最小值为 .
24．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两
个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为
，记过两个圆锥轴的截面为平面 ，平面 与两个圆锥侧面的交线为 ．已知平面 平行于平
面 ，平面 与两个圆锥侧面的交线为双曲线 的一部分，且 的两条渐近线分别平行于 ，则该
双曲线 的离心率为 ．
25．（2024·广东湛江·模拟预测）在棱长为 的正方体 中， 分别是 和 的中点，
经过点 的平面把正方体 截成两部分，则截面与 的交线段长为 .
26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在棱长为12的正方体 中，已知E，F分别为棱AB，
的中点，若过点 ，E，F的平面截正方体 所得的截面为一个多边形，则该多边形的
周长为 ，该多边形与平面 ，ABCD的交线所成角的余弦值为 ．
