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专题 09 三角函数与几何综合
类型一、网格问题
例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
与 相交于点P，则 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取格点 ，连接 、 ，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得 ，
求得 ，再根据题意证得 即可求解．
【详解】解：取格点 ，连接 、 ，设网格中每个小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方
形的顶点称为格点．点 、 、 、 均在格点上， 与 相交于点 ，则 的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 于E，由 可证 ，则可得 ，由此
可求出 的长，再在 中根据面积法求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，
即可求出 的余弦值，由于 ，因此可得 的余弦值．
【详解】
作 于E，
，
，
，
，．
中 ，
．
，
，
解得 ，
．
，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、
勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则
sin∠AOB＝ ．
【答案】 /
【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求
出sin∠CBE即可.
【详解】解：如图，由图可知， ， ，
∴ ，
而 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形.
【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点 都是小正方形的顶点， 与 相
交于点 ，则 的值是 ．
【答案】 .
【分析】建立平面直角坐标系，利用直线解析式确定交点的坐标，计算两点间距离，判定
三角形的形状，继而计算即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，连接DE，交AB于点F，根据题意，得A（0，3），B（4，1），C（1，3），D（2，0），E（3，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为 ，
同理可得，直线CD的解析式为 ，直线DE的解析式为 ，
∴ ，解得 ，∴点P的坐标为（ ， ），
同理可得，点F的坐标为（ ， ），∴ = ，
= ， = ，
∴ ，
∴ DPF是等腰直角三角形，
∴ △∠BPD=45°，
∴sin∠BPD= sin 45°= ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的计算，勾股定理的逆定理，根据题意，熟
练建立平面直角坐标系，利用待定系数法确定解析式，利用解析式确定交点坐标，利用两
点间距离公式确定线段长是解题的关键.【变式训练4】．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交
BD于点E，则tan∠CED的值是 ．
【答案】
【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出
，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于
F，根据三角形的面积得出 ，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角
三角形求出答案即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，
∵ ，
∴
∴ ，
由勾股定理得： ， ， ，
则 ， ，
过C作CF⊥BD于F，
∵△BCD的面积 ，
∴△DCE的面积为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质
等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．
类型二、三角函数与圆综合
例．在锐角 ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，
AF⊥DE于点F．
△
（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；
（2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）相切，见解析；（3） ．
【分析】（1）由AB是直径，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，证明∠EDC=∠BAC=2∠DAC，
只需证明∠CAF=∠DAC即可；
（2）证明∠BAF=90°即可；
（3）连接BE，则cos∠ABE= cos∠ADE= = ，求得AE，EC，后利用勾股定理表示
BC，代入计算即可．
【详解】（1）∵AB是直径，∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵A，B，D，E四点共圆，
∴∠EDC=∠BAC，∠DEC=∠ABC，∴∠EDC==2∠DAC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∵AF⊥DE，
∴∠CAF=90°-∠AEF=90°-∠DEC=90°-∠ACD=∠DAC，
∴∠EDC==2∠CAF；
（2）直线AF与⊙O的相切．
理由如下：∵AB=BC，AB=AC，
∴ ABC是等边三角形，∠BAC=60°，
∵
△
∠BAD=∠CAD，由（1）得∠BAD=∠CAD=∠CAF=30°，
∴∠BAF=3∠BAD=90°，
∵AB是直径，
∴直线AF与⊙O的相切；
（3）如图，连接BE，则∠ABE= ∠ADE ，
∴cos∠ABE= cos∠ADE= = ，设AB=25k，则BE=24k，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE= =7k，
∵AB=AC，∴AC=25k，EC=AC-AE=25k-7k=18k，
在直角三角形BEC中，BC= =30k，∴ = = ．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形外角等于内对角，等腰三角形的性质，直径上的圆周
角是直角，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定，等边三角形的判定，熟记切线
的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式训练1】．如图， 中，以 为直径的 交 于点D， ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）在 上取点E，使 ，过点E作 交 于点F．若 ，求
的值．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1） 为直径，得到 ，根据 ，得到 ，
问题得证；
（2）先证明 ， ，设 ，则
，得到 ， ，即 ，得
到 ，进而得到 ，即可得到 ．
【详解】解：（1）证明：
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 为 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
设 ，则 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数、
圆周角定理等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键．
【变式训练2】．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点
G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tanA= ，求GF的长．
【答案】(1)见解析；(2)1
【分析】（1）根据圆的性质得 ，再通过角的转换及可证明；
（2）连接 ，由圆的相关性质可证 ，得到 ，即可求GF的长；
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
的半径为 ， ,
，
，
在 中， ， ，
， ，
∵ OG∥BE，O为AB的中点，
，
，
，
，
即 ，
，解得 ．
所以 的长为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、锐角三角函数，掌握相关知识，并灵活应用是解题的
关键．【变式训练3】．如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，过
点D作 ，垂足为点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形和三角形内角和的性质，推导得 ，
结合平行线的性质，得 ，根据切线的性质分析，即可完成求解；
（2）分别连接 、 ，根据直径所对圆周角为直角和三角函数的性质，推导得
；根据勾股定理的性质，得 ；再结合相似三角形的性质计算，即可得到答
案．
【详解】（1）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
∴∵ ，
∴
∴ 是 的切线；
（2）分别连接 、 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ．
在 中， ，
设 ，
∴
∵ ，
∴ ．
∴ 或 （舍去）
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．∴
经检验， 是原方程的解
∴ ．
【点睛】本题考查了三角函数、圆、相似三角形、勾股定理、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、圆周角、切线、相似三角形的性质，从而完成求解．
课后训练
1．如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，
且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM= ，则AT的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据HL判定Rt△ABM Rt△AND，再由全等三角形的对应角相等证明
∠DAM=∠AND，继而证明DN//AM，进一步得到△DNT △AMT，然后根据相似三角形对应
边成比例解题，结合tan∠ABM= ，可解得 ，据此解题．
【详解】∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，
∴Rt△ABM Rt△ADN（HL）
∴∠DAN=∠BAM，DN=BM．
∵ ∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠DAM=∠ADN，
∴DN//AM，
∴△DNT △AMT，
∴ = ，
∵tan∠ABM= = =
∴
∵AD=DC=4，
∴AT= AD=1，
故选 A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶
点A、B恰好分别落在反比例函数 、 的图像上，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点A，B落在函数 ， 的图象上，根据反比例函数的几何
意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是
直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出
答案．
【详解】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数 上，点B在 上，∴S ＝ ，S ＝2，
AOD BOE
△ △
又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°
∠OBE+∠BOE＝90°，
∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，
∴ ，∴
设OA＝a，则OB＝2a，AB＝ ，
在RtAOB中，cos∠ABO＝
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出cos∠ABO的值．
3．如图，一次函数 与反比例函数 （ ， ）的图象交于 ， 两
点，与 轴交于 点．若 ， 的面积为5，则 的正切值为 ， 的
值为 ．
【答案】 2 12
【分析】设直线与x轴的交点为D，则D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根据
OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；设点A的坐标为（ ， ），点B的
坐标为（ ， ），则 = ， ， 是方程 = 的两个根，利用OA=OC
和一元二次方程根与系数的关系定理计算即可．
【详解】设直线与x轴的交点为D，
∵
∴D（2b,0），C（0，b），
∴OD=2b，OC=b，
∴tan∠OCA= ，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴tan∠OCA=tan∠CAO=2
故答案为：2；
设点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），则 ， 是方程 = 的
两个根，
∴ ， 是方程 的两个根，
∴ + =2b， =2k，
∴ = ，∵OA=OC，
∴
∴ ，
解得b= ，
∴ + = ，
∴ = ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 =4或 =-4（舍去）
∴ = =6，
∵ =2k，
∴2k=24，
∴k=12，
故答案为：12；
故答案为：2,12．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的相交，一元二次方程的解法，根与系数的关
系定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，灵活用等腰三角形的性质构造等式，构
造一元二次方程是解题的关键．
4．如图， 内接于 的半径为6， 于点 ，则 的长
为 ．【答案】
【分析】作直径BE，连接CE，作CF BE于点F，则在直角△BCE中解直角三角形求得
EC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】解：作直径BE，连接CE，作CF BE于点F，如图，
，
，
是直径，CF BE，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及三角函数的定义，勾股定理，正确作出辅助线是关
键．
5．如图，在 中， ， ．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在
边BC、AC、AB上，若 ，则矩形EDFG面积的最大值= ．【答案】 /
【分析】设ED=x ，EF=y， 过F作FH⊥AC于H，用含x和y的代数式表示出矩形EDGF
的面积，再配方可求出面积的最大值．
【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H,
在Rt△ECD中，∵tan∠DEC= ，∴sin∠DEC= ，cos∠DEC= ，∴EC= x.
∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，
∴HE=y×sin∠EFH= y×sin∠DEC= y，∴FH= ，
∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH= ，
∵AC=AH+HE+EC= ，∴ =4，∴y= ，
∴S EDEF=xy= = ，
矩形
∴当x= 时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的最值，等腰直角三角形，锐角三角函数的定义，属于中档题．
6．如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则
．【答案】1
【分析】取格点D，连接 ，根据勾股定理的逆定理得到 是直角三角形，根据
，得到 ．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接 ，
∵ ， ， ，
，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ．故答案：1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等， 添加辅助线，熟练掌握勾
股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关
键．
7．如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点， 的平分线交
于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的值
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长 交 的延长线于 ，证得 ，再利用等量代换证得
，即可得证；
（2）作 ，垂足为 ，得矩形 ，根据（1）的结论求得DG，也就是AM的
长度，再利用线段的和差关系和勾股定理求得MF、MG的长度，即可求解．
【详解】（1）证明：延长 交 的延长线于 ，
在正方形 中， ，
∴ ， ， ．
又∵ 是 的中点，
∴ ．
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
（2）解：作 ，垂足为 ，得矩形 ．
在正方形 中， ，又 ， ，
∴ ．
由（1）可知， ，
∴ ，
又 ， 是 的中点，
，
∴在Rt△MFG中， ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，三角函数
公式等知识点，难度较大，题目比较综合．
