文档内容
专题 7-1 立体几何压轴小题；截面与球
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................7
【题型一】截面最值....................................................................................................................................................7
【题型二】球截面.......................................................................................................................................................10
【题型三】截面综合难题.........................................................................................................................................13
【题型四】线面垂直型求外接球...........................................................................................................................17
【题型五】特殊三角形定球心型...........................................................................................................................20
【题型六】定义法列方程计算型求球心.............................................................................................................22
【题型七】内切球.......................................................................................................................................................25
【题型八】棱切球型最值.........................................................................................................................................30
【题型九】内切球与外切球一体综合.................................................................................................................31
【题型十】球综合.......................................................................................................................................................35
专题训练.........................................................................................................................................................................39
讲高考
1．江西·高考真题）如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面
都相切的球）球心 ，且与 、 分别截于 、 .如果截面将四面体分为体积相等的
两部分，设四棱锥 与三棱锥 的表面积分别为 ， ，则必有（ ）
A． B． C． D． 的大小不能
确定
【答案】C
【分析】连接 、 、 、 ， ， ，表示出 、 ，即可得到 与
的关系.
【详解】解：连接 、 、 、 ， ， ，
则 ， ，
又 ，
而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面 公共，
故 ，即 .故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【分析】证明 平面 ，即可判断A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
设 ，分别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可
判断BCD.
【详解】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面
的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半
径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即
，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ，
，故 或 ，即 或
，解得 符合题意，所以球的表面积为 ．
故选：A．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若
该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关
系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且
仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的
取值范围是
5．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆
锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
6．（2020·全国·统考高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外
接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球
的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属
于基础题.
题型全归纳
【题型一】截面最值
【讲题型】
例题1..正方体 为棱长为2，动点 ， 分别在棱 ， 上，过点 ， ，
的平面截该正方体所得的截面记为 ，设 ， ，其中 ， ，下列命
题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）
①当 时， 为矩形，其面积最大为4；②当 时， 的面积为 ；③当 ，
时，设 与棱 的交点为 ，则 ；④当 时，以 为顶点， 为
底面的棱锥的体积为定值 ．
【答案】②③④
【分析】由题意可知当 ， 变化时， 为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．
【详解】解：当 时，点 与点 重合， ，此时 为矩形，当点 与点 重合时， 的面
积最大， ．故①错误；
当 ， 时， 为 的中位线， ， ， ， 为
等腰梯形 的面积，
过 作 于 ， ， ， ， ， ，
，故②正确；
由图可设 与 交于点 ，可得 ， ，
，则 ， ，故③正确；当 时，以 为定点， 为底面的棱锥为 ，
，故④正确；
故答案为：②③④．
【讲技巧】
求截面方法：
1. 平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
2. 相交线法：
（1）两条相交直线确定一个平面
（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
【练题型】
1.如图，长方体 中，AB=BC=4， ，M是线段 的中点，点N在
线段 上，MN BD，则长方体 被平面AMN所截得的截面面积为
___________.
【答案】
【分析】先判断出截面是五边形AEMNF，再求出相关边长，通过
计算面积即可.
【详解】如图，M是线段 的中点，点N在线段 上，MN BD，所以N为 的中点.延长
交直线MN于点P，连接AP交 于点E；延长 交直线MN于点Q，
连接AQ交 于点F.则PM=MN，NQ=MN.于是易得E､F分别为 ､ 的三等分点，因
此截面为五边形AEMNF，
， ， ， ，
过 作 于 ，交 于 ，由 ， 可得
，故
.
故答案为： .
2.如图，在正四棱台 中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点
分别在 上，且 .过点 的平面 与此四棱台的下底面会相
交，则平面 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；
根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积．
【详解】当斜面α经过点 时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为
等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8
此时作正四棱台 俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台 的高为5，所以截面等腰梯形的高为
所以截面面积的最大值为
所以选B
【题型二】球截面【讲题型】
例题1.在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面
ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，
CD上运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O
的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【分析】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则 ，所
以 ，表达出三棱锥E－ACF的体积 ，得到当 时，V
取得最大值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求出截面面积的最小值
【详解】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，
因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以 ，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面 平面ACD＝AC， 平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则 ，所以 ，
所以三棱锥E－ACF的体积
，
当 时，V取得最大值 ．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在 COF中，由余弦定理得：
△ ，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以 ，则截面面积的最小值为 ．故选：C．
【讲技巧】
用一个平面 去截球，若平面 经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面 不经过
球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。
【练题型】
1.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形
成的交线的长度为___________.
【答案】
【分析】两个球相交形成的截面图形为圆面，根据几何形质求出截面圆的半径即可.
【详解】设外接球半径为 ，外接球球心到底面的距离为 ，
则 ，所以 ，两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在 中， ， ，在 中，
，
所以交线所在圆的半径为 ，所以交线长度为 .故答案为：
2.在正四棱锥 中，已知 ， 为底面 的中心，以点 为球心作
一半径为 的球，则平面 截该球的截面面积为________．
【答案】83π##8π3
【分析】取 中点 ，连接 ，作 ，根据线面垂直的判定与性质可证得
平面 ，由球的性质可确定 为所求截面圆的圆心，设 为该截面圆与 的一个交点，
利用勾股定理和面积桥的方式可求得 ，即截面圆的半径，由此可得所求面积.
【详解】由正棱锥性质知： 平面 ，
取 中点 ，连接 ，作 ，垂足为 ，平面 ， 平面 ， ，
分别为 中点， ，又 ， ，
平面 ， ， 平面 ，又 平面 ，
，又 ， 平面 ， ，
平面 ，则由球的性质可知： 为平面 截球 所得截面圆的圆心，
设 为该截面圆与 的一个交点，连接 ，
， ， ， ，
，又 ， ；
， ，即截面圆的半径 ，
截面圆的面积 .故答案为： .
【题型三】截面综合难题
【讲题型】
例题1.如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，
， 为 的中点.过 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记
上､下两部分的体积分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断 为 的重心，再利用重心得到 ，求出，进而得到 ，借助基本不等式求出最小值即可.
【详解】
过 作平面 的垂线，垂足为 ，连 ，设 的交点为 ，在 中
过 作直线 交 于 两点，由相交直线确定平面，则四边形 为过 的
截面.由计算可得 ，得 为正三角形， ，所以 为 的重心，设
，由向量运算可得 ，又
，可得 ，所以 ，由三点共
线，得 ，即 ，易得 到平面 的距离为 ， 到平面 的
距离为1，因为 ，所以
，
，得 ，
，由 ， ，得 ，当且仅当
取等号，所以 ，即 的最小值为 .
故选：A.
【练题型】
1.在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O在 内部），且
PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ， 与
底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 可能值为
D．当 取值最大时，
【答案】C
【分析】对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明 与 全等，
然后根据直线 垂直并平分线段 即可判断 ；对选项B，找到角的关系和 ，然后分别运用正切的两角差公式解
得 即可；对选项C和D，均是先根据 运用正切的两角
差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断.
【详解】
如图所示，连接延长 交 与 ，连接延长 交 与 ，设平面 平面
顶点P在底面的射影为 的垂心 ， 平面 ，平面 平面 。则有：直
线 与 平行
又 ，则 。 平面 ，则
又
则 平面
从而
故 为 与平面 的二面角，即
同理可得：
对选项A， ，又 ，则有：
可得： 与 全等，则
又根据 是 的垂心，则，
综上可得：直线 垂直并平分线段
可得： ，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：
又 ，则有：
可得：
解得：
则 ，故选项B正确；对选项C，若 ，则有：
则有：
化简后可得：
令 ，则有：
则有： ，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设 （ ），则有：
可化简为：
令 ，则有：
则有：
解得：
故 取得最大值时， ，此时
同理可得：
故 ，且
则有： ，故选项D正确；
故选：C
2.如图， 是边长为6的正三角形 的一条中位线，将△ 沿直线 翻折至△
，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球 的表面积为______；
过 的中点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______.
【答案】
【分析】由题意，当面 面 时三棱锥 的体积最大，即可确定△的外接圆圆心 ，四边形 的外接圆圆心 ，再确定四棱锥 的外接球球心
，外接球的半径，求外接球 的表面积；以 为直径的球 的截面圆的面积最小，求截
面圆面积的最小值
【详解】由题可知，当面 面 时，三棱锥 的体积最大，
取 的中点 ，连接 ，易知△ 的外接圆圆心 位于 且靠近点 的三等分
点处，
设 的中点为 ，连接 ， ，则 ，
可知 为四边形 的外接圆圆心，过 作平面 的垂线，
过 作平面 的垂线，两垂线的交点即四棱锥 的外接球球心 .
连接 ，易得四边形 为矩形， ，连接 ，
在 中， ，
∴四棱锥 外接球 的表面积为 .
由题可得，以 为直径的球 的截面圆的面积最小，最小值为
.
故答案为： ， .
【题型四】线面垂直型求外接球
【讲题型】
例题1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球
O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC的外接圆半径，三棱锥
底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边
三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.
【详解】设球的半径为R，则 ，解得： ，设三角形ABC的外接圆半径为r，则 ，
即 ，解得： ，
当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，
如图所示：
要想 面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，
此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，
连接BO并延长，交圆于点D，连接CD，则 ，BC⊥BC，
设 ，则 ， ，
，
则 ，
令 ，则
，
当 ，即 时， ，当 ，
即 时， ，
即 在 单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，
，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为
故选：A
【讲技巧】
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的
外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理图1 图2
2.计算公式
【练题型】
1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，若球O的
表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC的外接圆半径，三棱锥
底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边
三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.
【详解】设球的半径为R，则 ，解得： ，
设三角形ABC的外接圆半径为r，则 ，
即 ，解得： ，
当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，
如图所示：
要想 面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，
此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，
连接BO并延长，交圆于点D，连接CD，则 ，BC⊥BC，
设 ，则 ， ，
，
则 ，
令 ，则
，
当 ，即 时， ，当 ，
即 时， ，
即 在 单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为
故选：A
2.已知 四点均在半径为 （ 为常数）的球 的球面上运动，且 ，
， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意要使四面体的体积最大，则 在底面 的投影恰好为底面三角形外接圆
的圆心 ，则外接球的球心在 上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得 的值，进
而求出外接球的表面积．
【详解】
因为 ，作 于 ，
则 为 的中点，且 ，
若四面体 的体积的最大值时，则 面 ，则外接球的球心在 上，设为 ，
设外接球的半径为 ，连接 ，则 ，
当且仅当 ，即
时取等号，
因为三棱锥的最大体积为 ，所以 ，可得 ，
所以外接球的表面积为 ，故选：C．【题型五】特殊三角形定球心型
【讲题型】
例题1.已知三棱锥底面 是边长为 的等边三角形，顶点 与 边中点 的连线 垂
直于底面 ，且 ，则三棱锥 的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到球心的位置，求出各边长，设出 ，利用半径相等列出方程，求
出半径.
【详解】连接 ，取 靠近 点的三等分点，则 为等边三角形的外心，
过点E作 ，则点O即为三棱锥 的外接球球心，连接OS，OC，
过点O作 交SD于点F，则 ，
因为底面 是边长为 的等边三角形，所以 ，
，
设 ，则 ，设外接球半径为 ，则
， ，
故 ，解得： ，
所以 ，故 . 故选：D
【讲技巧】
当几何体表面图形为特殊图形时，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该
垂线必过球心
【练题型】
1.在三棱锥 中， ，二面角 的余弦值为 ，当三棱
锥 的体积的最大值为 时，其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角 的平面角为 ；根据
题意可知当 ， 时，三棱锥 的体积最大．根据体积的最大值可求
得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积．
【详解】如图，设球心 在平面 内的射影为 ，在平面 内的射影为 ，则二面角 的平面角为 ，
点 在截面圆 上运动，点 在截面圆 上运动，
由图知，当 ， 时，三棱锥 的体积最大，此时 与 是
等边三角形，
设 ，则 ， ， ，
，
解得 ，所以 ， ， ，设 ，则
，
解得 ，∴ ，球 的半径 ，
所求外接球的表面积为 ，故选B.
2..在三棱锥 中， ，则三棱锥 的
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求得 与 的外接圆的半径为2， 是等边三角形，由此作出
过平面 的截面，先在 中求出 ，再利用勾股定理求得 ，从而求得三棱
锥 的外接球的表面积.
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，
因为 ，所以 ，
所以在 中， ， ， ，
所以 ，
设 外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，即 ；
同理可得： ， 的外接圆半径也为2，
因为 ，所以 是等边三角形，
则 ，即二面角 为 ，
球心 在平面 上，过平面 的截面如图所示，则 ，
所以在 中， ，
所以 ，即 ，所以外接球的表面积 ．
故选：D.
【题型六】定义法列方程计算型求球心
【讲题型】
例题1.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为 ， ，
， .则该四面体外接球的表面积是___________.
【答案】 ##
【分析】根据题意，画出图形，作出辅助线，找到球心，利用半径列出方程，求出半径，
进而去除四面体外接球的表面积.
【详解】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为2，高为3，
根据图形得到 为直角三角形，AC⊥CD，
所以四面体外接球的球心在平面ADC上的投影为斜边AD的中点M，
其中 ，
设外接球球心为N，则MN⊥平面ADC，
过点B作BH⊥平面ADC，垂足为H，则HM x轴，且HM=1
过点N作NF HM，交BH于点F，则NF=HM=1，
设外接球半径为r，连接NB，NA，则NB=NA=r，
设MN=x，则HF=x，所以BF=3-x，
由勾股定理得： ， ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
所以该四面体外接球的表面积为故答案为：
【讲技巧】
利用球的定义：球面上一点到球心的距离相等，是球的半径。可以列方程计算求解。在列方程时，尽
量和线面垂直型求法配合使用
【练题型】
1.如图所示几何体ABCDEF，底面ABCD为矩形， ， ， ADE与 BCF是等
边三角形， ， ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
△ △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根据题干信息得到各边长，设出 ，
利用半径列出方程，求出 ，进而求出半径，外接球表面积.
【详解】连接AC，BD交于点O，过O点作 平面ABCD，交EF与M.因为四边形ABCD为长方形，所以外接球的球心在OM直线上，设 为外接球的球心，
取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH，
因为 ， ，可得 ，
因为 ， 为等边三角形，所以 ，
因为 ， ，所以 平面EFHG，
因为 ，所以 ， ，
所以 ， ，因为 ，所以EF到平面ABCD的距离为 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，
即 ，解得: ，
所以 ，
所以 .
2.直角 中， ， ，D是斜边AC上的一动点，沿BD将 翻折到
，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体 的外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作 ， ， ， ，设 ，则有
，从而求解即可.
【详解】
作 ， ， ， ，
设 ， ， ， ．在 中， ，在 中， ，
．
当 时 最小．
设 ， 的外接圆半径分别为 ，
∴ ， ∴
， ．
∴
∴ .
故选:B．
【题型七】内切球
【讲题型】
例题1.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，在该圆锥内放置一个棱长为 的
正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到 的最大值．
【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球
设球心为 ，球的半径为 ，下底面半径为 ，轴截面上球与圆锥母线的切点为 ，圆锥
的轴截面如图：则 ，因为 ，
故可得： ；
所以 为等边三角形，故 是 的中心，
连接 ，则 平分 ，
所以 ；
所以 ，即 ，
即四面体的外接球的半径为 ．另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为 时，截得它的正方体的棱长为 ，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以 ，所以 ．即 的最大值为 ．故选：B．
【讲技巧】
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆
二、类比：三棱锥【练题型】
1.在四棱锥 中， ，且 ，
，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则 _______.
【答案】 ##
【分析】如图,截取一个正四棱锥 ，结合已知得到 ，同时可
证得 平面 ，设 ，四棱锥 的体积可转化为
，因为四棱锥 存在半径为1的内切球，可
得 ，联立得到 的关系式，化简计算即
可.
【详解】如图， ，且 ，
可以在四棱锥上截取一个正四棱锥 ，
此时四边形 为正方形，且边长为 ，
，
， ，
设 ，
，且 ，
， ，O为BD中点，
， ，
又 ， 平面 ，
， ，
，
又因为四棱锥 存在半径为1的内切球，
，
即 ，即 ，
，解得 ，
因为四棱锥 存在半径为1的内切球，直径为2， ，
而 ，故 ，
故答案为：
2.有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为 的球自由运动，正四面体内未被球扫过
的体积为
【答案】
【分析】先考虑球运动到四个顶点位置时，由棱锥的体积减去球的体积求出此部分的体积；
再考虑球沿着 方向运动且始终与二面角 相切时，得到未被球扫过空间均为相
同的柱体，求出柱体的体积，即可求得正四面体内未被球扫过的体积.
【详解】
如图设正四面体 ，当球运动到与平面 、平面 、平面 相切时，可得此时球无法继续向上运动，
设切点分别为 ，则此时球面与正四面体顶点 之间的部分球无法扫过，同理可得正
四面体顶点 均有相同的空间未被球扫过，
作与平面 平行且与此时球相切的平面 ，易得棱锥 为正四面体，设棱
长为 ，作 平面 于 ，
则 经过球心 ，易得 ，则 ，
则正四面体 的体积 ，表面积
，
设球半径为 ，则 ，即 ，解得 ，作 ，
易得 为 中点，则 ，
设4个顶点处未被球扫过空间的体积为 ，球的体积为 ，可得
；
当球沿着 方向运动且始终与二面角 相切时，设球与平面 、平面 的
切点始终为 ，
过 的大圆与 交于 ，由垂径定理知 ，又 ，易得
，则 即为二面角 的平面角，
易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形 与四边形 之间的部分，
设 中点为 ，连接 ，
易得 ，则 即为二面角 的平面角，又 ，
由余弦定理得 ，则 ，则
，
则 ， ，则 ，设扇形 与四边形
之间部分面积为 ，
扇形 面积为 ， ,则
，
由上知 ，又 ，则柱体的高为 ，正四面体 的六条棱未被
球扫过空间均为相同的柱体，
设这部分体积为 ，则 ，则正四面体内未被球扫过的体积为 .
故答案为： .
【题型八】棱切球型最值
【讲题型】
例题1.已知球 与棱长为4的正方形 的所有棱都相切，点 是球 上一
点，点 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为 ，
如图，球心为正方体的中心，球心与 的外接圆上的点的距离为 ，其长为体对角
线的一半，故 ，故 ，也就是 ，
选C.
【练题型】
1.已知正三棱锥 ，球O与三棱锥 的所有棱相切，
则球O的表面积为_________．
【答案】 ##
【分析】画出图形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半径，求出表面积
【详解】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设 ，
因为 ，所以求得 ，
由勾股定理得： ，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h， ，
由题意得： ，解得： 或 ，
当 时， ，此时球O的表面积为 ；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°， ，可求得最大半径 ，
而当 时， ，
显然不成立，故 舍去，
综上：球O的表面积为
故答案为：
2.点 是棱长为 的正方体 的棱切球上的一点，点 是 的外接圆上
的一点，则线段 的取值范围是（_____）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求得正方体的棱切球与外接球半径， 点在棱切球上， 点在外接球上某个
小圆上动，从而线段 的最大值与最小值为两个球半径和与差．
【详解】因为棱长为2的正方体的体对角线为其外接球直径，而面对角线为其棱切球的直
径，且正方体的棱切球与外接球球心重合，
所以正方体外接球和棱切球的半径分别为 和 ，
因为 的外接圆是正方体外接球的一个小圆， 点在棱切球上运动， 点在外接球上
某个小圆上动，
所以 ，即 .
故选：D.
【题型九】内切球与外切球一体综合
【讲题型】
例题1.已知三棱锥 三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ，
､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：
两点间距离的最小值为 ，易求外接圆半径 ，结合等体积法可求出内切圆半
径 和 ，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为 ，外接球球心为 ，内切球与平面 的切点为 ，
易知： 三点均在 上，且 平面 ，
设内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，则 .由等体积法： ，得 ，
由等体积法： ，得 ，
将几何体沿截面 切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最
大截面，
∴ 两点间距离的最小值为 .
故选：B.
【练题型】
1.底边和腰长之比为 的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角
形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为
______.
【答案】
【分析】画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球
表面积可得答案.
【详解】如图，设四面体 为“黄金四面体”，
且 ，
得 ，
又因四个面都为“黄金三角形”，则 .
注意到四面体 对棱相等，则将其补形为如图所示长方体 ，则该长方体外接球与该四面体外接球重合.
设 ，
则长方体外接球半径 为长方体体对角线长度的一半，有 ，又注意到：
，
得 ，又 ，得 .
注意到 ，
，则 .
又在 中， ，取 中点为E，则 ，故 ，
又由前面分析可知四面体 的四个面全等，则四面体 的表面积
.
设四面体 的内切球半径为 ，则 ，得 .
注意到 ，则 ，又 ，得
，又 ，
则 .则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之
比为：
代入 ，得比值
为： .
故答案为：2.如图，四边形 为平行四边形， ，现将 沿直线
翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面积
的比值为_____．
【答案】
【分析】过A作 于E，交CD于F，连 ，利用余弦定理、面积定理求出点
到平面 的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接
球半径作答.
【详解】过A作 于E，交CD于F，连 ，如图，
在 中，由余弦定理得： ，
，
， ，
， ，，
因 ，则三棱锥 的4个表面三角形全等，在 中， ，
，
在 中， ，
，
因 ， ， 平面 ，则 平面 ，而
平面 ，
于是得平面 平面 ，在平面 内过 作 于 ，又平面 平面
，
因此， 平面 ， ，
设三棱锥 的内切球半径为 ，则 ，解得
，
因 是锐角三角形，则三棱锥 的外接球截平面 所得截面圆圆心在
内，
半径 ，则 ，解得 ，令三棱锥 的外接球球
心为O，
显然，球O截三棱锥 的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，
因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接
圆半径均为 ，
因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥 内，必为三
棱锥 内切球球心，
令三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
所以三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 .
故答案为：
【题型十】球综合
【讲题型】
例题1.如图，直四棱柱 中，底面 为平行四边形，
，点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，若三棱锥 的外接球表面积为 ，则 的取值范围是
__．
【答案】
【分析】先由余弦定理求出 ，从而得到 ，确定BC的中点E为三棱锥
的外接球球心 在平面 的投影，再证明出 为AD的中点，N为 的中点，
即EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，从而确定当点 与点N重合时，三棱锥
的外接球半径最小，点P与 或 重合，此时 最长，故三棱锥 的外
接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点 是半圆弧
上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.
【详解】因为 ，由余弦定理得：
，
因为 ，由勾股定理逆定理得： ，
直四棱柱 中，底面为平行四边形，
故 ⊥CD，
点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，故BC为直径，
取BC的中点E，则E为三棱锥 的外接球球心 在平面 的投影，
设 与AD相交于点M， 与 相交于点N，连接EM，ED，
则EM=ED
因为 ，故 ， ，
故三角形DEM为等边三角形， ，
即 为AD的中点，同理可得：N为 的中点，
连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，
显然，当点 与点N重合时，三棱锥 的外接球半径最小，
假如点P与 或 重合，此时 最长，故三棱锥 的外接球半径最大，
如图1，点P与点N重合，连接OC，设 ，则OE=2-R， ，
由勾股定理得： ，即 ，解得： ，此时外接球表面积为 ；
如图2，当点P与 或 重合时，连接 ，
其中 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ， ，
故 ，解得： ，
此时外接球半径为 ，故外接球表面积为 ，
但因为点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，
综上： 的取值范围是 .故答案为：
【练题型】
1.如图，已知正四棱柱ABCD—ABC D 的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆
1 1 1 1
弧C C，AA(均不含端点)上，且C ，P，Q，C在球O上，则（ ）
1 1 1
A．当点Q在弧AA的三等分点处，球O的表面积为
1
B．当点P在弧C C的中点处，过C ，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是
1 1四边形
C．球O的表面积的取值范围为(4π，8π)
D．当点P在弧C C的中点处，三棱锥C —PQC的体积为定值
1 1
【答案】D
【分析】取 中点 ， 中点 ， 中点 ，根据球的性质，容易知道球心O在线
段EF上，设出OE的长度和∠FGQ，算出FQ的长度，利用OC =OQ，即可判断A,B；
1
作出过C ，P,Q三点的截面即可判断C；
1
利用 即可求出体积，进而判断D.
【详解】如图1，取 中点 ， 中点 ， 中点 ，由题意，球心 在线段 上，
设 ，在 中，由余项定理 ，设 ，
则 ，∴ ，
设外接球半径为R，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴球 的表面积 ，C错误；
当点Q在 的三等分点处， ，则 ，
，∴∴球 的表面积 ，A错误；
对B，如图2，取 中点 ，当 在 上时，连接AF，在平面ADD A 上过点Q作AF
1 1
的平行线，与线段 ，AD分别交于M,N，延长C P与BC交于R，连接RN交AB于S，
1
此时截面为 ，B错误；
对D,当点P位于 的中点处，三棱锥 的体积
为定值，D正确.故选：D.
2.三棱锥 中， ，底面 是边长为2的正三角形， 分别是
的中点，且 ，若 为三棱锥 外接球上的动点，则点 到平面
距离的最大值为___________.
【答案】 ##
【分析】先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一
部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；
【详解】 为边长为2的等边三角形，
为正三棱锥，
，又 分别为 中点，
，
，又
平面 平面 ，
为正方体一部分，
故 ，即 ，
∵ 为三棱锥 外接球上的动点，
∴当 位于正方体的如图所示的顶点处，点 到平面 距离最大，设为 ，
∴可求得三棱锥 的体积为： ，
∴ ，
解得：故答案为：
一、单选题
1．已知正四棱台 上下底面边长之比为 ，半径为 的球与棱台各面都相
切，则棱台体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形A B C D 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，分别取 、 、
1 1 1 1
、 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 、 ，可求球心在平面
内，根据梯形的几何性质可得出关于 的等式，解出 的值，再利用台体的体积公式可求
得结果.
【详解】分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 、
，设正四棱台 的内切球球 分别切平面A B C D 、 、 、
1 1 1 1
于点 、 、 、 ，
易知四边形 为等腰梯形， 、 分别为 、 的中点，
且 ， ， ， ， ，
设正方形A B C D 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，且有 ， ，
1 1 1 1
由切线长定理可得 ，
分别过点 、 在平面 内作 ， ，垂足分别为 、 ，
由等腰梯形的几何性质可得 ， ， ，
所以， ，所以， ，
在平面 内，因为 ， ， ，故 ，
所以，四边形 为矩形，且 ， ，
所以， ，
由勾股定理可得 ，即 ，解得 ，
因此，该正四棱台的体积为 .
故选：A.
2．正三棱锥底面边长为 ，侧棱与底面所成角为 ，过底面一边作一截面使其与底面成
的二面角，则此截面面积为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】在正三棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，设点 在底面 内的射影
为点 ，在直线 上取一点 ，使得二面角 的大小为 ，利用线面角的定义
可得出 ，利用二面角的定义可得出 ，求出 的长，利用三角形的
面积公式可求得结果.
【详解】解：在正三棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，
设点 在底面 内的射影为点 ，
在直线 上取一点 ，使得二面角 的大小为 ，因为 平面 ，所以， 与底面 所成的角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以， ，
因为 为 的中点，且 为等边三角形，则 且 ，
因为 ， 平面
所以， 平面 ，
因为 平面 ，
所以， ，
所以，二面角 的平面角为 ，故 ，
所以 ，
因此， .
故选：C.
3．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
点M在 上， ，过点M作三棱锥 外接球的截面，则截面圆周长的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可
求解.
【详解】由题意知， 和 为等边三角形，如图所示，
取 中点为E，连接 ，则 ，由平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
，球心O在平面 的投影为 的外心 ，
过O作 于H，易得 ，
则在 中， ，
所以外接球半径 ，连接 ，
因为 ，
所以H，O，M三点共线，
所以 ，
当M为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，
此时，截面圆半径 ，
所以截面圆周长的最小值为 ，
故选:D．
4．已知正四棱锥 的外接球半径为 ，底面边长为 .若 垂直于过点
的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据外接球的半径可得棱锥的高，进而可求正四棱锥的棱长，根据 垂直于过
点 的平面可得截面，进而根据线面垂直可证明 ，根据相似求长度，进而根据面
积公式即可求解.
【详解】设正四棱锥 的高为 ，其外接球的半径为 .因为 ，解得
或 .当 时， ，不符合题意；当 时，
，所以 为等边三角形.取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 .设平面 直线 ，平面 直线 ，则 .在
中，由余弦定理可得 ，所以 .由
于 所以 ，故 ，故 ，故 .由
于 平面 ， 平面 ，所以 ,又 ， ,故
, 平面 , 平面 , 平面 ，所以
,在四边形 中， ，故 . ,
故选：A
5．在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥
平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上
运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，
则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【分析】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则 ，所
以 ，表达出三棱锥E－ACF的体积 ，得到当 时，V
取得最大值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求出截面面积的最小值
【详解】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，
因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以 ，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面 平面ACD＝AC， 平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则 ，所以 ，
所以三棱锥E－ACF的体积，
当 时，V取得最大值 ．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在 COF中，由余弦定理得：
△ ，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以 ，
则截面面积的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位
置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体
的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小
圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
6．正三棱柱ABC﹣ABC 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB，AC 的中点，若过
1 1 1 1 1 1
点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.
【详解】如图，在正三棱柱 中，延长AF与CC 的延长线交于M，连接EM交
1
BC 于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.
1 1
过E作EN平行于BC交CC 于N，则N为线段CC 的中点，由 相似于 可得
1 1MC =2，由 相似于 可得： ，
1
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，
由余弦定理： ，则 ，
所以截面周长为： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的
性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.
7．已知正方体 的棱长为 ， ， 分别为 ， 的中点，点 在平
面 中， ，点 在线段 上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点 的轨迹长度为 ；
②线段 的轨迹与平面 的交线为圆弧；
③ 的最小值为 ；
④过 、 、 作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点 在平面 上，而非正
方形 上；对于②，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于
③，实质是要计算①中的圆心到直线 的距离；对于④，要先作出截面，然后再计算周
长.
【详解】设 的中点为 ，则点 的轨迹是平面 上以 为圆心，以2为半径的
圆，所以点 的轨迹长度为 ，故①错误；
连接 ，易知线段 的轨迹是圆锥 的侧面，而平面 与轴 不垂直，所以线
段 的轨迹与平面 的交线不是圆弧，故②错误；
以 的中点 为原点，分别以 水平向右、垂直平分 为 轴、 轴建立平面直
角坐标系，则 所在的直线方程为 ，则点 到直线 的距离为
，所以 的最小值为 ，故③正确；
如下图，过 作正方体的截面，为五边形 ，其中 为 的靠近 的三等分点， 为 的靠近 的四等分点.
可计算得 ，
，
所以该截面的周长为 ，故④错误.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题一是要注意点 在平面 上，而非正方形 上，二是
要正确的作出过 的截面.
8．在棱长为6的正方体 中， 为侧面 内一动点，且满足 平
面 ，若 ，三棱锥 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体中面 平面 得 在线段 上，设 ，在 中，由
余弦定理得 值，在三棱锥 中设 和 外接圆的圆心分别为 ，由它
们找出三棱锥外接球的球心（三棱锥外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上），
求得球半径，从而得球表面积．
【详解】如图1，作平面 ，
正方体中， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，同理
平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
由题可得，点 在线段 上运动，因为该正方体的棱长为6，
所以 与 均为边长为 的等边三角形.
设 ，在 中，由余弦定理可得 ，解得
或 .当 时，
外接圆的半径 外接圆的半径 .
如图2，设 和 外接圆的圆心分别为 ，三棱锥 外接球的球心为 ，
半径为 ，
平面 , 平面 ,平面 与 交点为 , 是 中点，
由线面垂直的性质定理得 ， ， 都与直线 垂直，由 与
为平面 中两个相交直线得 平面 ，
从而 与平面 内的两条直线 垂直， 是二面角 的平面
角，此二面角显然是直二面角，
因此 ，即 ，所以 是矩形，
则 ，
所以 ，代入数据得 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
当 时，同理可求得三棱锥 外接球的表面积为 ，
当 或 时，三棱锥 的外接球为两个半径相等的球体（等球体）.
故选：B．
【点睛】方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题，（1）常常由空间直线、平面间的位置关
系确定，如利用面面平行得线面平行，由线面垂直得线线垂直从而得动点是该平面与几何
体表面的交线；（2）与线段长有关的动点，则常常得出动点到定点的距离相等，从而动点
在球面上，动点轨迹中球面与几何体表面的交线；（3）与角度有关的轨迹，常常确定动点
在一个圆锥的侧面上，动点轨迹是圆锥侧面与几何体表面的交线．
二、多选题
9．如图，正方体 中，其棱长为3. ， 分别为棱 ， 的中点，过
， ， 三点作该正方体的截面，截面是一个多边形 .则（ ）
A．截面 和面 的交线与截面 和面 的交线等长
B．截面 是一个五边形.
C．截面 是一个梯形.
D．截面 在顶点 处的内角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】做出截面 ，依次判断选项即可.
【详解】延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ；
连接 ，因 ， ，则 为等腰直角三角形，
同理可得 为等腰直角三角形，又 ，则 三点共线.连接 .因 分别为 中点，则 .又
，则四边形 为平行四边形，得
.又 分别是 中点，则 .
故 ， ，则 ，
则 五点共面.设这五点所在平面为 .
平面 ， 平面 ，
则 平面 ，连接 交 于 .
因 ，则 ，得 .
同理，可得 平面 ，连接 交 于 ，则 .
A B C D
1 1 1 1
又 ，
则 .即 五点共面.
顺次连接 ，得截面 为五边形 .
对于A，如图可知，截面 和面 的交线为DE，截面 和面 的交线为 ，
又几何体棱长为3， ， ，
则 ，
，故 ，则A正确；
对于BC选项，由图可知B正确，C错误；
对于D选项，由图可知截面 在顶点 处的内角为 ，连接 ，
因 ，则四边形 为平行四边形，得 .
又由A选项分析可知， ，则在三角形 中由余弦定理有
，则D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利
用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的
性质后，利用性质做出截面在平行平面上的交线.10．已知球O的直径 ，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，
，则（ ）
A．
B．线段AB的最长长度为
C．三棱锥 的体积最大值为
D．过SA作球的截面中，球心O到截面距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】由题可得 平面 ，则可判断A；设 平面 ，可得当 在
上时， 取得最大值，求出可判断B；当 时，三棱锥 的体积最大，
求出可判断C；作 ，则可得 即为球心 到截面距离的最大值，求出可判断D.
【详解】对于A， ， ，且 平面 ，
又 平面 ， ，故A正确；
对于B，设 平面 ，则 ， ， ，
则 ，同理 ，则当 在 上时， 取得最大值为 ，故B正确；
对于C，要使三棱锥 的体积最大，需要 的面积最大，
先定住 点，若要 的面积最大，则 得为等腰三角形，且 在 内或在
边上，
设 到线段 的距离为 ，底面ABC的外接圆的半径为
故 ，
令 ，故
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时 的面积最大，此时 ，即 ，所以 ，
所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，
所以当 时，三棱锥 的体积最大，
，则 ， ，
则 ，故C错误；
对于D，作 ，则可得 即为球心 到截面距离的最大值，且 ，
故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，在已知条件有限的情况下，解题的关
键是正确理解图中的几何关系，找好垂直关系，正确求出线段长度，能够清楚取最值的情
况.
11．如图，正方体 的棱长为 分别为 的中点，则
（ ）
A．直线 是异面直线
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．三棱锥 的体积等于24
D．平面 截正方体所得的截面面积为18
【答案】ABD
【分析】对于A、B，先利用面面平行的判定定理证得平面 平面 ，从而证得
平面 ，由此即可判断；
对于C，利用等体积法求得 ，由此即可判断；
对于D，由正方体性质易得平面 截正方体所得的截面为等腰梯形 ，利用梯形的
面积公式可求得截面面积为 ，由此即可判断.
【详解】对于A、B，取 中点 ，连接 ，如图1，因为 分别是 中点，所以 ，
又因为 面 ， 面 ，所以 平面 ，
因为 ， ，所以 是平行四边形，所以 ，
又因为 面 ， 面 ，所以 平面 ，
而 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
故点 与点 到平面 的距离相等，故B正确，
直线 不平行，所以两直线为异面直线，故A正确；
.
对于C，由正方体 易得 面 ，
而 ，
所以 ，故C错误；
对于D，连接 ，如图2，
由正方体性质易证 ，则截面 为四边形 ，它是等腰梯形，
易得 ， ，
所以等腰梯形的高为 ，
故所求截面面积为 ，故D正确.
故选：ABD.
12．已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心 为球心的球 与正方体的各
条棱相切，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 在正方体外部分的体积为B．若点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点 在平面 下方，则直线 与平面 所成角的正弦值最大为
A B C D
1 1 1 1
D．若点 ､ ､ 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 最小值为
【答案】BD
【分析】对于A，结合球的体积和正方体体积公式或利用球缺的体积公式即可判断；对于
B，可取 中点 ，可将 利用向量运算转化为
，再结合 的范围即可判断；
对于C，直线 与平面A B C D 所成角最大时直线 正好与平面ABCD下方球 相切，
1 1 1 1
根据几何关系即可求出所成角的最大正弦值，即可判断；对于D，可将 转化为
，再利用不等式进行转
化求解，即可判断.
【详解】对于A，正方体的棱切球 的半径 ，如下图所示，
球 在正方体外部的体积 ，
或者可根据球 在平面A B C D 上方球缺部分的体积
1 1 1 1
， 为球缺的高，
所以球 在正方体外部的体积为 ， A选项错误；
对于B，取 中点 ，可知 在球面上，可得 ，所以
，点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，所以 （当 为直径时， ），所以
，B选项正确；
对于C，
若正方体上底面字母为 ，则直线 与平面A B C D 所成角的正弦值最大时，如上图
1 1 1 1
所示 点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为 ，设平面 的中心为 ,直线 与平面A B C D 所成角
1 1 1 1
即为直线 与平面 所成角，
则直线 与平面A B C D 所成角最大时，直线 正好与平面 下方球 相切，过
1 1 1 1
作平面 下方球 的切线，切点为 ，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，
可得 ， ， ， ， ，
所以 ，
， ，
所以直线 与平面A B C D 所成角最大时为 ，
1 1 1 1
，C选项错误；
对于D， ，
记向量 与向量 的夹角为 ， ，因为
，
且 ，
所以 ，令 ，所以上式可化为 ，当且
仅当 时等号成立，
此时 ，即 时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选
项正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，应树立“基底”意识，利用基向量进
行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
三、填空题
13．三棱锥 中， ， ， ，作出与 、 都平行的截面 ，
分别交棱 、 、 、 于点 、 、 、 ，则截面 的最大面积为
______________
【答案】
【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形 为平行四边形，结合 ，可得
四边形 为矩形，设 ， ，求出 和 ，再求出矩形面积关于 的函
数解析式，利用二次函数知识可求出结果.
【详解】如图：
因为 ，平面 ，所以 ，
因为 ，平面 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，平面 ，所以 ，
因为 ，平面 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
设 ， ，
则 ，又 ，所以 ，
，又 ，所以 ，
所以矩形 的面积为 ，所以当 时，面积取最大值 .
故答案为： .
14．在三棱锥 中， 平面 ，三棱锥 的体积为
，已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为__________.
【答案】
【分析】根据外接球与三棱柱的几何位置关系，作出图形，在直角 中利用勾股定理
求出外接球半径即可求解.
【详解】根据题意，作图如下，
设 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
如图，点 为等边三角形 外接圆的圆心，则 ，
设外接球的球心为 ，则有 ,
所以在直角 中， ，
所以外接球的表面积为 ,
故答案为: .
15．如图，正方体 的棱长为1， 分别是 的中点，那么正方体
过 的截面图形的面积是 _____．
【答案】 ##
【分析】连接 ，进而可证明四边形 为过 的截面截正方体所得图形，
再计算面积即可.
【详解】解：如图，连接 ，因为正方体 中， 分别是 的中点，
所以， ， ，
所以， ，则 ，
所以，由等角定理可得， ，
所以，四边形 为过 的截面截正方体所得图形，
因为正方体 的棱长为1，
所以， ，
所以， 到 的距离 ．
所以，截面面积 ．
故答案为： ．
16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛
最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都
外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 ，记能将该三角垛完全放入的四面
体 的体积为 ，则 的最大值为___________．
【答案】
【分析】要使 取得最大值，则使 取最小值，通过计算出球心在一面的投影点到该边的
距离，可算出四面体 的最小棱长【详解】设球的半径为 ，
由题意可知四面体 为正四面体，边长为 ，
所以四面体 的高为 ，
所以 ，要使 取得最大值，则使 取最小值，由题意
可知此时该三角垛与四面体 相切.
等边 的高为 ，
由余弦定理可算出正四面体 任意两面二面角大小的余弦值为
，
因为位于三角垛顶的球与三面都相切，
取 的中点 ，过点 作平面 的垂线 ，垂足为 ，如图可得截面 ，
若设 则 ，所以 ，
已知球心 到面 的距离为 ，则 ，
在平面 里过点 作 的垂线 ，所以 ，
所以边上三个球的球心在该面的投影与该边和两个顶点形成等腰梯形，底角为 ，上底为
，高为 ，
所以下底可计算得 ，所以 的最小值为
，
所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键是确定最小正四面体 的棱长，需要通过截面
和在三角形 利用几何关系进行确定，需要较强的空间想象能力
