001概率知识点题型分类原卷版合集(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_概率矢量版PDF_原卷版的合集

高中数学《概率》
知识点+题型归纳全集
10.1 有限样本空间与随机事件................................................................................................................................4
模块一：基础知识..............................................................................................................................................4
考点一：随机试验......................................................................................................................................4
考点二：样本点和样本空间......................................................................................................................4
考点三：事件的分类..................................................................................................................................4
模块二：题型分类..............................................................................................................................................4
题型一：事件类型的判断..........................................................................................................................4
题型二：样本点与样本空间......................................................................................................................5
题型三：复杂事件的概率解释..................................................................................................................6
模块三：综合巩固..............................................................................................................................................7
10.2 事件的关系和运算............................................................................................................................................ 9
模块一：基础知识..............................................................................................................................................9
考点一：事件的关系..................................................................................................................................9
考点二：事件的运算..................................................................................................................................9
考点三：互斥事件与对立事件..................................................................................................................9
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示................................................................................... 10
模块二：题型分类............................................................................................................................................10
题型一：事件的关系................................................................................................................................10
题型二：互斥事件与对立事件................................................................................................................10
题型三：事件的运算................................................................................................................................11
模块三：综合巩固............................................................................................................................................13
10.3 古典概型.......................................................................................................................................................... 17
模块一：基础知识............................................................................................................................................17
考点一：古典概型....................................................................................................................................17
考点二：古典概型的概率计算公式........................................................................................................17
考点三：求样本空间中样本点个数的方法........................................................................................... 17
模块二：题型分类............................................................................................................................................17
题型一：古典概型的特征与判断............................................................................................................17
题型二：列举法求样本空间的样本点....................................................................................................18
题型三：列举法求古典概型概率............................................................................................................19
题型四：古典概型概率求解....................................................................................................................20
题型五：有放回与无放回的概率............................................................................................................22
题型六：互斥事件的概率求法................................................................................................................23
题型七：对立事件的概率求法................................................................................................................24
题型八：根据古典概型的概率求参数....................................................................................................25
模块三：综合巩固............................................................................................................................................26
10.4 概率的基本性质.............................................................................................................................................. 31
模块一：基础知识............................................................................................................................................31
考点一：概率的基本性质........................................................................................................................31
考点二：互斥事件的概率加法公式........................................................................................................31
考点三：对立事件的概率........................................................................................................................31
考点四：概率的一般加法公式................................................................................................................31
模块二：题型分类............................................................................................................................................31
题型一：概率的基本性质........................................................................................................................31
题型二：互斥事件概率加法公式的应用............................................................................................... 32
题型三：对立事件概率公式的应用........................................................................................................33
题型四：概率的一般加法公式的应用....................................................................................................35
题型五：游戏公平性问题........................................................................................................................35
题型六：概率的基本性质综合应用........................................................................................................36
题型七：古典概型与统计综合应用........................................................................................................38
模块三：综合巩固............................................................................................................................................42
10.5 事件的相互独立性.......................................................................................................................................... 48
模块一：基础知识............................................................................................................................................48
考点一：事件的相互独立性....................................................................................................................48
考点二：互斥事件与相互独立事件的辨析........................................................................................... 48
考点三：求相互独立事件同时发生的概率的方法............................................................................... 48
模块二：题型分类............................................................................................................................................49
题型一：事件独立性的判断....................................................................................................................49
题型二：相互独立事件的概率计算........................................................................................................49
题型三：相互独立事件与互斥事件........................................................................................................51
题型四：相互独立事件的乘法公式........................................................................................................52
题型五：相互独立事件综合应用............................................................................................................54
题型六：方程思想在相互独立事件概率中的应用............................................................................... 56
题型七：独立事件与其他知识综合........................................................................................................59
模块三：综合巩固............................................................................................................................................63
10.6 频率与概率...................................................................................................................................................... 68
模块一：基础知识............................................................................................................................................68
考点一：随机事件的频率........................................................................................................................68
考点二：频率的特点................................................................................................................................68
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率)........................................................................................... 68
考点四：生活中的概率............................................................................................................................68
考点五：随机模拟....................................................................................................................................68
模块二：题型分类............................................................................................................................................69
题型一：频率与概率的关系....................................................................................................................69
题型二：频率的计算................................................................................................................................71
题型三：用随机事件的频率估计概率....................................................................................................73
题型四：游戏公平性................................................................................................................................75
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释............................................................... 77
题型六：随机模拟问题............................................................................................................................78
题型七：概率思想的实际应用................................................................................................................79
模块三：综合巩固............................................................................................................................................82
专题01：古典概型题型巩固..................................................................................................................................87
模块一：题型分类............................................................................................................................................87
题型一：古典概型基础计算....................................................................................................................87
题型二：“放回”与“不放回”问题......................................................................................................90
题型三：游戏公平性问题........................................................................................................................91
题型四：多角度构建概率模型................................................................................................................94
题型五：间接法求对立事件....................................................................................................................95
题型六：古典概型与统计........................................................................................................................96
题型七：古典概型与其他概率综合..................................................................................................... 100
题型八：古典概型的综合应用..............................................................................................................102
专题02：概率重难点题型与思想........................................................................................................................105
模块一：重难点题型......................................................................................................................................105
题型一：互斥事件与对立事件..............................................................................................................105
题型二：互斥事件的概率......................................................................................................................106
题型三：对立事件的概率......................................................................................................................106
题型四：计算古典概型概率..................................................................................................................107
题型五：随机模拟..................................................................................................................................109
题型六：有放回与无放回概率..............................................................................................................110
题型七：古典概型求参数......................................................................................................................111
题型八：利用概率的加法公式求古典概型概率................................................................................. 111
题型九：独立事件互斥事件对立事件的判断..................................................................................... 112
题型十：独立事件的乘法公式..............................................................................................................113
题型十一：独立事件的实际应用..........................................................................................................114
模块二：概率数学思想..........................................................................................................................................115
思想一：函数与方程的思想..........................................................................................................................115
思想二：分类与整合思想..............................................................................................................................116
思想三：等价转换思想..................................................................................................................................117
概率章末复习卷（一）..........................................................................................................................................119
概率章末复习卷（二）..........................................................................................................................................124
高中数学
《概率》知识点+题型归纳全集
10.1 有限样本空间与随机事件
模块一：基础知识
考点一：随机试验
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E 表
示．
2.随机试验的特点
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
考点二：样本点和样本空间
我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间
（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集
的情况．如果一个随机试验有n 个可能结果
1
2
,
,
,
n



，则称样本空间


1
2
,
,
,
n




为有限样本空间．
考点三：事件的分类
1.随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A ，B ，C ，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．
2.必然事件：
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们
称为必然事件．
3.不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
模块二：题型分类
题型一：事件类型的判断
1.对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（
）
A．样本空间
B．必然事件
C．不可能事件
D．随机事件
2.给出下列事件：
①函数


log
0
1
a
y
x
a



在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，有3名学生的生日相同；
④若集合A 、B 、C 满足A
B

，B
C

，则A
C

；
⑤在标准大气压下，河流在20 C
o
时结冰；
⑥从1、3、9中任选两数相加，其和为偶数.
其中属于随机事件的是
，属于必然事件的是
，属于不可能事件的是
（填序号）.
3.（多选）在25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，其中是随机事件的是（
）
A．5 件都是正品
B．至少有1 件次品
C．有3 件次品
D．至少有3 件正品
4.以下事件是随机事件的是（
）
A．标准大气压下，水加热到100 C

，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab D．实系数一元一次方程必有一实根
5.如图，由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（
）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
6.一个不透明的袋子中装有5 个黑球和3 个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4 个
球，则下列事件是必然事件的是（
）
A．摸出的4 个球中至少有一个是白球
B．摸出的4 个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4 个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4 个球中至少有两个是白球
题型二：样本点与样本空间
1.写出下列试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币2 次，观察正面、反面出现的情况；
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；
(3)连续抛掷一枚骰子2 次，观察2 次掷出的点数之和；
(4)设袋中装有4 个白球和6 个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．
2.试验
2
E ：连续抛掷一枚硬币3 次，观察正面、反面出现的情况．设事件A 表示随机事件“第一次出现正
面”，事件B 表示随机事件“3 次出现同一面”，事件C 表示随机事件“至少出现一次正面”，试用样本点表示
事件A，B，C．
3.甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用

,x y 表示结果，其中x 表示甲出的拳，y 表示乙出的拳.
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”.
4.做投掷2 枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x 表示第一枚骰子出现的点数，y 表示第2 枚骰
子出现的点数．写出：
(1)试验的样本空间Ω；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；
(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；
(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．
5.从两名男生（记为
1
B 和
2
B ）和两名女生（记为
1
G 和
2
G ）这四人中依次选取两名学生．
(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；
(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．
6.从1，2，3，4 这4 个数中，任取2 个数求和，那么“这2 个数的和大于4”为事件A，“这2 个数的和为偶
数”为事件B，则A＋B 和AB 包含的样本点数分别为（
）
A．1；6
B．4；2
C．5；1
D．6；1
题型三：复杂事件的概率解释
1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
2.已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出100 件产品检查，则下列说法正确的
是（
）
A．合格产品少于90 件
B．合格产品多于90 件
C．合格产品正好是90 件
D．合格产品可能是90 件
3.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩
护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（
）
A．动力学方程的知识
B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识
D．迷信求助于神灵
4.下列说法正确的是
A．某厂一批产品的次品率为1
10 ，则任意抽取其中10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9 个病人都没有治愈，第10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下
雨
5.某种彩票的中奖概率为
1
100000，则以下理解正确的是（
）
A．购买这种彩票100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000 张，至少能中奖一次
6.老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（
）
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10 道题中，李峰能听懂8 道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
模块三：综合巩固
1.下列现象中，随机现象有哪些？
（1）某射手射击一次，射中10 环；
（2）同时掷两颗骰子，都出现6 点；
（3）某人购买福利彩票未中奖；
（4）若x 为实数，则
2
1
1
x .
2.在12 件同类产品中，有10 件正品和2 件次品，从中任意抽出3 件．其中为必然事件的是（
）．
A．3 件都是正品
B．至少有1 件是次品
C．3 件都是次品
D．至少有1 件是正品
3.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随
机取出2 个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2 或4 的事件包含的样本点个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.动手完成本节中的试验
1
E ，
2
E ，
5
E ，
6
E 各20 次，并将20 次试验结果记录在下面的表格中．
1
E ：抛掷
一枚硬币1 次，观察正面、反面出现的情况；
2
E ：连续抛掷一枚硬币3 次，观察正面、反面出现的情况；
5
E ：连续抛掷一枚骰子2 次，观察每次掷出的点数；
6
E ：袋中有白球3 个(编号为1，2，3)、黑球2 个(编
号为1，2)，这5 个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况;
5.下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其
和大于1；④长分别为3 厘米，5 厘米，9 厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6.下列事件中，随机事件的个数是（
）个．
①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；②三角形的内角和为180；
③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．
A．1
B．2
C．3
D．4
7.气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
8.根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配
送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600 人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（
）
A．600
B．787
C．不少于473
D．不多于473
10.2 事件的关系和运算
模块一：基础知识
考点一：事件的关系
1.包含关系
一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )，
记作：B
A

(或A
B

)如下1 图
2.相等关系
如果事件B 包含事件A ，事件A 也包含事件B ，即B
A

且A
B

，则称事件A 与事件B 相等，
记作：A
B

；如上2 图
考点二：事件的运算
1.并事件(或和事件)
一般地，事件A 与事件B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中，或者在事件B 中，
我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)，
记作：A
B

(或A
B

).如下1 图
2.交事件(或积事件)
一般地，事件A 与事件B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A 中，也在事件B 中，我们称
这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)，
记作：A
B

(或AB ).如上2 图
考点三：互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A
B

是一个不可能事件，即A
B 

，则称事
件A 与事件B 互斥(或互不相容)，符号表示：A
B 

.如下1 图
2.对立事件
如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A
B 

，且A
B 

，那么称事件A
与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为A ，符号表示：A
B 

，且A
B 

.如上2 图
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A 发生导致B 发生
A
B

并事件(和事件)
A 与B 至少一个发生
A
B

或A
B

交事件(积事件)
A 与B 同时发生
A
B

或AB
互斥(互不相容)
A 与B 不能同时发生
A
B 

互为对立
A 与B 有且仅有一个发生
A
B 

，A
B 

模块二：题型分类
题型一：事件的关系
1.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B ，则有(
)
A．A
B

B．A
B

C．A
B

D．A 与B 之间没有关系
2.从装有2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球，与事件“至少有1 个白球”相等的事件是（
）
A．全是红球
B．至少有1 个红球
C．至多有1 个红球
D．1 个红球，1 个白球
3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，
C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（
）
A．A
D

B．B
D 

C．A
C
D


D．A
B
B
D



4.同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（
）
A．M
N

B．M
N

C．M
N
=
D．M
N

5.某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名参加演讲比赛，设A ={2 名全是男生}，B {2 名全是女生}，
C {恰有一名男生}，D ={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（
）
A．A
D

B．B
D 

C．A
C
D


D．A
B
B
D



6.抛掷相同硬币3 次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两
次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3 次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A 与事件B，C，E 的关系；
(2)试求AD，B+C 所包含的样本点，并判断AD 与B+C 的关系.
题型二：互斥事件与对立事件
1.一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（
）
A．A 与B 是互斥事件
B．A 与B 是对立事件
C．A⊆B
D．A⊇B
2.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C
为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互
斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.
（1）A 与C；（2）B 与E；（3）B 与D；（4）B 与C.
3.掷一枚骰子，设事件�：落地时向上的点数是奇数；�：落地时向上的点数是3 的倍数；�：落地时向上
的点数是2；�：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．�和�有可能同时发生
B．�和�是对立事件
C．�和�是对立事件
D．�和�是互斥事件
4.从一批产品中取出三件产品，设A “三件产品全不是次品”，B “三件产品全是次品”，C “三件产品不
全是次品”，则下列结论不正确的是（
）
A．A 与B 互斥且为对立事件
B．B 与C 互斥且为对立事件
C．A 与C 存在有包含关系
D．A 与C 不是对立事件
5.（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2 个，一次任意取出2 个小球，则
与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（
）
A．2 个小球都为蓝球
B．2 个小球恰有1 个红球
C．2 个小球至少有1 个红球
D．2 个小球不全为红球
6.（多选）从装有大小和形状完全相同的3 个红球和3 个白球的口袋内任取3 个球，那么下列各对事件中，
互斥而不互为对立的是（
）
A．至少有1 个红球与都是红球
B．恰有1 个红球与恰有2 个红球
C．至少有1 个红球与至少有1 个白球
D．至多有1 个红球与恰有2 个红球
7.（多选）从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，
事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（
）
A．A 与C 互斥
B．B 与C 互斥
C．任何两个都互斥
D．A 与B 对立
题型三：事件的运算
1.抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设A “红骰子的点数是2”，B “蓝骰子的点数是3”．
(1)写出样本空间，并用样本点表示事件A，B；
(2)计算A
B

；
(3)计算A
B

．
2.设某随机试验的样本空间
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

，事件
{2,3,4}
A=
，
{3,4,5}
B 
，
{5,6,7}
C 
，求下
列事件：
(1) A
B

；
(2) A
B

；
(3) A
B

；
(4)
(
)
A
B
C


．
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
i
C =“点数为i”，其中
1,2,3,4,5,6
i 
；
1
D =“点数不大于2”，
2
D =“点数大于2”，
3
D =“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）
1
C 与
2
C 互斥；（2）
2
C ，
3
C 为对立事件；（3）
3
2
C
D

；（4）
3
2
D
D

；（5）
1
2
D
D 

，
1
2
D D ；
（6）
3
5
6
D
C
C


；（7）
1
3
5
E
C
C
C



；（8）E，F 为对立事件；（9）
2
3
2
D
D
D


；（10）
2
3
3
D
D
D


4.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则事
件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B

B．A
B

C．A
B

D．A
B

5.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E “向上的点数为1”，事件F “向上的点数为5”，事件G “向上的点
数为1 或5”，则有（
）
A．E
F

B．G
F

C．E
F
G


D．E
F
G


6.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（
）
A．EF
B．EF
C．EF
D．E
F

7.打靶3 次，事件
iA 表示“击中i 发”，其中
0
i 
、1、2 、3 .那么
1
2
3
A
A
A
A



表示（
）
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2 发
D．以上均不正确
8.设A，B，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来．
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A 发生，B，C 不发生；
(4)A，B，C 中恰好有两个发生．
9.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A {两次出现的点数相同}，事件B {两次出现的点数之
和为4}，事件C {两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D ={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C
D

，A
B

；
(2)若事件










1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,6 , 3,1 , 5,1 , 6,2
E 
，则事件E 与已知事件是什么运算关系？
模块三：综合巩固
1.抛掷3 枚质地均匀的硬币，记事件A {至少1 枚正面朝上}，B {至多2 枚正面朝上}，事件C {没有硬
币正面朝上}，则下列正确的是（
）
A．C
A
B


B．C
A
B


C．C
A

D．C
B

2.（多选）对于一个随机试验，设Ω 是样本空间，A 是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（
）
A．
Ω
A
B．
Ω
A 
C．
Ω

D．
Ω

3.掷一枚骰子，设事件A ：落地时向上的点数是奇数；B ：落地时向上的点数是3 的倍数；C ：落地时向
上的点数是2；D ：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．A 和B 有可能同时发生
B．A 和D 是对立事件
C．B 和C 是对立事件
D．A 和C 是互斥事件
4.（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A 为“第一次中靶”，事件B 为“至少一次中靶”，事件C 为“至
多一次中靶”，事件D 为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（
）
A．A
B
A


B．B 与C 是互斥事件
C．C
D 

D．B 与D 是互斥事件，且是对立事件
5.（多选）已知事件M 表示“3 粒种子全部发芽”，事件N 表示“3 粒种子都不发芽”，则M 和N （
）
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件
D．是不可能事件
6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E “点数为奇数”，F “点数为偶数”，G “点数大于2”，H “点
数不大于2”，R “点数为1”.则下列结论不正确的是（
）
A．E，F 为对立事件
B．G，H 为互斥不对立事件
C．E，G 不是互斥事件
D．G，R 是互斥事件
7.（多选）某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，事件“至少1 名女生”与事
件“全是男生”（
）
A．是互斥事件
B．不是互斥事件
C．是对立事件
D．不是对立事件
8.盒中有标号1~3 的同样白球各1 个，标号1~2 的同样黑球各1 个，从中倒出3 个，观察结果，写出样本
空间.
(1)用集合A 表示事件“3 个都是白球”；
(2)用集合B 表示事件“至少2 个白球”；
(3)用集合C 表示事件“至少1 个白球”；
(4)计算A
B

，A
B

，
\
A B ，
\
C B（其中
\
A B 表示属于集合A ，且不属于集合B ），并解释它们的含义.
9.某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A 表示随机事件“两次都投中”，事件B 表示随机事
件“两次都未投中”，事件C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件D 表示随机事件“至少有一次投中”，则下
列关系不正确的是（
）
A．A
D

B．B
D 

C．A
B
B
D



D．A
C
D


10.一副扑克牌（含大王、小王）共54 张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K 各4 张，从该副
扑克牌中随机取出两张，事件A “取出的牌有两张6”，事件B “取出的牌至少有一张黑桃”，事件C “取
出的牌有一张大王”，事件D =“取出的牌有一张红桃6”，则（
）
A．事件A 与事件D 互斥
B．事件B 与事件C 互斥
C．事件B 与事件D 互斥
D．事件A 与事件C 互斥
11.将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（
）
A．至多一次正面向上
B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上
D．两次都没有正面向上
12.袋中装有红球3 个、白球2 个、黑球1 个，从中任取2 个，则互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
13.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则
事件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B

B．A
B

C．A
B

D．A
B

14.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A ，则
下列推断正确的是（
）
A．事件A 发生的概率等于1
4
B．事件A 发生的概率等于1
5
C．事件A 是不可能事件
D．事件A 是必然事件
15.对满足A
B

的非空集合A 、B ，有下列四个命题：
①“若任取x
A

，则x
B

”是必然事件；
②“若x
A

，则x
B

”是不可能事件；
③“若任取x
B

，则x
A

”是随机事件；
④“若x
B

，则x
A

”是必然事件.
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
16.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M ：向上的点数为奇数；事件N ：向上的点数是6，则事件M
与事件N （
）
A．既互斥又对立
B．互斥但不对立
C．对立但不互斥
D．既不互斥也不对立
17.（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A “记下的点数为3”，事
件B “记下的点数为偶数”，事件C “记下的点数小于3”，事件D =“记下的点数大于2”，则（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与C 互斥
C．事件B 与D 对立
D．事件C 与D 对立
18.（多选）下列四个命题中，是真命题的是（
）
A．若事件
,
A B 是互斥事件，则
,
A B 是对立事件
B．若事件
,
A B 是对立事件，则
,
A B 是互斥事件
C．若事件A 是必然事件，则

1
P A 
D．若事件
,
A B 是互斥事件，则


1
P A
B


19.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色．事件A 表示随机事件“抽出
的牌是黑桃”，事件B 表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C 表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D
表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是
．
（1）A，B，C，D 彼此互斥；
（2）A 与D，B 与C 是对立事件；
（3）A 的对立事件是B
C
D


；
（4）A
B

的对立事件为C
D

；
（5）A
C
U
与B
D

为互斥事件，但不是对立事件．
20.电路如图所示.用A 表示事件“电灯变亮”，用B，C，D 依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，
则A＝
.(用B，C，D 间的运算关系式表示)
21.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配
的分层随机抽样方法，从中抽取7 名同学去敬老院参加献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从该7 名同学中随机抽取2 名同学承担敬老院
卫生打扫工作．设7 名同学中来自高一的3 人分别为A，B，C，记事件M “抽取的两名同学中至少有一
名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M 包含的样本点；
22.箱子里有3 双不同的手套，从中随机拿出2 只，记事件
{
A 拿出的手套不能配对}，事件
{
B 拿出的
都是同一只手上的手套}，事件
{
C 
拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A 、事件B 、事件C ；
(3)说出事件A 、事件B 、事件C 的关系．
23.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥
事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A 、事件B 的对立事件．
(1) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(2) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是K”；
(3) A 表示“抽出的牌是红色牌”，B 表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10 之一”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(5) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10 之一”，B 表示“抽出的牌面是J，Q，K，A 之一”；
(6) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7 之一的一张方片”，B 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，
A 之一的一张方片”．
10.3 古典概型
模块一：基础知识
考点一：古典概型
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A 的概率用P(A)表示.
2.古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
考点二：古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E 是古典概型，样本空间A 包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义
事件A 的概率P(A)=
=
，其中，n(A)和n(
)分别表示事件A 和样本空间
包含的样本点个数.
考点三：求样本空间中样本点个数的方法
1.枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
2.树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
模块二：题型分类
题型一：古典概型的特征与判断
1.（多选）下列有关古典概型的说法中，正确的是（
）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率

k
P A
n

2.下列概率模型中，是古典概型的个数为（
）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1 的概率；
（2）从1～10 中任意取一个整数，求取到1 的概率；
（3）在一个正方形ABCD 内画一点P，求P 刚好与点A 重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1
B．2
C．3
D．4
3.下列不是古典概型的是（
）
A．在6 个完全相同的小球中任取1 个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1 个，从中任意取出1 个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n 条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
4.下列试验是古典概型的是（
）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0 环，1 环，2 环，…，10 环
C．某小组有男生5 人，女生3 人，从中任选1 人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
5.以下试验不是古典概型的有（
）
A．从6 名同学中，选出4 名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7 的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3 个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
题型二：列举法求样本空间的样本点
1.写出下列随机试验的样本空间：
(1)连续抛掷一枚硬币5 次，记录正面出现的次数；
(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色．
2.在试验
5
E “连续抛掷一枚骰子2 次，观察每次掷出的点数”中，设事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数
为1”，事件B 表示随机事件“2 次掷出的点数之和为6”，试用样本点表示事件A 和事件B．
3.A,B 两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A “ A 元件正常”，B “B 元件正常”，
用
1
2
,
x x 分别表示A,B 两个元件的状态，用

1
2
,
x x
表示这个串联电路的状态.以1 表示元件正常，0 表示元件
失效.下列说法正确的个数是（
）
①样本空间







1,1 , 1,0 , 0,1 , 0,0

；
②事件





0,1 , 1,1
B 
；
③事件“电路是断路”可以用A
B

（或AB ）表示；
④事件“电路是通路”可以用A
B

（或A
B

）表示，共包含3 样本点.
A．0
B．2
C．3
D．4
4.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相
同，从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．设事件A 表示随机事件“第一次摸出的是黑球”，事件B 表示随机事
件“至少有一次摸出的是黑球”，试用样本点表示事件A 和事件B．
5.拋掷一枚骰子，用1，2，3，4，5，6 表示掷出的点数，写出试验的样本点和样本空间．
题型三：列举法求古典概型概率
1.从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛．
（1）将6 名学生做适当编号，把选中3 人的所有可能情况列举出来；
（2）求所选3 人中恰有一名女生的概率；
（3）求所选3 人中至少有一名女生的概率
2.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、
武汉热干面这5 个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
3.随机安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学中的2 位同学负责扫地和拖地两项工作，每人负责一项工作，则
甲负责扫地工作的概率是（
）
A．1
5
B．2
5
C．1
2
D．1
4
4.从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽到的第一张卡片
上的数不小于第二张卡片上的数的概率为
.
5.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（
）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
6.从含有两件正品a1，a2 和一件次品b1 的3 件产品中每次任取1 件，
每次取出后不放回，连续取两次．
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概
率是多少？
7.从集合

2,4,6,8 中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2 的概率为（
）
A．1
3
B．1
2
C．1
4
D．2
3
8.2023 年9 月28 日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江
高速铁路共设8 座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲
随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.
已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（
）
A．3
20
B．1
4
C．1
20
D．3
8
题型四：古典概型概率求解
1.如图所示的《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，该图中小孩有扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，
现有
,
A B 两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模仿，则
,
A B 两个孩童选择模仿的动作相同的概率为
（
）
A．1
8
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
2.从2 至6 的5 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为
.
3.一个箱子中装有6 个红球和4 个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率
（
）
A．
29
30
B．
13
15
C．
1
6
D．
3
5
4.第31 届世界大学生夏季运动会于2023 年7 月28 日至8 月8 日在中国四川省成都市举行，是中国西部第
一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18 个大项，269 个小项．甲同学
准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前
去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（
）
A．
1
6
B．
2
3
C．
3
5
D．
1
3
5.随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服
活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6 类，某自媒体博主准备从这6 类场景中选
2 类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2 类场景至少有1 类场景被选中的概率为（
）
A．
2
5
B．
2
3
C．
3
5
D．
4
5
6.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857 与1 至6 中任意一个数字
相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7 这6 个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任选
2 个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1 个，这个两位数大于72 的概率为（
）
A．
3
10
B．
3
5
C．
4
15
D．
1
3
7.甲乙两人在一座7 层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则
甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8 的概率是（
）
A．1
6
B．1
9
C．5
36
D．7
36
8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命
中的概率：先由计算机产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12 组随机数：
137 960 197
925 271 815 952 683
829
436
730
257 ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命
中的概率为（
）
A．1
4
B．3
8
C．5
12
D．5
8
9.一种电路控制器在出厂时，每4 件一等品装成一箱．工人装箱时，不小心将2 件二等品和2 件一等品装
入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中
二等品的具体数量，则测试的第2 件产品是二等品的概率为（
）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
10.若
2
2
2
2( , , ,
N)
A
a
b
c
d
a b c d





，则称{ , , , }
a b c d 为A 的一组四平方和分解（该分解与a，b，c，d 的
顺序无关），
A
S
a
b
c
d




为该分解因素和，例如
2
2
2
2
2
1
1
0
0




，或
2
2
2
2
2
1
0
1
0




，称{1,1,0,0}
和{1,0,1,0}是2 的同一组四平方和分解，
2
2
S 
，则从36 的四平方和分解中任取一组分解，则因素和为10
的概率是（
）
A．1
5
B．1
4
C．1
3
D．1
2
题型五：有放回与无放回的概率
1.已知不透明的袋中装有三个黑球（记为
1
B ，
2
B 和
3
B ）、两个红球（记为
1R 和
2
R ），从中不放回地依次
随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
2.已知袋中装有5 个大小形状相同的小球，其中黑球2 个、红球3 个，现从中不放回地抽取2 次，每次取
出1 个球，则第二次取出的球是红球的概率为（
）
A．2
5
B．3
5
C．12
25
D．13
25
3.从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片
上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．1
10
B．1
5
C．3
10
D．2
5
4.从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样､不放回简单随机抽样，抽到的两
球都是白球的概率分别是（
）
A．9
16 ，
1
2
B．
1
2 ，9
16
C．5
8 ，2
3
D．2
3 ，5
8
5.从分别写有1,2,3,4 的4 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于
第二张卡片上的数的概率为（
）
A．1
8
B．3
8
C．5
8
D．7
8
6.从分别写有1，2，3，4，5，6，7 的7 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一
张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为
．
7.从含有两件正品
1a ，
2a 和一件次品b 的3 件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是（
）
A．3
4
B．2
3
C．
1
2
D．1
4
8.从三名男生（记为
1A ，
2
A ，
3
A ）、两名女生（记为
1
B ，
2
B ）中任意选取两人.
(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；
(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.
9.袋中装有4 个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2 个红球，2 个绿球，甲摸一个后不放
回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（
）
A．8
B．9
C．12
D．16
10.甲、乙二人用7 张不同的扑克牌（其中红桃4 张，方片3 张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上
放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为
．
11.从分别标有数字1,2,3,
9
,

的9张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1张，则抽到的两张卡片上数
字的奇偶性不同的概率是
.
题型六：互斥事件的概率求法
1.从一副混合后的扑克牌( 不含大小王) 中，随机抽取1 张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑
桃”，则
(
)
P A
B 

（
）
A．7
26
B．11
26
C．15
26
D．19
26
2.已知

0.4
P A 
，
0.3
P B 
，如果


0
P AB 
，那么


P A
B 

（
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
3.人类通常有O，A，B，AB 四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则
可归结为4 条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3 条法则的任何关系式都是错误的(其中X 代表O，
A，B，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB 四种血型的人数所
占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A 型血，则一位供血者不能为这位
受血者正确输血的概率为（
）
A．0.27
B．0.31
C．0.42
D．0.69
4.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为2
5 ，且前两局
以2 : 0领先，则最后甲获胜的概率为（
）
A．16
25
B．81
125
C．72
125
D．98
125
5.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是3
7 ，乙夺得冠军的
概率是1
4 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局2 胜”，即先赢2 局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，
甲在每局比赛中获胜的概率为2
3 ，则本次比赛中甲获胜的概率为（
）
A．7
27
B．4
9
C．
16
27
D．20
27
7.在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12 个，其中5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取1
个球.记事件A 为“取出的球为红球”，事件B 为“取出的球为黑球”，事件C 为“取出的球为白球”，事件
D 为“取出的球为绿球”.求:
（1）“取出的球为红球或黑球”的概率;
（2）“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
8.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12 个．从中任取一球，取到红球的概率是1
3 ，取到黑球或黄球的概
率是5
12 ，取到黄球或绿球的概率是5
12 ．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
题型七：对立事件的概率求法
1.某射手在一次射击中，射中10 环，9 环，8 环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不
够8 环的概率为（
）
A．0
B．0.3
C．0.6
D．0.4
2.若从1，2，3，4，5 五个数字中随机取出三个数字，则剩下两个数字不都是奇数的概率为（
）
A．0.8
B．0.75
C．0.7
D．0.6
3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A {抽到一等品}，事件B {抽到二等品}，事件C {抽到三等
品}，且已知

0.7
P A 
，

0.2
P B 
，

0.1
P C 
．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（
）
A．0.7
B．0.2
C．0.1
D．0.3
4.口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同小球，从中取出2 球，事件A “取出的两球同色”，事件B “取
出的2 球中至少有一个黄球”，事件C “取出的2 球至少有一个白球”，事件D =“取出的2 球不同色”，
E “取出的2 球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（
）
A．
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B



B．
( )
(
)
1
P C
P D


C．(
)
1
P C
E


D．
( )
( )
P B
P C

5.下列叙述错误的是（
）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为1
2
，甲获胜的概率是1
3 ，则甲不输的概率为5
6
C．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
D．在5件产品中，有3件一等品和2 件二等品，从中任取2 件，那么事件“至多一件一等品”的概率为7
10
6.某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0,3,2,5，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未
登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率
是（
）
A．1
24
B．23
24
C．1
16
D．15
16
7.现有7 名世界杯志愿者，其中
1A ，
2A ，
3
A 通晓日语，
1
B ，
2
B 通晓韩语，
1
C ，
2
C 通晓葡萄牙语，从中选
出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则
1
B ，
1
C 不全被选中的概率为______．
8.某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为
0
1
2
3
,
,
,
A A A A ，现有甲、乙两人同时从
0
A 站点上
车，且他们中的每个人在站点


0,1,2,3
iA i 
下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（
）
A．2
3
B．3
4
C．3
5
D．
1
2
题型八：根据古典概型的概率求参数
1.在一个不透明的袋中有4 个红球和n 个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2 个球，已知取出的球中至少
有一个红球的概率为8
9 ，则n （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5 个，黑球m
个，从袋中随机摸出一个红球的概率是1
3 ，则m 的值为
．
3.有5 张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5 张卡片随机抽取2 张.你有
资金100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相
同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2 张卡片全部刮完后，要使资金增加的
概率大于资金减少的概率，则n 至少为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.一个袋子中装有形状大小完全相同的6 个红球，n 个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2 个
球.若取出的2 个球都是红球的概率为1
3 ，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．12
D．15
5.某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生产了690 件，乙工厂生产了510件，
为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件样
品，已知该精密仪器按照质量可分为
, ,
,
A B C D 四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰
好抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为3
20 ，则抽取的
,
,
B C D 三个等级中甲工厂生产的产品共有
件．
6.一个袋子中有3 个红球，4 个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3 个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为3
8 ，求n 的值．
7.一个袋子中有大小和质地相同的4 个红球和n 个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2 个球，若
取出的2 个球颜色不同的概率为4
9 ，则n 的所有可能取值为
．
8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1 个，黄色小球1 个，蓝色小球n 个，从袋子
中随机抽取1 个小球，设取到蓝色小球为事件M ，且事件M 发生的概率是
1
2 .
(1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2 个小球，若每次取到红色小球得0 分，取到黄色小球得1 分，取到蓝色小
球得2 分，设第一次取出小球后得分为a ，第二次取出小球后得分为b ，记事件N 为“
2
a
b


”，求事件N
发生的概率.
模块三：综合巩固
1.下列试验是古典概型的是（
）
A．口袋中有2 个白球和3 个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x
2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2.下列试验是古典概型的是（
）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0 环，1 环，2 环，…，10 环
C．某小组有男生5 人，女生3 人，从中任选1 人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6 次，得到的点数分别为1,2,4,5,6, x ，则这6 个点数的中位数为4 的概
率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数
可以表示为两个素数的和”，如30
7
23


．在不大于10 的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为
（
）
A．1
4
B．2
3
C．1
3
D．1
2
5.如图，一只转盘，均匀标有8 个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（
）
A．
1
2
B．2
5
C．3
5
D．2
3
6.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、
武汉热干面这5 个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
7.在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称
2
1
log p 为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均
匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8.有2 个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，
6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了
使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（
）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线
4
y
x


上甲获胜，所确定的点在直线
8
y
x

上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15 甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积不小于20 时甲得5 分，否则乙得3 分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
9.抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5 能够构成三角形的概率是（
）
A．5
6
B．2
3
C．
1
2
D．1
3
10.某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1 枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲
发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2 个红球与2 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同色，
甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3 个红球与1 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同
色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（
）
A．规则一和规则二
B．规则二和规则三
C．规则一和规则三
D．只有规则一
11.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6 ），先后抛掷两次，将得到的点数分别
记为m，n，记向量


2
3
1
a
m
n




,
，


1, 1
b 


的夹角为，则为钝角的概率是（
）
A．5
18
B．1
3
C．13
36
D．11
36
12.（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，
3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1 个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件
B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（
）
A．事件A 与事件B 的样本点数分别为12，8
B．事件A，B 间的关系为A
B

C．事件A
B

发生的概率为11
20
D．事件A
B

发生的概率为2
5
13.（多选）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种
方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：
直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别
为
1p ，
2p ，则下列判断不正确的是（
）
A．
1
2
1
2
p
p


B．
1
2
1
3
p
p


C．
1
1
2
p 
，
2
1
3
p 
D．
1
1
3
p 
，
2
1
2
p 
14.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝
上的面的点数记为x ，计算
4
x 
，则其结果恰为2 的概率是
．
15.某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5 个一样的盒子，其中4 个盒中各装有一个
变形金刚玩具，另外1 个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5 个盒中选出2 个盒子作为生日礼物，
则恰好取到1 个变形金刚玩具和1 套积木玩具的概率为
.
16.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查. 已知在被调查的新生中有
5 名数学系的学生，其中2 名喜欢甜品.现在从这5 名学生中随机抽取3 人，求抽到的3 人中至多有1 人喜
欢甜品的概率．
17.长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023 年5 月该中学进行一次数
学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1 组

40,50 ，
第2 组

50,60 ，第3 组

60,70 ，第4 组

70,80 ，第5 组

80,90 ，第6 组

90,100 ，得到频率分布直方图
（如图），观察图中信息，回答下列问题：
(1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71 百分位数（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90 分时为优秀等级，若从成绩
在第5 组和第6 组的学生中，随机抽取2 人，求所抽取的2 人中至少有1 人成绩优秀的概率.
18.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，
用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4 分别代表红、黄、黑、白四个小球，利
用电脑随机产生1 到4 之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模
拟产生了以下18 组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（
）
A．1
6
B．1
9
C．2
9
D．5
18
19.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3
1
x 想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3 再
加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1 如给出正整数5，则进行这种反复运算的过
程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5 次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10 中任
取2 个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1 个数的运算次数为奇数的概率为（
）
A．1
10
B．3
5
C．7
10
D．5
6
20.现有编号为1，2，3，…，
*
(
2
)
N
n n
n


，
的n 个相同的袋子，每个袋中均装有n 个形状和大小都相同的
小球，且编号为(
1,2,3,
, )
k k
n


的袋中有k 个红球，n
k

个白球. 当n=5 时，从编号为3 的袋中无放回依
次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为
；现随机从n 个袋子中任选一个，再从袋中无放回
依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为9
20 ，则n 的值为
.
21.若a 、b 是从集合

1,2,3,4,5 中随机选取的两个不同的数，则使得函数

3
2
a
b
f
x
x
x


是偶函数的概率
为
.
22.已知关于x 的二次函数

2
1
f x
mx
nx


，令集合


1,2,3,4
M 
，


1,2,4,6,8
N 
，若分别从集合M，
N 中随机抽取一个数m 和n，构成数对

,
m n
(1)列举数对

,
m n 的样本空间，样本点共有多少个？
(2)记事件A 为“二次函数

f
x 的单调递增区间为

1,”，求事件A 的概率
(3)记事件B 为“关于x 的一元二次方程

2
f
x

有4 个零点”，求事件B 的概率
10.4 概率的基本性质
模块一：基础知识
考点一：概率的基本性质
性质1：对任意的事件A ，都有
( )
0
P A 
；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
( )
1
P 
，
(
)
0
P 
；
性质5：如果A
B

，那么
( )
( )
P A
P B

，由该性质可得，对于任意事件A ，因为
A

，所以
0
( )
1
P A

.
考点二：互斥事件的概率加法公式
性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B



；
注意：只有事件A 与事件B 互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
考点三：对立事件的概率
性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么
( )
1
( )
P B
P A

，
( )
1
( )
P A
P B

；
考点四：概率的一般加法公式
性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B





模块二：题型分类
题型一：概率的基本性质
1. 已知

0.5
P A 
，

0.3
P B 
.（1）如果B
A

，那么


P A
B 

，

P AB 
，
（2）如果A，B 互斥，那么

P A
B 

，

P AB 
.
2.已知在一次随机试验E 中，定义两个随机事件A ，B ，且
( )
0.4
P A 
，
( )
0.3
P B 
，

0.3
P A
B 

，则
(
)=
P A
B

.
3.（多选）设
,
A B 为两个随机事件，以下命题错误的为（
）
A．若
,
A B 是对立事件，且

1
5
P A 
，则


4
25
P AB 
B．若
,
A B 是对立事件，则


1
P A
B


C．若
,
A B 是互斥事件，


1
3
P A 
，

1
2
P B 
，则


1
6
P A
B 

D．若
,
A B 是互斥事件，


1
1
,
4
3
P A
P B


，则

1
2
P A
B


4.已知事件A，B 是互斥事件，

1
6
P A 
，
2
3
P B 
，则


P A
B 

（
）
A．1
18
B．4
9
C．
1
2
D．2
3
5.（多选）设
,
A B 为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（
）
A．若


1
3
P A 
，

1
2
P B 
，则当且仅当


5
6
P A
B


时，
,
A B 是互斥事件
B．若


1
3
P A 
，
2
3
P B 
，则A
B

是必然事件
C．若A ，B 是互斥事件


1
3
P A 
，

1
2
P B 
，则


1
6
P A
B 

；
D．若A ，B 是对立事件，则


1
P A
B

；
6.（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．若事件A 与事件B 是互斥事件，则

1
P A
P B


B．若事件A 与事件B 满足条件




1
P A
B
P A
P B




，则事件A 与事件B 是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．从不包括大小王的52 张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事
件
题型二：互斥事件概率加法公式的应用
1.已知事件A 与B 互斥，它们都不发生的概率为1
5 ，且


3
P A
P B

，则
P B 
.
2.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是3
7 ，乙夺得冠军的
概率是1
4 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
.
3.有3 个两两互斥的事件A，B，C，已知事件A
B
C


是必然事件，事件A 发生的概率是事件B 发生的
概率的2 倍，事件C 发生的概率比事件B 发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C 发生的概率.
4.设
,
A B 为两个互斥事件，且
( )
0
P A 
，
( )
0
P B 
，则下列各式一定正确的是（
）
A．
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B

B．
(
)
( )
( )



P A
B
P A
P B
C．
(
)
( )
( )
P AB
P A
P B


D．
(
)
( ) ( )
P A
B
P A P B


5.袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12 个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是1
3 ，
得到黑球或黄球的概率是5
12 ，得到黄球或绿球的概率也是5
12 ，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别
是
，
，
.
6.在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有1,2,3,4,5,6 字样）的试验中，事件A 表示“不大
于3 的奇数点出现”，事件
B 表示“小于4 的点数出现”，则事件A
B

的概率为
．
7.若事件A 和B 是互斥事件，且

0.1
P A 
，则

P B 的取值范围是
．
8.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两个军火库的概率
都为0.1．若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率．
9.袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7 个，其中白球3 个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲
先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出
的机会是等可能的.
（1）求取球2 次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
题型三：对立事件概率公式的应用
1.从不包括大小王的52 张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率为1
4 ，则没有取到红心的概率为（
）
A．
1
2
B．1
4
C．3
4
D．1
2.已知事件A，B 是互斥事件，��=
1
6，��=
2
3，则��∪�=（
）
A．
1
18
B．
4
9
C．
1
2
D．
2
3
3.已知随机事件�和�互斥，�和�对立，且��∪�= 0.5, ��= 0.2，则��=（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.6
D．0.5
4.已知事件�与事件�互斥，记事件�为事件�对立事件.若�(�) = 0.6，�(�) = 0.2，则�(�+ �ഥ) =（
）
A．0.6
B．0.8
C．0.2
D．0.48
5.已知随机事件A 和B 互斥，且


0.6
P A
B


，

0.4
P A 
，则事件B 的对立事件的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
6.已知两个事件A 和B 互斥，记事件B 是事件B 的对立事件，且
( )
0.3
P A 
，
0
(
.
)
6
P B 
，则
(
)
P A
B 

．
7.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6 点向上的概率是（
）
A．1
18
B．11
36
C．25
36
D．1
36
8.若事件�, �为两个互斥事件，且��> 0, ��> 0，有以下四个结论，其中正确的结论是（
）
①���= 0
②��ഥ�= 1 −����
③��ഥ∪�ഥ= 1
④��∪�= ��+ ��
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
9.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一
个球.若事件“两个球都是红球”的概率为2
15 ，“两个球都是白球”的概率为1
3 ，则“两个球颜色不同”的概率为
（
）
A．4
15
B．7
15
C．8
15
D．11
15
10.若A，B 互为对立事件，

1
P A
a

，

2
P B
b

，且
0
a 
，
0
b 
，则2a
b

的最小值是
.
11.已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4 号四盏灯，只要打开开关A 则1，4 号灯就会亮，只要
打开开关B 则2，3 号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4 号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4 号灯就会
亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关
中的两个不同的开关，则其中2 号灯灯亮的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
12.已知随机事件A 和B 互斥,且


0.6
P A
B


, 
0.3
P B 
,则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
13.同时抛掷两枚骰子，5 点，6 点都没有的概率为4
9 ，则至少掷出一个5 点或6 点的概率为
．
14.某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随
机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
题型四：概率的一般加法公式的应用
1.某校校庆日为每年5 月4 日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹
南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（
）
A．6%
B．15%
C．30%
D．50%
2.根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时
及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为
.
3.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔
断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
4.已知事件A 与事件B 互斥，如果

0.4
P A 
，
0.3
P B 
，那么

P A
B 

.
5.已知

0.5
P A 
，

0.6
P B 
，


0.9
P A
B


，则


P A
B


．
6.已知在一次随机试验E 中，定义两个随机事件A ，B ，且
( )
0.4
P A 
，
( )
0.3
P B 
，

0.3
P A
B 

，则
(
)=
P A
B

.
题型五：游戏公平性问题
1.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面
算乙胜.这个游戏公平吗？
2.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，
你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1 个红球和1 个白球
2 个红球和2 个白球
3 个红球和1 个白球
取球规则
取1 个球
依次取出2 个球
依次取出2 个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
3.已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增
数”（如135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只抽取1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
4.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一
张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙
随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜
色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面
的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的
概率为
1
2，我赢的概率也是
1
2，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
5.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为
1，2，3，4，5 的5 个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，
也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果
5
a
b


，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求
5
a
b


的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
题型六：概率的基本性质综合应用
1．甲、乙二人用4 张不同的扑克牌（其中红桃3 张，方片1 张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝
上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为
.
2．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5 个，黑
球m 个，从袋中随机摸出一个红球的概率是1
3 ，则m 的值为
．
3．一次考试，小明数学超过90 分的概率是0.8，物理超过90 分的概率是0.7，两门都超过90 分的概率是
0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90 分的概率是
．
4.一个袋中有4 个大小质地都相同的小球，其中红球1 个，白球2 个，黑球1 个，现从袋中有放回地取球，
每次随机取一个.
(1)求连续两次都取到白球的概率；
(2)若到红球记2 分，取到白球记1 分，取到黑球记0 分，求连续两次取球所得分数之和大于2 分的概率.
5.在一只袋子中装有7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：
(1)取得两个红球的概率；
(2)取得两个同颜色的球的概率；
(3)至少取得一个红球的概率．
6．在一个盒子中有3 个红球（分别用1r ，2r ，3r 表示）和2 个黑球（分别用
1b ，
2b 表示），这5 个球除颜
色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
7.从1~30 这30 个整数中随机选择一个数，设事件M 表示选到的数能被2 整除，事件N 表示选到的数能被
3 整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2 整除也能被3 整除；
(2)这个数能被2 整除或能被3 整除；
(3)这个数既不能被2 整除也不能被3 整除．
8.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
9.某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3 0.2 0.1 0.4.
，，，
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？
题型七：古典概型与统计综合应用
1.辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意
美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动．公益课堂共开设24 期，近200 名少年儿童受
益．从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50 名少年儿童进行问卷调查（满分100 分），将问卷调查结
果按68,72 ，72,76 ，76,80 ，80,84 ，84,88 ，88,92 ，92,96 ，96,100 分成八组，并绘制成频率
分布直方图，如图所示．
(1)求�的值，并估计被抽取的50 名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代
表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在88,92 和96,100 内的少年儿童中随机抽取2 名少年儿童，求随机抽取的这
2 名少年儿童在同一组的概率．
2.根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI


0,50


50,100


100,150


150,200


200,250


250,300
级别
一级
二级
三级
四级
五级（A）
五级（B）
现对某城市30 天的空气质量进行监测，获得30 个AQI 数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方
图如图所示．
(1)请由频率分布直方图来估计这30 天AQI 的平均数；
(2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2 个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰
均被选中的概率；
(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为
0,0
100
4
400,100
300
S











．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S 不超
过600 元的概率．
3.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机
抽取60 人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取�人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分
别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在70,80 的有10 个.
(1)求�和乙样本直方图中�的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩
的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在60,70 和70,80 的学生中抽取6 人，并从这6 人中任取2
人，求这两人分数都在70,80 中的概率.
4.某校高二年级共有800 名学生参加2021 年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40 名
学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下:
分组
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
频数
5
7
13
10
5
(1)试估计该年级成绩不低于90 分的学生人数；
(2)成绩在区间

120150
,
上的5 名学生中有3 名男生，2 名女生，现从中随机选出2 名学生参加访谈，求恰
好选中一名男生和一名女生的概率.
5.2023 年11 月10 日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博
会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本
届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务
的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100 分），并从评分结果中随机抽取
100 份进行统计，按照





50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 进行分组，得到如图所示的频率分布直方
图：
(1)求n 的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)在这100 份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20 份，再从其中评分在

60,70 和

90,100 的评分
结果中随机抽取2 份，求这2 份评分结果均不低于90 分的概率．
6.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023 年9 月第19 届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45 个国家和地区的1
万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，
赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚
运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的
方法抽取了600 名学生进行调查，成绩全部分布在40~100 分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率
分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计这600 名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在


40,60 , 90,100 的学生中选取5 人，再从这5 人中任
意选取2 人，求这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率．
模块三：综合巩固
1.已知随机事件A 和B 互斥，且


0.6
P A
B


，

0.4
P A 
，则事件B 的对立事件的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
2．2023 年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书
画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3 幅不同的美术
作品、3 幅不同的书法作品，若从这6 幅作品中随机挑选2 幅作品挂在同一面墙上，则选出的2 幅作品为
1 幅美术作品和1 幅书法作品的概率为（
）
A．2
5
B．3
5
C．2
3
D．
1
2
3.已知随机事件A 和B 互斥,且


0.6
P A
B


,

0.3
P B 
,则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
4．已知事件
, ,
A B C 两两互斥，若

1
5
P A 
，

1
3
P C 
，


8
15
P A
B 

，则


P B
C

（
）．
A．8
15
B．2
3
C．7
15
D．1
3
5.某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，
中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（
）
A．0.16
B．0.22
C．0.12
D．0.1
6.已知
( )
0.6
P A 
，
( )
0.3
P B 
，如果A
B

，那么
(
)
P A
B 

（
）
A．0.18
B．0.42
C．0.6
D．0.7
7.从装有2 个红色乒乓球和3 个白色乒乓球的口袋内任取3 个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个
事件是（
）
A．恰有1 个白色乒乓球与至少2 个白色乒乓球
B．至少2 个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C．至少1 个白色乒乓球与至少1 个红色乒乓球
D．恰有1 个红色乒乓球与恰有1 个白色乒乓球
8．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染
的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20 组随机数：
192
907
966
925
271
932
812
458
569
683
257
393
127
556
488
730
113
537
989
431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（
）.
A．0.25
B．0.4
C．0.6
D．0.75
9.已知随机事件A 和B 互斥，且



0.8,
0.3
P A
B
P B



，则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
10.下列说法正确的是（
）
A．若A ，B 为两个事件，则“ A 与B 互斥”是“ A 与B 相互对立”的必要不充分条件
B．若A ，B 为两个事件，则




P A
B
P A
P B



C．若事件A ，B ，C 两两互斥，则



1
P A
P B
P C



D．若事件A ，B 满足


1
P A
P B

，则A 与B 相互对立
11.掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件
A 的概率为

P A ，事件B 的概率为

P B ；则


1
P A
B


是下列哪个事件的概率（
）
A．两个点数都是偶数
B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数
D．至多有一个点数是奇数
12.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（
）
A．


0
P A
B


B．






P A
B
P A P B


C．




1
P A
P B

D．


1
P A
B


13.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到
了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，
如图所示，包括5 个等腰直角三角形，1 个正方形和1 个平行四边形．若该同学从5 个三角形中任取出2
个，则这2 个三角形的面积之和不小于另外3 个三角形面积之和的概率是（
）
A．
1
2
B．1
5
C．2
5
D．3
10
14.（多选）一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A 表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，
B 表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（
）
A．
2
( )
3
P A 
B．
1
( )
3
P B 
C．
5
(
)
6
P A
B


D．
1
(
)
3
P A
B 

15.（多选）下列四个命题中，假命题有（
）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若
,
A B 为两个事件，则




P A
B
P A
P B



C．若事件
, ,
A B C 彼此互斥，则



1
P A
P B
P C



D．若事件
,
A B 满足


1
P A
P B

，则
,
A B 是对立事件
16.已知事件A 与事件B 互斥，如果

0.3
P A 
，

0.5
P B 
，那么

P A
B 

．
17.已知事件A 与B 互斥，它们都不发生的概率为1
5 ，且


3
P A
P B

，则
P B 
.
18.口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同的小球，从中取出2 球，事件A “取出的两球同色”，B “取
出的2 球中至少有一个黄球”，C “取出的2 球至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E “取出的
2 球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为
.
①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④

1
P C
E 

；⑤

P B
P C

.
19.为了备战第33 届夏季奥林匹克运动会（2024 法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提
升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数
10 环
9 环
8 环
7 环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该选手射击一次：
(1)命中9 环或10 环的概率；
(2)至少命中8 环的概率；
(3)命中不足8 环的概率．
20.在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12 个，其中5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取1
个球.记事件A 为“取出的球为红球”，事件B 为“取出的球为黑球”，事件C 为“取出的球为白球”，事件D 为
“取出的球为绿球”.求:
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
21．第24 届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随
机抽取50 人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在

76,84 的
游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中,a b 的值；
(2)从抽取的50 名游客中满意度评分在

60,68 及

92,100 的游客中用分层抽样的方法抽取5 人，再从抽取
的5 人中随机抽取2 人，求2 人中恰有1 人的满意度评分在

60,68 的概率．
22．某校对2023 年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100 名学生，将分数
按照

30,50 ，

50,70 ，

70,90 ，

90,110 ，

110,130 ，

130,150 分成6 组，绘制成如图所示的频率分布
直方图：
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于

50,70 和

70,90 的两组中，用按比例分配的分层
随机抽样的方法抽取5 名学生，再从这5 名学生中随机抽取2 名学生进行问卷调查，求抽取的这2 名学生
至少有1 人成绩在

50,70 内的概率.
23．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测
试分数进行划分，其中分数不小于70 的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100 件口罩进行检测，其
结果如表：
测试分数


50,60


60,70


70,80


80,90


90,100
数量
4
16
42
24
14
(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2 件，求这2 件口
罩全是合格品的概率.
24.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核
选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗
词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、1
3 、n，已知三个社团他都能进入的概率为1
24 ，至少进入一个社
团的概率为3
4 ，且m
n

.
（1）求m 与n 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1 分，对进入“诗词”社的
同学增加校本选修学分2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3 分．求该新同学在社团方面获得
校本选修课学分分数不低于4 分的概率．
25.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12 张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.
从中任取一张，不中奖的概率为1
2 ，中二等奖或三等奖的概率是5
12 .
（Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率；
（Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是1
4 ，求任取一张，中三等奖的概率.
10.5 事件的相互独立性
模块一：基础知识
考点一：事件的相互独立性
1.定义：对任意两个事件A 与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.
2.性质：若事件A 与B 相互独立，则
与B，A 与
，
与
也相互独立.
3.应用
因为“A 与B 相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之
间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
4.推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈
)个事件的相互独立性，即若事件
，
，
，
相
互独立，则这n 个事件同时发生的概率P(
)=P(
)P(
)
P(
).
考点二：互斥事件与相互独立事件的辨析
1.互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事
件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个
事件发生的概率没有影响.
两个事件不可能同时发生，即
AB=
.
概率公式
若事件A 与B 相互独立，则
P(AB)=P(A)P(B).
若事件A 与B 互斥，则P（A∪B）
=P（A）+P（B），反之不成立.
2.已知事件A，B 发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件
表示
概率（A，B 互斥）概率（A，B 相互独立）
A，B 中至少有一
个发生
P(A∪B)
P(A)+P(B)
1
P(
)P(
)或
P(A)+P(B)
P(AB)
A，B 都发生
P(AB)
0
P(A)P(B)
A，B 都不发生
P(
)
1
[P(A)+P(B)]
P(
)P(
)
A，B 恰有一个发
生
P(A
∪
B)
P(A)+P(B)
P(A) P(
)+ P(
)P(B)
A，B 中至多有一
个发生
P(
∪A
∪
B)
1
1
P(A)P(B)
考点三：求相互独立事件同时发生的概率的方法
1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
2.正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
模块二：题型分类
题型一：事件独立性的判断
1.下列事件中A ，B 是相互独立事件的是（
）
A．一枚硬币掷两次，A “第一次为正面”，B “第二次为反面”
B．袋中有2 白，2 黑的小球，不放回地摸两球，A “第一次摸到白球”, B “第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A “出现点数为奇数”，B “出现点数为偶数”
D．A “人能活到20 岁”，B “人能活到50 岁”
2.设A 、B 是两个事件，以下说法正确的是（
）．
A．若

1
P A
P B

，则事件A 与事件B 对立
B．若

1
P A
P B

，则事件A 与事件B 互斥
C．若




P A
B
P A
P B



，则事件A 与事件B 互斥且不对立
D．若




P A
B
P A P B


，则事件A 与事件B 相互独立
3.抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3 点”，G 表示事件“两
次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（
）
A．E 与G 相互独立
B．E 与H 相互独立
C．F 与G 相互独立
D．G 与H 相互独立
4.（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，
编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的
是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（
）
A．A 与D 相互独立.
B．A 与B 相互独立
C．B 与D 相互独立
D．A 与C 相互独立
5.（多选）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”；丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是8”；丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A．甲与丙不相互独立
B．甲与丁不相互独立
C．乙与丙不相互独立
D．丙与丁不相互独立
6.（多选）某人连续掷两次骰子，
1A 表示事件“第一次掷出的点数是2”，
2A 表示事件“第二次掷出的点数是
3”．
3
A 表示事件“两次掷出的点数之和为5”，
4
A 表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（
）
A．
1A 与
2A 相互独立
B．
1A 与
3
A 相互独立
C．
2A 与
3
A 不相互独立
D．
2A 与
4
A 不相互独立
7.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为Ω
{1,2,3,4,5,6}

，令事件
{2,3,5}
A =
，
{1,2,3}
B 
，
{1,2}
C 
，则下列说法中错误的有（
）
A．A 与B 独立
B．A 与C 独立
C．B 与C 独立
D．C
B

8.若古典概型的样本空间Ω = 1,2,3,4 ，事件�= 1,2 ，事件�，�相互独立，则事件�可以是（
）
A．1,3
B．1,2,3
C．3,4
D．2,3,4
题型二：相互独立事件的概率计算
1.已知A、B 是独立事件，


0.6
P A
B


，

0.4
P A 
，则

P B 
.
2.出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交
通岗遇到红灯的概率都是1
3 ，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（
）
A．1
24
B．4
27
C．7
9
D．1
27
3.在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：
(1)甲乙同时射中目标的概率；
(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.
4.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是1 1 1
,
,
6 4 3 ，且三人的录取结果相
互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（
）
A．1
72
B．5
72
C．5
12
D．7
12
5.甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为
1
2 ,
2
3 ,
3
4且三人是
否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（
）
A．
1
4
B．
7
24
C．
11
24
D．
17
24
6.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，
决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为1
3 ，m ，n ，且他
是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为1
30 ，至少通过一个社团考核的概率为11
15 ，
则m
n

（
）
A．4
5
B．7
10
C．2
3
D．3
5
7.甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是�1，�2，那么至少有1 人解对的概率是（
）
A．�1 + �2
B．�1�2
C．1 −�1�2
D．1 −(1 −�1)(1 −�2)
8.甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､
丙､丁比赛获胜的概率分别为
1
2
3
,
,
p
p
p ，且
1
2
3
0
p
p
p


.记甲连胜两场的概率为p ，则（
）
A．甲在第二场与乙比赛，p 最大
B．甲在第二场与丙比赛，p 最大
C．甲在第二场与丁比赛，p 最大
D．p 与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关
9.2022 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3 人
为了能购买到冰墩墩，商定3 人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2 人中至少有1 人购买到冰
墩墩的概率为
1
2 ，丙购买到冰墩墩的概率为1
3 ，则甲，乙､丙3 人中至少有1 人购买到冰墩墩的概率为
___________.
10.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为
3
4、第二
局获胜的概率为
2
3，第三局获胜的概率为
2
3，则甲恰好连胜两局的概率为（
）
A．
1
9
B．
5
36
C．
7
36
D．
2
9
题型三：相互独立事件与互斥事件
1.已知


25
32
P A
B 

，
7
8
P A 
，

3
4
P B 
，则事件A 与B 的关系是（
）
A．A 与B 互斥不对立
B．A 与B 对立
C．A 与B 相互独立
D．A 与B 既互斥又独立
2.（多选）下列四个命题中错误的是（
）
A．若事件A，B 相互独立，则满足

( )
P AB
P A P B

B．若事件A，B，C 两两独立，则
(
)
( ) ( ) ( )
P ABC
P A P B P C

C．若事件A，B，C 彼此互斥，则
( )
( )
( )
1
P A
P B
P C



D．若事件A，B 满足


1
P A
P B

，则A，B 是对立事件
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：

iA
“向上的点数为i”，其中
1,2,3,4,5,6
i 
，B “向上
的点数为奇数”，则下列说法正确的是（
）
A．
1A 与B 互斥
B．
2
A
B


C．
3
A 与B 相互独立
D．
4
A
B 

4.袋内有3 个白球和2 个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白
球”记为事件B，那么事件A 与B，A 与B 间的关系是（
）
A．A 与B，A 与B 均相互独立
B．A 与B 相互独立，A 与B 互斥
C．A 与B，A 与B 均互斥
D．A 与B 互斥，A 与B 相互独立
5.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A ，“第二枚为正面”记为事件B ，“两枚结果相
同”记为事件C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（
）
A．A 与B ，A 与C 均相互独立
B．A 与B 相互独立，A 与C 互斥
C．A 与B ，A 与C 均互斥
D．A 与B 互斥，A 与C 相互独立
6.（多选）设A，B 是两个概率大于0 的随机事件，则下列结论正确的是（
）
A．


1
P A
P B


B．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立
C．若事件A
B

，则


P A
P B

D．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥
7.若
1
(
)
9
P AB 
，
2
( )
3
P A 
，
1
( )
3
P B 
，则事件A 与B 的关系是（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 对立
C．事件A 与B 相互独立
D．事件A 与B 既互斥又相互独立
8．已知事件A B
、，且

0.6,
0.7
P A
P B


，如果A 与B 互斥，那么


1
P AB
p

；如果A 与B 相互独立，
那么

2
P A
p
B


，则
1
2
,
p p 分别为（
）
A．
1
2
0,
0.9
p
p


B．
1
2
0.42,
0.9
p
p


C．
1
2
0,
0.72
p
p


D．
1
2
0.42,
0.45
p
p


9.（多选）国家于2021 年8 月20 日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法
规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积
极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A ：该家庭既有男孩又有
女孩；事件B ：该家庭最多有一个男孩；事件C ：该家庭最多有一个女孩．通过判断或计算可知，下列说
法正确的是（
）
A．事件B 与事件C 互斥且对立
B．事件A 与事件B 互斥且对立
C．事件B 与事件C 相互独立
D．事件A 与事件B 相互独立
10.（多选）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2 个红球和3 个白球，从袋中一次性随机摸出2
个球，则（
）
A．“摸到2 个红球”与“摸到2 个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1 个红球”与“摸到2 个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为2
5
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
题型四：相互独立事件的乘法公式
1.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概
率是
2
3 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是
1
15 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是3
5 ，各家庭是否
回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2 个家庭回答正确这道题的概率为
.
2.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率
是2
3 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是1
15 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是3
5 ，各家庭是否回答
正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2 个家庭回答正确这道题的概率.
3.甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3 道题目，答对2 道题则通过面试（前
2 道题都答对或都答错，第3 道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为3
5 ，乙答对每道题目的
概率依次为2
3 ，2
3 ，
1
2 ，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.
(1)求乙3 道题都回答且通过面试的概率；
(2)求甲没有通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.
4.甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为
2
1
3
p
p

，
，，其中0
1
p

．
(1)若
1
4
p 
，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
(2)当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．
5.我省从2024 年开始，高考不分文理科，实行“ 3
1
2

”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3 门必
选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2 门首选科目中选择1 门，“2”指的是考生需要在思想政治、
地理、化学、生物这4 门再选科目中选择2 门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，
再选科目为化学、生物至少1 门．
(1)从所有选科组合中任意选取1 个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；
(2)假设甲、乙两人每人选择任意1 个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合
符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．
6.甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖
的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为1
4 ，两人同时中奖的概率为1
20 ．
(1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率；
(2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率
题型五：相互独立事件综合应用
1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币2 次，设“第1 次正面朝上”为事件A ，“第2 次反面朝上”为事件B ，“2 次
朝上结果相同”为事件C ，有下列三个命题：
①事件A 与事件B 相互独立；②事件A 与事件C 相互独立；③事件B 与事件C 相互独立．
以上命题中，正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加
两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分
别为3 3
5 4
，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为2 1
3 2
，. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影
响.
（1）从甲、乙两人中选取1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
3.如图，三个元件
1T ，
2T ，
3T 正常工作的概率分别为
1
2 ，1
4 ，3
4 ，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（
）
A．3
32
B．3
16
C．13
16
D．13
32
4.概率论起源于博弈游戏．17 世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游
戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48 枚金币，先赢3 局者可获得全部赌金；
但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2 局，乙赢了1 局．问这96 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马
和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是
A．甲48 枚，乙48 枚
B．甲64 枚，乙32 枚
C．甲72 枚，乙24 枚
D．甲80 枚，乙16 枚
5.甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2 分，负方得0 分，没有平局．三个项
目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为1
2 ，p ，q，

p
q

，各
项目的比赛结果相互独立，甲得0 分的概率是3
50 ，甲得6 分的概率是4
25
(1)求p ，q的值；
(2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由．
6.甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，
然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组
进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是3
4 ，乙猜对歌名的概率是2
3 ，丙
猜对歌名的概率是
1
2 ，甲、乙、丙猜对与否互不影响.
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）该小组能进入第三轮的概率；
（3）乙猜歌曲的次数不小于2 的概率.
7.甲、乙、丙、丁4 名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，
方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6 场为决赛，
获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为3
4 ，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
8.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考
试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课
程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试
的概率更大（
）
A．方案一
B．方案二
C．相等
D．无法比较
题型六：方程思想在相互独立事件概率中的应用
1.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学
生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了
新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存
在4 种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为
1 1
, ,
,
4 2
p p
，且各种方法能否答对互
不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为1
72 ．
(1)求p 的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
2.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，
如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的
概率为2
3 ，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为2
15 ，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率
为3
10 ；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为3 2 4
,
,
4 3 5 ．且所有的问答中回
答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2 枝“黑
玫瑰”奖品的概率．
3.在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知
识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是3
4 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是1
12 ，乙、丙两
个家庭都回答正确的概率是1
4 ．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2 个家庭回答正确这道题的概率．
4.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率
是2
3 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是1
15 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是3
5 ，各家庭是否回答
正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2 个家庭回答正确这道题的概率.
5.）第22 届亚运会已于2023 年9 月23 日至10 月8 日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，
某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后
才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3 位选手都参加了
初赛且通过初赛的概率依次为1
2 ，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3 位选手通过决赛的概率均为1
2 ，假设
他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A 社区参加市亚运知识竞赛的概率为1
24 ，乙丙都
不能代表A 社区参加市亚运知识竞赛的概率为35
48 .
(1)求a，b 的值；
(2)求这3 人至少一人参加市知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖
励200 元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500 元．求三人奖金总额为1200 元的概率．
6.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知
识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正
确这道题的概率是2
3 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是1
15 ．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是3
5 ，
各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2 个家庭回答正确这道题的概率
7.甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖
的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为1
4 ，两人同时中奖的概率为1
20 ．
(1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率；
(2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率
8.已知甲箱中有4 个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母A 、B 和小写英文字母a 、b ；
乙箱中有m 个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…，


N
m m


(1)现从甲箱中任意抽取2 个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文
字母的概率；
(2)现从乙箱中任意抽取1 个小球，设n =“所抽小球上面标注的数字”，记事件D =“
2
1
n 
”，事件
E =“
4
0
2
n
n



”，若事件D 与事件E 独立，求m 的值；
(3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3 次，每次取1
个小球，求这3 个小球中至少有2 个小球上面标有英文字母的概率．
9.在第19 届杭州亚运会上中国女篮以74:72 战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球
投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已
知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94．
(1)求p；
题型七：独立事件与其他知识综合
1.某地文化和旅游局统计了春节期间100 个家庭的旅游支出情况，统计得到这100 个家庭的旅游支出（单
位：千元）数据，按[3,5), [5,7), [7,9), [9,11), [11,13]分成5 组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)估计这100 个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100 个家庭的旅游支出的第70 百分位数（结果保留一位小数）；
(3)以这100 个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2 个春节期间出游
的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1 个家庭的旅游支出在[3,5)内的概率．
2.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100 名学生，得到他们的成
绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，90,100 ，并绘制成如图所示的频率分
布直方图．
(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6 的样本，再从该样本中随机抽取2 名
学生进行问卷调查，求至少有1 名学生成绩不低于90 的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2 门学科，
每科笔试成绩从高到低依次有�+，A，B，C，D 五个等级．若两科笔试成绩均为�+，则直接参加；若一
科笔试成绩为�+，另一科笔试成绩不低于�，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现
有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得�+，A，B，C，D 的概率分别为
2
5，
1
6，
1
12，
1
5，
3
20；乙在每科笔试中取得�+，A，B，C，D 的概率分别为
1
4，
1
5，
2
5，
1
10，
1
20；甲、乙在面试中通过的概
率分别为
1
5，
5
16．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
3.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱
水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不
低于50 kg”，试估计A 的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
4．甲､乙､丙三人打靶，他们的命中率分别为
1
2
1
,
, 3
p p
，若三人同时射击一个目标，甲､丙击中目标而乙没有
击中目标的概率为1
6 ，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为1
6 .设事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示
“乙击中目标”，事件C 表示“丙击中目标”.已知A，B，C 是相互独立事件.
(1)求
1
2
,
p p ；
(2)写出事件A
B
C


包含的所有互斥事件，并求事件A
B
C


发生的概率.
5．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定
甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，
每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比
赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为1
2 ，且每局比赛相互独立.
(1)求丙每局都获胜的概率
(2)求甲获得比赛胜利的概率.
6．为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000 名学
生参加，随机抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成4 组：




60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，
并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从

60,70 ，

90,100 两个区间共抽取出4 名学生，再从这4 名学生中随机抽取2
名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间

60,70 的概率；
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每
个项目胜方得1 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三
个项目中获胜的概率分别为1 2
,
,
2 5 p ，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1 分的概率是
47
50 ，甲乙两人谁
获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
7.国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一
批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念
建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17 个“第一批
文保单位”所在区分布如下表：
行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参
观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的
一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”
中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2 个
单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为�1，抽不到海淀区的概率为�2，试判断�1和�2的大小（直接写出
．．．．
结论
．．）.
模块三：综合巩固
1.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜
制，则乙最终获胜的概率为（
）
A．0.36
B．0.352
C．0.288
D．0.648
2.天气预报元旦假期甲地下雪的概率为0.6，乙地下雪的概率为0.3，假定这段时间内两地是否下雪相互独
立，则这段时间甲、乙两地至少有一个下雪的概率为（
）
A．0.18
B．0.72
C．0.28
D．0.12
3.中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023 年10 月25 日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成
功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓
一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙
各自出仓试验成功的概率分别为9
10 ，2
3 ，
1
2 ，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概
率为（
）
A．3
10
B．9
10
C．29
30
D．59
60
4.2024 年1 月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），
明确从2024 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，
考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为1 2 3
,
,
2 3 4 ，
且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（
）
A．1
4
B．11
24
C．13
24
D．17
24
5.已知事件A 与事件B 互斥，且

0.3
0.5
P A
P B


,
，则（
）
A．

0.15
P AB 
B．

0.8
P A
B


C．
0.5
P A 
D．
0.6
P B 
6.袋内有质地均匀且大小相同的3 个白球和2 个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，
用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是（
）
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
7.若
2
(
)
9
P AB 
，
2
( )
3
P A 
，
1
( )
3
P B 
，则事件A 与B 的关系是（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 对立
C．事件A 与B 相互独立
D．事件A 与B 既互斥又相互独立
8.（多选）在12 张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为x ，甲表示事
件“ x 为偶数”，乙表示事件“ x 为质数”，丙表示事件“ x 能被3 整除”，丁表示事件“
6
x 
”，则（
）
A．甲与丙为互斥事件
B．乙与丁相互独立
C．丙与丁相互独立
D．
(
P 甲乙)
(
P

乙丙）
9.袋子中装有4 个大小质地完全相同的球，其中2 个白球，2 个红球，从中不放回地依次随机摸出2 个球．记
事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”（
）
A．事件A 与事件B 互斥
B．事件A 与事件B 独立
C．事件A 与事件B 对立
D．事件C 包含事件A
B

10.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件
能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 至少有一个正常
工作，C 正常工作，D 与E 中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（
）
A．0.19738
B．0.00018
C．0.01092
D．0.09828
11.甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2 局，乙胜1 局，规定先胜3 局者取得最终胜利，已
知甲在每局比赛中获胜的概率为3
4 ，乙在每局比赛中获胜的概率为1
4 ，且各局比赛结果相互独立，则甲取
得最终胜利的概率为（
）
A．8
9
B．2
3
C．4
9
D．15
16
12.若事件
,
A B 满足

1
2
P A 
，

1
3
P B 
，


2
3
P A
B


，则下列说法不正确
．．．的是（
）
A．
2
3
P B 
B．


2
9
P AB 
C．


P AB
P A P B

D．


P AB
P A P B

13.（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，
编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的
是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（
）
A．A 与D 相互独立.
B．A 与B 相互独立
C．B 与D 相互独立
D．A 与C 相互独立
14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的
概率为1
5 ，1
4 ，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为
.
15.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会4 100

米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人
的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是
1p ，
2p ，
3p ，假设三次交接棒相互独立，则此次
比赛中该组合交接棒没有失误的概率是________
16.已知A ，B 是相互独立事件，但不是互斥事件，若
3
( )
10
P A 
，
2
( )
5
P B 
，则事件A
B

的概率为
．
17.某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：
(1)求该公司员工年龄的平均数和第25 百分位数；
(2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间

30,40 内为事件A ，所抽取员工年龄在区间


40,50 内为事件B ，判断事件A 与B 是否互相独立，并说明理由.
18.（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6 且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能
性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；
①单次掷一颗骰子，观察点数；
②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7 且第二次点数大于第一次点数的可能结果；
（2）掷一颗骰子，用
,
A B 分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独
立，并请说明理由.
19.某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件G 由2 个电子元件组
成.如图所示，部件G 是由元件A 与元件B 组成的串联电路，已知元件A 正常工作的概率为2
3 ，元件B 正常
工作的概率为4
5 ，且元件
,
A B 工作是相互独立的.
(1)求部件G 正常工作的概率；
(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件G 正常工作的概
率增大.已知新增元件正常工作的概率为(0.8
1)
p
p


，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方
案：
方案一：新增两个元件都和元件A 并联后，再与B 串联；
方案二：新增两个元件都和元件B 并联后，再与A 串联；
方案三：新增两个元件，其中一个和元件A 并联，另一个和元件B 并联，再将两者串联.
则该公司应选择哪一个方案，可以使部件G 正常工作的概率达到最大？
20.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、
延迟5 分钟内送达、延迟5 至10 分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D 四个等级，各等级
依次奖30 分、奖0 分、扣30 分、扣60 分、根据大数据统计，评定为等级A，B，C 的概率分别是5
6 ，1
12 ，
1
24 ．
(1)若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；
(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0 分的概率．
21.一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答的概率为0.7 .记事件
:
A 甲正确解答，事件
:
B 乙正确解
答.假设事件A 与B 相互独立.
(1)求恰有一人正确解答问题的概率；
(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：
解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，
所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为A
B

.
所以




0.8
0.7
1.5
P A
B
P A
P B






.
请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.
22.《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次
会议于2023 年10 月24 日通过，现予公布，自2024 年1 月1 日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑
龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B 两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，每个同学先从A 类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对
的同学再从B 类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3 个，则“星队”可进入决赛．
已知甲同学能答对A 类中问题的概率为3
5 ，能答对B 类中问题的概率为1
2 ．乙同学能答对A 类中问题的概
率为4
5 ，能答对B 类中问题的概率为3
4 ．
(1)设“甲同学答对0 个，1 个，2 个问题”分别记为事件
0
1
2
A
A
A
，，
，求事件
0
1
2
A
A
A
，，
的概率；
(2)求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．
23.2022 年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的
业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队
获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比
赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为3
4 ，甲与丙比赛，甲赢的概率为p ，其
中1
3
2
4
p


．若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算
两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进
行比赛？
10.6 频率与概率
模块一：基础知识
考点一：随机事件的频率
在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数
A
n 为事件A
出现的频数，称事件A 出现的比例
( )
A
n
n
f
A
n

为事件A 出现的频率.
考点二：频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A 发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的
可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n 的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率
( )
nf
A 会逐渐稳定于事件A 发生
的概率
( )
P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率
( )
nf
A 估计概率
( )
P A .
考点四：生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，
因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.
在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明
天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
考点五：随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
2.产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1
n

（n
N 

）之间的随机整数，把n 个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，
，n 放入
一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期
性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们
称它们为伪随机数.
3.用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破
坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计
算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概
率.
③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生
产生活的各个领域中去.
④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
模块二：题型分类
题型一：频率与概率的关系
1.以下说法正确的是（
）
A．概率与试验次数有关B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关D．频率是在试验后得到的
2.某同学做立定投篮训练，共做3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（
）
A．0.58
B．0.61
C．0.62
D．0.68
3.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（
）
A．该厂生产的10 000 件产品中不合格的产品一定有1 件
B．该厂生产的10 000 件产品中合格的产品一定有9 999 件
C．该厂生产的10 000 件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能
是（
）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3 点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
5.在抛掷硬币试验中，记事件A 为“正面朝上”，则下列说法正确的（
）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为1
3
B．抛掷十枚硬币，事件B 为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
0
P B 
C．抛掷100 次硬币，事件A 发生的频率比抛掷50 次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A 发生的频率接近于0.5
6.根据统计，某篮球运动员在1000 次投篮中，命中的次数为560 次，则该运动员（
）
A．投篮命中的频率为0.56
B．投篮10 次至少有5 次命中
C．投篮命中的概率为0.56
D．投篮100 次有56 次命中
7.下列命题中正确的是（
）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200 件产品中必有10 件是次品
B．抛100 次硬币，结果51 次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100 次，得点数为6 的结果有20 次，则出现6 点的频率为0.2
8.某人将一枚硬币连抛20 次，正面朝上的情况出现了12 次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（
）
A．频率为3
5
B．概率为3
5
C．频率为
1
2
D．概率接近3
5
9.下列说法中正确的是（
）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
10.根据统计，某篮球运动员在5000 次投篮中，命中的次数为2348 次．
(1)求这名运动员的投篮命中率；
(2)若这名运动员要想投篮命中10000 次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100）
(3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3 次，至少能命中1 次”这一说法是否正确．
11.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200 件，必有10 件是次品；
②做100 次抛硬币的试验，结果51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51
100 ；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果有18 次，则出现1 点的频率是9
50 .
其中正确命题有（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
12.（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（
）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100 件，必有10 件是次品
B．做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率
也不一定很准确．
13.某人抛掷一枚硬币80 次，结果正面朝上有43 次.设正面朝上为事件A，则事件A 出现的概率为
．
题型二：频率的计算
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800 次试验，发现正面朝上出现了440 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.55，0.55
B．0.55，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.55
2．某产品的设计长度为20cm ，规定误差不超过0.5cm 为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下
表：
长度(cm)
19.5以下
19.5 ~ 20.5
20.5 以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为（
）
A．5
80
B．7
80
C．17
20
D．3
20
3.某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（
）
A．0.80
B．0.65
C．0.40
D．0.25
4．容量为100 的样本数据，按从小到大的顺序分为8 组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是（
）
A．14 和0.14
B．0.14 和14
C．1
14 和0.14
D．1
3 和1
14
5．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到
共有840 人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1260 人参与评价，其中好评率为85%．综
合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（
）
A．88%
B．89%
C．91%
D．92%
6．在第112个“三八”国际妇女节到来之际，我们年级组给每位女教师送了火红的玫瑰和热情洋溢的贺卡，
其中我最喜欢的一句话英文翻译是：“You stand on the podium as an oath and tell the ordinary as a fairly tale.”
统计如下表：
字母
y
o
u
s
a
p
d
e
t
f
l
i
n
m
r
h
频数
3
5
2
3
10
1
4
4
6
1
4
3
5
1
3
3
累计频数为58，则字母“a ”出现的频率约为多少？（
）
A．10
B．0.172
C．0.123
D．0.153
7．掷一枚均匀的硬币80 次，其中42 次出现正面，则出现正面的频率是
.
8．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：
最高水位范围（米）
<10
[10,12)
[12,14)
[14，16）
≥16
频率
0.1
0.28
0.38
0．16
0.08
若当最高水位低于14 米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是
.
9．从存放号码分别为1，2，3，…，10 的卡片的盒子里，有放回地取100 次，每次取一张卡片，并记下号
码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为
．
10．从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在

114.5,124.5 内的频率为
．
题型三：用随机事件的频率估计概率
1.（多选）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（
）
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
2.手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100
名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100 名顾客中随机抽取1 人，则该顾客年龄在

40,60 内且未
使用手机支付的概率为（
）.
顾客年龄（岁）
20 岁以下


20,30


30,40


40,50


50,60


60,70
70 岁及以上
手机支付人数
3
12
14
13
27
9
0
其他支付方式人数
0
0
2
9
5
5
1
A．21
50
B．2
5
C．23
50
D．7
50
3.每年4 月15 日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了
解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下
表所示：
学习时间（时）


0,2


2,4


4,6


6,8


8,10
党员人数
8
13
9
10
10
则从该校随机抽取1 名党员，估计其学习时间不少于6 小时的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
4.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天
下雨的概率，用1，2，3，4，5，6 表示下雨，7，8，9，0 表示不下雨.用计算机产生了10 组随机数为180，
792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为
.
5.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100 名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59 人，体
重不变的21 人，体重增加的20 人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为
（
）
A．59
100
B．21
100
C．1
5
D．4
5
6.受全球新冠疫情影响，2020 东京奥运会延期至2021 年7 月23 日到8 月8 日举行，某射箭选手积极备战
奥运，在临赛前的一次训练中共射了1 组共72 支箭，下表是命中环数的部分统计信息
环数
<7
7
8
9
10
频数
0
3
a
b
22
已知该次训练的平均环数为9.125 环
(1)求a，b 的值；
(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9 环）的概率.
7.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两
天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6 表示下雨，用计算机产生了10 组随机数180，792，454，417，165，
809，798，386，196，206 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（
）
A．3
5
B．2
5
C．1
2
D．7
10
8.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200 位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分
布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30) 的概率为
.
9.一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率．该公司收集了20000 辆汽车的信息，时间从某一年的7 月
1日到第二年的6月30日，共发现有600 辆汽车的挡风玻璃破碎．在一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破
碎的概率大约是多少？
题型四：游戏公平性
1.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（
）
取球方式
结果
游戏
1
有3 个黑球和1 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜
游戏
2
有1 个黑球和1 个白球，游戏时，任取1 个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙
胜.
游戏
3
有2 个黑球和2 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球.
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜.
A．游戏1 和游戏3
B．游戏1
C．游戏2
D．游戏3
2.某学校校庆，给每班发了5 张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5 位同学参加，为此
制作了50 张卡片，其中5 张写有“庆典”字样．50 位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校
庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是5
50 ．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的
概率只有4
49 ，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为5
49 ．抽中的机会未必相等．”你认为王
老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
3.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一
张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙
随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜
色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面
的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的
概率为1
2 ，我赢的概率也是1
2 ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
5．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(
)
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②
B．②
C．②③④
D．①②③④
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
7.已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增
数”（如135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只抽取1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释
1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
2.某种彩票的中奖概率为
1
100000 ，则以下理解正确的是（
）
A．购买这种彩票100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000 张，至少能中奖一次
3.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故
现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定
红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
4.下列说法正确的是
A．某厂一批产品的次品率为1
10 ，则任意抽取其中10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9 个病人都没有治愈，第10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下
雨
5.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否
成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19 ；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友
助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9 ，
则至少需要邀请
位好友参与到“好友助力”活动.
6. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99 个白球，1 个黑球，乙箱中有1 个白球，99 个黑球.随机地
抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从
箱中取出的.
题型六：随机模拟问题
1.进入8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24 小时
内最高气温将升至37 摄氏度以上），在今后的3 天中，每一天最高气温在37 摄氏度以上的概率是
3
5.用计算
机生成了20 组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有2
天发布高温橙色预警信号的概率估计是（
）
A．
3
5
B．
1
2
C．
13
20
D．
2
5
2.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的
概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（
）.
A．0.25
B．0.4
C．0.6
D．0.75
3.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器
或计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，
6，7，8，9 表示手术成功；再以每3 个随机数为一组，作为3 例手术的结果，经随机模拟产生如下10 组
随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1 球，
取了10 次有7 个白球，估计袋中数量较多的是
球.
5.袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字
都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0 到3 之间取整数值的
随机数，分别用0,1,2,3代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随
机模拟产生了以下18 组随机数：
232
321
230
023 123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为
.
6.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3 局，赢得2 局或3 局者胜出，用计算机产
生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2，3 时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3 局，
所以每3 个随机数为一组，产生20 组随机数：
423
123
423
344
114
453
525
332
152
342
534
443
512
541
125
432
334
151
314
354
据此估计甲获得冠军的概率为
；
7.欲利用随机数表从00，01，02，…，59 这些编号中抽取一个容量为6 的样本，抽取方法是从下面的随机
数表的第1 行第11 列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4 个被抽取的样本的编号为
8.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖
恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示命中靶
心，5，6，7，8，9，0 表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了
20 组随机数：
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为
．
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用
计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的
概率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
7032563
2564586
3142486
5677851
7782684
6122569
5241478
8971568
3215687
6424458
6325874
6894331
5789614
5689432
1547863
3569841
2589634
1258697
6547823
2274168
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
题型七：概率思想的实际应用
1.某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游
戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）
班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7 的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两
人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该
方案对双方是否公平？为什么？
2.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事
故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认
定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
3.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0
25dB

（分贝），并规定测试值在区间(0,5]
为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500 人进行了听力测试，从中随机抽取了50 人的测试值作为
样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500 人中随机抽取1 人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率
为（
）．
A．0.2
B．0.8
C．0.02
D．0.08
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得224 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．169石
B．192石
C．1367 石
D．1164石
5.已知一个容量为20 的样本，其数据具体如下：
10
8
6
10
13
8
10
12
11
7
8
9
11
9
12
9
10
11
12
11
那么频率为0.4 的范围是（
）
A．5.5~7.5
B．7.5~9.5
C．9.5~11.5
D．11.5~13.5
6.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校
的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任
取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（
）
A．0.165
B．0.16
C．0.32
D．0.33
7.我市某高校共有学生30000 人，其中女生18000 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采
用分层抽样的方法，收集300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据?
(2)根据这300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区
间为：0,2 ，2,4 ，4,6 ，6,8 ，8,10 ，10,12 ，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运
动时间不超过7h 的概率.
8.从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．
(1)求�的值；
(2)求该组数据的众数和平均数；
(3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在170cm 以下的概率．
9.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：
���=
体重单位:kg
身高
2 单位:m2 ，成年人的BMI 数值标准是：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为
偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：12,16 ，16,20 ，
20,24 ，24,28 ，28,32 ，得到相应的频率分布直方图.
(1)求�的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200 名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.
模块三：综合巩固
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000 次试验，发现正面朝上出现了560 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.56，0.56
B．0.56，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.56
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6 ．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利
用计算机产生1~ 5之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5 表示下雨，用2，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（
）
A．9
20
B．1
2
C．11
20
D．13
20
3.下列结论：①如果

0.9999
P A 
，那么A 为必然事件：
②若事件A 与B 是互斥事件，则

1
P A
P B

；
③概率是随机的，试验前不能确定；
④若事件A 与B 是对立事件，则A 与B 一定是互斥事件．
其中是正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列说法中，正确的是（
）
A．某种彩票中奖的概率是1% ，因此买100 张该种彩票一定会中奖
B．做7 次拋硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．若事件
, ,
A B C 两两互斥，则



1
P A
P B
P C



D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
5.下列说法正确的是（
）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0
B．1
C．2
D．3
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A “正面向上”，则下列说法正确的是（
）
A．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次
C．抛掷硬币1000 次，事件A 发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率逐渐稳定在0.5附近
7.在6 月6 日第27 个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022 年全国“爱眼日”
宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调
查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现
从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（
）
A．3
14
B．5
14
C．3
7
D．4
7
8．设两个相互独立事件A，B 都不发生的概率为1
9 ，则A 与B 都发生的概率的取值范围是（
）
A．
8
0, 9






B．1 5
,
9 9






C．2 8
,
3 9






D．
4
0, 9






9.（多选）下列说法正确的是（
）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
10.（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其
中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，
并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（
）
A．选取的这部分学生的总人数为500 人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78 人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
11.（多选）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500 时各做5 组试验，
得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
序号
20
n 
100
n 
500
n 
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（
）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
12.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现
象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50 人中，有14 人持认可
态度，其余持反对态度，若该地区有7600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
人．
13.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员
设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者
随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如
实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48 人回答了“否”．则问题二“考试
是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）
．
14.某高中高一500 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了
100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：20,30 ，30,40 ，…，80,90 ，并整理得到频率分布直
方图如图所示．
(1)从总体的500 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60 的概率；
(2)已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间40,50 内的人数；
(3)估计随机抽取的100 名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
15.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷
出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
16.一个游戏包含两个随机事件A 和B，规定事件A 发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜.判断游戏是否公
平的标准是事件A 和B 发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10 次时，双方各胜5 次；但玩到1000 次时，自己才胜300 次，而乙却胜了700
次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
17．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3 分，平一局得1 分，负一局得0 分.已知甲，乙共进行
了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，
利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2 或3 时，表示一局比赛甲获
胜，当出现随机数4 或5 时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3 个随机数为一组，现产生了
20 组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
18.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，
“掷出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
专题01：古典概型题型巩固
模块一：题型分类
【注意】本专题部分题型题目可能与前面章节内容重复
题型一：古典概型基础计算
1.一个不透明的箱子中有4 个红球、2 个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
2.如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10 个棋子，其中A
棋1 个，B 棋2 个，C 棋3 个，D 棋4 个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A 棋胜B 棋，C 棋；B 棋胜C 棋，D 棋；C 棋胜D 棋；D 棋胜A 棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C 棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C 棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概
率最大？
3.某环保小组共有5 名成员，其中男成员有2 人，现从这5 人中随机选出3 人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3 人中恰有1 名男成员的概率；
(2)求所选的3 人中至少有2 名女成员的概率.
4.为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码．已知该系统登入设置的每
个验证码均由有序数字串���组成，其中�, �, �∈1,2,3 ，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
5.在试验�6“袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为�1，�2，�3，
摸到黑球的结果分别记为�1，�2．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
6.如图，数轴上O 为原点，点A 对应实数6，现从1，2，3，4，5 中随机取出两个数，分别对应数轴上的
点B，C（点B 对应的实数小于点C 对应的实数）．
(1)记事件E 为：线段OB 的长小于等于2，写出事件E 的所有样本点；
(2)记事件F 为：线段OB，BC，CA 能围成一个三角形，求事件F 发生的概率．
7.网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”
的普及情况，从全校3000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中使用过移动支付的有60 人，使用过共
享单车的有43 人，其中两种都使用过的有8 人.
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3 人坐过高铁.现从样本中
两种都没使用过的学生里随机选出2 名学生，求这2 名学生都坐过高铁的概率.
8.2023 年11 月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10 月31 日，学青会火炬传递在桂林举行，广
西师范大学有5 名教师参与了此次传递，其中男教师2 名，女教师3 名.现需要从这5 名教师中任选2 名教
师去参加活动.
(1)写出试验“从这5 名教师中任选2 名教师”的样本空间；
(2)求选出的2 名教师中至多有1 名男教师的概率.
题型二：“放回”与“不放回”问题
1.一个不透明口袋中有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，
再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为
．
2.一个盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取
一张卡片，放回后再抽取1 张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6 的概率是
.
3.一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次
取一球．记事件A：第一次取出的是2 号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A 与事件B 是否相互独立，请说明理由；
(3)两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
4.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，
摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
题型三：游戏公平性问题
1.甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3 次，游戏规则有下述3 种，这3 种规则是否
公平？对谁更有利？为什么？
(1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜．
(2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获
胜．
(3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18 其中之一，则甲获胜；否则乙获胜．
2.在编号分别为i（i＝0，1，2…，�−1）的n 名同学中挑选1 名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚
骰子，若两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数为i，则选编号为i 的同学．当�= 6 时，这种规则对每名
参加活动的同学公平吗？请说明理由．
3.小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8 张
扑克牌，将数字为2，3，5，9 的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10 的四张牌给自己，并按如下游戏
规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶
数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4 张牌不变的情况下，如何
修改游戏规则使其对双方公平.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
5.甲、乙两人用4 张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背
面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3 大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明
你的理由．
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
7.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，
你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1 个红球和1 个白球
2 个红球和2 个白球
3 个红球和1 个白球
取球规则
取1 个球
依次取出2 个球
依次取出2 个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
8.甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6 的6 个球的口袋
中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否
则乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8 的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
9.在一次猜灯速的活动中，共有20 道灯谜，甲同学知晓其中16 道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12 道灯谜
的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分
别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）
代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，
表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件�=“表示的三位数能被
5 整除”，�=“表示的三位数能被3 整除”．
(1)求事件�发生的概率��；
(2)求事件�或�发生的概率．
题型四：多角度构建概率模型
1.天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计
算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概
率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
2.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023 年10 月在北京召开．某记者与参会的3 名代表起合影留念（四
人站成排），则记者与代表甲相邻的概率为
3.口袋里装有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，4 个人按顺序依次从中摸出一个球.试计
算第二个人摸到白球的概率.
4.在2022 年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50 名志愿者参加志愿服务
礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
28
(1)从50 名志愿者中随机选1 名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6 名同学中，有4 名男同学
1
2
3
4
,
,
,
,2
A A A A
名女同
学
1
2
,
B B ，现从这4 名男同学和2 名女同学中各随机选1 人，求
1A 未被选中且
1
B 被选中的概率.
题型五：间接法求对立事件
1.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
2.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上
的点数．若用x 表示第一次抛掷出现的点数，用y 表示第二次抛掷出的点数，用( , )
x y 表示这个试验的一个
样本点．
(1)记A “两次点数之和大于9”，B “至少出现一次点数为3”，求事件A，B 的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy 为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明
理由．
3.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有39，32，33 名成员，一些成员参加
了不止1 个小组，具体情况如图所示．随机选取一名成员．
(1)他参加至少2 个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2 个小组的概率是多少？
4.抛掷一枚均匀的骰子2 次，将第1次掷出的点数记为a ，第2 次掷出的点数记为b ．
(1)求
6
a
b


的概率；
(2)记事件A 为“
2
a 
”，事件B 为“a
b
m


”，若
( )
0
P B 
且事件A 和事件B 为相互独立事件，求m 的值．
题型六：古典概型与统计
1.Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调
查国内网友对UFO 的了解情况，资深UFO 爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000
名网友参加，李磊随机抽取了1000 名（得分都在60～100 分之间），将得分分成4 组：60,70 ，70,80 ，
80,90 ，90,100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的5%的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数
线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从60,70 ，90,100 两个分数段共抽取出4 名网友，再从这4 名网友中随机抽取
2 名依次分享UFO 时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在90,100 的概率．
2.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成
六段：40,50 ，50,60 , ⋯, 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)求样本成绩的第75 百分位数；
(3)现从该样本成绩在40,50 与90,100 两个分数段内的市民中按分层抽样选取6 人，求从这6 人中随机选
取2 人，且2 人的竞赛成绩之差的绝对值大于20 的概率.
3.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023 年9 月第19 届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45 个国家和地区的1
万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，
赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚
运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的
方法抽取了600 名学生进行调查，成绩全部分布在40~100 分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率
分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)估计这600 名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在40,60 , 90,100 的学生中选取5 人，再从这5 人中任
意选取2 人，求这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率．
4.现从某学校高三年级男生中随机抽取50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm
之间，将测量结果按如下方式分成6 组：第1 组160,164 ，第2 组164,168 ，…，第6 组180,184 ．如
图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50 名男生中身高在176cm 以上（含176cm）的人数；
(3)从这50 名男生身高在176cm 以上（含176cm）的人中任意抽取2 人，求该2 人中身高恰有1 人在180cm
（含180cm）以上的概率．
5.2023 年11 月10 日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博
会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本
届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务
的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100 分），并从评分结果中随机抽取
100 份进行统计，按照50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 进行分组，得到如图所示的频率分布直方
图：
(1)求�的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)在这100 份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20 份，再从其中评分在60,70 和90,100 的评分
结果中随机抽取2 份，求这2 份评分结果均不低于90 分的概率．
6.为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园
知识大赛，全市共有500 名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间50,100 内，组委会将初赛
成绩分成5 组：50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这500 名学生初赛成绩的平均数�及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中
位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为60,80 的学生中用分层抽样的方法随机抽取5 人，然后再从抽取的5 人中任选取2 人
进行调查，求选取的2 人中恰有1 人成绩在60,70 内的概率.
7.某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，
直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50 位推销员上个月的月
销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，
能够使70%的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为[12,14]和[24,26]的两个小组中，选取2 位推销员介绍销售经验，求选出的推
销员来自不同小组的概率.
(3)第一组[12,14)中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组[24,26)中推销员的销售金额的平
均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
8.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4 月23 日为
世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100 位年轻人，对这些人每
天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100 位年轻人每天阅读时间的第85 百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组50,60 ，
60,70 和80,90 的年轻人中抽取5 人，再从中任选2 人进行调查，求其中至少有1 人每天阅读时间位于
80,90 的概率．
题型七：古典概型与其他概率综合
1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4 个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是
3
4，得
到黄球或蓝球的概率是
1
2.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间Ω；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公
平，请说明理由.
2.截至2022 年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20 届．中国女子国家足球队在参赛的15 届亚洲杯中共获
得9 次冠军、2 次亚军和3 次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，
将甲、乙、丙3 支队伍分到A，B，C 三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
3.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，
某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3 年，乙品牌车保修期为2 年，现从该厂已售
出的两种品牌轿车中分别随机抽取50 辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
的时间x(年)
0 < �
≤1
1 < �
≤2
2 < �
≤3
�>
3
0 < �
≤1
1 < �
≤2
�>
2
轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为
概率）
4.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5 的五个小球.小球除编号不同外，其
余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100 元；若抽到
的小球编号为偶数，则获得奖金50 元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两
次.
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100 元的概率.
5.在一个盒子中有3 个红球（分别用r1，r2，r3表示）和2 个黑球（分别用b1，b2表示），这5 个球除颜色
外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
6.袋中有7 只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只
小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是
5
7，得到白猫或红猫的概率是
4
7，试求：
(1)某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？
(2)某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？
题型八：古典概型的综合应用
1.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100 件进行
检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90) 内取2 件，乙型芯片指标在[50,70]内取4 件，
再从这6 件中任取2 件，求指标在[50,60) 和[70,80) 内各1 件的概率；
(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且
[50,60]
c
，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生
产A 型手机、B 型手机各1 万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致每部手机损失700 元；
将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300 元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101 万元；请从科技公
司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
2.骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常
见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.
中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现
甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，
否则算乙赢.
(1)记A “甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A 包含的样本点；
(2)现连玩三次，记B “甲至少赢一次”，C “乙至少赢两次”，试问：B 与C 是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.
3.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机
抽取60 人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分
别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在

70,80 的有10 个.
(1)求n 和乙样本直方图中a 的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩
的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在

60,70 和

70,80 的学生中抽取6 人，并从这6 人中任取2
人，求这两人分数都在

70,80 中的概率.
4.从某学校的800 名男生中随机抽取50 名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量
结果按如下方式分成八组：第一组

155,160 ，第二组

160,165 ，…，第八组

190,195 ，下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4 人（同一组的
数据用该组区间的中点值为代表）.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的平均数和50%分位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件


5
E
x
y



，求
P E ．
5.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一
带一路”知识竞赛，满分100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5
组，其中第一组：

20,25 ，第二组：

25,30 ，第三组：

30,35 ，第四组：

35,40 ，第五组：

40,45 ，
得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10 人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80 百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），
乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2 名作为
组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37 和5
2 ，第五组的年龄的平均数与方差分别为43 和1，据此估
计这m 人中35-45 岁所有人的年龄的方差．
专题02：概率重难点题型与思想
模块一：重难点题型
【注意】本专题部分题型题目可能与前面章节内容重复
题型一：互斥事件与对立事件
1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2 件)中任取2 件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不
是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
①“恰好有1 件次品”和“恰好有2 件次品”；
②“至少有1 件次品”和“全是次品”；
③“至少有1 件正品”和“至少有1 件次品”．
2.从装有2 件正品和2 件次品的盒子内任取2 件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（
）
A．“至少有1 件正品”与“都是次品”
B．“恰好有1 件正品”与“恰好有1 件次品”
C．“至少有1 件次品”与“至少有1 件正品”D．“都是正品”与“都是次品”
3.12 件同类产品中，有10 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3 件，与“抽得1 件次品2 件正品”互斥而
不对立的事件是（
）
A．抽得3 件正品
B．抽得至少有1 件正品
C．抽得至少有1 件次品
D．抽得3 件正品或2 件次品1 件正品
4.“韦神”数学兴趣小组有4 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件
中互斥而不对立的是（
）
A．至少有1 名男生与全是男生；
B．至少有1 名男生与全是女生；
C．恰有1 名男生与恰有2 名男生；
D．至少有1 名男生与至少有1 名女生．
5.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D 的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的
是（
）
A．A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件
B．B+C 与D 是互斥事件，也是对立事件
C．A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件
D．A 与B+C+D 是互斥事件，也是对立事件
6.（多选）抛掷一枚骰子1 次,记“向上的点数是1,2”为事件A,“向上的点数是1,2,3”为事件B,“向上的点数
是1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是4,5,6”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D 判断正确的有
A．A 与D 是互斥事件但不是对立事件
B．B 与D 是互斥事件也是对立事件
C．C 与D 是互斥事件
D．B 与C 不是对立事件也不是互斥事件
题型二：互斥事件的概率
1.已知随机事件A 和B 互斥,且


0.6
P A
B


,

0.3
P B 
,则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
2.从一副混合后的扑克牌( 不含大小王)中，随机抽取1 张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，
则
(
)
P A
B 

（
）
A．7
26
B．11
26
C．15
26
D．19
26
3.保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密
码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2 次就能开锁的概率是（
）
A．1
5
B．1
4
C．2
5
D．9
20
4.已知事件A，B 是互斥事件，

1
6
P A 
，
2
3
P B 
，则


P A
B 

（
）
A．1
18
B．4
9
C．
1
2
D．2
3
题型三：对立事件的概率
1.已知事件A 与事件B 互斥，记事件B 为事件B 对立事件.若
( )
0.6
P A 
，
( )
0.2
P B 
，则
(
)
P A
B

（
）
A．0.6
B．0.8
C．0.2
D．0.48
2.现有7 名世界杯志愿者，其中
1A ，
2
A ，
3
A 通晓日语，
1
B ，
2
B 通晓韩语，
1
C ，
2
C 通晓葡萄牙语，从中选
出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则
1
B ，
1
C 不全被选中的概率为
．
3.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医
疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有
A，B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院
的概率为（
）
A．1
9
B．8
9
C．1
3
D．2
3
4.已知事件A 与事件B 互斥，如果
0.3
P A 
，

0.5
P B 
，那么

P A
B 

．
题型四：计算古典概型概率
1.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995 年，联合国教科文组织宣布4 月23 日为“世
界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养
成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200 名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的
课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成

0,2 ，

2, 4 ，

4,6 ，

6,8 ，


8,10 ，

10,12 ，

12,14 ，

14,16 ，

16,18 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求a 的值及200 名学生一周课外阅读时间的平均数；
(2)为进一步了解这200 名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在

12,14 ，

16,18 两组内的学
生中，采用分层抽样的方法抽取了6 人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在

12,14 内的概率.
2.某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5 个大小相同
的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参
加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率；
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10 元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”
小球为二等奖，可兑取价值5 元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500 人次，估计兑出奖品的总价值.
3.某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间

160,165 ，

165,170 ，

170,175 ，


175,180 ，

180,185 分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
(1)求身高不低于170cm 的学生人数；
(2)将身高在

170,175 ，

175,180 ，

180,185 区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方
法从三个组中抽取6 人．
①求从这三个组分别抽取的学生人数；
②若要从6 名学生中抽取2 人，求B 组中至少有1 人被抽中的概率．
4.为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负
时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500 名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机
抽取200 名学生，并按成绩分为五组：

50,60 ，

60,70 ，

70,80 ，

80,90 ，

90,100 ，得到如下频率分
布直方图，且第五组中高三学生占3
7 ．
(1)求抽取的200 名学生的平均成绩x （同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7 人，再从中选取2 人组成宣讲组，
在校内进行义务宣讲，求这2 人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩
79
x
s


（s 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500 名学生成绩优
秀的人数．
参考公式：


2
1
n
i
i
i
s
x
x
f




，（
if 是第i 组的频率），
参考数据：30
5.5

5.两家传媒公司联合开展了某市消费者2024 年春节年货消费行为调查，从调查对象中随机抽取1000 名消
费者，统计他们购置年货的预算（单位：元．这1000 名消费者的预算都不超过6000 元），得到如下频数
分布表：
预算/元


0,1000


1000,2000


2000,3000


3000,4000


4000,5000


5000,6000
人数
460
276
184
60
16
4
(1)根据样本估计总体，估计该市消费者2024 年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五入取整
数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间

1000,2000 ，

2000,3000 的消费者中抽取5 人，再从这
5 人中随机抽取3 人，求抽取的3 人中购置年货预算在区间

1000,2000 的至少有2 人的概率．
题型五：随机模拟
1.池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8 月1 日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的
方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9 十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5 表示当天下雨，6，
7，8，9 表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20 组四位随机数：
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（
）
A．3
10
B．2
5
C．7
20
D．9
20
2.某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计
算机产生0 9 之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0 表示手术不成功，1，2，3，4，5，
6，7，8，9 表示手术成功，再以每3 个随机数为一组，作为3 例手术的结果.经随机模拟产生如下10 组随
机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（
）
A．0.9
B．0.8
C．0.7
D．0.6
3.进入8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24 小时
内最高气温将升至37 摄氏度以上），在今后的3 天中，每一天最高气温在37 摄氏度以上的概率是3
5 .用计
算机生成了20 组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有2
天发布高温橙色预警信号的概率估计是（
）
A．3
5
B．
1
2
C．13
20
D．2
5
4.规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中
8环以上的概率为4
5 ．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0 到9之间的
随机整数，用0 、1表示该次投掷未有8环以上，用2 、3 、4 、5、6、7 、8 、9表示该次投掷在8环以上，
经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
031
257
393
527
556
488
730
313
537
989
据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为（
）
A．9
10
B．4
5
C．7
10
D．3
5
题型六：有放回与无放回概率
1.从三名男生（记为
1A ，
2
A ，
3
A ）、两名女生（记为
1
B ，
2
B ）中任意选取两人.
(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；
(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.
2.一个袋子中有4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球.
(1)求第二次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4 个红球，n 个绿球，已知取出的2 个球都是红球的概率为2
5 ，那么n 是多少？
3.袋中装有2 个白球和3 个黑球，这5 个球除颜色外完全相同．
(1)采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率．
4.某商场做促销活动，顾客每购满100 元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5 个小
球，其中3 个红球、1 个黑球、1 个黄球．某顾客购满100 元，可抽奖一次．
(1)若从中依次不放回地取出2 个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10 元的礼品，求这位顾客能获得
一件价值10 元的礼品的概率；
(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1 个球后放回，当取出的2 个球中没有红球时，送一件价值50 元的
礼品，问这位顾客获得一件价值50 元的礼品的可能性会超过20%吗？
题型七：古典概型求参数
1.某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200件，其中甲工厂生产了690 件，乙工厂生产了510件，
为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件样
品，已知该精密仪器按照质量可分为
, ,
,
A B C D 四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰
好抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为3
20 ，则抽取的
,
,
B C D 三个等级中甲工厂生产的产品共有
件．
2.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5 个，黑球m
个，从袋中随机摸出一个红球的概率是1
3 ，则m 的值为
．
3.猜灯迷是我国一种民俗娱乐活动，某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供
了5 道灯谜题目，答题人从中随机选取2 道灯迷题目作答，若2 道灯谜题目全答对，答题人便可获得奖品.
(1)若甲只能答对工作人员所提供的5 道题中的2 道，求甲能获得类品的概率；
(2)若甲不能获得奖品的概率为7
10 ，求甲能答对所提供灯谜题目的数量.
4.一个袋子中有3 个红球，4 个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3 个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为3
8 ，求n 的值．
题型八：利用概率的加法公式求古典概型概率
1.下列说法正确的是（
）
A．若A ，B 为两个事件，则“ A 与B 互斥”是“ A 与B 相互对立”的必要不充分条件
B．若A ，B 为两个事件，则




P A
B
P A
P B



C．若事件A ，B ，C 两两互斥，则



1
P A
P B
P C



D．若事件A ，B 满足


1
P A
P B

，则A 与B 相互对立
2.已知一个古典概型，其样本空间中共有12 个样本点，其中事件A 有6 个样本点，事件B 有4 个样本点，
事件A
B

有8 个样本点，则
(
)
P AB （
）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．1
6
3.已知某样本空间中共有18 个样本点，其中事件A 有10 个样本点，事件B 有8 个样本点，事件A
B

有
16 个样本点，则

P A
B

（
）
A．4
9
B．1
9
C．1
3
D．1
6
4.已知随机事件A 和B 互斥，A 和C 对立，且



0.5,
0.2
P A
B
P B



，则

P C （
）
A．0.8
B．0.7
C．0.6
D．0.5
题型九：独立事件互斥事件对立事件的判断
1.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事
件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（
）
A．A 与B 是对立事件
B．A 与C
D

是互斥事件
C．B 与D 是相互独立事件
D．B 与C
D

是相互独立事件
2.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，
2
A 表示事件“第一次抛掷
骰子的点数为奇数”，
3
A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，
4
A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和
为7”，则（
）
A．
3
A 与
4
A 为对立事件
B．
1A 与
3
A 为相互独立事件
C．
2
A 与
4
A 为相互独立事件
D．
2
A 与
4
A 为互斥事件
3.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x 表示第一次抛掷骰子的点数，用y 表示第二次
抛掷骰子的点数，用

,x y 表示一次试验的结果．记“
7
x
y


”为事件A ，“


*
2
1
N
xy
k
k



”为事件B ，
“
3
x 
”为事件C ，则（
）
A．A 与B 相互独立
B．A 与B 对立
C．A 与C 相互独立
D．B 与C 相互独立
4.有6个相同的球，分别标有数字1，2 ，3 ，4，5，6从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事
件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2 ”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（
）．
A．甲与乙相互独立
B．乙与丙相互独立
C．甲与丙相互独立
D．乙与丁相互独立
5.有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球
的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法错误的是（
）
A．丙与丁是互斥事件
B．甲与丙是互斥事件
C．甲与丁相互独立
D．P （乙丙）P （乙）+ P （丙）
6.对于事件
,
A B ，下列命题不正确的是（
）
A．如果
,
A B 互斥，那么A 与B 也互斥
B．如果
,
A B 对立，那么A 与B 也对立
C．如果
,
A B 独立，那么A 与B 也独立
D．如果
,
A B 不独立，那么A 与B 也不独立
题型十：独立事件的乘法公式
1.某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未
通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概
率为（
）
A．0.85
B．0.7
C．0.5
D．0.4
2.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“第二次出现奇数点”，则（
）
A．A 与B 不独立
B．
(
)
( )
( )



P A
B
P A
P B
C．A 与B 不互斥
D．
1
(
)
3
P AB 
3.甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是1
3 ，乙能破译的概率是2
3 ，则甲､乙两人中至少有
一人破译这份密码的概率是
.
4.据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之
间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（
）
A．0.7
B．0.42
C．0.12
D．0.46
5.A、B 相互独立，

0.6
P A 
，

0.2
P B 
，则


P A
B 

.
6. 已知事件A 与事件B 相互独立，A 为事件A 的对立事件．若

0.3
P A 
，
0.6
P B 
，则


P A
B


．
题型十一：独立事件的实际应用
1.为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000 名学生
参加，随机抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成4 组：




60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，并
整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从

60,70 ，

90,100 两个区间共抽取出4 名学生，再从这4 名学生中随机抽取2
名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间

60,70 的概率；
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每
个项目胜方得1 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三
个项目中获胜的概率分别为1 2
,
,
2 5 p ，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1 分的概率是
47
50 ，甲乙两人谁
获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
2.作为世界乒坛本赛季收官战，首届
(
WTT 世界乒乓球职业大联盟)世界杯总决赛2021年12月7 日在新加坡
结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练
基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2 个球者获胜，通过分析
甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为2
3 ，乙发球甲赢的概率为1
4 ，不同球的结果互不影响，
已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
3.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120 分钟内未分出胜负,则需
进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5 名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进
一球则为本方获得1 分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,
比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5 名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮
各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队
进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为
1
2 ,乙队每位球员罚进点球的概率均为
2
3 .假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0 领先,求甲
队第5 个球员需出场罚球的概率.
4.某工厂有A ，B ，C 三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知A 生产线生产的汽车配件是合格
品且B 生产线生产的汽车配件是合格品的概率为
1
2 ，B 生产线生产的汽车配件是非合格品且C 生产线生产
的汽车配件是合格品的概率为1
5 ，A 生产线生产的汽车配件是合格品且C 生产线生产的汽车配件是合格品
的概率为8
15 ，记事件A ，B ，C 分别为A ，B ，C 三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件A ，B ，C 的概率；
(2)随机从A ，B ，C 三条生产线上各取1 个汽车配件进行检验，求恰有2 个合格品的概率．
模块二：概率数学思想
思想一：函数与方程的思想
1.一个袋子中有4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球.
(1)求第二次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4 个红球，n 个绿球，已知取出的2 个球都是红球的概率为2
5 ，那么n 是多少？
2.设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋中的球数比为1：3.已知从甲袋中摸
到红球的概率为1
3 ，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为2
3 ，则从乙袋中摸到
红球的概率为（
）
A．7
9
B．19
45
C．13
30
D．22
45
3.袋中有12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为1
4 ，得到黑球或黄
球概率是5
12 ，得到黄球或绿球概率是1
2 ，则任取一球得到黄球的概率为__________.
4.在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知
识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是3
4 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是1
12 ，乙、丙两个
家庭都回答正确的概率是1
4 ．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2 个家庭回答正确这道题的概率．
思想二：分类与整合思想
1.高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中
达A的概率分别为2
3 、3
4 、4
5 ，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得2 个A的
概率是_______．
2.某口罩生产厂生产了一批N95 型口罩，已知每只口罩检验合格的概率为0.8，对不合格的口罩进行一次
技术精加工，加工后每只口罩检验合格的概率为0.3，不合格的作为废品处理.现从这批N95 型口罩中任选
一只，则得到合格口罩的概率为（
）
A．0.78
B．0.86
C．0.88
D．0.90
3.排球比赛的规则是5 局3 胜制（5 局比赛中，优先取得3 局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某
次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为1
3 ，则最后甲队获胜的概率是________．
4.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，
晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰
好回答了5 个问题就晋级下一轮的概率为___________.
5.在某次1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为2
5 ，3
4 ，1
3 ，求：
(1)3 人都通过体能测试的概率；
(2)只有2 人通过体能测试的概率；
(3)至少有1 人通过体能测试的概率.
思想三：等价转换思想
1.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 正常工作且元件2 或元件3 正常工作，则部件正常工
作，设三个电子元件的使用寿命（单位：h ）均服从正态分布

3000,2500 ，且各个部件能否正常工作相互
独立，那么该部件的使用寿命超过3000h 的概率为______．
2.社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为1
2 ，2
3 ，
则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（
）
A．1
6
B．2
5
C．2
3
D．5
6
3.(多选)给出关于满足A
B

的非空集合A，B 的四个命题，其中正确的命题是（
）
A．若任取x
A

，则x
B

是必然事件
B．若任取x
A

，则x
B

是不可能事件
C．若任取x
B

，则x
A

是随机事件
D．若任取x
B

，则x
A

是必然事件
4.甲、乙两人进行围棋比赛，采用3 局2 制．已知每局比赛甲胜的概率为3
5 ，且第一局比赛甲胜，则最终甲
获胜的概率是_____．
5.在同一时间内，甲､乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为4
5 和3
4 .在同一时间内，求：
(1)甲､乙两个气象台同时预报天气准确的概率.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
6.为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两
轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为5
6 ，
3
5 ；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为2
3 ，3
4 .甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲､乙两人中选取1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
概率章末复习卷（一）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，
事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D 表
示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（
）
A．A
D

B．B
D 

C．A
C
D


D．A
B
B
D



2．气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（
）
A．本地区有90%的地方下雨
B．本地区有90%的时间下雨
C．明天出行不带雨具，一定被雨淋
D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋
3．给出下列命题，其中说法正确的是（
）
A．若A，B 为两个随机事件，则�(�∪�) = �(�) + �(�)
B．若事件A，B，C 两两互斥，则�(�) + �(�) + �(�) = 1
C．若A，B 为互斥事件，则�(�) + �(�) ≤1
D．若�⊆�，则��< ��
4．第31 届世界大学生夏季运动会于2023 年7 月28 日至8 月8 日在中国四川省成都市举行，是中国西部
第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18 个大项，269 个小项．甲同
学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个
前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（
）
A．1
6
B．2
3
C．3
5
D．1
3
5．在如图所示的电路中，5 个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开
关合上时，电路畅通的概率是（
）
A．551
720
B．29
144
C．29
72
D．29
36
6．在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2 的素
数对，例如3 和5，11 和13 等.从不超过10 的正奇数中随机抽取2 个，则这2 个奇数是孪生素数的概率为
（
）
A．
1
10
B．
1
6
C．
1
5
D．
1
3
7．自1972 年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜
爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10 环的概率均为
2
3，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射
箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10 环的概率为（
）
A．
2
3
B．
11
12
C．
3
4
D．
8
9
8．一个袋子中有大小和质地相同的4 个球其中有2 个红色球（标号为1 和2），2 个绿色球（标号为3 和
4），从袋中不放回地依次随机揽出2 个球，每次摸出一个球，设事件�="第一次摸到红球"，�= "第二次
摸到红球"，�="两次都摸到红球"，�="两次都摸到绿球”，�=“两球颜色相同”，�=“两球颜色不同”.
则下列说法错误的是（
）
A．�= �
B．R 与G 互斥但不对立
C．�∪�= �
D．S 与T 相互独立
二、选择题：本题共4 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在12 件同类产品中，有9 件正品和3 件次品，从中任意抽出3 件产品，设事件A “3 件产品都是次品”，
事件B “至少有1 件是次品”，事件C “至少有1 件是正品”，则下列结论正确的是（
）
A．A 与C 为对立事件
B．B 与C 不是互斥事件
C．A
B
A


D．


1
P B
P C


10．一个人连续射击2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（
）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
11．已知A ，B 是随机事件，若
1
(
)
(
)
4
P AB
P AB


，且
(
)
1
P A
B

，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
( )
P A
P B

B．A ，B 为对立事件
C．A ，B 相互独立
D．
3
( )
4
P B 
12．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70 四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数
字，记事件“数字为2 的倍数”为事件�，“数字是5 的倍数”为事件�，“数字是7 的倍数”为事件�，则下列
选项不正确的是（
）
A．事件�、�、�两两互斥
B．事件�∪�与事件�∩�对立
C．����= ������
D．事件�、�、�两两独立
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共15 分。
13．刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的

2
1
k 
阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把
2
1,2,
, n

排成n n
的方阵，使其每行､每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3 阶幻方，现从中随机
抽取和为15 的三个数，则这三个数中仅有1 个奇数的概率是
．
8
1
6
3
5
7
4
9
2
14．有一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12 这六种情
况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9 时，白方胜，这种游戏对
方有利.(选填“红”
或“白”)
15．采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0 到9 之间取整数值的随
机数，指定1，2，3，4 表示击中目标，5，6，7，8，9，0 表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表
三次发射的结果，经随机数模拟产生了20 组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为
17
20
.
16．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，
小明需要在9 个小格子中填上1 至9 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4 个小格子中的准确数字，
, , , ,
a b c d e这5 个数字未知，且,b d 为奇数，则
5
a
b


的概率为
.
9
a
7
b
c
d
4
e
5
四、解答题：本题共6 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为b ，其
中


,
1,2,3,4,5
a b
.
(1)试列举出由样本点

,a b 组成的样本空间Ω ，并指出样本空间Ω 所含样本点的个数；
(2)若
1
a
b

，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.
18.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖
1 个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B
P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
19.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，
摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
20.高一年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问
题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正
确的概率为2
3 ，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为2
15 ，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的
概率为3
10 ；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为3 2 4
,
,
4 3 5 ．且所有的问答
中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2
枝“黑玫瑰”奖品的概率．
21.甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下
场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3 局，则该人获得最
终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，
甲、乙比赛甲胜概率为1
2 ，乙、丙比赛乙胜概率为1
3 ，丙、甲比赛丙胜概率为2
3 ，每局比赛相互独立且每
局比赛没有平局.
(1)比赛完3 局时，求甲、乙、丙各旁观1 局的概率；
(2)已知比赛进行5 局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
22.为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出
胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获
得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为
2
3，甲胜丙的
概率为
3
5，乙胜丙的概率为
1
2．假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3 场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4 场比赛，求甲获得冠军的概率
概率章末复习卷（二）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1.已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A，B 的四个命题：
①若任取�∈�，则�∈�是必然事件；
②若任取�∉�，则�∈�是不可能事件；
③若任取�∈�，则�∈�是随机事件；
④若任取�∉�，则�∉�是必然事件．
其中正确的命题有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A 为“点数之和恰好为6”，则A 中基本事件个数
为（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5个
3．从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个红球与至少有1 个黑球
D．恰有1 个红球与恰有2 个红球
4.下列说法正确的是（
）
A．若�，�为两个事件，则“�与�互斥”是“�与�相互对立”的必要不充分条件
B．若�，�为两个事件，则��+ �= ��+ ��
C．若事件�，�，�两两互斥，则��+ ��+ ��= 1
D．若事件�，�满足��+ ��= 1，则�与�相互对立
5.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛
的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘
汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，
甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是
1
2，则甲最终获胜的概率是（
）
A．
1
16
B．
7
16
C．
3
8
D．
9
32
6．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857 与1 至6 中任意一个数
字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7 这6 个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7 这6 个数字中任
选2 个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1 个，这个两位数大于72 的概率为（
）
A．3
10
B．3
5
C．4
15
D．1
3
7．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率
视为概率），则下列说法正确的是（
）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间

25,30 内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15 天的概率为0.465
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15
8.给定一个正整数�(�≥3)，从集合Ω = {1,2,3, ⋯, �}中随机抽取一个数，记事件�=“这个数为偶数”，事件
�=“这个数为3 的倍数”.下列说法正确的是（
）
A．若�= 6�，�∈�∗，则至少存在一个�，使事件�和事件�不独立
B．若�≠6�，�∈�∗，则存在无穷多个�，使事件�和事件�独立
C．若�为奇数，则至少存在一个�，使事件�和事件�独立
D．若�为偶数，则对任意的�，事件�和事件�独立
二、选择题：本题共4 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500 时各做5 组试验，得到事件A=“一
个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序号
20
n 
100
n 
500
n 
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（
）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
10．甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方
答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活动中，甲、乙答对的概率分别为2
3 和
1
2 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则（
）．
A．每轮活动中，甲获胜的概率为1
3
B．每轮活动中，平局的概率为1
2
C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为1
2
D．甲至少获胜两轮的概率为7
27
11.如图，从1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9 就是一条移动路
线，（
）
A．从1 移动到9，一共有34 条不同的移动路线
B．从1 移动到9 过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15 条．
C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4 的概率为
3
8
D．若每次移动都是随机的，记��为经过�的概率，则�7 > �8 > �9
12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队
都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3 分，平一
场得1 分，负一场得0 分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为
1
3，则在比赛结束时（
）
A．甲队积分为9 分的概率为
1
27
B．四支球队的积分总和可能为15 分
C．甲队胜3 场且乙队胜1 场的概率为
2
243D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
8
243
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共15 分。
13．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生
废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p 
．
14．从2、3、8、9 任取两个不同的数值，分别记为a、b，则
为整数的概率=
．
15.现有一款闯关游戏，共有4 关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，
如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2�+ �，则算过第�关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2 关
并过关的概率为______，若直接挑战第4 关，则过关的概率为_________ .
16.A 与B 二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A 手中有3 张两两不同的牌，B 手上有4 张牌，其中3 张
牌与A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从B 手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A 获胜的概率为___ ．
四、解答题：本题共6 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．记三名射手甲、乙、丙在一次射击训练中，甲击中目标、乙击中目标、丙击中目标分别为事件�，�，
�，指出下列事件的含义：
(1)�∩�；
(2)�∩�∩�；
(3)�∪�；
(4)�∪�∪�.
18．如下图，从A 地到火车站共有两条路径
1L 和
2L ，现随机抽取100 位从A 地到火车站的人进行调查，调
查结果如下表：
所用时间
分组/分


10,20


20,30


30,40


40,50


50,60
选择
1L 的人数
6
12
18
12
12
选择
2L 的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1 和L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率．
19．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，
若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为4
5 ，3
5 ；
在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为2
3 ，3
4 ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
(2)从甲、乙两人中选1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
20.某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40 名同学
进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6 段，并得到
如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分
区间[65,70)的概率.
21．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确
定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类
推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，
比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为1
2 ，且每局比赛相互独立.
(1)求比赛进行四局结束的概率；
(2)求甲获得比赛胜利的概率.
22．2022 年11 月29 日23 时08 分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发
射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的
发射时间和飞行时长.
名称
发射时间
飞行时长
神舟一号
1999 年11 月20 日
21 小时11 分
神舟二号
2001 年1 月10 日
6 天18 小时22 分
神舟三号
2002 年3 月25 日
6 天18 小时39 分
神舟四号
2002 年12 月30 日
6 天18 小时36 分
神舟五号
2003 年10 月15 日
21 小时28 分
神舟六号
2005 年10 月12 日
4 天19 小时32 分
神舟七号
2008 年9 月25 日
2 天20 小时30 分
神舟八号
2011 年11 月1 日
16 天
神舟九号
2012 年6 月16 日
13 天
神舟十号
2013 年6 月11 日
15 天
神舟十一号
2016 年10 月17 日
32 天
神舟十二号
2021 年6 月17 日
3 个月
神舟十三号
2021 年10 月16 日
6 个月
神舟十四号
2022 年6 月5 日
6 个月
神舟十五号
2022 年11 月29 日
预计6 个月
为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式
宣传“神舟系列飞船之旅”.
(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1 艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10
月份的概率；
(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30 天的神舟飞船中随机选取2 艘制作海报，求选中
的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6 个月的概率；
(3)数据统计组成员在2022 年5 月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为
0.2022

年
12 月30 日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为
1
.试判断
0
和
1
的大小.（结
论不要求证明）