文档文本内容
1.4 命题与充要条件（讲义）
目录
1
知识点01 命题............................................................................................2
2
知识点02 命题的结构................................................................................2
3
知识点03 定理、定义................................................................................2
4
知识点04 充要条件....................................................................................3
5
知识点05 全称量词与存在量词................................................................3
6
知识点06 含有一个量词的命题的否定....................................................3
7
题型一、命题的定义及真假命题.............................................................4
8
题型二、充要条件.....................................................................................6
1 知识点01 命题
(1)
命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，
我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
(2)
命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”， 不
能确定真假的语句不是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题．
祈使句，疑问句，感叹句都不是命题。我们学习过的定理、推论都是
命题．
(3)
命题的分类
命题能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么
是假，不能既真又假，模棱两可，故命题分为两类，真命题与假命题。
①真命题：判断为真的语句
②假命题：判断为假的语句
(4)
判断一个命题真假的方法:
在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要书名一
个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的
定义、定理、公式等）判断。
2 知识点02 命题的结构
(1)
命题的一般形式为“若p，则q”其中p 叫做命题的条件，q 叫做
命题的结论．
(2)
确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形
式．
3 知识点03 定理、定义
(1)
公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理
的依据而直接使用。
(2)
定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使
用。
(3)
定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究
对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画
陌生的对象，并加以区别。
4 知识点04 充要条件
(1)
定义
对于命题“若
，则”，从逻辑推理关系上看：
①若
且q⇏p，则
是的充分不必要条件；
②若p⇏q且
，则
是的必要不充分条件；
③若
且
，则
是的的充要条件（也说
和等价）；
④若p⇏q且q⇏p，则
不是的充分条件，也不是的必要条件．
(2)
重点：“小
大”，大 ⇏小
5 知识点05 全称量词与存在量词
(1)
全称量词与全称量词命题．
①短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“
”表示．
②含有全称量词的命题叫做全称量词命题．
③全称量词命题“对
中的任意一个，有
成立”可用符号简记为
“
”，读作“对任意属于
，有
成立”．
(2)
存在量词与存在量词命题．
①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并
用符号“ ”表示．
②含有存在量词的命题叫做存在量词命题．
③存在量词命题“存在
中的一个x0，使p( x0)成立”可用符号简记为“
∃x0∈M , P( x0)”，读作“存在
中元素x0，使p( x0)成立”（存在量词命题
也叫存在性命题）．
6 知识点06 含有一个量词的命题的否定
(1)
全称量词命题p:∀x∈M , p( x)的否定¬ p为∃x0∈M，
¬ p( x0)．
(2)
存在量词命题
p:∃x0∈M , p( x0)的否定¬ p为
∀x∈M ,¬ p( x)．
(3)
常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所
有）
至多有一
个
至多有一
个
否定词
语
不等于
小于等
于
大于等
于
不是
不都是
某个
至少有两
个
一个都
没有
①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每一个元素
证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合
中的一个
，
使得其不成立即可．
②要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合
中能找到一个
使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．
7 题型一、命题的定义及真假命题
1．下列命题是真命题的是．
A．空集是任何集合的真子集
B．等腰三角形是锐角三角形
C．函数y =a x
2+ x +1是二次函数
D．若a∈A ∩B，则a∈B
2．命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（ ）
A．两个数的符号不同
B．两个数只有符号不同
C．两个数互为相反数
D．只有符号不同
3．下面给出的四个语句，其中正确的有（ ）
①等角的余角相等；
②一个角的补角一定大于这个角；
③有理数分为正数和负数；
0
④是最小的正整数.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若p，则q”的形式为（ ）
A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大
B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大
C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角
D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边
5．下列语句为命题的是（ ）
A．x>1
B．你们好！
C．下雨了吗？
D．对顶角相等
6．对于任意实数a,b,c,d，下列命题为真命题的是（ ）
A．若a>b，则a
2>b
2
B．若a>b，则ac
2>bc
2
C．若ac
2>bc
2，则a>b
D．若a>b，则1
a <1
b
7．下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．每一个二次函数的图象都是开口向上
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．梯形的对角线相等
D．有些菱形是正方形
9．下列语句是命题的是（ ）
A．3 是偶数吗?
B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊!
D．x>2
10．已知p:2+2=5,q:3≥2，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p 为真，q 为假
B．p 为假，q 为真
C．p 为真，q 为真
D．p 为假，q 为假
11．下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③-1的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0
B．1
C．2
D．3
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形一定是平面图形
B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面
C．一个平面的面积可以为10km
2
D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6 个平面
13．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（ ）
A．若两个三角形全等，则它们的面积相等
B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等
D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等
8 题型二、充要条件
1．“x>0”是“x +2>1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a,b∈R，则“a>b+1”是“a>b”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
3．已知a∈R，则a∈Z是a∈Q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知p:0< x<2，q:-1< x<3，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知x∈R，则“x =2”是“x
2>1”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．“2 x -1<5”是“0< x<3”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知x∈R，则“x<1”是“x<0”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．“a
2=b
2”是“a=b”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9．设∀x∈R，则“x
2- 4 =0”是“x =2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
10．“-2< x<2”是“x
2<1”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
11．设x>0, y >0，则“x
2> y
2”是“x> y”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知实数a>b，则“ac>bc”是“c>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．已知实数a,b同号，则“a>b”是“1
a < 1
b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知x，y是实数，则“x - y <0”是“x< y”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．“x> y”是“x
3> y
3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知命题p:a+b>0，且ab>0，命题q:a>0，且b>0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．已知a, b, c , d为实数，且c>d．则“a>b”是“ac>bd”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18．“a>b，c>d”是“ac>bd”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19．已知a，b∈R，则“a>b”是“a
2>b
2”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
20．设a,b是实数，则“0<ab<1”是“b< 1
a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
21．已知x , y ∈R，则“x< y”是“x
2< y
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
22．已知ab≠0，则“a>b”是“1
a < 1
b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
23．已知a,b∈R，则“1
a < 1
b”是“a>b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
24．若x，y ∈R，则“x> y”是“x
2> y
2”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分也不
必要
D．充分必要
25．设命题p：sin x> 1
2，q：x>π
6 ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
26．“|a|>|b|”是“a>b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
27．已知a,b为非零实数，则“a>b”是“1
a < 1
b”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
28．设 a,b∈R，则“a<b<0”是“ 1
a
2 > 1
b
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
