文档文本内容
限时跟踪检测(二) 常用逻辑用语
一、单项选择题
1．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若p：x2－4＜0，q：log x＜1，则p是q的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2024·河南开封模拟)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2024·陕西调考)2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空
握手”．对接时，要同时满足空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向
对接口朝向了梦天实验舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”．根据以上信息，可知“梦天实验
舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的 (
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0
B．对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜b
C．若2x为偶数，则x∈N
D．π是无理数
6．(2024·山东师范大学附中月考)命题“∃a∈N，∈N”的否定为( )
A．∃a∈N，∉N
B．∀a∈N，∈N
C．∀a∈N，∉ND．∀a∉N，∈N
7．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的
一个电路图是( )
8．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知p：|x＋a|＜2，q：x≥a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
10．若命题“∃x∈(－1,3)，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
11．(2024·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝sin 2x，x∈[a，b]，则“b－a≥”是“f(x)的值域为
[－1,1]”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
12．若a，b为正实数，则a>b的充要条件为( )
A．>
B．ln a>ln b
C．aln a<bln b
D．a－b<ea－eb
三、填空题
13．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪
犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是
小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假
话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．高分推荐题
14．已知函数f(x)＝若存在x ，x ∈R且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )成立，则实数a的取值范围是(
1 2 1 2 1 2
)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
解析版
一、单项选择题
1．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；
由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
答案：B
2．若p：x2－4＜0，q：log x＜1，则p是q的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x2－4＜0，得－2＜x＜2；由log x＜1，得0＜x＜2.则p⇒q，q p，则p是q的必要不充
2
分条件．故选B．
⇒
答案：B
3．(2024·河南开封模拟)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与
b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B．
答案：B
4．(2024·陕西调考)2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空
握手”．对接时，要同时满足空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向
对接口朝向了梦天实验舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”．根据以上信息，可知“梦天实验
舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的 (
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知，“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间
站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”⇒“太空握手”．所以“梦天实验舱与天和核心舱成功实
现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件．故选
A．
答案：A
5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0
B．对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜b
C．若2x为偶数，则x∈N
D．π是无理数
解析：对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，
是全称量词命题且是真命题，故 B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C
错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误．故选B．
答案：B
6．(2024·山东师范大学附中月考)命题“∃a∈N，∈N”的否定为( )
A．∃a∈N，∉N
B．∀a∈N，∈N
C．∀a∈N，∉N
D．∀a∉N，∈N
解析：命题“∃a∈N，∈N”的否定为“∀a∈N，∉N”．故选C．
答案：C
7．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的
一个电路图是( )解析：选项A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B，“开关A闭合”是
“灯泡 B 亮”的充要条件；选项 C，“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的必要不充分条件；选项
D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选C．
答案：C
8．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：方法一：当a＞b≥0时，a＞b a|a|＞b|b|；当a≥0＞b时，a＞b a|a|＞b|b|；当b＜a≤0时，
a＞b a|a|＞b|b|，故选C．
⇔ ⇔
方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．
⇔
因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b f(a)＞f(b) a|a|＞b|b|.故选C．
答案：C
⇔ ⇔
9．已知p：|x＋a|＜2，q：x≥a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：p：|x＋a|＜2，即p：－a－2＜x＜－a＋2，记为A＝{x|－a－2＜x＜－a＋2}．q：x≥a，记
为B＝{x|x≥a}．因为p是q的充分不必要条件，所以AB.所以a≤－a－2，解得a≤－1.故选A．
答案：A
10．若命题“∃x∈(－1,3)，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：由题意，∃x∈(－1,3)，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，则当x∈(－1,3)时，a≥h(x)有解，即
a≥h(x) (x∈(－1,3))．因为函数h(x)＝x2－2x在(－1,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以h(x)在
min
(－1,3)上的最小值为h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.故选A．
答案：A
11．(2024·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝sin 2x，x∈[a，b]，则“b－a≥”是“f(x)的值域为
[－1,1]”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由图可知，若a＝0，＜b＜，则b－a＞，但f(x)＝sin 2x的值域不是[－1，1]．反之，因为
值域是[－1，1]，说明b－a≥T，而T＝π.所以b－a≥.
答案：B
二、多项选择题
12．若a，b为正实数，则a>b的充要条件为( )
A．>
B．ln a>ln b
C．aln a<bln b
D．a－b<ea－eb
解析：因为> b>a，故A错误；因为a，b为正实数，所以ln a>ln b a>b，故B正确；取a＝
e2，b＝e，则e2ln e2＝2e2，eln e＝e，且2e2＞e，即aln a>bln b，故C错误；设y＝ex－x.因为y′＝(ex
⇔ ⇔
－x)′＝ex－1，当x>0时，y′>0，所以y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，即a>b ea－a＞eb－b a－
b<ea－eb，故D正确．故选BD．
⇔ ⇔
答案：BD
三、填空题
13．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪
犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是
小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假
话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
解析：在四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说
的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，
相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，
丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知罪犯是乙．
答案：乙
高分推荐题
14．已知函数f(x)＝若存在x ，x ∈R且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )成立，则实数a的取值范围是(
1 2 1 2 1 2
)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]解析：函数f(x)＝存在x ，x ∈R且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数
1 2 1 2 1 2
的图象和性质知，存在x ，x ∈(－∞，1]且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )成立，当≥1，即a≥2时，若存在
1 2 1 2 1 2
x ，x ∈R且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )成立，则－1＋a＞3a－7，解得a＜3，∴2≤a＜3.综上所述，实数
1 2 1 2 1 2
a的取值范围是(－∞，3)．故选C．
答案：C
