文档内容
限时跟踪检测(三十八) 数列求和
一、单项选择题
1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
2．(2024·江西宜春模拟)已知数列{a}的通项为a＝，则其前8项和为( )
n n
A. B. C. D.
3．数列{(－1)n(2n－1)}的前2 020项和S 等于( )
2 020
A．－2 020 B．2 020
C．－2 019 D．2 019
4．数列{a}的前n项和为S，a＝1.对于任意正整数n，都有a ＝则S ＝( )
n n 1 n＋1 20
A．0 B．15
C．31 D．61
5．(2024·四川巴蜀模拟)已知数列{a}的前n项和S 满足S ＝2a －4，b ＝a ＋log a ，
n n n n n n 2 n
则数列{b}的前10项和为( )
n
A．4 162 B．4 157
C．2 146 D．2 142
二、多项选择题
6．若公差为d的等差数列{a}满足a＝5，a＋a＝30，则下列结论正确的有( )
n 2 6 8
A．d＝2
B．a＝2n＋1
n
C.＝
D.的前n项和为
7．斐波那契数列{a}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意
n
大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例引入的，故又称为“兔子数列”，其通项公
式为a ＝，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第 3项开始，每项等于其前相邻
n
两项之和，即a ＝a ＋a，记该数列{a}的前n项和为S，则下列结论正确的是( )
n＋2 n＋1 n n n
A．S ＝11a
10 7
B．a ＝2a ＋a
2 021 2 019 2 018
C．S ＝S ＋S
2 021 2 020 2 019
D．S ＝a －1
2 019 2 020
三、填空题与解答题
8．(2024·河南开封模拟)在数列{a}中，a ＝1，a ＋(－1)na ＝2(n∈N*)．记S 是数列
n 1 n＋2 n n
{a}的前n项和，则S ＝________.
n 20
9．(2024·四川成都模拟)已知数列{a}满足a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋sin2，则该数列的
n 1 2 n＋2 n
前20项和为________．
10．(2024·广东深圳月考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足a ＝1，a ＝2，S ＋1
n n 1 2 n
＝a －a (n∈N*)，则S＝________.
n＋2 n＋1 n
11．(2024·河南新乡模拟)已知数列{a}为等差数列，数列{b}为等比数列，a＋b＝4，
n n 1 1且ab＋ab＋ab＋…＋ab＝(n－1)·2n＋2＋4.
1 1 2 2 3 3 n n
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)设等差数列{a}的前n项和为S，求数列的前n项和T.
n n n
12．(2024·东北三省三校联考)已知等差数列{a}的首项a ＝1，公差为d，记{a}的前n
n 1 n
项和为S，且S－2aa＋14＝0.
n 4 2 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若数列{a}的公差d>1，令c＝，求数列{c}的前n项和T.
n n n n
13．(2024·浙江嘉兴模拟)已知{a}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b}满足b
n n 1
＝4，b ＝3b－2n＋1.
n＋1 n
(1)证明{b－n}是等比数列，并求{a}，{b}的通项公式；
n n n
(2)若数列{a}与{b}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得a＝b 成立．按照从小到大
n n k m
的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{c}，求c＋c＋…＋c.
n 1 2 n
14．(2024·四川绵阳南山中学模拟)在①S ＝2S ＋2，②a －a ＝2n这两个条件中任
n＋1 n n＋1 n
选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，且________．
n n 1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝(n＋1)·a，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
15．已知数列{a}是正项等比数列，满足a 是2a 3a 的等差中项，a＝16.
n 3 1, 2 4(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝(－1)nlog a ，求数列{b}的前n项和T.
n 2 2n＋1 n n
高分推荐题
16．(2024·广东梅州模拟)已知 S 是数列{a}的前 n 项和，a ＝1，________.
n n 1
①∀n∈N*，a ＋a ＝4n；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选
n n＋1
一个补充在横线处，并求解．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝，求数列{b}的前n项和T.
n n n
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解析版
一、单项选择题
1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
解析：记a＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
n
∴S＝－n＝2n＋1－n－2.
n
答案：D
2．(2024·江西宜春模拟)已知数列{a}的通项为a＝，则其前8项和为( )
n n
A. B. C. D.
解析：a＝＝＝＝，所以前8项和为×＝×＝，故选D.
n
答案：D
3．数列{(－1)n(2n－1)}的前2 020项和S 等于( )
2 020
A．－2 020 B．2 020
C．－2 019 D．2 019解析：S ＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 019－1)＋(2×2 020－1)＝
2 020
＝2 020.故选B.
答案：B
4．数列{a}的前n项和为S，a＝1.对于任意正整数n，都有a ＝则S ＝( )
n n 1 n＋1 20
A．0 B．15
C．31 D．61
解析：由题设知，当1≤n≤5时，{a}是首项为1，公比为2的等比数列，故a ＝2n－1且
n n
1≤n≤5，所以a＝16，则a＝a－2＝14，故n>5时，{a}是首项为14，公差为－2的等差数
5 6 5 n
列，故a＝26－2n且n>5，所以S ＝S＋(S －S)＝＋＝31.故选C.
n 20 5 20 5
答案：C
5．(2024·四川巴蜀模拟)已知数列{a}的前n项和S 满足S ＝2a －4，b ＝a ＋log a ，
n n n n n n 2 n
则数列{b}的前10项和为( )
n
A．4 162 B．4 157
C．2 146 D．2 142
解析：因为S ＝2a －4，所以当n＝1时，S ＝2a －4，即a ＝2a －4，则a ＝4，当
n n 1 1 1 1 1
n≥2时，S ＝2a －4，所以a ＝S －S ，即a ＝2a －4－(2a －4)，则a ＝2a ，所
n－1 n－1 n n n－1 n n n－1 n n－1
以数列{a}是首项为4，公比为2的等比数列，所以a ＝4×2n－1＝2n＋1，b ＝a ＋log a ＝2n＋1
n n n n 2 n
＋n＋1，所以数列{b}的前10项和为22＋2＋23＋3＋24＋4＋…＋211＋11＝(22＋23＋…＋211)
n
＋(2＋3＋…＋11)＝＋＝4 157.故选B.
答案：B
二、多项选择题
6．若公差为d的等差数列{a}满足a＝5，a＋a＝30，则下列结论正确的有( )
n 2 6 8
A．d＝2
B．a＝2n＋1
n
C.＝
D.的前n项和为
解析：∵{a}为等差数列，
n
∴a＋a＝2a＝30，即a＝15，
6 8 7 7
∴a－a＝5d，又a＝5，
7 2 2
∴d＝2，A正确；
∴a＝a＋(n－2)d＝2n＋1，B正确；
n 2
∴＝＝，C错误；
∴的前n项和为
＝＝，D正确．
答案：ABD
7．斐波那契数列{a}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意
n大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例引入的，故又称为“兔子数列”，其通项公
式为a ＝，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第 3项开始，每项等于其前相邻
n
两项之和，即a ＝a ＋a，记该数列{a}的前n项和为S，则下列结论正确的是( )
n＋2 n＋1 n n n
A．S ＝11a
10 7
B．a ＝2a ＋a
2 021 2 019 2 018
C．S ＝S ＋S
2 021 2 020 2 019
D．S ＝a －1
2 019 2 020
解析：由斐波那契数列{a}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，可得
n
S ＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＝11×13＝11a，因此A正确；
10 7
a ＝a ＋a ＝2a ＋a ，因此B正确；
2 021 2 020 2 019 2 019 2 018
∵a－a＝a，a－a＝a，…，
3 2 1 4 3 2
a －a ＝a ，
2 021 2 020 2 019
∴a －a＝S ，
2 021 2 2 019
∴a －1＝S ，因此D不正确；
2 021 2 019
类比D可得S ＝a －1，
2 021 2 023
S ＝a －1，又∵a －1＝S ，
2 020 2 022 2 021 2 019
∴S ＋S ＝a ＋a －2＝a －2≠S ，因此C不正确．
2 020 2 019 2 022 2 021 2 023 2 021
故选AB.
答案：AB
三、填空题与解答题
8．(2024·河南开封模拟)在数列{a}中，a ＝1，a ＋(－1)na ＝2(n∈N*)．记S 是数列
n 1 n＋2 n n
{a}的前n项和，则S ＝________.
n 20
解析：当n为奇数时，a －a ＝2，所以数列{a}的奇数项是以1为首项，公差为2的
n＋2 n n
等差数列，所以a ＋a ＋…＋a ＝10×1＋＝100；当n为偶数时，a ＋a ＝2，所以a ＋a
1 3 19 n＋2 n 2 4
＋…＋a ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝2×5＝10.因此，S ＝100＋10＝110.
20 2 4 6 8 18 20 20
答案：110
9．(2024·四川成都模拟)已知数列{a}满足a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋sin2，则该数列的
n 1 2 n＋2 n
前20项和为________．
解析：由题中条件知，a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋1＝2，a ＝2a ＋0＝4，a ＝a ＋1＝3，
1 2 3 1 4 2 5 3
a＝2a＝8，…，
6 4
即其奇数项构成首项为1，公差为1的等差数列，
而其偶数项则构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以该数列的前20项和为(1＋2＋3＋…＋10)＋(2＋4＋8＋…＋210)＝2 101.
答案：2 101
10．(2024·广东深圳月考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足a ＝1，a ＝2，S ＋1
n n 1 2 n
＝a －a (n∈N*)，则S＝________.
n＋2 n＋1 n
解析：∵S＋1＝a －a ，
n n＋2 n＋1
∴S＋1＝S －S －(S －S)，
n n＋2 n＋1 n＋1 n
则S ＋1＝2(S ＋1)．
n＋2 n＋1由a＝1，a＝2，可得S＋1＝2(S＋1)，
1 2 2 1
∴S ＋1＝2(S＋1)对任意的n∈N*都成立，
n＋1 n
∴数列{S＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
n
∴S＋1＝2n，即S＝2n－1.
n n
答案：2n－1
11．(2024·河南新乡模拟)已知数列{a}为等差数列，数列{b}为等比数列，a＋b＝4，
n n 1 1
且ab＋ab＋ab＋…＋ab＝(n－1)·2n＋2＋4.
1 1 2 2 3 3 n n
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)设等差数列{a}的前n项和为S，求数列的前n项和T.
n n n
解：(1)因为ab＋ab＋ab＋…＋ab＝(n－1)·2n＋2＋4，
1 1 2 2 3 3 n n
当n＝1时，ab＝4，
1 1
由a＋b＝4，解得a＝b＝2.
1 1 1 1
又由ab＋ab＋ab＋…＋ab＝(n－1)·2n＋2＋4，
1 1 2 2 3 3 n n
当n≥2时，可得ab＋ab＋ab＋…＋a b ＝(n－2)·2n＋1＋4，
1 1 2 2 3 3 n－1 n－1
两式相减，得ab＝n·2n＋1，n≥2，
n n
当n＝1时，ab＝4适合上式，所以ab＝n·2n＋1，n∈N*.
1 1 n n
因为{a}为等差数列，{b}为等比数列，所以{b}的公比为2，所以b ＝bqn－1＝2·2n－1
n n n n 1
＝2n，a＝2n.
n
(2)由b＝2n，可得数列{b}的前n项和为＝2n＋1－2，
n n
又由a＝2n，可得数列{a}的前n项和S＝n2＋n，
n n n
则＝＝＝－，
所以数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－，
所以数列的前n项和T＝2n＋1－2＋1－＝2n＋1－－1.
n
12．(2024·东北三省三校联考)已知等差数列{a}的首项a ＝1，公差为d，记{a}的前n
n 1 n
项和为S，且S－2aa＋14＝0.
n 4 2 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若数列{a}的公差d>1，令c＝，求数列{c}的前n项和T.
n n n n
解：(1)由题意可得，S －2aa ＋14＝4a ＋6d－2(a ＋d)(a ＋2d)＋14＝4＋6d－2(1＋d)
4 2 3 1 1 1
(1＋2d)＋14＝0，
整理得d2＝4，则d＝±2，
可得a＝1＋2(n－1)＝2n－1或a＝1－2(n－1)＝－2n＋3，
n n
故a＝2n－1或a＝－2n＋3.
n n
(2)因为d>1，由(1)可得d＝2，a＝2n－1，
n
则c＝
n
＝－，
故T＝c＋c＋c＋…＋c＝＋＋…＋＝1－，
n 1 2 3 n
所以T＝1－.
n
13．(2024·浙江嘉兴模拟)已知{a}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b}满足b
n n 1
＝4，b ＝3b－2n＋1.
n＋1 n(1)证明{b－n}是等比数列，并求{a}，{b}的通项公式；
n n n
(2)若数列{a}与{b}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得a＝b 成立．按照从小到大
n n k m
的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{c}，求c＋c＋…＋c.
n 1 2 n
解：(1)由题意可得a＝2＋(n－1)×3＝3n－1(n∈N*)，
n
而b＝4，b ＝3b－2n＋1，变形可得b －(n＋1)＝3b－3n＝3(b－n)，b－1＝3，
1 n＋1 n n＋1 n n 1
故{b－n}是首项为3，公比为3的等比数列，
n
所以b－n＝3n，即b＝3n＋n(n∈N*)．
n n
(2)由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因为3k,3m是3的倍数，所以m＋1也为3的
倍数，
令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)，
则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此时满足条件，
即当m＝2,5,8，…，3n－1时为公共项，
所以c＋c＋…＋c＝b＋b＋…＋b
1 2 n 2 5 3n－1
＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)
＝＋(n∈N*)．
14．(2024·四川绵阳南山中学模拟)在①S ＝2S ＋2，②a －a ＝2n这两个条件中任
n＋1 n n＋1 n
选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，且________．
n n 1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝(n＋1)·a，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)若选①，S ＝2S＋2，
n＋1 n
当n≥2时，S＝2S ＋2，两式相减得a ＝2a，n≥2.
n n－1 n＋1 n
当n＝1时，S＝2S＋2，即a＋a＝2a＋2，又a＝2，所以a＝2a，
2 1 1 2 1 1 2 1
所以a ＝2a ，n∈N*，即数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，故a ＝2n，
n＋1 n n n
n∈N*.
若选②，因为a －a＝2n，
n＋1 n
所以当n≥2时，a －a ＝(a －a)＋(a －a)＋…＋(a －a )＝21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－
n 1 2 1 3 2 n n－1
2，所以a＝2n－2＋a＝2n，
n 1
当n＝1时，a＝2满足上式，故a＝2n，n∈N*.
1 n
(2)由(1)知b＝(n＋1)·a＝(n＋1)×2n，
n n
则T＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
n
2T＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，
n
两式相减，得－T＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1＝4＋－(n＋1)×2n＋1＝4－4＋2n＋1－
n
(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，故T＝n×2n＋1.
n
15．已知数列{a}是正项等比数列，满足a 是2a 3a 的等差中项，a＝16.
n 3 1, 2 4
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝(－1)nlog a ，求数列{b}的前n项和T.
n 2 2n＋1 n n
解：(1)设等比数列{a}的公比为q，
n因为a 是2a 3a 的等差中项，
3 1, 2
所以2a＝2a＋3a，即2aq2＝2a＋3aq，
3 1 2 1 1 1
因为a≠0，所以2q2－3q－2＝0，
1
解得q＝2或q＝－，
因为数列{a}是正项等比数列，所以q＝2.
n
所以a＝a·qn－4＝2n.
n 4
(2)方法一(分奇、偶并项求和)：
由(1)可知，a ＝22n＋1，
2n＋1
所以b＝(－1)n·log a
n 2 2n＋1
＝(－1)n·log 22n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
2
若n为偶数，
T＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)
n
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2×＝n；
若n为奇数，当n≥3时，
T＝T ＋b＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，
n n－1 n
当n＝1时，T＝－3适合上式，
1
综上得T＝
n
(或T＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*)．
n
方法二(错位相减法)：
由(1)可知，a ＝22n＋1，
2n＋1
所以b＝(－1)n·log a ＝(－1)n·log 22n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
n 2 2n＋1 2
T＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n·(2n＋1)，
n
所以－T＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n＋1(2n＋1)，
n
所以2T＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]－(－1)n＋1(2n＋1)
n
＝－3＋2×＋(－1)n(2n＋1)
＝－3＋1－(－1)n－1＋(－1)n(2n＋1)
＝－2＋(2n＋2)(－1)n，
所以T＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*.
n
高分推荐题
16．(2024·广东梅州模拟)已知 S 是数列{a}的前 n 项和，a ＝1，________.
n n 1
①∀n∈N*，a ＋a ＝4n；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选
n n＋1
一个补充在横线处，并求解．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝，求数列{b}的前n项和T.
n n n
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)选条件①：由∀n∈N*，a＋a ＝4n，得a ＋a ＝4(n＋1)，
n n＋1 n＋1 n＋2
所以a －a＝4(n＋1)－4n＝4，
n＋2 n
即数列{a }，{a }(k∈N*)均为公差为4的等差数列，
2k－1 2k
于是a ＝a＋4(k－1)＝4k－3＝2(2k－1)－1，又a＋a＝4，所以a＝3，a ＝a＋4(k
2k－1 1 1 2 2 2k 2－1)＝4k－1＝2(2k)－1，所以a＝2n－1，n∈N*.
n
选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，所以＋＋＝3×＝6，所以＝2，
所以的公差为d′＝－＝2－1＝1，得到＝1＋(n－1)＝n，则S＝n2，
n
当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1.
n n n－1
又a＝1满足a＝2n－1，所以对任意的n∈N*，a＝2n－1.
1 n n
(2)因为b＝
n
＝
＝，
所以T＝b＋b＋…＋b＝＝＝.
n 1 2 n
