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限时跟踪检测(六十一) 成对数据的统计分析
一、单项选择题
1．(2024·河北沧州模拟)下列说法正确的是( )
A．样本中心(，)不一定在经验回归直线上
B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1
C．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2
D．以y＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的线性回归方程为z＝0.3x＋4，则y＝
e0.3x＋4
2．(2024·河南郑州质检)某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得
到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据，求得经验回归方程为y＝x＋a.若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能
力约为( )
A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10
3．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据
如下表：
x 16 17 18 19
z 50 34 41 31
由上表可得线性回归方程为z＝－4x＋a，则c＝( )
A．－4 B．e－4 C．109 D．e109
4．(2024·黑龙江哈师大附中高二期末)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其经验回归方程是y＝bx＋40，则相对应于点(11,5)的残差e(e＝y－y)为( )
i i i i
A．0.1 B．0.2
C．－0.1 D．－0.2
5．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据 100个有
放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是( )
身高
营养品 合计
有明显增长 无明显增长
食用 a 10 50
未食用 b 30 50
合计 60 40 100
参考公式：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
αA．a＝b＝30
B．χ2≈12.667
C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率
是
D．有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响
6．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动前五天的数据如下表：
第x天 1 2 3 4 5
使用人数y 15 173 457 842 1 333
由表中数据可得y关于x的经验回归方程为y＝55x2＋m，则据此经验回归模型相应于
点(2,173)的残差为( )
A．－5 B．－6 C．3 D．2
二、多项选择题
7．已知由样本数据(x，y)，i＝1,2,3,4,5,6求得的经验回归方程为y＝2x＋1，且＝3.现
i i
发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然
是1，则下列说法正确的是( )
A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位
B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2
C．去除后的经验回归方程为y＝2.5x＋1
D．去除后样本相关系数r变大
8．某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在 25 ℃的
室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根
据这些实验数据(x，y)(i＝1,2，…，15)得到如下的散点图，现需要选择合适的经验回归方
i i
程进行回归分析，则根据散点图，合适的经验回归方程类型有(c，c 为正实数)( )
1 2
A．y＝25－ce－cx
1 2
B．y＝25＋
C．y＝25－
D．y＝c(x－25)＋c
1 2
9．在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列
联表：(单位：人)，则( )
晕机情况
性别 合计
晕机者 未晕机者
男 a 15 c
女 6 b d合计 e 28 46
A．<
B．χ2<2.706
C．至少有99%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关
D．没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关
三、填空题与解答题
10．国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，
某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u，v进行测量，得到10组
数据(u ，v)，(u ，v)，…，(u ，v )，通过散点图发现其具有较强的线性相关关系，并且
1 1 2 2 10 10
利用最小二乘法求得经验回归方程为v＝1.5u＋1，由于数据保存失误导致 丢失，但 ＝50
i i
被保存，通过所学知识可以求得 ＝________.
i
11．某学校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生情况，调查数据如下表：
非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断是否主修统计专业与性别的关系，根据表中的数据，计算得到
χ2≈________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不
超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关．
12．已知由样本数据点(x，y)，i＝1,2，…，n求得的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，且
i i
＝3.现发现两个数据点(1.1,2.1)和(4.9，7.9)的误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l
的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的预测值为________．
13．(2024·东北三校联考)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学
生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下
频数分布表：
[0， (5， (10， (15， (20， (25，
天数
5] 10] 15] 20] 25] 30]
人数 4 15 33 31 11 6
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其
中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，
求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)．
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，
天数在[0,15]的学生中有20名男生．学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的
学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：
活动天数
性别 合计
[0,15] (15,30]
男生
女生
合计并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号
有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．
附：参考数据：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997 3.
χ2＝(n＝a＋b＋c＋d).
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
14．(2024·湖北十七所重点中学第一次联考)为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)
和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取
20个区块，得到样本数据(x，y)(i＝1,2，…，20)，部分数据如表所示.
i i
x … 2.7 3.6 3.2 …
y … 57.8 64.7 62.6 …
经计算得 ＝60，＝1 200，(x－)2＝80，(x－)(y－)＝640.
i i i i i
(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程．
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程，并把这两条拟合直线画在
同一直角坐标系xOy上，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一
致，
①比较前者与后者的斜率大小，并证明；
②求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的经验回归方程y＝a＋bx中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
＝，a＝y－b.
高分推荐题
15．(2024·山东临沂模拟)2022年6月5日是世界环境日，第十三届全国人大常委会第
三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行．噪声污染已经成
为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度 D(单位：dB)与声音能量
I(单位：W·cm－2)之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，
得到如图所示的散点图：
(1)根据散点图判断，D＝a＋bI与D＝a＋blg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音
1 1 2 2
能量I的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程(请使用题后参考数据作答)．
(3)假定当声音强度大于45 dB时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源
的影响，这两个声源的声音能量分别是I 和I，且＋＝1010.已知点P处的声音能量等于I 与
a b a
I 之和，请根据(2)中的非线性经验回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由．
b参考数据：＝1.04×10－11，＝36.7，令W＝lg I，有＝，＝－11.4，(I－)2＝1.38×10－
i i i i
21，(W－)2＝1.48，(W－)·(D－)＝7.4，
i i i
(I－)(D－)＝6.9×10－11，b＝，a＝－b，lg 2≈0.3.
i i
解析版
一、单项选择题
1．(2024·河北沧州模拟)下列说法正确的是( )
A．样本中心(，)不一定在经验回归直线上
B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1
C．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2
D．以y＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的线性回归方程为z＝0.3x＋4，则y＝
e0.3x＋4
解析：经验回归直线必过样本中心，故A不正确；两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确；若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则
r＝－1，故C不正确；以y＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的线性回归方程为ln y
＝z＝0.3x＋4，则y＝e0.3x＋4，故D正确．故选D．
答案：D
2．(2024·河南郑州质检)某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得
到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据，求得经验回归方程为y＝x＋a.若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能
力约为( )
A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10
解析：由表中数据得＝7，＝5.5，由点(，)在直线y＝x＋a上，得a＝－，即经验回归方
程为y＝x－.所以当x＝12时，y＝×12－＝9.5，即他的识图能力约为9.5.故选B．
答案：B
3．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据
如下表：
x 16 17 18 19
z 50 34 41 31
由上表可得线性回归方程为z＝－4x＋a，则c＝( )
A．－4 B．e－4 C．109 D．e109
解析：由题意知＝17.5，＝39，代入z＝－4x＋ a，得a＝109，所以z＝ln y＝ln(cekx)＝
kx＋ln c，所以ln c＝109，故c＝e109.故选D．
答案：D
4．(2024·黑龙江哈师大附中高二期末)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其经验回归方程是y＝bx＋40，则相对应于点(11,5)的残差e(e＝y－y)为( )
i i i iA．0.1 B．0.2
C．－0.1 D．－0.2
解析：由表得＝＝10，
＝＝8，
所以8＝b×10＋40，所以b＝－3.2，故y＝－3.2x＋40.
当x＝11时，y＝－3.2×11＋40＝4.8，故e＝5－4.8＝0.2，故选B．
i
答案：B
5．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据 100个有
放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是( )
身高
营养品 合计
有明显增长 无明显增长
食用 a 10 50
未食用 b 30 50
合计 60 40 100
参考公式：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
A．a＝b＝30
B．χ2≈12.667
C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率
是
D．有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响
解析：由题可知a＝50－10＝40，
b＝50－30＝20，所以A错误；
χ2＝
≈16.667>10.828，
所以有不少于99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以 B错误，D正
确；
从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是＝，
所以C错误．
答案：D
6．某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动前五天的数据如下表：
第x天 1 2 3 4 5
使用人数y 15 173 457 842 1 333
由表中数据可得y关于x的经验回归方程为y＝55x2＋m，则据此经验回归模型相应于
点(2,173)的残差为( )
A．－5 B．－6 C．3 D．2解析：令t＝x2，则y＝55t＋m，
t＝x2 1 4 9 16 25
使用人数y 15 173 457 842 1 333
＝＝11，
＝＝564，
所以564＝55×11＋m，得m＝－41，所以y＝55x2－41，
当x＝2时，y＝55×22－41＝179，所以残差为173－179＝－6.故选B．
答案：B
二、多项选择题
7．已知由样本数据(x，y)，i＝1,2,3,4,5,6求得的经验回归方程为y＝2x＋1，且＝3.现
i i
发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然
是1，则下列说法正确的是( )
A．去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位
B．去除后剩余样本数据中x的平均数为2
C．去除后的经验回归方程为y＝2.5x＋1
D．去除后样本相关系数r变大
解析：对于C选项，当＝3时，＝2×3＋1＝7，则＝6＝18，＝6＝42，去除样本数据
i i
(8,12)后的新数据的′＝＝2，′＝＝6，设去除样本数据(8,12)后重新求得的经验回归直线方程
为y＝ax＋1，则2a＋1＝6，解得a＝2.5，故去除后的经验回归方程为y＝2.5x＋1，C对；对
于A选项，去除前变量x每增加1个单位，变量y大约增加2个单位，A错；对于B选项，
去除后剩余样本数据中x的平均数为2，B对；对于D选项，去除了误差较大的样本数据后，
线性相关性变强，因为y关于x呈正相关，则r>0，所以样本相关系数r变大，D对．故选
BCD．
答案：BCD
8．某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在 25 ℃的
室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根
据这些实验数据(x，y)(i＝1,2，…，15)得到如下的散点图，现需要选择合适的经验回归方
i i
程进行回归分析，则根据散点图，合适的经验回归方程类型有(c，c 为正实数)( )
1 2
A．y＝25－ce－cx
1 2
B．y＝25＋
C．y＝25－
D．y＝c(x－25)＋c
1 2解析：散点图中的点是递增的，增长速度越来越慢，且y<25.对于A，符合散点图的特
点；对于B，y＝25＋≥25，不符合散点图的特点；对于C，符合散点图的特点；对于D，y
＝c(x－25)＋c 的增长速度不变，不符合散点图的特点．
1 2
答案：AC
9．在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列
联表：(单位：人)，则( )
晕机情况
性别 合计
晕机者 未晕机者
男 a 15 c
女 6 b d
合计 e 28 46
A．<
B．χ2<2.706
C．至少有99%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关
D．没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关
解析：由题中列联表数据，知
解得
所以得到如下列联表：
晕机情况
性别 合计
晕机者 未晕机者
男 12 15 27
女 6 13 19
合计 18 28 46
所以＝＝>＝，所以A错误；
提出零假设H：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，由列联表中的数据，
0
得χ2＝≈0.775<3.841.
所以没有充分的证据显示在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关，所以B，
D正确，C错误．
答案：BD
三、填空题与解答题
10．国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，
某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u，v进行测量，得到10组
数据(u ，v)，(u ，v)，…，(u ，v )，通过散点图发现其具有较强的线性相关关系，并且
1 1 2 2 10 10
利用最小二乘法求得经验回归方程为v＝1.5u＋1，由于数据保存失误导致 丢失，但 ＝50
i i
被保存，通过所学知识可以求得 ＝________.
i
解析：由 ＝50，得＝＝50×＝5，再由经验回归方程恒过样本点的中心可得，＝1.5×＋
i i
1＝1.5×5＋1＝8.5，
∴＝10＝10×8.5＝85.
i答案：85
11．某学校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生情况，调查数据如下表：
非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断是否主修统计专业与性别的关系，根据表中的数据，计算得到
χ2≈________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不
超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关．
解析：由题意可知，χ2＝
≈4.844>3.841＝x ，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否主修统计
0.05
专业与性别有关．
答案：4.844'能
12．已知由样本数据点(x，y)，i＝1,2，…，n求得的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，且
i i
＝3.现发现两个数据点(1.1,2.1)和(4.9，7.9)的误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l
的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的预测值为________．
解析：将＝3代入y＝1.5x＋0.5，得＝5.所以样本点的中心为(3,5)，由数据点(1.1，2.1)
和(4.9,7.9)知，＝3，＝5，故去除这两个数据点后，样本点的中心不变．
设新的经验回归方程为y＝1.2x＋b，将样本点的中心坐标代入得b＝1.4，
所以当x＝2时，y的预测值为3.8.
答案：3.8
13．(2024·东北三校联考)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学
生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下
频数分布表：
[0， (5， (10， (15， (20， (25，
天数
5] 10] 15] 20] 25] 30]
人数 4 15 33 31 11 6
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其
中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，
求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)．
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，
天数在[0,15]的学生中有20名男生．学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的
学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：
活动天数
性别 合计
[0,15] (15,30]
男生
女生
合计
并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．
附：参考数据：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997 3.
χ2＝(n＝a＋b＋c＋d).
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解：(1)由频数分布表知μ＝
＝14.9，则X～N(14.9,6.12)，
∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
∴P(X>21)＝P(X>14.9＋6.1)≈＝0.158 65，
∴3 000×0.158 65＝475.95≈476，
∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476.
(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0,15]的人数为4＋15＋33＝52，
∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有20名男生，
∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中女生人数为52－20＝32.
由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30]的人数为31＋11＋6＝48，
∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，
∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中女生人数为48－30＝18.
得列联表如下：
活动天数
性别 合计
[0,15] (15,30]
男生 20 30 50
女生 32 18 50
合计 52 48 100
零假设为H：学生性别与获得“运动达人”称号无关．则χ2＝≈5.769>3.841，
0
依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即可以认为学生性别与获得“运动
0
达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据得到，男生、
女生中活动天数超过15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称
号的频率是女生中获得“运动达人”称号的频率的≈1.67倍，于是依据频率稳定于概率的
原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人
称号．
14．(2024·湖北十七所重点中学第一次联考)为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)
和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取
20个区块，得到样本数据(x，y)(i＝1,2，…，20)，部分数据如表所示.
i i
x … 2.7 3.6 3.2 …
y … 57.8 64.7 62.6 …
经计算得 ＝60，＝1 200，(x－)2＝80，(x－)(y－)＝640.
i i i i i(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程．
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程，并把这两条拟合直线画在
同一直角坐标系xOy上，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一
致，
①比较前者与后者的斜率大小，并证明；
②求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的经验回归方程y＝a＋bx中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
＝，a＝y－b.
解：(1)＝＝3，＝＝60，
b＝＝8，a＝60－8×3＝36，
故经验回归方程为y＝8x＋36.
(2)①设前者和后者的斜率分别为k，k，
1 2
x关于y的经验回归方程为x＝a＋by，
1 1
b＝，
1
k＝b＝，k＝＝，
1 2
则＝＝r2，r为y与x的相关系数．
又|r|≤1，k，k>0，故≤1，即k≤k.
1 2 1 2
下面证k≠k.
1 2
若k＝k，则|r|＝1，即y＝8x＋36(i＝1,2，…，20)恒成立，
1 2 i i
代入表格中的一组数据得57.8≠8×2.7＋36，矛盾，故k0，I>0，＋＝1010，
a b
所以I＝I＋I＝10－10(I＋I)＝10－10≥10－10＝16×10－10，
1 a b a b
当且仅当I＝3I，即I＝，I＝时等号成立，
b a a b
所以D＝93.7＋5lg I≥93.7＋5lg(16×10－10)＝20lg 2＋43.7≈49.7>45，
1
所以点P处会受到噪声污染．
