限时跟踪检测(六十八) 离散型随机变量的分布列、均值与方差
一、单项选择题
1．设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则
E(X)和D(X)分别为( )
A．4,8 B．2,8
C．2,16 D．2＋b,16
2．(2024·山东泰安模拟)若P(X≤x) ＝1－β，P(X≥x)＝1－α，其中x<x ，则P(x≤X≤x)
2 1 1 2 1 2
＝( )
A．(1－α)(1－β)
B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β)
D．1－β(1－α)
3．若离散型随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则a的值为( )
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A． B．－2
C．或－2 D．
4．某企业计划加大技改力度，需更换一台设备．现有两种品牌的设备可供选择，A品
牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况
进行了抽样调查：
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益 100万元，从年均收益的角度分析，应该(
)
A．不更换设备
B．更换为A品牌设备
C．更换为B品牌设备
D．更换为A品牌或B品牌设备均可
5．(2024·云南楚雄州质量监测)已知随机变量X(i＝1,2)的分布列如下表所示.
i
X 0 ＋p 1＋p
i i i
P p －p
i i
其中0<p<.若p<p，且p＋p＝，则( )
i 1 2 1 2
A．E(X)＝E(X)，D(X)＝D(X)
1 2 1 2
B．E(X)>E(X)，D(X)>D(X)
1 2 1 2
C．E(X)＝E(X)，D(X)>D(X)
1 2 1 2D．E(X)<E(X)，D(X)<D(X)
1 2 1 2
6．(2024·湖南长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品
的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所
示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品．你认为哪个答题顺序获得
的奖金的均值最大( )
A．FDE B．FED C．DEF D．EDF
7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过
搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A． B． C． D．
8．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试 3次，一旦通过，则停止考试；
否则一直到3次上机考试结束为止．某学员一次上机考试通过的概率为 p(p≠0)，考试次数
为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是( )
A． B． C． D．
9．(2024·广东百校第一次测试)某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，
现从不同地区采集了100个样本．勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将 100
个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物
质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将 100个样本分为5组或
20组．假设每个样本含有该矿物质的概率p＝0.01，且每个样本是否含有该矿物质相互独
立，则下列选项中总检测次数的期望值最小的是 (参考数据：0.995≈0.951，
0.9910≈0.904,0.9920≈0.818)( )
A．5个一组 B．10个一组
C．20个一组 D．逐个检测
二、多项选择题
10．(2024·湖南永州模拟)已知<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(
)
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)<P(X＝1)C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
三、填空题与解答题
11．数字1,2,3,4任意排成一排，若数字K恰好出现在第K个位置上，则称为一个巧合，
若巧合个数为X，则P(X＝0)＝________.
12．在某学习平台中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得 3分，第二局胜利得2
分，失败均得1分，如果甲每局比赛胜利的概率均为，且各局答题相互独立，那么甲作答
两局的得分期望为________．
13．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目
之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在
发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以
场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，
规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆
环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得 3分
的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所
得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为 X，则 X 的均值为
________．
14．(2024·北京朝阳区模拟)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识
竞答活动，根据答题得分情况评选出一、二、三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情
况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一
等奖的概率．
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1名，从该地区高一女生中随机抽
取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．
(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1名，设抽到的学生获奖的概率为
p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p ；从该地区高一女
0 1
生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p.试比较p 与的大小．(结论不要求证明)
2 0高分推荐题
15．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发 4次球，一旦发球成功，则停止发
球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则
P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________．
解析版
一、单项选择题
1．设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则
E(X)和D(X)分别为( )
A．4,8 B．2,8
C．2,16 D．2＋b,16
解析：由题意可知
∴E(X)＝2，D(X)＝8.故选B．
答案：B
2．(2024·山东泰安模拟)若P(X≤x) ＝1－β，P(X≥x)＝1－α，其中x<x ，则P(x≤X≤x)
2 1 1 2 1 2
＝( )
A．(1－α)(1－β)
B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β)
D．1－β(1－α)
解析：显然P(x＞x)＝β，P(x＜x)＝α，
2 1
所以P(x≤x≤x)＝1－P(x＞x)－P(x＜x)＝1－α－β.故选B．
1 2 2 1
答案：B
3．若离散型随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则a的值为( )
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A． B．－2
C．或－2 D．
解析：由离散型随机变量ξ的概率分布表知解得a＝.
答案：A4．某企业计划加大技改力度，需更换一台设备．现有两种品牌的设备可供选择，A品
牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况
进行了抽样调查：
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益 100万元，从年均收益的角度分析，应该(
)
A．不更换设备
B．更换为A品牌设备
C．更换为B品牌设备
D．更换为A品牌或B品牌设备均可
解析：设更换为A品牌设备的使用年限为X，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝
3，更换为A品牌设备的年均收益为＝80(万元)；设更换为B品牌设备的使用年限为Y，则
E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为 B 品牌设备的年均收益为≈76(万
元).80>76，所以应该更换为A品牌设备．
答案：B
5．(2024·云南楚雄州质量监测)已知随机变量X(i＝1,2)的分布列如下表所示.
i
X 0 ＋p 1＋p
i i i
P p －p
i i
其中0<p<.若p<p，且p＋p＝，则( )
i 1 2 1 2
A．E(X)＝E(X)，D(X)＝D(X)
1 2 1 2
B．E(X)>E(X)，D(X)>D(X)
1 2 1 2
C．E(X)＝E(X)，D(X)>D(X)
1 2 1 2
D．E(X)<E(X)，D(X)<D(X)
1 2 1 2
解析：因为E(X)＝0＋p＋(1＋p)＝，所以E(X)＝E(X)．
i i i 1 2
D(X)＝×2＋pp＋·2＝－2，
i i
因为p＋p＝，所以p＝－p，
1 2 2 1
D(X)＝－2＝－2＝D(X)．
2 1
答案：A
6．(2024·湖南长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品
的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所
示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品．你认为哪个答题顺序获得
的奖金的均值最大( )
A．FDE B．FED C．DEF D．EDF
解析：按照 FDE 的顺序获得的奖金的均值为 300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋
600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；
按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8
＝132(元)；
按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3
＝196(元)；
按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2＋300×0.5×0.8×0.7＋600×0.5×0.8×0.3
＝176(元)．
综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大．
答案：C
7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过
搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A． B． C． D．
解析：由题意知X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，∴E(X)
＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
答案：B
8．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试 3次，一旦通过，则停止考试；
否则一直到3次上机考试结束为止．某学员一次上机考试通过的概率为 p(p≠0)，考试次数
为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是( )
A． B． C． D．
解析：考试次数X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，
∴E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
即4p2－12p＋5>0，解得p<或p>，
又0<p<1，故0<p<.故选B．
答案：B
9．(2024·广东百校第一次测试)某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，
现从不同地区采集了100个样本．勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将 100
个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将 100个样本分为5组或
20组．假设每个样本含有该矿物质的概率p＝0.01，且每个样本是否含有该矿物质相互独
立，则下列选项中总检测次数的期望值最小的是 (参考数据：0.995≈0.951，
0.9910≈0.904,0.9920≈0.818)( )
A．5个一组 B．10个一组
C．20个一组 D．逐个检测
解析：若5个一组，每组检测次数为ξ，ξ＝1或6，
P(ξ＝1)＝0.995≈0.951，P(ξ＝6)＝1－0.995≈0.049，
则ξ的分布列为
ξ 1 6
P 0.951 0.049
E(ξ)≈1×0.951＋6×0.049＝1.245，
总检测次数X的期望E(X)＝20E(ξ)≈20×1.245＝24.9；
若10个一组，每组检测次数为ξ ，ξ ＝1或11，P(ξ ＝1)＝0.9910≈0.904，P(ξ ＝11)＝1
1 1 1 1
－0.9910≈0.096，
则ξ 的分布列为
1
ξ 1 11
1
P 0.904 0.096
E(ξ)≈1×0.904＋11×0.096＝1.96，
1
总检测次数X 的期望E(X)＝10E(ξ)≈10×1.96＝19.6；
1 1 1
若20个一组，每组检测次数为ξ ，ξ ＝1或21，P(ξ ＝1)＝0.9920≈0.818，P(ξ ＝21)＝1
2 2 2 2
－0.9920≈0.182，
则ξ 的分布列为
2
ξ 1 21
2
P 0.818 0.182
E(ξ)≈1×0.818＋21×0.182＝4.64，
2
总检测次数X 的期望E(X)＝5E(ξ)≈5×4.64＝23.2；
2 2 2
若逐个检测，总检测次数为100.
因此，10个一组时，总检测次数的期望值最小．
答案：B
二、多项选择题
10．(2024·湖南永州模拟)已知<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有(
)
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)<P(X＝1)
C．E(X)随着p的增大而减小D．E(X)随着p的增大而增大
解析：当p＝时，P(X＝2)＝，
P(X＝1)＝1－＝>，A错误；
因为<p<1，
所以p－p2＝p(1－p)<1－p，
即P(X＝0)<P(X＝1)，B正确；
E(X)＝1－p＋2p2＝22＋，
因为<p<1，所以E(X)随着p的增大而增大，C错误，D正确．
答案：BD
三、填空题与解答题
11．数字1,2,3,4任意排成一排，若数字K恰好出现在第K个位置上，则称为一个巧合，
若巧合个数为X，则P(X＝0)＝________.
解析：X＝0表示没有巧合，有以下几种：
所以P(X＝0)＝＝.
答案：
12．在某学习平台中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得 3分，第二局胜利得2
分，失败均得1分，如果甲每局比赛胜利的概率均为，且各局答题相互独立，那么甲作答
两局的得分期望为________．
解析：根据题意，设甲参加两局答题活动的总得分为ξ，则ξ的可能取值为2,3,4,5.
若ξ＝2，即甲两局都失败，则P(ξ＝2)＝×＝；若ξ＝3，即甲第一局失败，而第二局胜
利，则P(ξ＝3)＝×＝；若ξ＝4，即甲第一局胜利，而第二局失败，则 P(ξ＝4)＝×＝；若ξ
＝5，即甲两局都胜利，则P(ξ＝5)＝×＝.故E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝＝.
答案：
13．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目
之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在
发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以
场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，
规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆
环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得 3分
的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所
得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为 X，则 X 的均值为
________．解析：由题意知，甲得0分的概率为1－－－＝，
乙得0分的概率为1－－－＝，
则甲、乙所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝.
因为甲、乙两人所得的分数之和为X，
则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，
则P(X＝0)＝×＝；
P(X＝1)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝×＋×＋×＝；
P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝；
P(X＝4)＝×＋×＋×＝；
P(X＝5)＝×＋×＝；
P(X＝6)＝×＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
答案：
14．(2024·北京朝阳区模拟)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识
竞答活动，根据答题得分情况评选出一、二、三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情
况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一
等奖的概率．
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1名，从该地区高一女生中随机抽
取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．
(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1名，设抽到的学生获奖的概率为
p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p ；从该地区高一女
0 1
生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为p.试比较p 与的大小．(结论不要求证明)
2 0
解：(1)设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的
2名学生都获一等奖”，
则P(A)＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”．由题设知，事件B，C相互独立，
且P(B)的估计值为＝，
P(C)的估计值为＝.
所以P(X＝0)＝P()＝P()P()＝×＝＝，
P(X＝1)＝P(B∪C)＝P(B)P()＋P()P(C)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝P(BC)＝P(B)P(C)＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)p>，理由：根据频率估计概率得p＝＝，
0 0
由(2)知p＝，p＝，故＝＝，则p>.
1 2 0
高分推荐题
15．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发 4次球，一旦发球成功，则停止发
球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则
P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________．
解析：由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4，
所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，P(X＝4)＝(1－p)3，令f(x)＝
(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈，
则f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
当<x<时，f′(x)>0，
当<x<时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x) ＝f＝2×＝，即P(X＝3) ＝.
max max
又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<，
即－p3＋4p2－6p＋<0，
令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋，
x∈，
则h′(x)＝－3x2＋8x－6
＝－32－<0，
所以h(x)在上单调递减，又h＝0，
所以当x∈时，h(x)<0，
所以当p∈时，E(X)<.
答案：
