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限时跟踪检测(十) 幂函数与指、对数式的运算
一、单项选择题
1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为( )
A． B．
C．－ D．－
2
2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm －6是幂函数，对任意x ，x∈(0，＋∞)，且x≠x ，满
1 2 1 2
足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
3．下列运算正确的是( )
A．2log 10＋log 0.25＝2
\f(1,5 \f(1,5
B．log 27×log 8×log 5＝
4 25 9
C．2lg 2－lg ＝1
D．log (2－)－(log )2＝－
2
(2＋
4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝，b＝，c＝log π，则a，b，c的大小关系为( )
3
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
5．已知e－e＝2，则e－e的值为( )
A．2 B．8
C．10 D．14
6．(2024·河南新乡检测)已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则2＝( )
A． B．
C． D．
7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性
场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆
绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．
已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N e－kt(N 为最初污染物数
0 0
量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为(
)
A．3.6小时 B．3.8小时
C．4小时 D．4.2小时
8．(2024·河南新乡模拟)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则log 12的值为( )
2
A． B．C． D．
9. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线
(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的
图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A．0 B．1
C． D．2
二、多项选择题
10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(－x)(x>0)
B．＝y(y>0)
C．xy＝(x>0，y>0)
D．x＝－(x>0)
11．若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8(lg 2)2 D．b－a>lg 6
三、填空题与解答题
12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，
则f(m)＝________.
13．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.
14．计算：(1)log 35＋2log －log －log 14；
5 5 5
\f(1,2
(2).
高分推荐题
15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，则a100＝________.
(2)(2024·湖北武汉质检)设的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋xy＋的值．解析版
一、单项选择题
1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为( )
A． B．
C．－ D．－
解析：由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B，D选项；
再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内从左到右下降，可得α<0，排除A选项．故选C．
答案：C
2
2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm －6是幂函数，对任意x ，x∈(0，＋∞)，且x≠x ，满
1 2 1 2
足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
2
解析：∵函数f(x)＝(m2－m－5)x m －6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝
3.∵对任意x ，x∈(0，＋∞)，且x≠x ，满足>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2
1 2 1 2
－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A．
答案：A
3．下列运算正确的是( )
A．2log 10＋log 0.25＝2
\f(1,5 \f(1,5
B．log 27×log 8×log 5＝
4 25 9
C．2lg 2－lg ＝1
D．log (2－)－(log )2＝－
2
(2＋
解析：对于D，log (2－)－(log )2＝log －2＝－1－＝－，故D正确．
2
(2＋ (2＋
答案：D
4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝，b＝，c＝log π，则a，b，c的大小关系为( )
3
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：∵a＝<1，b＝<1，c＝log π>1，∴c>a，c>b，又∵幂函数 y＝x为增函数，∴b>a，
3
∴c>b>a，故选D．
答案：D
5．已知e－e＝2，则e－e的值为( )
A．2 B．8C．10 D．14
解析：∵e－e＝2，
∴两边同时3次方，得(e－e)3＝8，
化简得e－e－3(e－e)＝8.
又∵e－e＝2，∴e－e＝8＋6＝14.
答案：D
6．(2024·河南新乡检测)已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则2＝( )
A． B．
C． D．
解析：由已知得lg a＋lg b＝＝，lg a·lg b＝－＝－，所以2＝(lg b－lg a)2＝(lg b＋lg
a)2－4lg a·lg b＝2－4×＝.故选D．
答案：D
7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性
场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆
绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．
已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N e－kt(N 为最初污染物数
0 0
量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为(
)
A．3.6小时 B．3.8小时
C．4小时 D．4.2小时
解析：由题意可得，N e－4k＝N ，可得e－4k＝，设N e－kt＝0.64N ＝2N ，可得e－kt＝(e－
0 0 0 0 0
4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C．
答案：C
8．(2024·河南新乡模拟)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则log 12的值为( )
2
A． B．
C． D．
解析：log 12＝log (3×4)＝log 3＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.故选C．
2 2 2
答案：C
9. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线
(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的
图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A．0 B．1
C． D．2解析：∵BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，∴M，N，将两点坐标分别代入y＝xa，y
＝xb，得a＝log ，b＝log ，∴a－＝log － ＝0.
\f(1,3 \f(2,3 \f(1,3 \f(2,3
答案：A
二、多项选择题
10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(－x)(x>0)
B．＝y(y>0)
C．xy＝(x>0，y>0)
D．x＝－(x>0)
解析：对于A，－＝－x (x>0)，故A错误；对于B，＝y(y>0)，故B正确；对于C，xy
＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，x＝(x>0)，故D错误．
答案：BC
11．若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8(lg 2)2 D．b－a>lg 6
解析：由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故
A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B错误，D正确；ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg
5>4lg 2·lg 4＝8(lg 2)2，故C正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，
则f(m)＝________.
解析：由题意得m2－m＝3＋m，
即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，定义域[－3－m，m2－m]为[－6，6]，f(x)在x＝0处无意义，故
舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，定义域[－3－m，m2－m]为[－2，2]，满足题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
13．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.
解析：(1)∵5x＝4，∴52x＝16，∴52x－y＝52x÷5y＝16÷2＝8.
(2)∵100a＝5，∴102a＝5，又10b＝2，∴102a＋b＝10.∴2a＋b＝1.
答案：(1)8 (2)1
14．计算：(1)log 35＋2log －log －log 14；
5 5 5
\f(1,2
(2).
解：(1)原式＝log 35－log －log 14＋log ()2＝log ＋log 2＝log 125－1＝log 53
5 5 5 5 5 5
\f(1,2 \f(1,2－1＝3－1＝2.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
高分推荐题
15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，则a100＝________.
(2)(2024·湖北武汉质检)设的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋xy＋的值．
(1)解析：显然a≠1，且a≠0.
由题意得，＝0，∴a5＝1，∴a100＝(a5)20＝1.
答案：1
(2)解：∵＝＝＝2＋，且0<<1，∴x＝2，y＝.
原式＝22＋×2×＋
＝4＋7－＋＋1＝12.
