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限时跟踪检测(八) 函数的单调性和最值
一、单项选择题
1．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
2．(2024·山东潍坊统考)下列函数中，在区间(－1,1)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
3．函数f(x)＝( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
4．(2024·湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则
实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
5．(2024·山东济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且
当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．f<f<f
B．f<f<f
C．f<f<f
D．f<f<f
6．已知函数f(x)＝ex＋e－x，则( )
A．f(－)<f(e)<f()
B．f(e)<f(－)<f()
C．f()<f(e)<f(－)
D．f(－)<f()<f(e)
7．(2024·福建莆田质量检测)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
8．(2024·湖北八校联考)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实
数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]B．[1,4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是( )
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
10．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
三、填空题与解答题
11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取
值范围是________．
12．(2024·福建漳州月考)对任意的实数x∈R都有f(sin x)＝－cos 2x＋cos2x＋2sin x－
3，则f(x)的值域为________．
13．已知函数y＝log (6－ax＋x2)在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是
\f(1,2
________．
14．(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)
＋f(y)－2，且当x>0时，f(x)<2.
(1)试判断f(x)的单调性，并证明；
(2)若f(－1)＝3，解不等式f(2x2－3x)＋f(x)>3.
高分推荐题
15．(2024·贵州贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log 6，则( )
12
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
解析版
一、单项选择题
1．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，
可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
答案：C
2．(2024·山东潍坊统考)下列函数中，在区间(－1,1)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析：函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都单调递增，函数y＝cos x在(－1,0)上单调递
增，在(0,1)上单调递减，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上单调递减．故选D．
答案：D
3．函数f(x)＝( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
解析：由题意知，f(x)＝1－，∴f(x)的图象可由y＝－的图象沿x轴向右平移一个单位
长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示，则 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上都单调
递增．
答案：B
4．(2024·湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则
实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：易知函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．因为函数
f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B．
答案：B
5．(2024·山东济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且
当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．f<f<f
B．f<f<f
C．f<f<f
D．f<f<f解析：由题设知，当x<1时，f(x)单调递减；当x≥1时，f(x)单调递增．而x＝1为f(x)图
象的对称轴，所以f＝f＝f＝f，又<<<1，
所以f>f>f，
即f>f>f.
答案：B
6．已知函数f(x)＝ex＋e－x，则( )
A．f(－)<f(e)<f()
B．f(e)<f(－)<f()
C．f()<f(e)<f(－)
D．f(－)<f()<f(e)
解析：因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当
x>0时，f′(x)＝ex－>0.所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为<<e，所以f()<f()<f(e)，又
f(－)＝f()，所以f(－)<f()<f(e)．故选D．
答案：D
7．(2024·福建莆田质量检测)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数的图象是一条连续
的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所
以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x
－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D．
答案：D
8．(2024·湖北八校联考)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实
数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[1,4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：画出函数f(x)＝的图象如图中实线部分所示，
由图可知函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函数在(a，a＋1)上单
调递增，∴a＋1≤2或a≥4，∴a≤1或a≥4.答案：D
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是( )
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
解析：对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，错误；
对于 D，函数 f(x)在 R 上为增函数，则对于任意的 x ，x∈R，设 x<x ，必有
1 2 1 2
f(x)<f(x)，对于y＝－f(x)，则有y－y＝[－f(x)]－[－f(x)]＝f(x)－f(x)>0，则y＝－f(x)在R
1 2 1 2 1 2 2 1
上为减函数，正确．故选ABC．
答案：ABC
10．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
解析：f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a>0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋
∞)上都单调递增，但在整个定义域上不是单调递增的，故 A错误；当a>0，x→－∞时，
f(x)→－∞，x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x
＋，由其图象(图略)可知，B，C正确．
答案：BCD
三、填空题与解答题
11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取
值范围是________．
解析：f(x)＝
当x≥a时，f(x)单调递增，
当x<a时，f(x)单调递减，
又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.
答案：(－∞，1]
12．(2024·福建漳州月考)对任意的实数x∈R都有f(sin x)＝－cos 2x＋cos2x＋2sin x－
3，则f(x)的值域为________．
解析：易知f(sin x)＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3，
所以f(x)＝x2＋2x－3(－1≤x≤1)，
曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，即－4≤f(x)≤0，所以f(x)的值域为[－4,0]．
答案：[－4,0]13．已知函数y＝log (6－ax＋x2)在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是
\f(1,2
________．
解析：设u＝6－ax＋x2，
∵y＝log u为减函数，
\f(1,2
∴函数u＝6－ax＋x2在[1,2]上单调递减，
∵u＝6－ax＋x2的图象的对称轴为x＝，
∴≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围是[4,5)．
答案：[4,5)
14．(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)
＋f(y)－2，且当x>0时，f(x)<2.
(1)试判断f(x)的单调性，并证明；
(2)若f(－1)＝3，解不等式f(2x2－3x)＋f(x)>3.
解：(1)f(x)是R上的减函数．证明如下：任取x，x∈R，x<x，f(x)－f(x)＝f(x－x＋
1 2 1 2 2 1 2 1
x)－f(x)＝f(x－x)＋f(x)－2－f(x)＝f(x－x)－2，
1 1 2 1 1 1 2 1
∵x－x>0，∴f(x－x)<2，
2 1 2 1
∴f(x)<f(x)，∴f(x)是R上的减函数.
2 1
(2)令x＝y＝0，f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－2，
∴f(0)＝2，令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)－2，∵f(－1)＝3，
∴f(1)＝1，又y＝f(x)是R上的减函数，f(2x2－3x)＋f(x)＝f(2x2－2x)＋2>3，即f(2x2－
2x)>f(1)，
∴2x2－2x<1，解得<x<.
∴x∈.
高分推荐题
15．(2024·贵州贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log 6，则( )
12
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5<lg 10＝1，c＝log 6<log 12＝1，
12 12
∴a>b，a>c，
∵lg 5＝＝，
log 6＝＝，
12
∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0<log 5<log 6，
2 2
∴f(log 5)<f(log 6)，
2 2
即lg 5<log 6，
12
∴a>c>b.答案：D
