文档内容
限时跟踪检测(八) 函数的单调性和最值
一、单项选择题
1．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
2．(2024·山东潍坊统考)下列函数中，在区间(－1,1)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
3．函数f(x)＝( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
4．(2024·湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则
实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
5．(2024·山东济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且
当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．ff(x)，则实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
8．(2024·湖北八校联考)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实
数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]B．[1,4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是( )
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
10．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
三、填空题与解答题
11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取
值范围是________．
12．(2024·福建漳州月考)对任意的实数x∈R都有f(sin x)＝－cos 2x＋cos2x＋2sin x－
3，则f(x)的值域为________．
13．已知函数y＝log (6－ax＋x2)在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是
\f(1,2
________．
14．(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)
＋f(y)－2，且当x>0时，f(x)<2.
(1)试判断f(x)的单调性，并证明；
(2)若f(－1)＝3，解不等式f(2x2－3x)＋f(x)>3.
高分推荐题
15．(2024·贵州贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log 6，则( )
12
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
解析版
一、单项选择题
1．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，
可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
答案：C
2．(2024·山东潍坊统考)下列函数中，在区间(－1,1)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析：函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都单调递增，函数y＝cos x在(－1,0)上单调递
增，在(0,1)上单调递减，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上单调递减．故选D．
答案：D
3．函数f(x)＝( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
解析：由题意知，f(x)＝1－，∴f(x)的图象可由y＝－的图象沿x轴向右平移一个单位
长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示，则 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上都单调
递增．
答案：B
4．(2024·湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则
实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：易知函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．因为函数
f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B．
答案：B
5．(2024·山东济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且
当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．ff>f，
即f>f>f.
答案：B
6．已知函数f(x)＝ex＋e－x，则( )
A．f(－)0时，f′(x)＝ex－>0.所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为<f(x)，则实数x的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数的图象是一条连续
的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所
以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x
－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D．
答案：D
8．(2024·湖北八校联考)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实
数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[1,4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：画出函数f(x)＝的图象如图中实线部分所示，
由图可知函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函数在(a，a＋1)上单
调递增，∴a＋1≤2或a≥4，∴a≤1或a≥4.答案：D
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是( )
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
解析：对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，错误；
对于 D，函数 f(x)在 R 上为增函数，则对于任意的 x ，x∈R，设 x0，则y＝－f(x)在R
1 2 1 2 1 2 2 1
上为减函数，正确．故选ABC．
答案：ABC
10．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
解析：f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a>0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋
∞)上都单调递增，但在整个定义域上不是单调递增的，故 A错误；当a>0，x→－∞时，
f(x)→－∞，x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x
＋，由其图象(图略)可知，B，C正确．
答案：BCD
三、填空题与解答题
11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取
值范围是________．
解析：f(x)＝
当x≥a时，f(x)单调递增，
当x0在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围是[4,5)．
答案：[4,5)
14．(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)
＋f(y)－2，且当x>0时，f(x)<2.
(1)试判断f(x)的单调性，并证明；
(2)若f(－1)＝3，解不等式f(2x2－3x)＋f(x)>3.
解：(1)f(x)是R上的减函数．证明如下：任取x，x∈R，x0，∴f(x－x)<2，
2 1 2 1
∴f(x)3，即f(2x2－
2x)>f(1)，
∴2x2－2x<1，解得b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5b，a>c，
∵lg 5＝＝，
log 6＝＝，
12
∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0c>b.答案：D
