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限时跟踪检测(十六) 导数的概念与运算
一、单项选择题
1．(2024·山东青岛模拟)设f(x)是可导函数，且满足lim ＝－2，则y＝f(x)在点(1，f(1))
处切线的斜率为( )
A．－4 B．4
C．2 D．－2
2．曲线y＝在点(3,2)处的切线的斜率是( )
A．2 B．－2
C. D．－
3．(2020·全国Ⅰ卷，理)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
4．若曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
5．(2024·湖南株洲模拟)设f(x)＝sin x，f(x)＝f′(x)，f(x)＝f′(x)，…，f (x)＝f′(x)，
0 1 0 2 1 n＋1 n
n∈N，则f (x)＝ ( )
2 020
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 023)＝( )
A．1 B．2
C. D.
7．(2024·河北沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－相切，则直线l的斜率的最大值为
( )
A. B．1－
C. D．ln 2
8．若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的
取值范围是( )
A．(－∞，－6]
B．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(2，＋∞)
9．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A. B. C. D.
10．(2024·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝|cos x|(x≥0)，若方程f(x)＝kx恰有两个根，记
较大的根为θ，则sin 2θ＝( )
A. B．－
C. D．－
二、多项选择题
11．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D
上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．
以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝－x3＋3x＋4
B．f(x)＝ln x＋2x
C．f(x)＝sin x＋cos x
D．f(x)＝xex
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(0)＝________.
13．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极
限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：lim ＝lim ＝lim ＝lim ex＝e0＝1，则lim ＝________.
14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的
坐标为________．
15．已知曲线y＝x3＋x－2在点P 处的切线l 平行于直线4x－y－1＝0，且点P 在第三
0 1 0
象限．
(1)求切点P 的坐标；
0
(2)若直线l⊥l，且l也过切点P，求直线l的方程．
1 0
高分推荐题
16.(2024·天津南开中学检测)N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及
其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一
个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的
徽章，它由“N”“K”两个字母组合而成．其中“N”蕴含在函数f(x)＝x3＋3x2＋x－1的图象
中，过点P(－6，a)与曲线y＝f(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，
如图．请你求出满足条件的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：________.解析版
一、单项选择题
1．(2024·山东青岛模拟)设f(x)是可导函数，且满足lim ＝－2，则y＝f(x)在点(1，f(1))
处切线的斜率为( )
A．－4 B．4
C．2 D．－2
解析：因为lim ＝f′(1)＝－2，故y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为－2.故选D.
答案：D
2．曲线y＝在点(3,2)处的切线的斜率是( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：y′＝＝－，故曲线在(3,2)处的切线的斜率k＝y′| ＝－＝－，故选D.
x＝3
答案：D
3．(2020·全国Ⅰ卷，理)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
解析：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求
的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
答案：B
4．若曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：因为切线l过点(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝＝－1，所以切线l的方程为y
＝－x－2，取x＝－1，则y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故
选C.答案：C
5．(2024·湖南株洲模拟)设f(x)＝sin x，f(x)＝f′(x)，f(x)＝f′(x)，…，f (x)＝f′(x)，
0 1 0 2 1 n＋1 n
n∈N，则f (x)＝ ( )
2 020
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：根据题意，f(x)＝sin x，f(x)＝f′(x)＝cos x，f(x)＝f′(x)＝－sin x，f(x)＝f′(x)
0 1 0 2 1 3 2
＝－cos x，f(x)＝f′(x)＝sin x，则有 f(x)＝f(x)，f(x)＝f(x)，…，所以 f (x)＝f(x)
4 3 0 4 1 5 n＋4 n
(n∈N)，则f (x)＝f(x)＝sin x．故选A.
2 020 0
答案：A
6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 023)＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：令ex＝t，t＞0，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.
求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 023)＝＋1＝.故选D.
答案：D
7．(2024·河北沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－相切，则直线l的斜率的最大值为
( )
A. B．1－
C. D．ln 2
解析：由f(x)＝－，
可得f′(x)＝＝.
因为ex＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当ex＝，即ex＝2，x＝ln 2时等号成立，所以0＜f′
(x)≤，所以直线l的斜率的最大值为.
答案：C
8．若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的
取值范围是( )
A．(－∞，－6]
B．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(2，＋∞)
解析：直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋－2，x＞0.又4x＋≥2＝4，当且仅当x
＝时取“＝”．∴a≥4－2＝2.
答案：C
9．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，
则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A. B. C. D.
解析：如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线
与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，又0≤x≤π，解得x＝.故选C.
答案：C
10．(2024·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝|cos x|(x≥0)，若方程f(x)＝kx恰有两个根，记
较大的根为θ，则sin 2θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：函数f(x)的图象如下：
∵f(x)＝kx恰好有两根，∴f(x)与y＝kx的交点只有2个，即f(x)与y＝kx在上相切，当
x∈时，f(x)＝－cos x，由题意设该切点坐标为(θ，－cos θ)，且－cos θ＝kθ①，
∵f(x)与y＝kx在上相切，
∴k＝f′(θ)＝sin θ>0，
代入①式，得－cos θ＝θ·sin θ，
∴tan θ＝－，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝－.故选D.
答案：D
二、多项选择题
11．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D
上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．
以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝－x3＋3x＋4
B．f(x)＝ln x＋2x
C．f(x)＝sin x＋cos x
D．f(x)＝xex
解析：对A，f(x)＝－x3＋3x＋4，
f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x，
当x∈时，f″(x)＜0，故A为凸函数；
对B，f(x)＝ln x＋2x，f′(x)＝＋2，
f″(x)＝－，
当x∈时，f″(x)＜0，故B为凸函数；对C，f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，
f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin.
当x∈时，f″(x)＜0，故C为凸函数；
对D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，
当x∈时，f″(x)＞0，故D不是凸函数．
答案：ABC
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以
f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
答案：－120
13．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极
限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：lim ＝lim ＝lim ＝lim ex＝e0＝1，则lim ＝________.
解析：lim ＝lim ＝lim ＝lim ＝ln 1＋＝.
答案：
14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的
坐标为________．
解析：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝y′| ＝1；由y＝，可得y′＝－.因为曲线y
x＝0
＝(x＞0)在点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，故－＝－1，解得x ＝1，由
P
y＝，得y ＝1，故所求点P的坐标为(1,1)．
P
答案：(1,1)
15．已知曲线y＝x3＋x－2在点P 处的切线l 平行于直线4x－y－1＝0，且点P 在第三
0 1 0
象限．
(1)求切点P 的坐标；
0
(2)若直线l⊥l，且l也过切点P，求直线l的方程．
1 0
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P 在第三象限，
0
∴切点P 的坐标为(－1，－4)．
0
(2)∵直线l⊥l，l 的斜率为4，
1 1
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P，点P 的坐标为(－1，－4)，
0 0
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
高分推荐题
16.(2024·天津南开中学检测)N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一
个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的
徽章，它由“N”“K”两个字母组合而成．其中“N”蕴含在函数f(x)＝x3＋3x2＋x－1的图象
中，过点P(－6，a)与曲线y＝f(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，
如图．请你求出满足条件的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：________.
解析：由f(x)＝x3＋3x2＋x－1，得f′(x)＝x2＋6x＋1，设切点坐标为，则切线斜率k＝f′
(x)＝x＋6x＋1，切线方程为y－＝·(x－x)，
0 0 0
因为切线过点P(－6，a)，则a－＝(－6－x)，
0
整理得a＝－x－12x－36x－7.
0
设函数g(x)＝－x3－12x2－36x－7，则原问题等价于y＝g(x)与y＝a的图象有三个不同
的交点．
求导得g′(x)＝－3x2－24x－36，令g′(x)>0，得－6－
2.
所以g(x)在(－6，－2)上单调递增，在(－∞，－6)，(－2，＋∞)上单调递减，且g(－6)
＝－7，g(－2)＝25，则g(x)的图象如图所示，
若y＝g(x)与y＝a的图象有三个不同的交点，则－7
