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限时跟踪检测(五十七) 求值与证明问题
1．已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A ，A ，上顶点为 B ，且
1 2 1
B1A1·B1A2＝－2，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足OA＝
OM＋OB，求|OM|.
2．已知双曲线C：－＝1(b>a>0)的右焦点为F(c,0)，从①虚轴长为2；②离心率为2；
③双曲线C的两条渐近线的夹角为60°这三个条件中选取两个作为条件，求解下面的问题．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，O为坐标原点，记
△AOB，△FOB的面积分别为S，S，若＝＋1，求直线l的方程．
1 2
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
3．(2024·陕西榆林模拟)已知直线l：x＋2＝0，M为平面内一动点，过M作l的垂线，
垂足为N，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，动点M的轨迹记为Ω.
(1)证明Ω为抛物线，并指出它的焦点坐标；
(2)已知P(0,1)，直线x－y＋t＝0(t<0)与Ω交于A，B两点，直线PA，PB与Ω的另一交
点分别是C，D，证明：AB∥CD．4．(2024·安徽安庆模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左焦
点为F，|AF|＝－1，|BF|＝＋1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且|
PM|＝|PN|.证明：|MN|＝|AB|·|FP|.
高分推荐题
5．(2024·广东汕头模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：x2＋(y－1)2＝1与抛物
线C：x2＝2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径．过点E(0,2)作直线交
抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：∠PFA＝∠PFB．
解析版
1．已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A ，A ，上顶点为 B ，且
1 2 1
B1A1·B1A2＝－2，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足OA＝
OM＋OB，求|OM|.解：(1)B1A1·B1A2＝(－a，－b)·(a，－b)＝b2－a2＝－2，即a2－b2＝c2＝2，∴c＝，
又离心率为，故a＝，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由OA＝OM＋OB得BA＝OM，
①当直线l为y＝0时，|BA|＝2，|OM| ＝，不符合题意，舍去．
max
②设直线l：x＝my＋，直线OM：x＝my，
设A(x，y)，B(x，y)，M(x ，y )，
1 1 2 2 M M
联立
消去x并整理得(m2＋3)y2＋2my－1＝0，Δ＝12(m2＋1)>0，
由根与系数的关系得，y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
|AB|＝|y－y|＝·＝.
1 2
联立解得y2＝，
得到|OM|＝＝|y |＝.
M
依题意得＝·＝，
解得m2＝，
所以|OM|＝＝.
2．已知双曲线C：－＝1(b>a>0)的右焦点为F(c,0)，从①虚轴长为2；②离心率为2；
③双曲线C的两条渐近线的夹角为60°这三个条件中选取两个作为条件，求解下面的问题．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，O为坐标原点，记
△AOB，△FOB的面积分别为S，S，若＝＋1，求直线l的方程．
1 2
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选择①②，可知解得
所以C的方程为x2－＝1.
若选择①③，因为b>a＞0，所以
解得
所以C的方程为x2－＝1.
若选择②③，因为b>a＞0，所以
此时无法确定a，b，c.
(2)由(1)知F(2,0)，由题意，知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝ty＋2.由
消去x并整理得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
设A(x ，y)，B(x ，y)，|y|>|y|，则可知3t2－1≠0.又Δ>0恒成立，所以y ＋y ＝，yy
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
＝，因为yy>0，所以t<－或t>.因为＝＝－1＝－1＝＋1，所以＝2＋.
1 2
由＝，得＋＝，所以＝4，所以t＝±，满足t<－或t>.所以直线l的方程为y＝x－或y＝
－x＋.
3．(2024·陕西榆林模拟)已知直线l：x＋2＝0，M为平面内一动点，过M作l的垂线，
垂足为N，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，动点M的轨迹记为Ω.
(1)证明Ω为抛物线，并指出它的焦点坐标；
(2)已知P(0,1)，直线x－y＋t＝0(t<0)与Ω交于A，B两点，直线PA，PB与Ω的另一交点分别是C，D，证明：AB∥CD．
证明：(1)设M(x，y)，则N(－2，y)，OM＝(x，y)，ON＝(－2，y)．因为OM·ON＝0，
所以－2x＋y2＝0，则Ω的方程为y2＝2x.
故Ω为抛物线，且焦点坐标为.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2 3 3 4 4
联立得y2－2y＋2t＝0，则Δ＝4－8t>0，y＋y＝2，yy＝2t.
1 2 1 2
直线PA的方程为y＝x＋1，
联立
得(y－1)y2－yy＋y＝0，
1
由根与系数的关系，得yy＝，所以y＝，同理可得y＝.
1 3 3 4
则k ＝＝
CD
＝＝
＝
＝＝1，得k ＝k ＝1，所以AB∥CD．
CD AB
4．(2024·安徽安庆模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左焦
点为F，|AF|＝－1，|BF|＝＋1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且|
PM|＝|PN|.证明：|MN|＝|AB|·|FP|.
(1)解：设椭圆C的半焦距为c，
由|AF|＝－1，|BF|＝＋1，
可得a－c＝－1，a＋c＝＋1，
则a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设MN的中点为H，连接PH，
由|PM|＝|PN|，可得MN⊥HP，
故直线HP为线段MN的垂直平分线．
设直线l：x＝my－1(m≠0)，代入到椭圆方程x2＋2y2＝2，
整理得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，H(x，y)，P(x 0)，则y＋y＝，yy＝，
1 1 2 2 3 3 4, 1 2 1 2
所以|MN|＝|y－y|
1 2
＝
＝＝，
y＝＝，x＝－1＝.
3 3
因为MN⊥HP，则有直线HP的方程l ：y－＝－m，
HP
令y＝0，得x＝，
4
即|FP|＝＝，
则有|MN|＝＝2|FP|，又|AB|＝2，所以|MN|＝|AB|·|FP|.
高分推荐题
5．(2024·广东汕头模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：x2＋(y－1)2＝1与抛物
线C：x2＝2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径．过点E(0,2)作直线交
抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：∠PFA＝∠PFB．
证明：(1)由对称性可知抛物线与圆的交点坐标为(1,1)，(－1，1)，代入抛物线方程可
得2p＝1，
所以抛物线方程为x2＝y.
设A(x，x)，B(x，x)，
1 2
所以k ＝＝x ＋x ，所以直线AB的方程为y－x＝(x ＋x)(x－x)，即y＝(x ＋x)x－
AB 1 2 1 2 1 1 2
xx，
1 2
因为直线AB过点E(0,2)，
所以－xx＝2，所以xx＝－2①.
1 2 1 2
因为y′＝2x，所以直线PA的斜率为2x，直线PB的斜率为2x，
1 2
直线PA的方程为y－x＝2x(x－x)，即y＝2xx－x，同理，直线PB的方程为y＝2xx－
1 1 1 2
x.
联立两直线方程，可得P，
由①可知点P的纵坐标为定值－2.
(2)cos∠PFA＝，
cos∠PFB＝，
注意到两角都在(0，π)内，可知要证∠PFA＝∠PFB，即证＝(*)．
又F，所以FA＝，FP＝，
所以FA·FP＝x·－＝－x－＝－(4x＋1)，
1
又|FA|＝＝x＋，
所以＝－，
同理得＝－，(*)式得证，即∠PFA＝∠PFB．
